Experimento de lanzar 3 monedas al aire. Denominando por (C) a Cara y (X) a Cruz, el espacio muestral será: Ω={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
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- María Luisa Elisa Rodríguez Vega
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1 1 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional 3.1. Concepto de variable aleatoria Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral (Ω) de un experimento, un número real. Experimento de lanzar 3 monedas al aire. Denominando por (C) a Cara y (X) a Cruz, el espacio muestral será: Ω={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX} Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, asociando cada suceso anterior con un número: X(CCC)=3 X(CCX)=2 X(XXC)=1 X(XXX)=0 Experimento de lanzar 2 dados de 6 caras. El espacio muestral será: Ω={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (6,5) (6,6) } Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones, asociando cada suceso anterior con un número: X((1,1))=2 X((3,4))=7 X((2,6))=8 X((5,6))=11 Probabilidad inducida Px (Probabilidad inducida por X) representa la probabilidad de que ocurra un suceso cuyo valor número asociado esté comprendido en el intervalo b.
2 2 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional 3.2. Variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria es discreta si toma un número de valores: Finito, O infinito numerable. Ejemplo 1. Experimento de lanzar 2 dados de 6 caras, definiendo la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones de los 2 dados. La variable es discreta al tomar un número finito de valores (naturales entre 2 y 12). Ejemplo 2. Una urna contiene 10 bolas blancas y 10 negras. Se extrae una bola y se introducen 2 bolas del mismo color que se ha extraído. Se realiza el experimento indefinidamente. Definimos la variable aleatoria X como el número de bolas blancas que hay en la urna. Función de probabilidad (V.A.Discreta) Dada una variable aleatoria discreta X, llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia a cada posible valor de la variable la probabilidad de suceder. Si la variable aleatoria X toma los valores: x 1 X 2 X 3 X n P(x 1 ) P(x 2 ) P(x 3 ) P(x n )
3 3 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Determinación de una función de probabilidad Sobre el experimento de lanzar 3 monedas al aire, denominando (C) a cara y (X) a cruz, las probabilidades de los posibles valores de la variable aleatoria X de cantidad de caras es: xi (cantidad de caras) Sucesos asociados al valor x i 0 (XXX) P(xi) (Probabilidad) 1 (CXX) (XCX) (XXC) 2 (CCX) (CXC) (XCC) 3 (CCC) Número total de sucesos 8 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, Función de distribución ( F(x) ) (V.A.Discreta) Dada una variable aleatoria discreta X, llamaremos función de distribución a aquella que asocia a cada posible valor de la variable la probabilidad de que dicha variable tome un valor menor o igual al correspondiente valor. Propiedades:
4 4 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Determinación de una función de distribución Sobre el experimento de lanzar 3 monedas al aire, denominando (C) a cara y (X) a cruz, las probabilidades de los posibles valores de la variable aleatoria X de cantidad de caras es: xi (cantidad de caras) P(xi) (Probabilidad) Intervalo de x F(x)
5 5 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional 3.3. Variable aleatoria continua. Una variable aleatoria es continua si toma infinitos no numerables valores. Ejemplo 1. Experimento de medir la duración de una bombilla. Toma todos los posibles valores mayores que 0. Función de densidad (V.A.Continua) Dada una variable aleatoria continua X, llamaremos función de densidad a aquella que asocia a cada posible valor de la variable la probabilidad de suceder. La función de densidad cumple las siguientes condiciones: Dada la siguiente función, determínese el valor de k para que f sea una función de densidad.
6 6 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Función de distribución ( F(x) ) (V.A.Continua) Dada una variable aleatoria continua X, llamaremos función de distribución a aquella que asocia a cada posible valor de la variable la probabilidad de que dicha variable tome un valor menor o igual al correspondiente valor. Corolarios referentes a las v.a. continuas: para 3. Propiedades de la Función de Distribución (GENERAL) Una función F(X) es una Función de Distribución de una variable aleatoria X si, y solo si, satisface las siguientes condiciones: a) b) c) La función F(X) es monótona no decreciente; es decir: d) e) La función F(X) es continua por la derecha; es decir: f) La continuidad por la izquierda solo se cumple en los puntos con.
7 7 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Punto ordinario y punto de salto Punto ordinario es aquel punto X=x que cumple probabilística nula). En las V.A.Continuas se cumple que: (Masa o o Todos los puntos son ordinarios. Función de distribución es absolutamente continua. Punto de salto es aquel punto X=x que cumple probabilística positiva). En las V.A.Discretas se cumple que: (Masa o La Función de probabilidad es nula en todo, salvo en un conjunto numerable de puntos de salto. o Función de distribución es escalonada. Corolarios C.1.- C.2.- se cumple: C C C C C.3.- Dada la siguiente f.d.d.: Se pide: a) Valor de k. b) Hallar la función de distribución F(x). c) Representar gráficamente f(x) y F(x). d) Hallar P[-2<x<2] y representarla sobre f(x) y F(x).
8 8 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Solución a) b) c) d)
9 9 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional 3.7. Momentos Esperanza matemática (valor esperado) E[g(X)] La esperanza matemática (o valor esperado) de la función g(x) de la V.A. X se define como: V.A. Discreta V.A. Continua La esperanza existe solo si es absolutamente convergente Caso particular: Cuando g(x)=x la esperanza matemática se denomina media de la V.A. X, pudiéndose considerar como el centro de gravedad de su distribución: V.A. Discreta V.A. Continua La esperanza existe solo si es absolutamente convergente
10 10 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Propiedades de la esperanza 1. Esperanza de una constante C. ( ). 2. Esperanza de. ( ). 3. Medias de combinaciones lineales de V.A Si, donde a y b son constantes. ( ) 3.2. Si son dos funciones de la V.A. X. a. b.
11 11 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Momentos de una variable aleatoria Caso general, donde X es una V.A., c=cte y. V.A. Discreta V.A. Continua Momento respecto de c de orden k Momento respecto al origen de orden k ( c=0 ) Momento central de orden k ( c=µ=e[x] ) Corolarios 1. Todos los momentos de orden cero son iguales a la unidad La varianza de X: 5. Una distribución de la V.A. X es simétrica respecto a su media si se cumple: V.A. Discreta V.A. Continua 6. Para se cumple las siguientes relaciones:
12 12 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Varianza de una función G(X) de la V.A. X Desviación Típica (o Desviación Estándar) de una función G(X) de la V.A. X Varianza de una V.A. X V.A. Discreta V.A. Continua Sea la V.A. X con la siguiente función de probabilidad. Calcular la esperanza, la varianza y la desviación típica. x P(x) Sea la V.A. X con la siguiente función de densidad. Calcular la esperanza, la varianza y la desviación típica. =
13 13 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Propiedades de la varianza 1. La varianza de una constante C. ( ). 2. Si, donde a y b son constantes. ( ). Donde: Por lo tanto: 3. La varianza es el menor momento de segundo orden. Ya que solo si solo si Centrado y Tipificado de una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria con y ( Y = Variable centrada de X W = Variable tipificada de X Ya que: Ya que: y,
14 14 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Otros parámetros característicos de una distribución de probabilidad Para analizar y estudiar una variable es necesario realizar una serie de operaciones: 1. Obtención de datos (de la población completa o de una muestra). 2. Ordenación de los datos. 3. Análisis de los datos a través de las Medidas Descriptivas, para describir la variable: a) Medidas de centralización. Valores únicos que representan a todos los datos. b) Medidas de posición (o cuantiles). Distribución de datos en distintos intervalos. c) Medidas de dispersión. Condensación/Separación de los datos respecto al parámetro de centralización anteriormente citado. d) Medidas de forma. Comparación de la representación gráfica de los datos (histograma) con la distribución normal. Medidas de centralización Parámetro Descripción Cálculo V.A.Discretas Media ( ) (esperanza) Promedio aritmético de las observaciones. V.A.Continuas V.A.Discretas Mediana ( ) Valor que separa por la mitad la cantidad de observaciones. V.A.Continuas Moda ( ) Valor de la variable que más veces se repite, pudiendo no ser única. V.A.Discretas V.A.Continuas
15 15 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Medidas de posición (o cuantiles) Parámetro V.A. Discreta Cálculo V.A. Continua Cuantil de orden p ( xp ) Cuartil ( Q1, Q2, Q3 ) Decil ( D1,, D9 ) Percentil ( P1,, P99 ) Medidas de dispersión Parámetro Parámetro V.A. Discreta Cálculo V.A. Continua Rango o Recorrido ( R ) Absolutas Varianza ( Var(X), ) Desviación Típica ( ) Relativa Coeficiente de Variación de Pearson ( CV ) Para poder comparar la dispersión de distribuciones con diferentes escalas.
16 16 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Medidas de forma Parámetro Descripción Cálculo Si ( ), distribución simétrica. Si ( ), distribución asimétrica por la derecha. ( ) Si ( ), distribución asimétrica por la izquierda. ( ) Coeficiente de Asimetría o Sesgo ( ) Si ( Si ( Si ( ), distribución mesocústica. ), distribución leptocúrtica. ), distribución platicúrtica. Coeficiente de Apuntamiento (Curtosis) ( Cap )
17 17 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional Sea la V.A. X con la siguiente función de distribución (en meses). Calcular: a) El instante en el que fallarán el 50% de los componentes. b) El instante en el que fallarán el 10% de los mismos. c) El instante que corresponde a la moda de la variable aleatoria. a) b) c)
18 18 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional 3.8. Desigualdad de Tchebychev Sea X una V.A. para la que existe y se verifica: Suceso complementario: Sea la V.A. X con una distribución desconocida de media. Hallar las cotas para las siguientes probabilidades: y varianza Calcular: a) b) c) d)
19 19 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional 3.9. Función característica Sea la V.A. X la Función Característica de X se construye como: V.A. Discreta V.A. Continua Sea C una constante y la f.d.d. de la V.A. X es: Hallar la función característica de X Función generadora de momentos Sea la V.A. X la Función generatriz de momentos de X se construye como: Esta función no siempre existe, muy útil en las distribuciones. V.A. Discreta V.A. Continua Propiedades 1. Función generadora de momentos de la V.A., existiendo.
20 20 Tema 3 : Variable Aleatoria Unidimensional 2. Si existe entonces existe : Y en general Sea una V.A. X con f.d.d.: Hallar la función generadora de momentos, la media y la esperanza de X Propiedad reproductiva de algunas variables aleatorias Si dos V.A. X 1, X 2 con Funciones de Distribución del mismo tipo (normal, ) con parámetros 1, 2. La función de distribución de la suma será del mismo tipo con Si X 1 y X 2 son independientes se verifica:
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