Seguros No Vida. Contenidos:

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1 Seguros No Vida Contenidos: Introducción Características esenciales de los seguros no vida Diferencias con los seguros de vida Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad Ajustes y Estimación Máimo Verosímil con R

2 Introducción La incertidumbre es consustancial al ser humano. Desde el nacimiento éste está epuesto a la ocurrencia de sucesos que pueden acarrear consecuencias negativas. Búsqueda de mecanismos para eliminar, reducir o minimizar la magnitud de las posibles pérdidas. Seguro y la entidad aseguradora es un instrumento que permite paliar las consecuencias económicas negativas, cuantificables en términos monetarios, que conlleve la materialización del suceso. Riesgos que pueden ocurrir de forma accidental (aleatorios). Prima compensación económica que permite trasladar las consecuencias económicas gravosas a una entidad aseguradora. Las características fundamentales del fenómeno actuarial son: Aleatoriedad Sus sucesos implican consecuencias valorables en términos económicos

3 Introducción Objeto del actuario: Valorar consecuencias que tendrá en el futuro (largo, en seguros de vida o invalidez; o, corto, en seguro de hogar, vehículos,...) un seguro contratado hoy. En concreto:. Determinar si la compañía asume el riesgo;. Cuantificar la prima correspondiente; 3. Decidir la estrategia de inversión correcta de la prima; y 4. Realizar las provisiones adecuadas para poder hacer frente a responsabilidades asumidas. Estadística Actuarial Proporciona las herramientas e instrumentos necesarios para el cálculo de las probabilidades y de las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias asociadas a cada uno de los riesgos que son objeto o pueden ser objeto del seguro.

4 Diferencias entre seguros generales y de vida PLAZO Los seguros de vida llevan implícito un componente de ahorro que no se da en seguros de no-vida donde la prima, habitualmente, cubre el riesgo por un período corto. Cláusula de indisputabilidad. Por la que transcurrido un año de la firma de la póliza, la compañía no podrá disputar las declaraciones sobre edad, seo, profesión, costumbres, estado civil, estado de salud, etc, que sirven de base para determinar la prima, salvo que haya mediado mala fe probada por parte del contratante, el tomador o el asegurado. En general, los seguros de no vida se caracterizan por su corto plazo (habitualmente un año, renovable tácitamente). Por lo que el tipo de interés no juega un papel tan básico como en seguros de vida. El uso de las tablas de mortalidad y la necesidad de las reservas matemáticas introducen en los seguros de vida unas características muy particulares en aspectos como el cálculo de las probabilidades asociadas a los riesgos y la selección de los instrumentos financieros adecuados para la inversión de las primas

5 Diferencias entre seguros generales y de vida VALORACIÓN La necesidad de valorar la vida humana que comporta un seguro de vida y toda la dificultad que conlleva su cuantificación en términos económicos. Esto posibilita, en contraste con los seguros de no-vida, que teóricamente no eista límite en cuanto a la compensación en un seguro de vida y en cuanto al número de seguros suscritos para cubrir un mismo riesgo. En seguros no vida las prestaciones están en función de la cuantía del daño. Se presentan problemas de infra-seguro y sobre-seguro al no coincidir suma asegurada con valor de lo asegurado. Por tanto, en seguros de vida, en general, la magnitud de las prestaciones o indemnizaciones están delimitadas de antemano, mientras en no-vida vienen determinadas por la cuantía del daño que viene definida por una variable aleatoria con características diferentes a la variable aleatoria edad de muerte que aparece en seguros de vida. Las primas en vida suelen ser conocidas de antemano; mientras en no vida se recalculan con frecuencia debido a su corta duración y a la mayor dependencia de las condiciones del entorno.

6 Diferencias entre seguros generales y de vida FACTORES El principal factor para determinar las distribuciones de probabilidad en seguros de vida es la edad. Mientras en seguros no-vida confluyen una mayor cantidad de factores lo que incrementa su complejidad a la hora de fijar la prima. Por ejemplo, en el seguro del automóvil eisten otros factores de riesgo, además de los datos del conductor, que se emplean para determinar la prima como la categoría y clase de vehículo, el color del vehículo, la zona de circulación, el uso a que se destina, etc. Los seguros de vida presentan mayor estabilidad que los no-vida, al presenta menores fluctuaciones entorno a sus valores medios. Los seguros de vida están menos influenciados por el entorno socioeconómico que determinados ramos como robo, responsabilidad civil del automóvil, etc.

7 Diferencias entre seguros generales y de vida OTRAS DIFERENCIAS En el seguro de vida para el caso de muerte el beneficiario es, obviamente, una persona física o jurídica distinta del asegurado. El capital asegurado en un seguro de vida para el caso de muerte no puede ser embargado. No se puede contratar un seguro de vida para caso de muerte sin el consentimiento, por escrito, del sujeto sobre el que se cubre el riesgo. DESDE EL PUNTO DE VISTA TÉCNICO (ESTADÍSTICO-ACTUARIAL) LOS SEGUROS DE NO VIDA SON MUCHO MÁS COMPLEJOS QUE LOS SEGUROS DE VIDA

8 Diferencias entre seguros generales y de vida ELEMENTOS ALEATORIOS EN LA DETERMINACION DE LA PRIMA Vida Probabilidad de superviviencia fallecimento No-Vida El número de siniestros (v.a. discreta) Cuantía del siniestro (v.a. contínua)

9 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad Algunas Distribuciones Discretas Binomial Bernouilli Poisson Algunas Distribuciones Contínuas Parámetros de posición (localización), escala (dispersión) y forma (shape) Normal LogNormal Gamma Pareto Beta Mituras Poisson + Gamma Binomial Negativa Binomial + Beta

10 Binomial X~Bi(n, p) Función de probabilidad o cuantía f() P(X ) n! p!(n - )! n- (- p) 0,,,...,n Media: μ np Varianza: σ np(- p) npq Caso Particular: Bernouilli, X~Bi(n,p) Be(p). Código R: dbinom(, size, prob, log FALSE) # Probabilidad (densidad) pbinom(q, size, prob, lower.tail TRUE, log.p FALSE) # Probabilidad Acum. qbinom(p, size, prob, lower.tail TRUE, log.p FALSE) # Percentil rbinom(n, size, prob) # Random values

11 Poisson X~Po(λ) Función de probabilidad o cuantía: Media: Varianza: μ λ f() P(X ) σ λ -λ e λ! 0,,,... Código R: dpois(, lambda, log FALSE) ppois(q, lambda, lower.tail TRUE, log.p FALSE) qpois(p, lambda, lower.tail TRUE, log.p FALSE) rpois(n, lambda) Etensión: Distribución Conway-Mawell-Poisson (permite modelizar situaciones de infra- y sobre-dispersión, fleibilizando mediante ν el grado de decaimiento de la variable aleatoria) X~ CMP(λ, ν). f() P(X ) λ (!) ν Z(λ,ν) 0,,,... con Z(λ,ν) 0 j j λ (j!) ν Media: μ j0 (j!) ν j jλ Z(λ,ν) λ ν - ν - ν Varianza: j λ σ ν -μ (j!) Z(λ,ν) j0 j

12 Normal X~N(µ,σ ) Función densidad de probabilidad: f() πσ e ( - μ) - σ - < <+ Media: μ parámetro de posición o localización Varianza: σ parámetro de escala o dispersión Código R: dnorm(, mean 0, sd, log FALSE) pnorm(q, mean 0, sd, lower.tail TRUE, log.p FALSE) qnorm(p, mean 0, sd, lower.tail TRUE, log.p FALSE) rnorm(n, mean 0, sd ) plot(function() dnorm(), -6, 6, main "Densidad Normal") curve(dnorm(,0,.5), -6, 6, col"red",lwd, addt)

13 lognormal Función densidad de probabilidad: X~logN(µ,σ ) YlogX ~N(µ,σ ) Media: ep μ + σ f() σ π e (ln - μ) - σ > 0 Varianza: ep(μ + σ )[ep(σ ) -] Código R: dlnorm(, meanlog 0, sdlog, log FALSE) plnorm(q, meanlog 0, sdlog, lower.tail TRUE, log.p FALSE) qlnorm(p, meanlog 0, sdlog, lower.tail TRUE, log.p FALSE) rlnorm(n, meanlog 0, sdlog ) plot(function() dlnorm(), from0, to0, main "Densidad lognormal")

14 Gamma X~Ga(α, β) X~Ga(α, θ) α : Parámetro de forma; θ: Parámetro de escala; β θ - : Parámetro de rate o intensidad Función densidad de probabilidad: f() β -β e ( β) Γ(α) α- θ α e Γ(α) - θ α- > 0 (β / θ) Media: μ αθ α / β Varianza: σ αθ α / β Casos Particulares: Eponencial (α), Chi-cuadrado (α/ν, θ), Erlang Código R: dgamma(, shape, rate, scale /rate, log FALSE) plot(function() dgamma(,), 0, 0) plot(function() dgamma(,), 0, 0, col"red",addt) curve(dgamma(,,scale), from0, to0, col"blue", addt) hist(rgamma(000,,scale), addt, freqf,breaks00,col"lightgreen")

15 Pareto X~Pa(α, k) Función densidad de probabilidad: Media: kα μ α - f() α k k α+ α+ α k α α+ > k Varianza: σ Caso Particular: Yln(X/k) eponencial con intensidad α. Código R: dpareto(, location, shape, logfalse) k α α - - kα α - library(vgam) plot(function() dpareto(,.57,3.), 0, 40, col"red") plot(function() dlnorm(), 0, 40, addt) plot(function() dpareto(,.57,3.), 30, 40, col"red") plot(function() dlnorm(), 30, 40, addt)

16 Beta Función densidad de probabilidad: X~βe(α, β) α, β parámetros de forma (shape) f() Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) α ( ) β B(α,β) α ( ) β 0 < < Media: μ α α + β Varianza: σ (α + β) αβ (α + β + ) Caso Particular: Uniforme (α,β), distribución arcsen (α/,β/). Código R: dbeta(, shape, shape, ncp 0, log FALSE) plot(function() dbeta(,,4), 0,, col"blue", lwd3) plot(function() dbeta(,,), 0,, col"yellow", addt, lwd4, lty) plot(function() dbeta(,/,/), 0,, col"red", addt, lwd, lty3) plot(function() dbeta(,3,/), 0,, col"green", addt, lwd5, lty5) plot(function() dbeta(,4,00), 0,, col"brown", lwd)

17 Binomial Negativa X~BN(r, p) Función de probabilidad o cuantía: + r r r r f() P(X ) p ( p) p ( q) - - 0,,,..., X # fracasos hasta r éitos + r ( + r )!!(r )! ( + r )( + r ) ( r )(r)! ( ) ( r)( r + ) ( r + )( r + )! ( ) r Media: r( p) μ p r q p Varianza: r( p) σ p r q p Función de probabilidad o cuantía alternativa: f() P(X r ) p ( p) r - r r,r +,r +,..., μ r p X # eposiciones hasta r éitos Caso Particular: Geométrica o de Pascal (r).

18 Binomial Negativa X λ ~ Po(λ) λ ~ Ga(r, θ(-p)/p) X~BN(r, p) f() P(X ) 0 f X λ ()f r λ ( p) p!γ(r) Γ(r + ) p!γ(r) r (λ)dλ r -λ /( p) 0 e ( p) 0 e λ! λ -λ r+ λ r- θ dλ + r r Γ(r) p e r λ - θ dλ ( p) p!γ(r) ( p) r r ( p) r+ 0,,,..., Γ(r + ) Utilizando: Γ(r + ) r+ 0 t e t dt 0 λ p r+ -λ /( p) dλ p p Con X Verificando: E(X)E[E(X λ)]e(λ)rθ V(X) E[V(X λ)]+v[e(x λ)]e(λ)+v(λ)>e(λ) Código R: dnbinom(, size, prob, mu, log FALSE) dnbinom(5,size3,prob0.5) dnbinom(5,size3,mu9) e r+ r+ 0 λ e -λ /( p) dλ

19 Beta-Binomial Función de probabilidad o cuantía: n f(;α,β) f( p)fp (p α,β)dp p 0 0 X p ~ Bi(n,p) p ~ βe(α, β) ( p) ( p) B(α,β) n α n β n B( + α,n + β ) p ( p) dp + + B(α,β) 0 B(α,β) Γ(n + ) Γ(α + β) Γ( + α)γ(n + β ) 0,,,...,n Γ( + )Γ(n + ) Γ(α)Γ(β) Γ(α + n + β) Media: nα α μ n α + β α + β nαβ(α + β + n) α β (α + β + n) Varianza: σ n (α + β) (α + β + ) (α + β) (α + β) (α + β + ) Código R: library(vgam) dbetabin.ab(, size, shape, shape, logfalse) plot(0:0,vb<-dbinom(0:0,size0,prob0.5), type"l", col"red") points(0:0,vbb<-dbetabin.ab(0:0,size0,shape.5,shape7.5), col"blue", type"l") n barplot(rbind(vb, vbb), beside TRUE, col c("blue", "green"), las, names.arg as.character(0:0)) p α β dp

20 Ajustes parámetricos con R Ajustar una distribución consiste en encontrar una función matemática que represente de una manera adecuada la variable aleatoria. Dado una muestra de observaciones,, n el objetivo es analizar si las observaciones provienen de una determinada población. El proceso puede dividirse en 3 pasos: Elegir un modelo (función): distribución de probabilidad. Estimar los parámetros Evaluar el grado de ajuste Elección del modelo: eploración de datos y razonamientos teóricos dat.norm <- rnorm(n00,m00,sd0) hist(dat.norm, main"histograma de datos observados") plot(density(dat.norm), main"densidad Estimada") # Uso de funciones kernel (método no paramétrico) curve(dnorm(,00,0), 70, 30, addt, col"red") # Distribución teórica plot(ecdf(dat.norm), main"función de Distribución Empírica") qqnorm((dat.norm-mean(dat.norm))/sd(dat.norm)) # Grafico Q-Q abline(0,) # se añade la recta y*+0 library(vgam).dat <- rpareto(n300,location4,shape3) # Se ajustan a una lognormal?.teo <- rlnorm(n300,mmean(log(.dat)),sdsd(log(.dat))) qqplot(.teo,.dat,main"qq-plot LogNormal") abline(0,)

21 Ajustes parámetricos con R Estimación de parámetros: Una vez elegido el modelo que ha de representar nuestros datos, hemos de estimar sus parámetros: momentos y MV (ML).- Ajustando.dat a una Gamma μ αθ α / β σ αθ α / β med.est <- mean(.dat) # método de los momentos var.est <- var (.dat) beta.est <- med.est/var.est alfa.est <- (med.est^)/var.est # Estimación máimo verosímil (funciones mle() y fitdistr()) library(stats4) lfv<-function(alfa,beta) {n<-300 <-.dat -n*alfa*log(beta)+n*log(gamma(alfa))-(alfa- )*sum(log())+beta*sum()} # -log-fun. verosimilitud est <- mle(minusloglfv, startlist(beta beta.est, alfa alfa.est)) summary(est) lfv(alfa.est,beta.est) est <- mle(minusloglfv, startlist(alfa, beta )) summary(est) par <- slot(est,'coef') # como ver las caracteristicas de un objeto str(est) library(mass) fitdistr(.dat,"gamma") fitdistr(.dat,densfundweibull,startlist(scale,shape/beta.est)) plot(density(.dat)) curve(dgamma(,par[],par[]), 0, 40, addt, col"blue") # Distribución ML curve(dgamma(,alfa.est,beta.est), 0, 40, addt, col"red") # Distribución momentos

22 Ajustes parámetricos con R Evaluando el grado de ajuste: # Estadistico Q de bondad de ajuste.poi<-rpois(n50,lambda.8) lambda.est<-mean(.poi) # estimacion MV de lambda tab.obs<-table(.poi) # tabla de frecuencias empíricas (no es vector) freq.obs<-vector() for (i in : length(tab.obs)) freq.obs[i]<-tab.obs[[i]] # vector de frecuencias empiricas freq.es<-(dpois(0:ma(.poi),lambdalambda.est)*50) # vector de frecuencias esperadas # Agrupar frecuencias que no cumplan criterio y calcular Q: Q<-sum((freq.obs-freq.es)^/freq.es) library(vcd) ajuste<-goodfit(.poi,type "poisson",method "MinChisq") # goodfit para v.a. discretas ajuste<-goodfit(.poi,type "poisson",method "ML") ajuste summary(ajuste) summary(ajuste) plot(ajuste) # V.A. continuas: categorizar la variable y aplicar chisq.test() o pchisq() o kolmogorov-smirnov.wei<-rweibull(n00,shape.,scale.) ks.test(.wei, "pweibull", shape,scale) plot(pweibull(seq(0,,0.),scale,shape),type"l",col"red", main"fde y Weibull FD") plot(ecdf(.wei),addtrue)

23 Tarea- Dado el siguiente conjunto de datos, correspondiente al número de incidentes sufridos en los cajeros automáticos de determinada red en el último año. Buscar entre las siguientes distribuciones de conteo discreto, Poisson, Geométrica (geom), Poisson Generalizada (genpoisson {VGAM}), Binomial Negativa, [Poisson-Pascal Generalizada] y Conway-Mawell-Poisson (Package compoisson ), aquella que presentaría un mejor ajuste. Representar gráficamente, mediante un histograma, las funciones de probabilidad ajustada y empírica para cada modelo. Valorar y comentar los resultados Qué distribución utilizarías? por qué? count frequency count frequency Distribución Poisson-Pascal Generalizada X~ GPP(λ, r,β). [- β( -)] f() P(X ) ep(λ( -( -β ) -[+β ] -r 0,,,..., r > -, λ,β > 0 λrβ Media μ - [+ β] Varianza σ Asimetría γ σ -r μ(+ (r +)β) (3σ r + (σ μ) - μ + r + μ 3 - -r -r -)) )