Cambio entre Sistemas de Referencia

Transcripción

1 Cambo enre Ssemas de Referenca José Corés Parejo. Enero 008. Cambo de Base en E Sean Β { } y { v v v } Β bases de Ε y sea pede expresarse en ambas Bases: w Ε n vecor calqera qe w + + w v + v + v con R Cada vecor v de la ª Base es na combnacón lneal de v + + v + + v + + : qe pede escrbrse en forma marcal s se conocen las coordenadas de como: v v v o ben: V donde en las marces U y V esán por colmnas las coordenadas de los vecores La marz R se denomna marz del Cambo de Base de Β a Β. S se sponen conocdas las coordenadas de w en la Base Β es decr en la Base canónca U R () : y v. w v + v + v v v v R y por ora pare: Por ano: w + + R ()

2 . Cambo enre Bases Oronormales S Β y respecvas Bases expresados en la Base canónca son orogonales: Β son Bases oronormales las marces U y V qe enen por colmnas a los vecores de las U U V V Enonces de () : V U R se ene: R U V () y de aqí: v v v R U V v v v v v v (4) v v v expresón qe mesra qe R pede obenerse a ravés de los prodcos escalares de cada vecor de la ª Base con cada no de la ª y dado qe odos los vecores enen norma : v v cos cos j j j j de forma qe en ocasones pede calclarse la marz del cambo de base R s se conocen los ánglos de gro de cada vecor de na Base con cada no de la ora anqe no se conozcan las expresones de los propos vecores de Β y Β.. Transformacón enre Bases Oronormales En ocasones no se conoce la expresón de las Bases en la canónca n ampoco la marz del cambo de Base R al qe V U M. Por el conraro sólo se ene la expresón de los vecores en la Base canónca de na de éllas dgamos Β (es decr se conoce la marz U ) y na marz de ransformacón M al qe: v M v M v M Eso es la ª Base se defne ndcando cómo se ransforma ndvdalmene cada vecor de la ª. Esas relacones peden expresarse marcalmene como: v v v M o ben: V M U (5) El conocmeno de la marz M qe es rvalmene orogonal perme desde lego obener los vecores de la Base Β expresados en la Base canónca. Evdenemene M esá relaconada con la marz del cambo de Base R de () : M URU VRV (6) O ambén: R U MU V MV (7)

3 . Cambo enre Ssemas de Referenca Consderemos n Ssema de referenca R { Q [ w w w ] } 0 donde 0 y w w w los vecores de la Base asocada qe spondremos oronormal. Dado n pno Q R del vecor w Q Q0 en la Base { w w w }. Q es s orgen de coordenadas ss coordenadas en el Ssema de referenca son por defncón las coordenadas Consderemos ahora Ssemas de referenca R { Q [ ] } y R { Q [ v v v ] } Bases asocadas oronormales y sea Q R n pno arbraro. con El pno Q endrá nas coordenadas en el er S.R. y oras en el º S.R.: Q Q + + Q Q v + v + v El problema qe nos planeamos es smlar al de cambo de Base: Obener. Q Q Para ello expresamos el vecor por ejemplo en ambas Bases: en fncón de Q Q U Q Q Q Q + Q Q v v v + Q Q V + Q Q ( ) ( ) ( ) ( ) De aqí galando ambas expresones: U V + Q Q ( )

4 de donde podemos despejar los en fncón de los : U V + U Q Q ( ) Tenendo en cena qe por () R U V (marz del cambo de Base): R + U Q Q ( ) (8) Nóese qe para poder lzar esas ecacones es necesaro conocer la marz U qe ene por colmnas los vecores de la Base Β expresados en la Base canónca y la marz R del cambo de Base Β a Β. Fala especfcar cómo venen expresados los pnos Q y Q qe en (8) se sponen en el Ssema de Referenca Unversal (S.R.U.). Spondremos como sele ser lo habal qe Q es conocdo en el S.R.U.; es decr se conocen las coordenadas del vecor Q (000) en la Base canónca. Con frecenca sn embargo Q no se conoce en el S.R.U. sno qe se defne en relacón al prmer Ssema de referenca: Q Q + + (9) Es decr lo qe se conoce son las coordenadas del pno Q en el prmer S.R. En ese caso: Q Q U de donde el º érmno en (8) es: ( ) y la expresón (8) qeda: U Q Q U U R + (0) Expresón my económca en el sendo de qe no reqere en absolo conocer los vecores de las Bases nvolcradas n los pnos orgen de los respecvos S.R. sno qe basa con conocer la marz R del cambo de Base y las coordenadas del orgen del º S.R. en el prmero de ellos.

5 Nóese qe al aparecer na Traslacón en las ecacones del cambo enre Ssemas de Referenca (0) podemos escrbr dchas ecacones lzando coordenadas homogéneas: R () con lo cal el cambo de coordenadas se realza medane na únca mlplcacón marcal... Cambo al Ssema de Referenca Unversal Ese es n caso parclar neresane pes se presena con frecenca. S no de los S.R. es el Unversal por ejemplo R { (0 0 0) [ e e e] } sendo vecores de la Base canónca enonces por () : R U V donde U e e e I R V v v v. por lo qe e e e los y Q ( q q q ) S R { Q [ v v v ] } ransformacón de coordenadas es: x y z con coordenadas expresadas en el S.R.U. enonces la qx v v v q y q z O ben llamando (0) p y p se ene: p (0) V Q p () qe relacona las coordenadas de n pno en el S.R.U. (0) p en fncón de ss coordenadas p en oro Ssema de Referenca sendo V la marz cyas colmnas son los vecores del S.R. y Q s orgen odos expresados en la Base canónca.

6 . Ssemas de Referenca encadenados Consderemos na scesón de S.R. Denoaremos por R0 R R... R n donde R { Q e e e }. Q ( ) a las coordenadas de n pno Q en el S. R. Dados dos S.R. consecvos R - R nos proponemos como en la seccón aneror obener las R coordenadas de n pno Q en el S.R. - speso se conocen esas coordenadas en el sgene S.R. R. Como anes se spondrá conocda la marz del cambo de Base R al qe: R. e e e e e e R () y asmsmo ambén serán conocdas las coordenadas del orgen Q en el S.R. R - : Q Q q e q e q e + + (4) Con esa noacón podemos escrbr las ecacones () del cambo de coordenadas: q R q T q (5) Análogamene las coordenadas de n pno Q en el S.R. R - en fncón de ss coordenadas en el S.R. R serán: - T T T y aplcando scesvamene esas ransformacones podemos llegar hasa el S.R. R 0 : T 0 T T... T T (6) ecacones qe proporconan las coordenadas del pnoq en el S. R. ncal en fncón de ss coordenadas en el S.R R y de las marces de ransformacón de cada S.R al aneror.

7 4. Roacón de la ª Base Dadas Bases Β y Β la segnda pede sempre consderarse na roacón de la prmera alrededor de algún eje apropado. Sn embargo no es sal qe se especfqe explícamene ese eje sno qe normalmene los vecores de la ª Base se defnrán medane aplcacón scesva de roacones elemenales qe se realzan con respeco a ejes qe enen por dreccón a algno de los o con respeco a algno de esos ejes ya ransformado por na roacón elemenal preva. 4. Roacón alrededor de n vecor de la ª Base Para roar n vecor w n ánglo alrededor de n vecor concreo descomponerse en pasos (qe se explcan con dealle más abajo): de la Base Β el proceso pede - Aplcar a w na ransformacón de roacón T al qe ndrecamene ransforme correspondene vecor de la Base canónca). De esa forma el nevo eje de roacón es e. - Realzar a connacón sobre Tw la roacón plana R ( ) de ánglo alrededor del eje e. - Aplcar a R ( ) ( Tw ) la nversa de la roacón T qe develve el eje La ransformacón complea es enonces: w ( T R ( ) T ) Nóese qe en prncpo basa con qe la marz T ransforme e para despés en el º paso aplcar la correspondene roacón plana R ( ) j es na Base oronormal facla la expresón de T. qe { } Desarrollemos enonces los pasos descros: w e a en e (el es decr T. en calqer vecor de la Base canónca j. Sn embargo el conocer - Sea T Se ene: T e - La marz R ( ) es na roacón plana alrededor del eje e : 0 0 R ( ) 0 cos sen 0 sen cos cos 0 sen R ( ) 0 0 sen 0 cos cos sen 0 R ( ) sen cos T - La úlma ransformacón es por la marz. Por ano la ransformacón complea es: w ( T R ( ) T ) w R ( ) w (7)

8 4. Roacones scesvas alrededor de vecores de la ª Base Uno de los procedmenos ípcos de defnr la ª Base Β a parr de la prmera Β consse en aplcar scesvamene a los vecores de Β roacones alrededor de de ss propos vecores qe se consderan fjos drane el proceso. Esas roacones no enen por qé esar dadas en el orden n enen por qé ser alrededor de los ejes. Por ejemplo na secenca válda podría ser: roacón alrededor de segda de roacón alrededor de y fnalmene roacón de nevo alrededor de. Llamando { () () () } a los vecores obendos ras la prmera roacón { () () () } reslanes de la ª roacón y { () () () } a los a los correspondenes a la ª roacón enonces se oman esos úlmos vecores como los consyenes de la neva Base Β. El proceso deallado es: alrededor de (fjo) n ánglo Ssyendo en (7) el vecor w respecvamene por : Roacón : Roacón de { } R ( ) R ( ) () () () Roacón : Roacón de { () () () } alrededor de j (fjo) n ánglo () () () Ssyendo en (7) el vecor w respecvamene por : R () () () () () () j( ) Ssyendo ahora la expresón de () () () obenda en la Roacón : R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) () () () j j alrededor de k () () () Ssyendo en (7) el vecor w respecvamene por : Roacón : Roacón de { () () () } (fjo) n ánglo R () () () () () () k( ) Ssyendo ahora la expresón de () () () obenda en la Roacón :

9 R ( ) R ( ) R ( ) () () () k j Rk ( ) Rj( ) R ( ) Llamando fnalmene () () () v v v enemos ya los vecores de la base Β : v v v Rk ( ) Rj( ) R ( ) (8) R R ( ) R ( ) R ( ) Y naralmene la marz del cambo de Base es: k j 4. Roacones scesvas alrededor de los vecores ransformados Oro de los procedmenos sales para defnr la ª Base Β a parr de la ª Β consse en aplcar na prmera roacón a los vecores de Β alrededor de no de ss vecores (fjo) para obener vecores { () () () }. Ese paso es análogo al prmero del procedmeno aneror. La segnda roacón sn embargo se realza respeco a no de los vecores ya ransformados dgamos para obener los vecores { () () () } () vecores k ransformados por la ª roacón reslando en los vecores { () () () } la ª Base Β. El proceso deallado es: Roacón : Roacón de { } () j. Fnalmene la ª roacón se efecúa alrededor de no de los alrededor de (fjo) n ánglo. Ese paso es dénco al prmero de la seccón aneror por lo qe: () () () R ( ) alrededor de Roacón : Roacón de { () () () } () j (fjo) n ánglo qe son los de Ahora la roacón es alrededor de no de los vecores de la propa Base por lo qe hay qe sar na expresón smlar a (7) : () () () () () w Rj( ) () w Ssyendo el vecor w respecvamene por : () () ()

10 () () () () () () () () () () () () () () j j () R ( ) R ( ) () () () Y expresando en fncón de según la ª roacón: () () () R ( ) Rj( ) alrededor de Roacón : Roacón de { () () () } Es smlar a la ª roacón lzando na expresón smlar a (7) : () k (fjo) n ánglo () () () () () w Rk ( ) () w ssyendo el vecor w respecvamene por : () () () () () () () () () () () () () () () () () k k () R ( ) R ( ) Sólo resa expresar en fncón de según la ª roacón: () () () () () () R ( ) Rj( ) Rk ( ) Llamando fnalmene () () () v v v enemos ya los vecores de la base Β : v v v R ( ) Rj( ) Rk ( ) (9) R R ( ) R ( ) R ( ) Y la marz del cambo de Base es: j k Comparando esa expresón con (8) observamos qe sólo se dferencan en el orden en el qe se aplcan las roacones planas: - S las roacones se realzan sempre con respeco a los vecores de la ª Base enonces las roacones planas se van premlplcando a las anerormene hechas. - S las roacones se realzan respeco a vecores ya ransformados enonces las roacones planas se van posmlplcando a las anerormene hechas.

11 4.4 Represenacón medane ánglos de Eler Calqera de los procedmenos vsos en las dos seccones anerores se denomna na represenacón medane ánglos de Eler de la roacón qe ransforma la Base Β en Β. Sn embargo exsen algnas combnacones especales de las secencas de roacones báscas qe son my lzadas y qe descrbremos brevemene: 4.4. Movmeno groscópco (Anglos de Eler ZXZ) Es n ssema de represenacón de la orenacón asocado al movmeno de n gróscopo. La secenca es del po de la vsa en la seccón 4. : - Roacón de { } alrededor de. la Base nermeda { () () () } alrededor de - Roacón de { () () () } la ª Base nermeda { () () () }. - Roacón de { () () () } alrededor de obenendo fnalmene la Base { } { v v v } n ánglo φ qe sele denomnarse precesón para obener () n ánglo θ qe se denomna nacón para obener () n ánglo ψ llamado ánglo de roacón propa Β. La denomnacón ánglos de Eler ZXZ se debe a la secenca er eje er eje er eje. Por ano la expresón de la ransformacón es: v v v R( φ ) R ( θ ) R( ψ ) 4.4. Ssema Roll Pch Yaw (Anglos de Eler RPY) Ese ssema se emplea comnmene en aeronáca para descrbr la orenacón de n ssema oronormal lgado a n objeo móvl (la Base Β ) con respeco a oro ssema oronormal fjo ( La Base Β ). La secenca es del po de la vsa en la seccón 4. : - Roacón de { } alrededor de n ánglo ψ. gñada) para obener la Base nermeda { () () () } qe se denomna en ngles Yaw (desvacón o - Roacón de { () () () } alrededor de para obener la ª Base nermeda { () () () } n ánglo θ. qe se llama Pch (elevacón o cabeceo) - Roacón de { () () () } alrededor de fnalmene la Base { } { () () () v v v } Β. n ánglo φ qe es el Roll (gro o alabeo) obenendo v v v R ( ) R ( ) R ( ) La ransformacón combnada ene por expresón: φ θ ψ