ANÁLISIS DE FUNCIONES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ANÁLISIS DE FUNCIONES"

Transcripción

1 ANÁLISIS DE FUNCIONES.- Calcula f() de manera que f () = Ln( + ) y que f(0) = 0. (nota: Ln significa logaritmo neperiano). Universidad de Andalucía Se trata de resolver la integral que hemos de hacerlo por partes. Para ello hacemos: Ln( + ) = u y dv = d La primera la derivamos y la segunda la integramos: Y, aplicando la fórmula de integración para este método, resulta: es decir, siendo donde hemos simplificado y hemos hecho la división. Sustituyendo I en la epresión (*) se obtiene: Si I(0) = 0, I = C = 0, es decir C = 0 luego la función buscada es:

2 .- Hallar la primitiva siguiente, eplicando los pasos que se efectúan y justificando el método elegido: 4 + d Universidad de Canarias En primer lugar realizamos la división. Esto se hace siempre que el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador: Hemos obtenido + + de cociente y - de resto, por tanto, Para calcular I descomponemos en fracciones simple: Y si los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán. entonces, = A + B B Haciendo =, sale = A Haciendo = 0, resulta = B, es decir B = luego Finalmente, después de sustituir I por el resultado obtenido, obtenemos como solución,

3 = t 3.- Sea F() la función definida por F( ) e dt Halla los puntos en que se anula la función F ( Universidad de Madrid e Tendremos en cuenta lo siguiente: Teorema fundamental del cálculo: Si f es una función continua en [a, b], la función es derivable y se verifica que F () = f() Si g y h son dos funciones derivables, la función es derivable y se verifica que F () = f[h()].h () - f[g()].g () (Por la regla de Barrow) En nuestro caso, luego, Y si queremos que F () = 0, ha de ser e - = 0 puesto que el primero de los factores no se anula nunca. De aquí que e =, o lo que es igual, = Encontrar las abscisas de los posibles máimos y mínimos de la función f: R R definida por f ( ) = t 0 t 4 dt + Universidad de Murcia Aplicando el teorema fundamental del cálculo, Haciendo f () = 0, se obtiene = 0, es decir, = ; =

4 Segunda derivada: Los valores que anulan la ª derivada los sustituimos en la ª derivada: Para =, luego, eiste un mínimo en =. Para =, Eiste un máimo para = 5.- Haciendo el cambio u = e e calcular: d e Zaragoza, junio, 000 Si u = e, du = e.d y entonces, Descomponiendo en fracciones simples, Si los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán, por tanto, = A(u+)+B(u-) Si u =, = B B = / Si u =, = A A = / Volviendo a la integral,

5 Y deshaciendo el cambio de variable, 6.- Siendo Ln() el logaritmo neperiano de, considera la función f: (0, + ) R definida por f() = Ln(). Calcula: f ( ) d Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (, 0) Andalucía, junio, 00 Escribiremos L en lugar de Ln() que es más cómodo. Aplicando el método de integración por partes resulta: L = u dv = d La primera la derivamos y la segunda la integramos: (.L + /. ).d = dv, es decir, (L + )d = dv ; v = Si llamamos I a la integral, es decir, Y quitando denominadores, I = L - I - 4I = L - Despejando I tenemos la integral pedida: Para cada valor de C obtenemos una primitiva. Si queremos la que pasa por el punto (, 0), damos a el valor de y a I el valor de 0 obteniendo C = /4. La primitiva buscada es, por tanto, 7.- Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola de ecuación y = y el segmento cuyos etremos son los puntos P(, ) y Q(4, ) Oviedo, junio, 000 En primer lugar hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(, ) y Q(4, ):

6 Un vector director se obtiene restando las coordenadas de ambos puntos: v = (3, 3) Tomando uno de los puntos, por ejemplo, P y aplicando la fórmula de la ecuación continua de la recta obtenemos, después de simplificar, = y + Ahora aplicamos la fórmula para calcular el área limitada por las curvas = f(y); = g(y) que se cortan en los puntos de ordenada y = a, y = b que es la siguiente: tomando el resultado en valor absoluto. En el caso que nos ocupa, si dibujamos la recta y la parábola obtenemos: Puntos de intersección de la recta = y + y la parábola = y y y = 0. Y resolviendo la ecuación obtenemos y = ; y = La función a integrar es la diferencia de los dos funciones, es decir, y y (en valor absoluto) cuyo resultado es (8/3 4) ( /3 /+) = 4,5 Tomando el resultado en valor absoluto obtenemos el área, es decir, Área = 4,5 u

7 8.- A. Enunciado de la Regla de Barrow. B. Sea f ( ) = dt y sea a,b R t Demuestra que f(a.b) = f(a).f(b) Galicia, junio, A.- Si f() es una función continua en [a, b] y G() es una primitiva de de f(), entonces B.- Resolviendo la integral dada, resulta: Como f() = L, lo que tenemos que demostrar es que L(a.b) = La+ Lb Si La = e = a Si Lb = y e y = b Multiplicando miembro a miembro, e.e y = a.b, es decir, e +y =a.b Y aplicando logaritmos neperianos, Le +y =L(a.b) + y = L(a.b) Sustituyendo e y por sus valores indicados más arriba, se obtiene La+Lb=L(a.b) 9.- Determinar una constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola y = a +, la recta y = 0 y la recta = a tiene de área (a ) Etremadura, junio, 00 Como a > 0, la parábola es abierta hacia arriba. Puntos de corte con el eje de abscisas: Para y = 0, 3a + = 0 (3a + ) = 0, es decir, = 0, = /3a

8 El recinto limitado por la parábola, la recta = a y el eje de abscisas es la zona sombreada. Como está en parte positiva la integral es el área del recinto pedido, por tanto, Resultado que hemos de igualar a (a ) a 4 + a = a 4 - a + 3a = La solución válida es la positiva. 0.- a) Definición de derivada de una función en un punto. b) Utilizando la definición de derivada, encuentra la derivada de la función 3 + f ( ) = en el punto o = 3. c) Encuentra la ecuación de la tangente a la curva 0 = y = en el punto de abscisa Murcia, septiembre, 00 a) La derivada de una función f en el punto de abscisa = a, se define como el siguiente límite, si eiste: f ( a) = lim ( + ) ( ) h f a h f a 0 b) (3 + h) 6 + h f (3) = = 6; f (3 + h) = = h + h

9 6 + h 6 f (3 + h) f (3) h 6 + h 6 6h 5h 5 = + = = = h h h( + h) h( + h) + h f (3 + h) f (3) 5 f (3) = lim = lim = 5 0 h 0 + h c) Hallamos la ordenada del punto: Para = 3, y = 6, luego el punto es P(3, 6) Pendiente de la recta tangente: es el valor de la derivada, por tanto, m = 5 Aplicamos la fórmula de la ecuación punto-pendiente: y - y 0 = m ( 0 ), donde ( 0, y 0 ) son las coordenadas del punto. La ecuación de la recta tangente queda de la siguiente forma: y 6 = 5( 3), o bien en su forma eplícita: y = Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesitan eactamente 48 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible Murcia, junio, 00 Observando los dibujos tenemos: y = y = 48, es decir, 4 + y = 3 y = 3-4 (Condición que se tiene que dar). El área de los tres campos es: A = y es decir, A = + 9 +(3-4)

10 Primera derivada: A' = +8+(3-4)(-4)= = Si igualamos la derivada a cero, = 0 = 48 Segunda derivada: A'' = 5 ; A'' (48) = 5 >0 que para = 48 eiste mínimo. Sustituyendo el valor de en y = 3-4, se obtiene y = = 44 Las dimensiones de los campos serán: 48 metros, 0 metros y 44 metros..- Se divide un alambre de 00 metros de longitud en dos segmentos de longitudes y 00-. Con el de longitud se forma un triángulo equilátero y con el otro se forma un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. a. Determinar el dominio de la función f, es decir, los valores que puede tomar. b. Con el estudio de la derivada de f obtener cuándo f es creciente y cuando es decreciente. c. Indicar razonadamente para qué valor de se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima. Comunidad Valenciana, junio, 00 a) El área del triángulo, cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido es: At = lado lado senα ; es decir, A t 3 3 =.. sen60º =. = Para el cuadrado será: A c = lado = = 4 6 La función a minimizar es, por tanto, f ( ) =

11 El dominio de la función está formado por todos los valores mayores que 0 y menores que 00, es decir, D( f) =(0, 00) b) Primera derivada: f ( ) = + = + = Si hacemos la ª derivada igual a cero, ( ) 900 = 0 = 56, (0, 56 5) (56 5, 00) f + f Puede comprobarse que en cualquier punto del intervalo (0, 56'5) la derivada es negativa, luego la función es decreciente. En el intervalo (56'5, 00) la derivada es positiva, luego la función es creciente c) En el punto = 56'5 la derivada la función pasa de decreciente a creciente, por tanto, para dicho punto, la suma de las áreas es mínima. 3. Dadas las funciones f = + ( ) ( ), = y h( ) g( ) ( ) = sen calcula los siguientes límites : a) f ( ) lim 0 h ( ) (0,75 puntos) b) f ( ) lim 0 g ( ) (0,75 puntos) f ( ) + g( ) c) lim ( punto) 0 ( h( )) Asturias, junio, 004. f ( ) ( + ) lim = lim = lim = lim = = (hemos apli- 0 h( c) 0 sen 0 sen 0 cos cado la regla de L Hôpital).. f ( ) ( + ) lim = lim = lim = lim = = g( ) ( ) 0 0

12 3. f ( ) + g( ) ( + ) + ( ) lim = lim = lim = lim = ( h( )) sen sen (Hemos tenido en cuenta que cuando 0, sen ) b 4. Calcula los valores de a y de b para que la función f ( ) = a tenga como asíntota vertical la recta = y como asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = y b = 3, la función f ( ) tiene algún mínimo relativo. Aragón, junio, 006 Para que la recta = sea una asíntota vertical se ha de verificar: b lim = a b b Entonces, lim = = a = 0 a = a a b b b Para que la recta y = 3 sea una asíntota horizontal lim = lim = = 3 b = 3 a 3 Para a = y b = 3, la función es: f ( ) = Y para que eista mínimo relativo la primera derivada se tiene que anular, por tanto, 3.( ) f ( ) = = = = 0 6 = 0 absurdo! ( ) ( ) ( ) Lo que significa que la primera derivada no se anula nunca. No eiste mínimo relativo. 5. Calcular d + Madrid, septiembre 006 Una primitiva de la función puede hallarse por el método de descomposición en fracciones. Como las raíces del denominador de la epresión son 0 y, se tendrá: +

13 A B A( + ) + B = = + = ( ) Por tanto: = A( + ) + B Si damos los valores de 0 y, se obtiene: Para = 0, = A A = Para =, = B B = d Luego = + d = d d = ln ln( + ) En consecuencia, d = ln ln( + ) = ln ln 4 ln ln 3 = + 3 = ln ln + ln 3 = ln ln + ln 3 = ln + ln 3 = ln 3 6. Sea I = d 0 + a) [,5 puntos] Epresa I aplicando el cambio de variable t = + b) [,5 puntos] Calcula el valor de I. Andalucía, junio 006 a) t d dt d + = = = Límites de integración: Para =, + = t t = 5 dt Para = 0, 0 + = t t = 3 5 t dt 5 t I = d = 0 d = dt 0 = + + t t ( t t ) I = t t dt = = = = 3 = 3 3 3

14 ( ) si 7. Sea la función real de variable real: f ( ) = 36 si > + a) Razonar si la función es continua en toda la recta real. b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real. Canarias, junio 006 a) El único punto dudoso es. En los demás puntos la función es continua. Límites laterales: lim ( ) = ( 4) = lim = = Eisten los límites laterales y estos son iguales. Además, La función es continua en toda la recta real. 36 f () = = 9 4 b) Estudiamos la derivabilidad en el punto = ya que en los demás puntos la función es derivable. f ( ) = 36 si > ( + ) ( ).( ) si f ( ) = ( 4)( 4) = 4; f ( ) = = = ( + ) 6 4 Como las derivadas laterales en = no coinciden, la función no es derivable en ese punto. 8. Determina los valores de a, b y c R para que la función 3 f ( ) = + a + b + c pase por el origen de coordenadas, tenga un punto de infleión en =, y su recta tangente en = tenga pendiente 3. CASTILLA LA MANCHA / JUNIO 06 Derivando: f ( ) = 3 + a + b f ( ) = 6 + a

15 Ahora imponemos las condiciones indicadas: Pasa por el origen de coordenadas: f (0) = 0, = c = a.0 b.0 c 0 Tiene un punto de infleión en = : La segunda derivada se anula en dicho punto. f ( ) = 0, 6.( ) + a = 0 a = 6 a = 3 La tangente en = tiene de pendiente 3: La primera derivada toma el valor 3 en dicho punto. f = + a + b = () b = 3 b = 6 Entonces, la función es: 3 f ( ) = ln(cos( )) 9. Calcular el valor de lim 0 Castilla y León, junio 006 sen( ) ln(cos( )) 0 cos( ) tg( ) 0 lim = lim lim 0 = = = = ( + tg ( )). ( + 0). = lim = =, donde hemos aplicado dos veces la regla de 0 L`Hôpital. 0. Sea f : R R la función definida por f ( ) = e ( a + b), donde a y b son números reales. a) Calcula los valores de a y b para que la función tenga un etremo relativo en el punto 3 (3, e ) b) Para los valores de a y b obtenidos, dígase qué tipo de etremo tiene la función en el punto mencionado. Cataluña, septiembre 006. a) Si la función tiene un etremo relativo en el punto 3 (3, e ) entonces,

16 º. Pasa por dicho punto, es decir, º. La primera derivada se anula para = 3: 3 e = e 3 (3 a + b) 3a + b = f ( ) = e.( a + b) + a. e ; 3 3 e a b ae a b (3 + ) + = = 0 Con las dos ecuaciones obtenidas formamos el siguiente sistema: 3a + b = 4a + b = 0 a = ; b = 4 b) Conocidos los valores de a y b la función queda de la forma siguiente: f ( ) = e ( + 4) Calculamos las derivadas primera y segunda: f ( ) = e ( + 4) + ( ). e = e ( + 3) f ( ) = e ( + 3) + ( ). e = e ( + ) Como la primera derivada se anula para =3, sustituimos dicho valor en la segunda derivada: 3 3 f (3) = e ( 3 + ) = e < 0, luego se trata de un máimo.

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

x 2 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.

x 2 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1. . [0] [SEP-B] Sea la función f definida por f() = e- para. - a) Estudia las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos

Más detalles

2. [2014] [EXT-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.

2. [2014] [EXT-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima. cos() - e + a. [04] [ET-A] Sabiendo que lim 0 sen() es finito, calcula a y el valor del límte.. [04] [ET-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima..

Más detalles

x 2 dx. 2x 2-2x-4 1. [2014] [EXT-A] Calcula x dx. (Sugerencia: integración por partes) cos 2 x 2. [2014] [EXT-B] Calcula

x 2 dx. 2x 2-2x-4 1. [2014] [EXT-A] Calcula x dx. (Sugerencia: integración por partes) cos 2 x 2. [2014] [EXT-B] Calcula . [] [ET-A] Calcula d. --. [] [ET-B] Calcula / d. (Sugerencia: integración por partes) cos. [] [JUN-A] Sean f: y g: las funciones definidas respectivamente por: f() = y g() = +. a) Esboza las gráficas

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA. Calcular las siguientes integrales definidas: b) d e d c) + d d) d e) sen d f) + d d ( ) En primer lugar se ha calculado una primitiva de f() Barrow. y después

Más detalles

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva.

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva. EJERCICIOS PARA PREPARAR EL EXAMEN GLOBAL DE ANÁLISIS ln ) Dada la función f ( ) = +, donde ln denota el logaritmo - 4 neperiano, se pide: a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas b) Calcular la recta

Más detalles

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino. Fito y los Fitipaldis

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino. Fito y los Fitipaldis MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 9--4 Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. a) Eplicar el concepto de función primitiva. b) Sea f () = e + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g () = e + 8 h

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2 Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

EJERCICIOS UNIDADES 3 y 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES

EJERCICIOS UNIDADES 3 y 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IES Padre Poveda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES y : INTEGRACIÓN DE FUNCIONES (5-M-A-) (5 puntos) Calcula el valor de a > sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y + a y la recta y es

Más detalles

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS. x + ; a = 1; b = 1. x x x. x x

EJERCICIOS RESUELTOS. x + ; a = 1; b = 1. x x x. x x B7_9 //9 : Página EJERIIOS RESUELTOS alcula las funciones primitivas, que toman el valor b cuando a, de las funciones f definidas por: f() + 7; a ; b. 7 f() + ; a ; b. F ( ) ( + 7 ) d + 7 + c omo debe

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto

Más detalles

, siendo ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x. x

, siendo ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x. x Selectividad CCNN 00. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f() = (+)e -. (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los etremos de f y los puntos de infleión de su gráfica.

Más detalles

Ejercicios de integración

Ejercicios de integración 1. Calcular las siguientes integrales: 1) ) 8) + 1 d ) + 6 6 + 1 d 5) + + 1 + 1 7) d 8) + Ejercicios de integración d ) + + 1 d 6) ( + 1) + + d + d 9) ( + + 1) ln d + 1 + + 1) d 11) d 1) + + 1 d + 1 1)

Más detalles

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3. 6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3

1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3 [4] [EXT-A] a) La derivada de la función f() es: (-) (-) Determine la función f() sabiendo que f() = b) Determine el límite: lim + ++ ++ + [4] [EXT-B] a) Dadas las funciones f() = y g() = - +, determine

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................

Más detalles

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente:

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente: INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Crecimiento de una Función en un Intervalo Tasa de Variación Media (T.V.M.) Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y f() en un intervalo

Más detalles

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Más detalles

Apellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo.

Apellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo. EXAMEN DE MATEMÁTICAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 3- II- 6 CURSO 05-6. Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4. Calcula

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS Calcula una función real f : que cumple las condiciones siguientes: f (0) = 5, f (0) =, f (0) = 0 y f () = + Como f () = +, integremos esta

Más detalles

DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3]

DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3] 1 DERIVABILIDAD 1. Definir derivada y derivadas laterales de una función en un punto. Probar que la función f es derivable en =1 y que la derivada lateral por la derecha en =0 es infinito. para [0, 1)

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/2010. Solución al primer examen parcial. x - x 3 1

UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/2010. Solución al primer examen parcial. x - x 3 1 UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/010 Solución al primer eamen parcial 1. Encuentre el conjunto de todos los números reales que satisfacen el sistema de inecuaciones - 3 4 4 0 1 1 1 Solución:

Más detalles

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x) CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones y escribir su función derivada: si < ( ) f 7 si < 7 si b) f c) f La función f(

Más detalles

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN 9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula

Más detalles

Integral definida. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Integral definida. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. Integral definida Integral definida Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x =

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

EXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:

EXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre: EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de

Más detalles

1. Calcular el dominio de f(x)= 2. Averiguar en qué valores del intervalo [0,2 ] está definida la función. 3. Calcular

1. Calcular el dominio de f(x)= 2. Averiguar en qué valores del intervalo [0,2 ] está definida la función. 3. Calcular . Calcular el dominio de f()= ln(0 ) ln. Averiguar en qué valores del intervalo [0,] está definida la función f()= 3 sen 3 3sen 3 0 lim 3 5 4 3. Calcular 4. Averiguar el valor de k para que la función

Más detalles

Tema 13 La integral definida. Aplicaciones

Tema 13 La integral definida. Aplicaciones Tema La integral definida. Aplicaciones. Integral definida. Calcula la integral. ( ) d 4 Calculamos una primitiva de la función f ( ) : G( ) ( ) d Según la regla de Barrow: 4 4 ( ) d G(4) G() 4 8 4 Ahora

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo.

tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo. Selectividad CCNN 006. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f() = -. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcula los etremos relativos

Más detalles

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2 Unidad. Derivadas Resuelve Página 0 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de flas cada décima de segundo (0, s) durante

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress. FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD . Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea

Más detalles

PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Integración por partes. Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la función y = Ln (1 + x) Calcular una primitiva de una función, es hallar su

Más detalles

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4 CÁLCULO. Curso 2003-2004. Tema 7. Derivabilidad.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones: {, si 0 (a) e, si > 0 2 +, si > 0 (b), si = 0 2. Dada la función (c) 2 si < 0 e, si > 0 2

Más detalles

DERIVADAS. es: = + = es: = +

DERIVADAS. es: = + = es: = + DERIVADAS. La derivada de la función f ( ) es: A) f ( ) f ( ) + B) f ( ) D) f ( ) ( ) f ( ). La derivada de la función f ( ) e es: A) f ( ) e f ( ) e B) f ( ) ( ) e D) f ( ) + e ( ) f e + e e e e ( ).

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x) IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna germanjss@gmailcom Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ln( + ) - a sen() + cos(3) ['5 puntos] Sabiendo que lim

Más detalles

entonces las derivadas laterales existen y son iguales. y vale lo mismo. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a)

entonces las derivadas laterales existen y son iguales. y vale lo mismo. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a) DERIVADAS. TEMA 2. BLOQUE 1 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la función y = f ( en el punto de abscisa x = a al límite f ( f ( a f ( a = lím x a x a Si existe f (a entonces

Más detalles

Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3

Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3 EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 6y 0. Represéntala gráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 6y 0

Más detalles

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad página / Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad Hoja. Calcula la derivada de f ()= +3 8 +9 +3. Encuentra tres números no negativos que sumen 4 y tales que uno sea doble de otro y la

Más detalles

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas 1º) Interpreta geométricamente el área que define la integral y obtenla. Geométricamente, la integral representa el área de la región del plano

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES Representación gráfica Monotonía Curvatura - Asíntotas 1. Dadas las funciones siguientes, 6 + 1 a) b) = c) = 1 + d) + 4 1 = e) = f) = 1 g) + 1 + 1 = h) = i) =, 1 +

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 Septiembre 01 ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos

Más detalles

Las superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2

Las superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base

Más detalles

Continuidad de las funciones. Derivadas

Continuidad de las funciones. Derivadas Matemáticas II. Curso 008/009 Continuidad de las funciones. Derivadas 1. Estudiar en x = 0 y x = la continuidad y derivabilidad de la función cos x si x 0 x f (x) = si 0 < x < sen x si x (Junio 1997) f

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS UNIDAD APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 98 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. senx. sen PROBLEMAS. 1º-Calcular las siguientes integrales definidas: E[x]dx

INTEGRAL DEFINIDA. senx. sen PROBLEMAS. 1º-Calcular las siguientes integrales definidas: E[x]dx INTEGRAL DEFINIDA. PROBLEMAS. º-Calcular las siguientes integrales definidas: π sen. ln(+ )d. d. + sen - cos -π +. d.5 -) - ( - d.6 E[]d -.7 E[] d.8 cos d - º-Calcular el área limitada por las gráficas

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES

EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES 1 er PARCIAL 1. Obtén los valores reales que cumplen las siguientes condiciones: x+ x 3 5 x 1/ =1. Opera y expresa el resultado en notación científic (5,

Más detalles

Se calcula cada término de la igualdad por separado y a continuación se iguala. Lím f. x 1

Se calcula cada término de la igualdad por separado y a continuación se iguala. Lím f. x 1 Modelo. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. Dada la unción < a ; e > se pide: a) ( punto) Determinar el valor de a para que sea continua en. b) ( punto) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico

Más detalles

RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.

RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97. RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - De una función continua f: R R se sabe que F: R R es una primitiva suya, entonces también lo es la

Más detalles

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS El estudiante, hasta este momento de sus estudios, está familiarizado con el cálculo de áreas de figuras geométricas regulares a través del uso de fórmulas, como el cuadrado,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos.

Más detalles

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 2010 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 2010 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 010 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Junio Específico 010 [ 5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide

Más detalles

F es primitiva de f ya que:

F es primitiva de f ya que: T.2: INTEGRACIÓN 2.1 Primitiva de una función. Integral Indefinida. Propiedades. Sean f y F dos funciones reales definidas en el mismo dominio. La función F es una función primitiva de f, si F tiene por

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio

Más detalles

EXAMEN FINAL Junio 2009

EXAMEN FINAL Junio 2009 EXAMEN FINAL Junio 009 ÁLGEBRA. Resuelve las inecuaciones a 9 b. Resuelve las ecuaciones: log log a b 9 0 7 0 log. Resuelve las ecuaciones: a b. Resuelve los sistemas de inecuaciones: 8 0 > 0 a b y. a

Más detalles

Ejercicios resueltos. 4 continua en R luego continua en cualquier. , [ 1,1] = 0 que equivale a decir 1,1

Ejercicios resueltos. 4 continua en R luego continua en cualquier. , [ 1,1] = 0 que equivale a decir 1,1 Teoremas de continuidad y derivabilidad Ejercicios resueltos.- Demostrar que la siguiente ecuación tiene una solución en el intervalo, : 4 º. Se considera la función 4 continua en R luego continua en cualquier

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Lugares geométricos y cónicas

Lugares geométricos y cónicas Lugares geométricos y cónicas E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Lugar geométrico página 6.. Definición página 6. Circunferencia página 6.. Ecuación página 6.. Casos particulares página 67. Elipse página

Más detalles

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2) Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 8. Introducción a la integración INTEGRAL INDEFINIDA

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 8. Introducción a la integración INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL INDEFINIDA CONCEPTOS BÁSICOS: PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA El cálculo de integrales indefinidas de una función es un proceso inverso del cálculo de derivadas ya que se trata de encontrar una

Más detalles

6 si x -4 (x+2) 2 si -4 < x -1 4 si x > x+1 si 0 x 1 x si 1 < x < 3 6-x si 3 x 4

6 si x -4 (x+2) 2 si -4 < x -1 4 si x > x+1 si 0 x 1 x si 1 < x < 3 6-x si 3 x 4 . Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y = 2-2 +2 2. y = 2-2 2 +2. y = 2 -ln +e 4. y = 2 e 2 5. y = e 6. y = 2 ln 2 7. y = 2-8. y = e. y = 2 + 4. y = ln 2-5. y = 2 2 2 6. y = 2-9. y = e 2

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES REALES

DERIVADA DE FUNCIONES REALES . Recta tangente a una curva DERIVADA DE FUNCIONES REALES Consideremos la curva y = f() correspondiente a una función continua y en ella dos puntos distintos P( ; y ) y Q( ; y ). PQ es una recta secante

Más detalles

Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso Exámenes

Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso Exámenes Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso 0-03. Exámenes LÍMITES Y CONTINUIDAD o F. Límites y continuidad o F Ejercicio. Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones: f(x) = 4 x h(x)

Más detalles

Eje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y)

Eje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y) Estudio de funciones y su representación gráfica. TIPO I. Funciones Polinómicas. Ejemplo: y 4 1º. Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. En

Más detalles

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas

Más detalles

Representaciones gráficas

Representaciones gráficas 1 MAJ99 Representaciones gráficas 1. Se considera la función 3 f ( ) 1 60 3 (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente.

Más detalles