ANÁLISIS SECCIONAL Introducción. Diagramas momentocurvatura

Transcripción

1 Introduión. Diagramas momentourvatura ETSI Caminos, C. y P. Universidade da Coruña HORMIGÓN N ARMADO Y PRETENSADO

2 1. Definiiones y nomenlatura Funionamiento habitual de una viga biapoyada: Traiones en fibra inferior Compresiones en fibra superior R (radio de urvatura) R P Compresiones δ Traiones

3 1. Definiiones y nomenlatura Compresión R (radio de urvatura) P Fibra neutra Traión Fleha, δ

4 1. Definiiones y nomenlatura A ' s r r A s Armadura traionada A s Armadura omprimida d x d' dg h b Canto Anho h A s d x Canto útil Prof. de la fibra neutra b r r r Reubrimiento

5 1. Hormigón: urva tensión-deformaión Deformaión de plastifiaión ε ε 0 = 0.002, f 50 MPa ( f ) = , f > 50 MPa k k k Deformaión de rotura a flexión simple ε u = , f 50 MPa 100 fk ε = , fk > 50 MPa k

6 1. Aero: urva tensión-deformaión Deformaión de plastifiaión (según tipo de aero) Deformaión de rotura a flexión simple ε max = (exepionalmente, para SD, ε max = 0.020)

7 2. Comportamiento bajo arga reiente En el trabajo de una viga bajo flexión se observa un doble trabajo: La deformaión (δ) de la viga bajo la arga P reiente: análisis P/ δ Las progresivas urvatura ( = 1/r) y deformaión (ε) de ada seión bajo el momento reiente M: análisis M/

8 2. Comportamiento bajo arga reiente FASE I: Hormigón no fisurado Comportamiento lineal FASE II: Hormigón fisurado El hormigón se mantiene lineal en ompresión Comportamiento lineal on menor rigidez FASE III: Hormigón plastifiado Fase de prerrotura Aaba uando el aero, el hormigón o ambos alanzan su deformaión de rotura 0 M fis M II M u Aumento del momento en la seión NO FIS. FIS. PRE-ROTURA

9 2. Diagrama P-δ P I II III δ

10 2. Diagramas P-δ y M- Diagramas P-δ (arga/fleha) Análisis del omportamiento de una viga bajo una arga que se inrementa Diagramas M- (momento/urvatura) Análisis del omportamiento de una seión 2 1 d y M = = 2 r dx EI M es funión de P δ es funión de existe analogía entre las urvas P-δ y M- δ

11 2. Análisis tensodeformaional de la seión 1. COMPATIBILIDAD Las seiones planas permaneen planas tras la deformaión (hipótesis de Navier) 2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 3. EQUILIBRIO Las aiones internas deben equilibrar las aiones externas

12 2. Análisis tensodeformaional de la seión 1. COMPATIBILIDAD Las seiones planas permaneen planas tras la deformaión (hipótesis de Navier) 2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 3. EQUILIBRIO Las aiones internas deben equilibrar las aiones externas

13 2. Análisis tensodeformaional de la seión 1. COMPATIBILIDAD Las seiones planas permaneen planas tras la deformaión (hipótesis de Navier) 2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 3. EQUILIBRIO Las aiones internas deben equilibrar las aiones externas

14 2. Análisis tensodeformaional de la seión 1. COMPATIBILIDAD Las seiones planas permaneen planas tras la deformaión (hipótesis de Navier) 2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 3. EQUILIBRIO Las aiones internas deben equilibrar las aiones externas

15 2. Análisis de la urva M- Caraterizaión del omportamiento de la seión a través de momentos representativos M fis M II Momento de fisuraión Final fase II (plastifiaión del hormigón) M u M II M fis M u Rotura (momento último) I II III

16 2. Fase I: hormigón no fisurado Comportamiento elástio-lineal de la seión δ 1 2 d y M r 2 dx EI = = ( ) 1 Aaba uando la fibra inferior alanza su resistenia a traión f t : M = M fis (momento de fisuraión)

17 2. Fase II: hormigón fisurado Comportamiento uasielástio de la seión = M ( EI ) 2 Se despreia la aportaión de rigidez del hormigón fisurado Aaba uando el hormigón plastifia: M = M II

18 2. Fase III: hormigón plastifiado Comportamiento no lineal de la seión Rotura dútil Rotura frágil Aaba uando uno de los materiales rompe: M = M u

19 2. Fase I: Momento de fisuraión ε σ h d x α σ = E ε ε t σ t b M fis = I f v ' t Seión retangular: M = fis 2 bh ft 6

20 2. Fase I: Rigidez ε σ h d x α σ = E ε b ε t σ t Seión bruta: M = EI Seión homogeneizada: M b = EI h M = K 1

21 2. Fase I: Hormigón no fisurado. Tensiones σ C=0.5σ (b 0.5h) 1/2 h=x 2/3 h M b 1/2 h σ t Diagrama tensiones T=0.5σ s (b 0.5 h) C=T ; σ = σ t M = 0.5 σ (b 0.5h) (2/3 h) =1/6 σ b h 2 σ = σ t = 6 M/(b h 2 ) ó σ = σ t = M y/i g donde y = 0.5 h I g = b h 3 /12 Cuando σ t = f r, omienza a fisurar la seión Momento de fisuraión, M fis = f t I g /(0.5 h) = (f t b h 2 )/6

22 2. Fase I: Hormigón no fisurado. Deformaiones y urvatura Zona omprimida ε σ h d α x σ = E ε M b Zona traionada ε t σ t Deformaiones Tensiones Curvatura = = α ~ tg α = ε /x = (σ /E)/x = σ /(0.5 h E) σ =0.5 h E M = 1/6 σ b h 2 = (1/12 b h 3 ) E = E I = K 1 K 1 = rigidez en FASE 1 Relaión lineal entre Momento y urvatura Para M = M fis = fis

23 2. Fase I: seión homogeneizada Coefiiente de equivalenia: n = E s /E Se sustituye el área de aero A s por área de hormigón na s A s na s DESCONTAR LOS HUECOS QUE EL ACERO DEJA EN EL HORMIGÓN A s E s na s E Ejeriio: alular área y momento de ineria homogeneizados para seión retangular de anto h, anho b, anto útil d y seión de aero A s

24 2. Fase II: Hormigón omprimido (rango elástio), hormigón traionado fisurado Zona omprimida deformaiones ε < tensiones M > M fis ε < 0.002; σ < f ε s < ε y ; σ s < f y h d M b Zona traión fisurada f y ε s = σ s /E s < ε y F s = σ s A s f Diagrama del aero E s ε εy s Diagrama simplifiado del hormigón a ompresión (bilineal) ε

25 2. Fase II: análisis de la seión fisurada x ε < x/3 σ < f C h d z b ε ε = σ /E < ε s s s y ε 1 s = C = σ 2 x d x SE DESPRECIA LA APORTACIÓN DEL HORMIGÓN FISURADO σ t T = Aσ s s T bx

26 2. Fase II: análisis tensional Resultantes de fuerzas: 1 C = σ bx 2 T = Aσ s s Momento en torno a armadura: 1 x M = Cz = σ bx d 2 3 Mom. en torno a dg de ompresiones: x M = T z = Asσ s d 3 Compatibilidad de deformaiones: ε ε s = = x d x Euaiones onstitutivas: σ = ε E ; σ = ε E ; n= E / E s s s s n σ σ s n σ ( d x) = σ s = x d x x A s n σ ( d x) 1 = σ b x x 2 A ( d x) = na s bd x = b + na s As x 2 ρ = = n ρ 1 1 bd d + nρ s b x 2n 2

27 2. Fase II: análisis tensional x d 2 = n ρ 1+ 1 nρ La profundidad x no depende del momento Si el aero y el hormigón omprimido se omportan linealmente, la posiión de x no ambia La altura de fisura no varía durante la Fase II

28 2. Fase II: rigidez respeto del aero Relaión entre tensión del aero y urvatura: ε s 1 σ s 1 T = = = d x d x E d x A E Sustituyendo T = M/z, s s s x M = T z = T d = 3 1 M d x x AE s s d 3 Relaión entre momento y urvatura: x M = ( d x) As Es d 3 K = E A d x d ( ) 2 s s x 3 RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIÓN

29 2. Fase II: rigidez respeto del hormigón Relaión entre ompresión del hormigón y urvatura: ε 1σ 1 2C = = = x x E x bxe Sustituyendo M = C/z, ε 1 2C 1 2M = = = x x bxe x x bx d E 3 Relaión entre momento y urvatura: b x = M x d E 2 bx x K2 = E d 2 3 RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIÓN

30 2. Fase II: momento M II La Fase II finaliza uando uno de los materiales plastifia: Hormigón: Aero: b 2 x εplas, b x ε = ε, plas MII = x d E = ε, plas E x d 2 3 x b 2 x ε y b x x εs = εy MII = x d E = εy E d 2 3 d x 2 d x 3 ( ) 2 min b x, ; b x x MII = ε plas E x d εy E d ( d x) 3

31 2. Fase III: Hormigón omprimido en rango no elástio: Prerrotura Zona omprimida deformaiones ε < tensiones M >> M fis ε < ; σ = f ε s > ε y ; σ s = f y h d M F s = σ s A s b Zona traión fisurada ε s < 0.01 f y f Tensiones ompresión E s ε ε s Diagrama del aero Diagrama real del hormigón a ompresión

32 2. Fase III: prerrotura ε < σ = f C h d z x b ε < s σ t T

33 2. Fase III: aero plastifiado Si está plastifiado el aero, éste no puede aportar más arga (T = A s f y ) El momento sólo se puede inrementar aumentando el brazo de palana z Para onseguir el equilibrio de fuerzas debe reer la urvatura para que el hormigón trabaje más (reduiendo la profundidad) Se produe un leve inremento de arga y la urvatura reerá en funión de la situaión deformaional de los dos materiales

34 2. Fase III: hormigón plastifiado Si ha plastifiado el hormigón, el agotamiento está erano: sólo queda el 1.5 de deformaión Es posible alanzar la rotura on un leve aumento de la arga sin que ni siquiera el aero haya plastifiado situaión de rotura frágil Esta ondiión orresponde a un menor aprovehamiento de materiales, motivado por ondiionantes geométrios

35 2. Fase III: resumen

36 2. Influenia de la armadura omprimida Fase I: se tiene en uenta en la ineria homogeneizada Fase II: los equilibrios de fuerzas y momentos son ahora 1 C = σ bx+ A σ 2 s s T = Asσ s 1 x M = σbx d + A sσ s d d 2 3 ( )

37 2. Influenia de la armadura omprimida x d' ε < ε ' s x/3 σ < f A s' σ s' C h d z b ε = σ /E < ε s s s y T ε εs εs' nσ σs σs' = = = = x d x x d x d x x d

38 2. Influenia de la armadura omprimida Profundidad de la fibra neutra: ( s + ') s ( s + ' s' ) b n( A + A ') 2 n A A b d A d A x = s s x d Rigidez fisurada: + ρs' ( d'/ d) ( ρ + ρ ') 2 ρ s = n( ρs + ρs' ) n s s As ρ = bd A s ρ = bd b x K E x d E A x d d d = + s s'( ') ( ')

39 2. Influenia de la armadura omprimida Inremento de dutilidad de la seión para armados a traión superrítios Mejora el funionamiento de seiones de hormigón armado on antos reduidos (uantías de armadura elevadas) Caso límite: armadura simétria, habitual en elementos que pueden sufrir momentos de signos opuestos

40 Ejemplo: M/ en fases 1 y 2 Datos EJEMPLO SECCIÓN anto h 500 mm anho b 300 mm As mm^2 redondos 3 redondos diámetro 25 mm re (dg) 50 mm As mm^2 redondos 6 redondos diámetro 25 mm re (dg) 50 mm A s2 = A s = área de armadura omprimida reubrimiento anto util d 450 = h - d b = anho x = profundidad hasta F.N. d = anto útil h = anto A s1 = A s = área de armadura traionada

41 Ejemplo: M/ en fases 1 y 2 Datos MATERIALES n = Es/E HORMIGÓN f 35 MPa ft MPa = ft,k=0,21 (fk) 2/3 E MPa = Ej = (fm,j) 1/3 e eu diagrama lineal lineal 1 parabólio 0 tens horm def h. omp ACERO fy 500 MPa Es MPa ey = fy/es esu 0.01 tens aero def a. tra

42 Ejemplo: M/ en fases 1 y 2 Fase 1: Seión bruta Ineria mm^ m^4 bh 3 /12 rigidez EI (K1) E+13 N mm^2 Mfis N mm kn m = ft Ib/(0.5 h) = (ft b h 2 )/6 1fis E-07 mm km-1 = Mfis/K1 e1fis E-05 = 1fis h/2 es1fis E-05 = 1fis (d-h/2)

43 Ejemplo: M/ en fases 1 y 2 Fase 1:Seión homogeneizada dg hom (desde fibra inferior) mm x mm I hom mm^ m^4 Ih rigidez E Ih (K1) E+14 N mm^2 Mfis N mm kn m = ft Ih/x 1fis E-07 mm km-1 e1fis E-05 = 1fis x es1fis E-05 = 1fis (d-x) M (kn m) urv (km-1)

44 Ejemplo: M/ en fases 1 y 2 Fase 2: Sin intervenión de As2 n A x mm s b d x = b n As x rigidez K E+13 N mm^2 K = ( ) 2 d x As Es d 3 b x M2 según horm N mm ε,plas E x d 2 3 M2 según aero N mm 2 b x x ε y E d 2 (d x) 3 M2 (min ant.) N mm kn m Plastifia el aero E-06 mm km-1 = M2 / K2 2 fis E-07 mm km-1 = Mfis / K2 e = 2 x2 es = 2 (d - x2)

45 Ejemplo: M/ en fases 1 y 2 Fase 2: Con intervenión de As2 x mm ' ' n (A s + As) b (d As + d' As ) x = b, 2 n (As + As ) rigidez K E+13 N mm^2 b 2 x ' K 2 = E x d + (x d') Es As (d d' ) 2 3 M2 según horm N mm = k2 0,002 / x2 M2 según aero N mm = K2 εy / (d x2) M2 (min ant.) N mm kn m Plastifia el aero E-06 mm km-1 = M2 / K2 2 fis E-07 mm km-1 = Mfis / K2 e = 2 x2 es = 2 (d x2)

46 Ejemplo: M/ en fases 1 y 2 Fase 2: Gráfios tens horm def h. omp tens aero def a. tra M (kn m) urv (km-1)

47 Ejemplo: M/ en fase 3 (aso similar) M t0 6t2 6t4 6t

48 Influenia de diversos fatores Momento knm MPa 254 mm 414 MPa 508 mm 457 mm 27 2φ Curvatura 1/km

49 AN ANÁLISIS SECCIONAL LISIS SECCIONAL Introdui Introduión. Diagramas Diagramas M- Influenia del axil Fase II + = = = = A N f x I M M A E N I E M t fis I ε ε N M M N ( ) = + = x d x b y d N M A x b N G s s σ σ σ Fase I x y K II ya no son tes Fase III N tiende a agotar el hormigón omprimido antes Fragilizaión Se pueden alanzar valores de M mayores si hay poo aero

50 Influenia del axil EJEMPLO1 Momento - Curvatura Mk [kn m] As1=6φ25 ; As2=0φ25 EJEMPLO1 Momento - Curvatura Mk [kn m] As1=6φ25 ; As2=0φ /r [km-1] Nk= 0.0 Nk= Nk= Nk= Nk= /r [km-1] 12 EJEMPLO1 Momento - Curvatura Mk [kn m] EJEMPLO1 Momento - Curvatura As1=6φ25 ; As2=4φ /r [km-1] Mk [kn m] As1=6φ25 ; As2=4φ /r [km-1] Nk= 0.0 Nk= Nk= Nk= Nk=