UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

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1 UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TORSION UTILIZANDO MDSOLIDS MONOGRAFIA Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA PRESENTA: ORSI MANUEL MOLINA JIMENEZ DIRECTOR DE MONOGRAFIA: ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ XALAPA, VER. SEPTIEMBRE 2011

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3 Índice Introducción... 1 Torsión... 3 MDSolids Problemas de torsión aplicando MdSolids Comentarios finales Bibliografía... 72

4 Introducción Introducción La mecánica de materiales es un tema básico en muchos campos de la ingeniería, su objetivo principal es determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y en sus componentes, debido a las cargas que actúan sobre ellos. En el nivel universitario, particularmente en el caso específico del programa educativo en Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana, la mecánica de materiales se enseña prácticamente al inicio de los estudios de licenciatura, ya que como se ha dicho antes es un tema básico y necesario para los alumnos de las diversas áreas de la ingeniería. Es importante tomar en cuenta que como en todos los cursos de mecánica, la solución de problemas es parte importante del proceso de aprendizaje. Por tanto, al abordar la mecánica de materiales el alumno deberá estar conciente de que sus estudios se dividirán en forma natural en dos partes: primero, comprender el desarrollo lógico de los conceptos, y segundo, aplicar esos conceptos a situaciones prácticas. Lo primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos, y la segunda parte se logra resolviendo los problemas propuestos. Los problemas que se trabajan en el curso pueden ser de carácter numérico o de carácter simbólico (algebraico). En los problemas numéricos las magnitudes de todas las cantidades son evidentes en cada etapa de los cálculos y se requiere trabajar con unidades específicas de medida (sistemas de unidades). Por su parte, los problemas simbólicos tienen la ventaja de que conducen a expresiones Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 1

5 Introducción matemáticas de aplicación general; una solución algebraica muestra la forma en la que cada variable afecta los resultados. El objetivo del presente trabajo es aportar un instrumento que apoye el proceso de aprendizaje en lo que respecta a la resolución de problemas mediante la utilización de un software educativo para estudiantes que toman los cursos del área de la mecánica de materiales, llamado MDSolids. El software dispone de módulos didácticos para el análisis de diversos tópicos de la mecánica de materiales, sin embargo, dentro de los alcances de este trabajo se hará uso del MDSolids aplicándolo únicamente en la resolución de problemas de Torsión, tema que se estudia como parte del programa de la experiencia educativa Fundamentos de Mecánica de Materiales del programa educativo en Ingeniería Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 2

6 Capítulo 1 Torsión Capítulo 1 Torsión La torsión se refiere a la deformación de una barra recta al ser cargada por momentos (o pares de torsión) que tienden a producir una rotación alrededor del eje longitudinal de la barra. Algunos ejemplos de elementos en torsión: El vástago de un desarmador Ejes de impulsión en automóviles Ejes de transmisión Ejes de hélices Barras de dirección Taladros Fig Torsión de un destornillador aplicando un par T a la manija. En la figura 1.2 se presenta un caso idealizado de carga torsional, que muestra una barra recta soportada en un extremo y cargada por dos pares de fuerzas iguales y opuestas. Cada par de fuerzas forma un par que tiende a torcer la barra respecto a su eje longitudinal. Fig Barra sometida a torsión por los pares T1 y T2.. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 3

7 Capítulo 1 Torsión El momento de un par es igual al producto de una de las fuerzas multiplicada por la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas. En la figura 1.3 (b), se representan cada uno de los momentos de los pares por un vector en forma de una flecha de cabeza doble. La flecha es perpendicular al plano que contiene el par y, por lo tanto, en este caso, ambas flechas son paralelas al eje de la barra. La dirección (o sentido) del momento se indica por la regla de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha se arquean en el sentido del momento, el pulgar señalará el sentido del vector Otra representación de un momento es una flecha curva que actúa en el sentido de la rotación, como se muestra en la figura 1.3 (c). Los momentos que producen torcimiento en una barra, como los momentos T 1 y T 2 de la figura, se llaman pares o momentos de torsión. Los miembros cilíndricos que están sujetos a un par y que transmiten potencia por medio de rotación se denominan ejes. La mayor parte de los ejes tienen secciones transversales circulares sólidas o tubulares. Fig Barra sometida a torsión por los pares T1 y T2.. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 4

8 Capítulo 1 Torsión Fig Deformaciones de una barra circular en torsión pura. En la figura 1.4 se muestra una barra prismática de sección transversal circular sometida a pares de torsión T que actúan en sus extremos Dado que todas las secciones transversales son idénticas y cada una está sometida al mismo par interno T, se dice que la barra está en torsión pura. Para visualizar la deformación de la barra, conviene imaginar que su extremo izquierdo está fijo Por la acción del par T, el extremo derecho girará (con respecto al extremo izquierdo) un pequeño ángulo, conocido como ángulo de torsión (o ángulo de rotación). El ángulo de torsión cambia a lo largo del eje de la barra y en secciones intermedias tendrá un valor (x) entre cero en el extremo izquierdo y en el extremo derecho. Si toda la sección transversal de la barra tiene el mismo radio y está sometida al mismo par (torsión pura), el ángulo (x) variará de manera lineal entre los extremos. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 5

9 Capítulo 1 Torsión Figura 1.5 (a): Consideremos a continuación un elemento de la barra entre dos secciones transversales a una distancia dx entre ellas. Figura 1.5 (b): Dicho elemento se muestra amplificado. El elemento está en un estado de cortante puro, lo que significa que está sujeto a deformación por cortante pero no a deformación unitaria normal. Fig Deformación de un elemento de longitud dx cortado de una barra en torsión. La magnitud de la deformación unitaria cortante max en la superficie exterior de la barra está dada por: En la cual d/dx es la tasa de torsión o ángulo de torsión por unidad de longitud, denotado como : Ahora podemos escribir la ecuación para deformación unitaria cortante en la superficie exterior como: Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 6

10 Capítulo 1 Torsión En el caso especial de torsión pura, la tasa de torsión es igual al ángulo de torsión dividido entre la longitud L, y por lo tanto: Ecuaciones para las deformaciones unitarias cortantes en tubos de sección circular:. Fig. 1.6 donde r 1 y r 2 son los radios interior y exterior del tubo, respectivamente figura 1.6 Hasta el momento hemos considerado las deformaciones unitarias cortantes en una barra circular en torsión. A continuación estudiaremos los sentidos y las magnitudes de los esfuerzos cortantes correspondientes. El par T tiende a girar el extremo derecho de la barra en el sentido antihorario cuando se ve desde la derecha. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 7

11 Capítulo 1 Torsión Los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento ubicado en la superficie de la barra tendrán las direcciones según se muestra en la figura 1.7 (a). La figura 1.7 (b) muestra una ampliación del elemento de esfuerzos de la figura 1.7 (a) en la que se muestran la deformación unitaria cortante y los esfuerzos cortantes. Fig Esfuerzos cortantes en una barra circular en torsión. Generalmente dibujamos los elementos de esfuerzos en dos dimensiones, pero debemos recordar siempre que los elementos de esfuerzos son en realidad objetos tridimensionales con espesor perpendicular al plano de la figura. Las magnitudes de los esfuerzos cortantes pueden determinarse a partir de la relación esfuerzo-deformación unitaria para el material de la barra. Si el material es elástico lineal, podemos usar la ley de Hooke en cortante Los esfuerzos cortantes que actúan sobre una sección transversal van acompañados por esfuerzos cortantes de la misma magnitud que actúan sobre planos longitudinales. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 8

12 Capítulo 1 Torsión Si el material es más débil en cortante sobre planos longitudinales que sobre planos transversales, la primera grieta por torsión aparecerá en dirección longitudinal sobre la superficie figura 1.8. Fig Esfuerzos cortantes longitudinal y transversal sujetos a torsión en una barra circular Esfuerzos de tensión y compresión que actúan sobre un elemento de esfuerzo orientado a 45 con el eje longitudinal figura 1.9 Fig Esfuerzos de tensión y compresión actuando en un elemento orientado 45 respecto al eje longitudianl. El estado de cortante puro en la superficie de una barra equivale a esfuerzos iguales de tensión y compresión que actúan sobre un elemento orientado a un ángulo de 45 figura Fig Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 9

13 Capítulo 1 Torsión El siguiente paso en el análisis es determinar la relación entre los esfuerzos cortantes y el par de torsión T. Fig El momento resultante (igual al par T) es la suma sobre toda el área de la sección transversal de todos los momentos elementales dm: donde: Fig es el momento polar de inercia de la sección transversal circular. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 10

14 Capítulo 1 Torsión Para un círculo de radio r y diámetro d, el momento polar de inercia es: Para el esfuerzo cortante máximo tenemos la ecuación conocida como fórmula de la torsión: Fig Fig En barras de sección circular sólida se simplifica como: El esfuerzo cortante a una distancia del centro de la barra es: Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 11

15 Capítulo 1 Torsión El ángulo de torsión por unidad de longitud (expresado en rad/unidad de longitud) de una barra de material elástico lineal puede relacionarse con el par de torsión T aplicado: Al producto JG que aparece en el denominador de la fórmula anterior se le denomina rigidez torsional. Para una barra en torsión pura, el ángulo de torsión (en rad) es: Rigidez torsional unitaria* (k T ) y flexibilidad torsional unitaria** (f T ): * La rigidez torsional unitaria es el par requerido para producir una rotación de un ángulo unitario. ** La flexibilidad torsional unitaria es el recíproco de la rigidez torsional unitaria Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 12

16 Capítulo 1 Torsión Los tubos circulares resisten con más eficiencia cargas de torsión que las barras sólidas. Si la reducción de peso y el ahorro de material son importantes, es aconsejable utilizar un tubo circular. Fig Los impulsores grandes, lo de hélices y los ejes de generadores usualmente tienen secciones transversales circulares huecas. El análisis de la torsión de un tubo circular es casi idéntico al de una barra sólida. La torsión no uniforme difiere de la torsión pura en que la barra no tiene que ser prismática y en que los pares aplicados pueden actuar en cualquier parte del eje de la barra. Para analizar las barras en torsión no uniforme se aplican las fórmulas de la torsión pura a segmentos finitos de la barra y se suman los resultados o se aplican las fórmulas a elementos diferenciales de la barra; por último se integran. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 13

17 Capítulo 1 Torsión Caso 1 Barra constituida por segmentos prismáticos con par constante en cada segmento. El primer paso en el análisis es determinar la magnitud y sentido del par interno en cada segmento. Generalmente los pares se determinan por inspección, pero en caso necesario se cortan secciones a través de la barra, se dibujan diagramas de cuerpo libre y se resuelven las ecuaciones de equilibrio. Fig Para determinar los esfuerzos cortantes en cada segmento, solo necesitamos las magnitudes de los pares internos (T AB, T BC, T CD ), ya que las direcciones de los esfuerzos no son de interés. Si buscamos el ángulo de torsión de toda la barra, necesitamos conocer la dirección del ángulo de giro en cada segmento para combinar los ángulos correctamente. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 14

18 Capítulo 1 Torsión Caso 2 Barra con secciones transversales continuamente variables y par de torsión constante. Cuando el par es constante, el esfuerzo cortante máximo en una barra sólida siempre ocurre en la sección transversal con el menor diámetro. Fig Caso 3 Barra con secciones transversales continuamente variables y par continuamente variable. El par interno T(x) puede evaluarse con ayuda de un diagrama de cuerpo libre y una ecuación de equilibrio. Fig Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 15

19 Capítulo 1 Torsión LIMITANTES Los análisis descritos en esta sección son válidos para barras hechas de materiales elástico lineales con secciones transversales circulares (sólidas o huecas). Los esfuerzos determinados con la formula de la torsión son válidos en regiones de la barra alejados de concentraciones de esfuerzos. Las concentraciones de esfuerzo tienen relativamente poco efecto sobre el ángulo de torsión, por ello las ecuaciones para φ suelen ser validas. La fórmula de la torsión y las fórmulas para los ángulos de torsión para barras prismáticas podemos aplicarlas con seguridad a barras de secciones transversales variables solo cuando los cambios de diámetro sean pequeños y graduales. Como regla empírica, las fórmulas dadas son satisfactorias si el ángulo de ahusamiento (el ángulo entre los lados de la barra) es menor a 10. Hay situaciones en donde los pares internos no pueden determinarse únicamente por medio de la estática. EJES ESTATICAMENTE INDETERMINADOS Fig Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 16

20 Capítulo 1 Torsión De hecho, los pares externos mismos no pueden determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre del eje completo. Las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con relaciones que involucren las deformaciones del eje y que se obtengan considerando la geometría del eje en cuestión. Eje Estáticamente Indeterminado Se suprime una de las restricciones (TB) B Diagrama de cuerpo libre del eje completo Se suprime una la carga (T 0 ) y se incluye la restricción (T B ) Fig completo Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 17

21 Capítulo 1 Torsión DISEÑO DE EJES DE TRANSMISION Las especificaciones principales que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión son la potencia que debe transmitirse y la velocidad de rotación del eje. Fig La función del diseñador es seleccionar el material y las dimensiones de la sección transversal del eje, para que el esfuerzo cortante máximo permisible del material no sea excedido cuando el eje transmite la potencia requerida a la velocidad especificada. Fig Par ejercido sobre un eje que transmite una potencia P. Velocidad de rotación angular (en rad/s) Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 18

22 Capítulo 2 MDSolids Capítulo 2 MDSolids MDSolids es un software educativo para estudiantes que toman el curso de Mecánica de los Materiales (también denominada Resistencia de Materiales y Mecánica de Sólidos Deformables). Este curso es normalmente una parte de la mecánica aplicada, en diversos programas de ingeniería. El software dispone de módulos didácticos para análisis de vigas estáticamente determinadas, miembros en torsión, columnas, estructuras sujetas a carga axial, armaduras, propiedades de secciones transversales, y el círculo de Mohr, incluyendo el análisis de las transformaciones de esfuerzo. La hipótesis del concepto MDSolids es que los estudiantes están más interesados en la comprensión de los problemas de tarea específicos asignados por sus profesores, y que los estudiantes usarán el software educativo si esto les ayuda con sus preocupaciones de curso inmediatas. En el proceso, el software puede ayudar a desarrollar el problema que soluciona, proporcionando a los estudiantes una interface intuitiva que los dirige a los factores importantes que inciden en varios tipos de problema, les ayuda a visualizar la naturaleza de esfuerzos internos y deformaciones, y proporciona un medio fácil de usar y de investigar un número mayor de problemas y variaciones. Basado en esta premisa, MDSolids fue desarrollado con varios objetivos en mente: Versatilidad Comunicación visual Facilidad de Entrada Explicaciones a base de texto Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 18

23 Capítulo 2 MDSolids Versatilidad MDSolids tiene rutinas que pertenecen a todos los aspectos enseñados en un curso típico de mecánica de materiales. Estas rutinas son agrupadas en doce módulos, similares a capítulos que pertenecen a una amplia gama de problemas de los textos comunes disponibles actualmente. Dentro de los módulos, cada rutina soluciona los tipos de problemas clásicos de la mecánica de materiales. El alcance de MDSolids ofrece rutinas para ayudar a estudiantes en todos los niveles de comprensión, de la más fundamental en el conocimiento, la comprensión, y del tipo de aplicación a problemas más complejos que requieren el análisis y la síntesis. Facilidad de entrada La facilidad de entrada es un aspecto esencial en el concepto MDSolids. La solución de problemas de mecánica de materiales es bastante confusa para los estudiantes. Para se eficaz, el software no debe aumentar la confusión. Idealmente, el estudiante debería ser capaz de definir un problema de forma intuitiva y directamente de un libro sin la necesidad de un manual de usuario. MDSolids, proporciona señales gráficas para guiar a los usuarios en la entrada de datos. Las ilustraciones se pueden ajustar fácilmente para que la pantalla de entrada de MDSolids se vea muy similar a la ilustración de los libros de texto. Varias unidades (por ejemplo, las unidades de esfuerzo, las unidades de longitud) están disponibles y los factores de conversión están presentes para asegurar la consistencia dimensional. Comunicación visual En cada rutina de MDSolids cuenta con una imagen, dibujo o gráfico que representa gráficamente los aspectos importantes del problema. Los Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 19

24 Capítulo 2 MDSolids dibujos se utilizan para mostrar la dirección de los esfuerzos internos, las cargas aplicadas y las reacciones. Explicaciones a base de texto Muchos de los módulos MDSolids proporcionan explicaciones adicionales para describir con palabras cómo se realizan los cálculos. Estas explicaciones pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar los procesos de pensamiento utilizados en la solución de problemas de la mecánica de materiales. Las explicaciones de texto son dinámicas y sensibles al contexto, diseñadas específicamente para el problema en particular en cuanto a los valores y las unidades registradas para el problema. Errores comunes en las ecuaciones de equilibrio, inconsistencia en las unidades y al manipular las ecuaciones se corrigen cuando el estudiante compara sus cálculos de la mano con las explicaciones de MDSolids. Características MDSolids ofrece al usuario opciones gráficas e intuitivas para todos los datos requeridos o unidades. En los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante, por ejemplo, el usuario puede hacer clic sobre el botón de una flecha vertical dirigida hacia abajo y entrar en la magnitud de la carga para definir una carga concentrada descendente vertical en lugar de tener que acordarse de introducir un signo negativo para la carga. En la mayoría de los casos, cuatro unidades comunes (dos del sistema inglés y dos del sistema internacional) son dan para cada variable. Por ejemplo, la tensión puede ser calculada en psi, ksi, kpa, o MPa. El usuario es Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 20

25 Capítulo 2 MDSolids libre de mezclar las unidades de cualquier forma deseada. Por ejemplo, la sección transversal de una viga podría ser definida en milímetros, su longitud en pulgadas, un diagrama de momento flexionante en kn m, y presentar el esfuerzo de flexión en psi. Todas estas opciones para fuerzas y unidades se hacen con un simple clic en el botón correspondiente. Los conceptos de la mecánica de materiales son bastante difíciles sin necesidad de añadir confusión acerca de las convenciones de signo y sistemas de unidades. El software está escrito en Visual Basic para correr en el entorno de Windows; se requiere como mínimo una resolución SVGA (800 x 600) y para correrlo es suficientemente un ordenador MHz, pero algunos de los gráficos se benefician en una máquina más rápida. Figura 2.1 Pantalla principal de MDSolids Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 21

26 Capítulo 2 MDSolids Módulos Biblioteca de problemas (Problem Library) Contiene rutinas diseñadas para doce tipos comunes de los problemas frecuentemente utilizados para introducir los conceptos de esfuerzo y deformación. Para cada tipo de problema, la rutina incluye preguntas típicas relativas a la estructura, las variaciones comunes (como el corte doble o cortante simple), y una imagen o dibujo que describe la geometría del problema. Después de que el estudiante hace clic en el botón Calcular, la rutina se prepara una explicación detallada del enfoque que se debe tomar para resolver el problema con los datos de entrada suministrados por el usuario y las unidades. Por ejemplo, la rutina de la viga y el puntal se dedica a un grupo de problemas que comúnmente se utiliza para introducir los conceptos de esfuerzo y deformación. Estos problemas incluyen una viga que se fija en un extremo y con el apoyo de una barra o puntal en el otro extremo. A menudo, estos problemas requieren especificar el diámetro de los pernos y sus configuraciones, ya sea de corte simple o doble en las conexiones. El estudiante puede ser requerido para determinar la capacidad de la estructura teniendo en cuenta el esfuerzo normal permisible en el puntal y los esfuerzos de corte en las conexiones. Un problema de la viga y el puntal en cualquier configuración puede ser resuelto por este módulo. Entramado (Trusses) Armaduras estáticamente determinadas pueden ser analizadas para determinar fuerzas axiales internas. La entrada de datos es visual y sólo requiere de la definición mínima por parte del usuario. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 22

27 Capítulo 2 MDSolids Figura 2.2 Armadura estáticamente determinada Las dimensiones de la armadura se establecen mediante la creación de una red definida por el usuario de los puntos de nodo. Los miembros de la armadura son definidos con el mouse para dibujar las líneas que conectan los nodos deseados. El software comprueba los miembros a medida que son definidos para garantizar que los supuestos de idealización de armadura están satisfechos (por ejemplo, los miembros conectados sólo en las articulaciones). Los apoyos y cargas también son definidos con movimientos del mouse. Los controles de software permiten al menos a tres limitaciones de apoyo y de aceptar cargas sólo en las articulaciones. El etiquetado de las uniones se realiza automáticamente. Los ángulos de los miembros de la armadura se calculan y se muestran cuando la armadura es creada. Los resultados del análisis se muestran sobre la armadura. Los miembros de tensión, de compresión y de fuerza cero son indicados cada uno por un color diferente. Opcionalmente, los esfuerzos normales pueden ser calculados para los miembros de la armadura, o dado un límite de esfuerzos, el área de la sección transversal requerida para cada miembro puede ser calculada a partir de los resultados del análisis de armadura. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 23

28 Capítulo 2 MDSolids Indeterminado axial (Indet axial) En este módulo se consideran estructuras estáticamente indeterminadas sujetas a carga axial compuestas por dos miembros. Los problemas de éste tipo son, por lo general, los que se indican a continuación: miembros coaxiales, miembros de extremo a extremo con una carga aplicada en la unión, miembros de extremo a extremo con una separación entre los dos y sujetos a una variación de temperatura, miembros de extremo a extremo con un desajuste entre ellos que se cierra antes de aplicar una carga a la estructura, dos miembros axiales conectados a una barra fija rígida que gira y un cerrojo que pasa por una manga con una tuerca que es apretada. Figura 2.3 Pantalla del módulo de estructuras indeterminado axial (miembros coaxiales) Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 24

29 Capítulo 2 MDSolids Torsión (Torsion) La torsión de elementos con secciones transversales circulares es considerada por el software MDSolids. Cuatro opciones diferentes de miembros de torsión están disponibles. El usuario puede definir un miembro de torsión simple (por ejemplo, un eje con un momento de rotación). Éste eje se muestra como una representación en tres dimensiones. Una cuadrícula se sobrepone en el eje para ilustrar la torsión producida por un momento de rotación. La perspectiva del dibujo es variable de modo que el usuario pueda observar el eje desde varios puntos de vista. Figura 2.4 Torsión simple Opcionalmente, una fuerza axial también puede ser considerada en el problema, y si el eje es una forma de tubular, los efectos de la presión pueden ser incluidos. Esto permite a problemas con carga axial y efectos de torsión ser considerados. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 25

30 Capítulo 2 MDSolids Los cálculos de círculo de Mohr también pueden ser iniciados desde esta opción de torsión. Los valores estándar para los módulos de corte están disponibles para el usuario simplemente pulsando sobre el material deseado en un menú desplegable. Dos opciones de torsión toman en cuenta los problemas de transmisión de potencia. Una de estas opciones considera un solo eje conectado a un motor mientras que la segunda opción considera un eje de potencia unido por engranajes a un eje simple. Figura 2.5 Transmisión de potencia La opción de eje de potencia simple también incluye un motor animado y el movimiento de engranaje con reguladores simulados de modo que los usuarios puedan observar los efectos producidos por el cambio de alimentación del motor, la velocidad, o relación de engranaje. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 26

31 Capítulo 2 MDSolids Cada una de estas tres opciones tiene un ejercicio de formato de definición flexible. El usuario introduce las variables conocidas y el software soluciona para el resto de las variables. El software incluye explicaciones adicionales que describen el procedimiento específico que debería ser usado para solucionar cada problema. Una cuarta opción de torsión considera un solo eje con múltiples momentos de torsión. Esta opción produce un diagrama de momento de torsión, un diagrama esfuerzo cortante y un diagrama de ángulo de giro. Figura 2.6 Eje de torsión con múltiples torques Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 27

32 Capítulo 2 MDSolids Vigas (Determinate Beams) Figura 2.7 Modulo de vigas estáticamente determinadas (Diagramas de fuerza cortante y momento flexionantes) El usuario puede definir a cualquier viga estáticamente determinada simplemente apoyada, con voladizo simple o doble y empotrada. Las cargas que pueden aplicarse a las vigas incluyen carga puntual, uniformemente distribuida, linealmente variable y momentos de flexión. Los iconos mostrados en un formato de barra de herramientas permiten a los usuarios seleccionar la carga deseada sin necesidad de la consideración de una convención de signos. Los diagramas que muestran la fuerza cortante, momento flexionante, pendiente y deflexión son dibujados inmediatamente después de la entrada de una carga. Esto permite al usuario ver el efecto de cada carga al ser añadida. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 28

33 Capítulo 2 MDSolids MDSolids incluye explicaciones adicionales que describen: 1) La forma de configurar las ecuaciones de equilibrio necesario para resolver las reacciones de la viga, 2) cómo las fuerzas concentradas y momentos afectan a la fuerza de corte y diagramas de momento, y 3) la forma de calcular el área en cada parte del diagrama de fuerza cortante, como encontrar puntos de cero en fuerza cortante, y como construir el diagrama de momento a partir del diagrama de fuerza cortante. Las cargas se pueden introducir, ya sea para análisis sin factor de carga o con factor. Las cargas sin factor se utilizan en la filosofía de diseño por esfuerzo permisible habitualmente encontrada en los textos de la mecánica de materiales. Las cargas con factor se utilizan en el diseño por resistencia para estructuras de acero y hormigón. Tres combinaciones de carga están disponibles: 1.4D, 1.2D + 1.6L, y 1.4D + 1.7L. Con el mouse, el usuario puede pulsar en una posición específica sobre el diagrama de carga y obtener la fuerza cortante, momento, pendiente o la deflexión en ese punto. Flexión (Flexure) Si una sección transversal se define, el software puede mostrar la forma de la sección transversal y trazar la distribución de cualquier esfuerzo normal o cortante, los cuales varían en la profundidad de la sección. El software incluye una pestaña desplegable en la que los usuarios puedan indicar una posición específica en la profundidad de la sección transversal y muestra los valores de esfuerzo normal y cortante calculados para ese punto. En el cálculo del Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 29

34 Capítulo 2 MDSolids esfuerzo cortante, el valor de Q también se calcula para la posición elegida por el usuario. Figura 2.8 Diversas pantalla del modulo de flexión Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 30

35 Capítulo 2 MDSolids Las distribuciones de esfuerzo se trazan y algunos ejercicios específicos pueden ser calculados para secciones transversales compuestas. Además, las fuerzas axiales en la sección transversal también pueden ser consideradas de modo que las cargas combinadas puedan ser analizadas. El usuario puede definir esfuerzos admisibles para que la fuerza axial admisible, la fuerza cortante y el momento flexionante puedan ser calculados. Los estudiantes que lo requieran podrán resolver ejercicios de diseño de vigas para calcular el tamaño de viga necesaria. La flexión de formas asimétricas puede ser considerada. Propiedades de la sección (Section Properties) Los menús permiten al usuario calcular las propiedades de la sección transversal de 19 figuras genéricas diferentes. Las formas generales que se incluyen son: I, T, C, L, Z", caja, circular sólida, tubular y las formas rectangulares. También se incluyen formas dobles I, T, C y L. Los botones de visualización permiten al usuario hacer girar la forma a la orientación deseada. Por ejemplo, una forma de T se puede girar de modo que el tallo de la T señale hacia arriba. Esta característica permite a los usuarios hacer coincidir exactamente con lo planteado en el ejercicio particular que se esté analizando. Las propiedades de la sección calculada incluyen: localización del centroide, momento de inercia, módulo de sección, radio de giro, módulo plástico, momento polar de inercia y, momentos máximos y mínimos de Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 31

36 Capítulo 2 MDSolids inercia. La forma de la sección transversal se vuelve a dibujar a escala y se muestran los ejes centroidales. Figura 2.9 Modulo propiedades de la sección El módulo de elasticidad de la sección se puede introducir directamente o el usuario puede seleccionar de una lista de materiales comunes. Por ejemplo, el usuario simplemente podría pulsar sobre " el Aluminio 6061-T6 " y el software recuperará un valor de 10,000,000 de psi para el módulo de elasticidad. Las propiedades de sección también pueden ser calculadas para áreas transversales compuestas. Dos materiales diferentes pueden ser seleccionados y asignados a las partes deseadas de las secciones transversales. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 32

37 Capítulo 2 MDSolids Para las secciones transversales compuestas, los resultados se dan en términos del método de área transformada para posibles transformaciones. MDSolids incluye las dimensiones y propiedades seleccionadas por el American Institute of Steel Construction (AISC) de una lista de perfiles de acero estándar, en denominaciones usuales de los sistemas inglés (US) y métrico (SI). En cada análisis de sección transversal el programa genera una tabla con los parámetros calculados, que incluyen: 1) centroide y momentos de inercia, 2) eje neutro (y/o plano neutro) y módulo de la sección, y 3) producto de inercia. Para las áreas compuestas, el centroide y el momento de inercia están calculados con la conversión del material A en el material B y viceversa. Los cálculos de propiedades de sección actúan recíprocamente tanto con la viga, la flexión, como con la rutina de columna. Columnas (Columns) pandeo de Euler: Los cálculos de columnas se basan en la fórmula de MDSolids muestra dos vistas de pandeo, del eje fuerte y el eje débil, con las vistas de corte transversal correspondientes para cada columna. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 33

38 Capítulo 2 MDSolids Cualquier condición de soporte en los extremos de la columna (articulado, fijo, empotrado y libre) puede ser seleccionada para uno u otro extremo de la columna. Figura 2.10 Módulo de pandeo de columnas La carga crítica de pandeo y el esfuerzo son calculados por el software, que además, muestra la dirección del pandeo de la columna. El usuario también puede agregar soportes intermedios en cualquier dirección que se pueden colocar en cualquier posición entre los apoyos de los extremos. Un gráfico de esfuerzo crítico contra la relación de esbeltez se muestra y los resultados de las dos direcciones de pandeo se indican sobre la curva. Opcionalmente, el usuario puede definir el límite de elasticidad del material y/o el límite de proporcionalidad de modo que el pandeo de Euler pueda ser evaluada. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 34

39 Capítulo 2 MDSolids estándar, el aluminio y/o madera. Se pueden realizar diseños de columnas utilizando el acero Figura 2.11 Diseño de columnas Círculo de Mohr (Mohr s circle) El análisis del círculo de Mohr para planos de esfuerzo y los momentos de inercia están disponible en MDSolids. Los esfuerzos normales en las direcciones x y y son especificados en términos de tensión o compresión y no como un número positivo o negativo. El esfuerzo cortante se define en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario sobre la cara x positiva del elemento de esfuerzos. Un diagrama de orientación aparece para mostrar el resultado de las condiciones de esfuerzo según lo especificado por el usuario. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 35

40 Capítulo 2 MDSolids El círculo de Mohr se dibuja, etiquetando los puntos que corresponden a la orientación de los ejes x y y del elemento de esfuerzos. Se dibujan planos de esfuerzos separados para indicar la orientación de los esfuerzos principales en relación con el sistema de coordenadas xy, así como la orientación del esfuerzo cortante máximo. Los diagramas de los estados de esfuerzos dan a los usuarios una clara representación visual de la orientación o dirección de rotación del estado de esfuerzos para representar los planos de esfuerzos principales y de esfuerzo cortante máximo. Los esfuerzos en cualquier orientación arbitraria pueden ser obtenidos a partir del diagrama de un plano de esfuerzos ubicado en el interior de un transportador que permite al usuario obtener los valores correspondientes en cualquier orientación arbitraria con simplemente un clic del ratón. Figura 2.12 Módulo de transformación por círculo de Mohr Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 36

41 Capítulo 2 MDSolids Los cálculos del círculo de Mohr se pueden obtener tanto desde el módulo de vigas estáticamente determinadas como de las partes del módulo de miembros de torsión de MDSolids. Los datos de planos de esfuerzos combinados automáticamente son suministrados desde estas rutinas al cálculo de círculo de Mohr. Los cálculos de esfuerzo plano se pueden obtener a partir de los datos de deformación normal y cortante. Dos tipos de galgas extensómetricas, rectangulares y en delta, que pueden ser analizadas en este modulo. Figura 2.13 Módulo de transformación por círculo de Mohr (galgas extensómetricas) Los momentos principales de inercia pueden ser calculados a partir de los momentos de inercia en torno a dos ejes ortogonales más el producto de inercia. Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 37

42 Capítulo 2 MDSolids Análisis General (General Analysis, Axial Torsion Beams) En este módulo se consideran estructuras axiales estáticamente determinadas e indeterminadas, ejes y vigas. Figura 2.14 Módulo de análisis general Resolución de problemas de Torsión utilizando MDSolids Página 38

43 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids En este capítulo se presenta una selección de problemas de elementos cargados axialmente (tomados del libro de texto Mecánica de Materiales, 5ª. edición de Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf y David F. Mazurek, editorial McGraw-Hill) cuya solución puede realizarse con la ayuda del MDSolids. Es conveniente hacer mención que para poder implementar el software en la resolución de los ejercicios, éstos deben adaptarse a las características de las rutinas disponibles que han sido diseñadas para problemas tipo de algunas ediciones de textos clásicos de mecánica de materiales. Para consultar el listado de ejercicios abra el programa y haga clic en MDSolids Help Documents (Figura 3.1). Figura 3.1 MDSolids documentos de ayuda Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 39

44 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids En la ventana de la figura 3.1, seleccione MDSolids Navigator y haga clic en el botón Open y se abrirá como en la figura 3.2 (a). (a) (b) Figura 3.2 MDSolids Navigator El MDSolids Navigator tiene la intención de ayudarle a utilizar MDSolids en el contexto del estudio de la mecánica de los materiales. Usted encontrará una serie de libros de texto que figuran en la tabla de contenidos Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 40

45 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids (figura 3.2 (b)). Abra el libro que corresponde a su libro de texto de clase y encontrará una lista de problemas que pueden ser resueltos y explicados por MDSolids. Haga clic en un número de problemas y el MDSolids Navigator le mostrará una breve descripción de los pasos que debe realizar para resolver el problema con la ayuda del software. En el caso de que la edición del libro de texto que utiliza en su curso no corresponda a la especificada por el programa deberá elegir problemas similares a los que se enlistan, por lo que sería conveniente contar con un ejemplar de ambas ediciones para realizar la comparativa. Esperando que estas notas sirvan de apoyo a los estudiantes del curso de la experiencia educativa Fundamentos de Mecánica de Materiales en lo concerniente al análisis de Torsión, a continuación se presentan once ejercicios resueltos con MDSolids. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 41

46 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids PROBLEMA 1 (3.1) Para el cilindro que se muestra en la figura determine el máximo esfuerzo causado por un par de torsión con magnitud T= 1.5 kn m Figura 3.3 Problema 1 Procedimiento aplicando MdSolids: Haga clic en torsión. Seleccione Analysis Options, haga clic en Simple Torsion. Marque la casilla pequeña al lado de los valores conocidos. El cuadro de entrada junto a él va a cambiar de color a amarillo, lo que indica que los datos se pueden introducir. Para las variables que se han de calcular, deje el cuadro pequeño al lado sin seleccionar. Para este problema, compruebe el esfuerzo cortante, de diámetro exterior, y relación de ID / OD. Asegúrese de que las otras casillas estén desmarcadas. Introducir los datos en los recuadros amarillos. Establecer las unidades deseadas. Haga clic en Compute. Relación de ID / OD es la relación entre el diámetro interior de diámetro exterior. Este será un número positivo mayor que o igual a 0,0 pero inferior a 1,0. Para un eje sólido, Relación de ID / OD es de 0,0. Para una tubería (o huecos) del eje, la relación de ID / OD será mayor que 0,0 pero menor que 1.0. Por ejemplo, si una tubería tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 30 mm, relación de ID / OD es de 0,75. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 42

47 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids Figura 3.4 Solución problema 1 Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo debajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso únicamente se utiliza la ecuación de Esfuerzo Cortante Máximo: Para la J (momento polar de inercia) va a estar dado por la siguiente fórmula: Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 43

48 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids PROBLOEMA 2 (3.3) Si se sabe que el diámetro interior del eje hueco mostrado es d = 0.9 in. Determine el esfuerzo cortante máximo causado por un par de torsión de magnitud T = 9 kip in. Figura 3.5 Procedimiento aplicando MdSolids: Problema 2 Haga clic en torsión Seleccione Analysis Options, haga clic en Simple Torsion. Marque la casilla pequeña al lado de los valores conocidos. El cuadro de entrada junto a él va a cambiar de color a amarillo, lo que indica que los datos se debe introducir. Para las variables que se han de calcular, deje el cuadro pequeño al lado sin seleccionar. Para este problema, compruebe el torque (par de torsión), de diámetro exterior, y relación de ID / OD. Asegúrese de que las otras casillas estén desmarcadas. Introducir los datos en los recuadros amarillos. Establecer las unidades deseadas. Haga clic en Compute. Relación de ID / OD es la relación entre el diámetro interior de diámetro exterior. Este será un número positivo mayor que o igual a 0,0 pero inferior a 1,0. Para un eje sólido, Relación de ID / OD es de 0,0. Para una tubería (o huecos) del eje, la relación de ID / OD será mayor que 0,0 pero menor que 1.0. Por ejemplo, si una tubería tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 30 mm, relación de ID / OD es de 0,75. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 44

49 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids Figura 3.6 Solución problema 2 Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo debajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso únicamente se utiliza la ecuación de Esfuerzo Cortante Máximo: Para la J (momento polar de inercia) va a estar dado por la siguiente fórmula: Cabe destacar que cuando se tiene un eje hueco la la obtendremos mediante la relación ID / OD es decir el diámetro interior entre el diámetro exterior. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 45

50 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids PROBLEMA 3 (3.4) Si se sabe que el d = 1.2 in. Determine el par de torsión T que causa un esfuerzo cortante máximo de 7.5 ksi en el eje hueco que se muestra en la figura. Figura 3.7 Procedimiento aplicando MdSolids: Problema 3 Haga clic en torsión. Seleccione Analysis Options, haga clic en Simple Torsion. Marque la casilla pequeña al lado de los valores conocidos. El cuadro de entrada junto a él va a cambiar de color a amarillo, lo que indica que los datos se debe introducir. Para las variables que se han de calcular, deje el cuadro pequeño al lado sin seleccionar. Para este problema, compruebe el torque (par de torsión), de diámetro exterior, y relación de ID / OD. Asegúrese de que las otras casillas estén desmarcadas. Introducir los datos en los recuadros amarillos. Establecer las unidades deseadas. Haga clic en Compute. Relación de ID / OD es la relación entre el diámetro interior de diámetro exterior. Este será un número positivo mayor que o igual a 0,0 pero inferior a 1,0. Para un eje sólido, Relación de ID / OD es de 0,0. Para una tubería (o huecos) del eje, la relación de ID / OD será mayor que 0,0 pero menor que 1.0. Por ejemplo, si una tubería tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 30 mm, relación de ID / OD es de 0,75. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 46

51 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids Figura 3.8 Solución problema 3 Al dar clic en el botón Compute en automático se despliega una ventana (justo abajo de la imagen de ejemplo) y nos muestra el planteamiento. Para este caso se utiliza la ecuación de Esfuerzo Cortante Máximo y se realiza el despeje de T: Para la J (momento polar de inercia) va a estar dado por la siguiente fórmula: Cabe destacar que cuando se tiene un eje hueco la la obtendremos mediante la relación ID / OD es decir el diámetro interior entre el diámetro exterior. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 47

52 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids PROBLEMA 4 (3.9) Los pares de torsión mostrados se ejercen sobre las poleas A y B. Si se sabe que cada eje es sólido, determine el esfuerzo cortante máximo a) en el eje AB, b) en el eje BC. Figura 3.9 Procedimiento aplicando MdSolids: Problema 4 Haga clic en torsión. Seleccione Analysis Options, haga clic en Multiple Torques Determine el numero de pares. Introduzca los datos de torque (par de torsión), dirección, y las unidades. Introduzca los datos del eje (largo, OD, ID, módulo de corte) y las unidades. Para acelerar la entrada de datos, es posible introducir datos en la etiqueta Default Values que se ubica en el lado derecho del formulario. Introduzca la longitud, OD, ID, y módulo de corte. Haga clic en Apply Defaults y estos valores se introducirá en todos los segmentos del eje. Usted puede cambiar los valores de cualquier segmento específico del árbol directamente en las casillas numeradas del eje AB, BC eje, etc. En el cuadro denominado Set Plot, elegir el tipo de gráfica que desea ver: Torque, la esfuerzo cortante, o ángulo de giro. Haga clic en Compute. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 48

53 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids Figura 3.10 Solución problema 3 Nota: Se notara que la posición mostrada en la figura 3.9 es distinta a la que se muestra en el programa, solo hay que realizar dicho ajuste es decir para el resultado del inciso a) el resultado lo pide con las letras AB pero en la figura 3.10 será BC, únicamente hay que ajustar dichas letras a los resultados solicitados. Al dar clic en el botón Compute en automático aparecen los diagramas de Torque, Esfuerzo Cortante y Angulo de Giro, estos diagrama los podemos ver a detalle en el momento en que se da clic a una de las opciones que aparece arriba del botón Compute, se debe tomar en cuenta que en ocasiones no todos los diagramas aparecerán, es decir, si no se tiene longitud el diagrama de Angulo de Giro (Rotation Angle) no se podrá visualizar. Todo depende de lo que se pida y en base a los datos los diagramas estarán presentes. También cabe destacar que en esta opción no aparecen los procedimientos de resolución sin embargo, en este ejemplo como en los siguientes se darán unos tips de cómo llegar al resultado solicitado. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 49

54 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids Para obtener el inciso a) se procede primero con la aplicación del Esfuerzo Cortante: : Posteriormente para el inciso b) se realiza una suma de los Pares de Torsion: Enseguida aplicamos de nuevo la formula de Esfuerzo Cortante: Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 50

55 Capítulo 3 Problemas de torsión aplicando MdSolids PROBLEMA 5 (3.32) a) Para el eje solido de acero que se muestra en la figura (G = 77 GPa). Determine el ángulo de giro en A, b) Resuelva el inciso a) con el supuesto de que el eje de acero es hueco con un diámetro exterior de 30 mm y un diámetro interior de 20 mm. Figura 3.11 Procedimiento aplicando MdSolids: Problema 5 Haga clic en torsión. Seleccione Analysis Options, haga clic en Simple Torsion. Marque la casilla pequeña al lado de los valores conocidos. El cuadro de entrada junto a él va a cambiar de color a amarillo, lo que indic quae los datos se debe introducir. Para las variables que se han de calcular, deje el cuadro pequeño al lado sin seleccionar. Para este problema, compruebe el diámetro exterior, relación de ID / OD, longitud de eje y angulo de giro. Asegúrese de que las otras casillas estén desmarcadas. Introducir los datos en los recuadros amarillos. Establecer las unidades deseadas. Haga clic en Compute. Relación de ID / OD es la relación entre el diámetro interior de diámetro exterior. Este será un número positivo mayor que o igual a 0,0 pero inferior a 1,0. Para un eje sólido, Relación de ID / OD es de 0,0. Para una tubería (o huecos) del eje, la relación de ID / OD será mayor que 0,0 pero menor que 1.0. Por ejemplo, si una tubería tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 30 mm, relación de ID / OD es de 0,75. Resolución de problemas de Torsión utilizando MdSolids Página 51