Prof. Susana López 1. UniversidadAutónomadeMadrid TEMA 2: FUNCIONES DE UNA VARIABLE

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1 Prof. Susana López 1 UniversidadAutónomadeMadrid TEMA : FUNCIONES DE UNA VARIABLE 1 Definición clasificación de funciones reales de una variable real Definición 1 Una función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A como máimo un único elemento, llamado f (), de un conjunto B. A f B Diagrama de flechas para f Por ejemplo, el área de una círculo es una función de su radio: A = πr Si C representa la temperatura en grados centígrados, sabemos que eiste una relación con la temperatura medida en grados Fahrenheit, F : C = (F 3) 9 En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número (r, F, t,...) se asigna otro número (A, C, w,,...). En cada caso diremos que el segundo número es función del primero. Por lo general, consideraremos funciones para las cuales los conjuntos A B son conjuntos de números reales, R, pero estos conjuntos pueden estar formados por elementos mu diferentes, como por ejemplo números enteros, Z, o naturales, N, matrices, polinomios... Al subconjunto de A formado por aquellos elementos para los cuales eiste una imagen se le denomina dominio de la función, Dom (f).

2 Prof. Susana López Definición Dada una función f : R R definimos el dominio de la función como Dom (f) ={ R para el cual eiste un R tal que = f ()} El número f () es el valor que toma la función f en el elemento. Definición 3 La imagen o rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (), conforme varía en el dominio Dom (f). Img (f) =Rang (f) ={ R para el cual eiste un Dom (f) tal que = f ()} Si f es una función, se designa a veces por el valor de f en : = f () En esta situación a se le denomina variable independiente, oargumento def, a se le denomina variable dependiente, a que su valor depende del valor de. Si se define una función por medio de una fórmula algebráica, adoptamos el convenio de que el dominio consta de todos los valores de la variable independientes para los cuales la fórmula tiene sentido (a menos que se mencione eplícitamente otro). Toda función dada por una ecuación de la forma = f () tiene una representación gráfica. La gráfica de f consta de todos los puntos (, ) en el plano de coordenadas, tales que = f () está en el dominio de f. Gráfica de f = {(, f ()) Dom (f)} = 1 = = 1 =ln

3 Prof. Susana López ³ 1 = e 9 = Funciones polinómicas Una función P () recibe el nombre de polinomio si: P () =a n n + a n 1 n a + a 1 + a donde n es un entero no negativo que representa el grado del polinomio los números a,a 1,a,..., a n 1,a n son constantes reales denominadas coeficientes del polinomio. Dado cualquier polinomio su dominio siempre es todo R Funciones lineales Un polinomio de primer grado es de la forma P () =a + b establece una relación lineal entre las variables e = P (). El número a se denomina pendiente de la recta nos indica cuanto varía la variable cuando la variable aumenta una unidad. P ( +1) P () =a ( +1)+b (a + b) =a + a + b a b = a mientras que b representa el corte de la recta de ecuación = a + b con el eje Y. Cuando consideramos una función lineal, la razón de cambio o tasa de variación de la función cuando aumenta h unidades es un múltiplo de la pendiente de la recta a: P ( + h) P () =a ( + h)+b (a + b) =a + ah + b a b = ah

4 Prof. Susana López =3 1 Distintos modos de calcular la ecuación de una recta Primero Sabemos que por dos puntos distintos pasa una única línea recta. Supongamos que conocemos dos puntos P =( p, p ) Q =( q, q ) queremos saber la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. La ecuación de la recta sabemos que será de la forma: = a + b De manera que si esos dos puntos pasan por la recta deberán satisfacer la ecuación anterior: Si restamos las dos ecuaciones obtenemos: p = a p + b (1) q = a q + b p q = a ( p q ) Despejando a tenemos: a = p q p q Ahora que conocemos el valor de a podemos despejar b de cualquiera de las ecuaciones de (1) µ p q b = p a p = p p p q Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P =(3, ) Q =(, 3). Aplicando las fórmulas anteriores tenemos que la pendiente de la recta es: a = 3 3 = b = 3= 1 Por tanto la ecuación de la recta que pasa por los puntos anteriores es: = 1

5 Prof. Susana López Segundo Supongamos a continuación que sabemos cual es la pendiente de la recta, a, unpunto que pasa por ella P =( p, p ) demodoquesólonosfaltaporconocerb, pero sabemos que P pertenece a la recta, por tanto satisface: de aquí podemos despejar b : p = a p + b b = p a p de manera que la ecuación de la recta es: = a +( p a p ) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P =(3, ) tiene de pendiente a =3. Tenemosentoncesque b = 3 3= 4 por tanto, la ecuación de la recta es: =3 4 Recordad que toda recta cua pendiente sea cero es paralela al eje OX, por ejemplo = =3 Mientras que toda recta paralela al eje OY no se la puede considerar como función a que a un mismo valor le hace corresponder una infinidad de s distintas.

6 Prof. Susana López =4 Diremos que dos rectas son perpendiculares si ambas se cortan forman un ángulo de 9. Si las rectas = a 1 + b 1 = a + b son perpendiculares entonces: a 1 = 1 a 1.1. Otras funciones polinómicas Un polinomio de segundo grado es de la forma P () =a + b + c se llama función cuadrática. La gráfica de este tipo de funciones es una parábola = 3 + Recordad la fórmula para calcular las raíces de una ecuación de segundo grado del tipo a + b + c =

7 Prof. Susana López 7 = b ± b 4ac a La solución de la ecuación anterior nos indica los puntos de corte de la parábola con el eje OX. En el caso de la gráfica mostrada podemos ver que los puntos de corte con el eje X son =1 =. Si a> entonces la función cuadrática P () =a + b + c tendrá un mínimo en el punto b,p b a a sia< entonces tendrá un máimo en dicho punto al que se denomina vértice de la parábola P () =3 7 + Q () = La parábola P () =3 7 + tiene un mínimo en el punto 7, 6 1 la parábola Q () = +3 +1tiene un máino en el punto 3, El dominuo de cualquier función cuadrática es siempre toda la recta real. La imagen nunca es toda la imagen real. Sea f () =a + b + c una función cuadrática, V =(v,v ) son las coordenadas del vértice de la parábola entonces: ½ (,v ] si a< Im f = [v, ) si a> Un polinomio de tercer grado es de la forma P () =a 3 + b + c + d sellamafunción cúbica. Calcular la raíces de una función cúbica es a un poco más complicado para ello se deberá recurrir en muchos casos a métodos numéricos. Tanto el dominiocomolaimagendecualquierfuncióncúbicaestodalarectareal.

8 Prof. Susana López P () = 3 Es importante resaltar que el dominio de cualquier función polinómica es siempre toda la recta real. En el caso de la imagen, todo polinomio de grado impar tiene como imagen toda la recta real, si se trata de un polinomio de grado par, f () =a n n a 1 + a, tendrá un máimo si a n <, en ese caso Im f =(,f ma ] donde f ma denota el valor máimo que alcanza la función, mientras que la función polinómica f () =a n n +...+a 1 +a, tendrá un mínimo si a n >, en tal caso Im f =[f min, ) donde f min denota el valor mínimo que alcanza la función Raíces de un polinomio Todosaquellosvaloresde verifican: se denominan raíces de la ecuación: P () = a n n + a n 1 n a + a 1 + a = Todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Si n es impar eiste al menos una raíz real, si n es par puede que no eista solución real de la ecuación anterior. Si todos los coeficientes a i de la ecuación de orden n son números enteros a n =1, entonces todas las raíces enteras posibles deben dividir al término independiente a. Cómo calcular las posibles raíces enteras de un polinomio de grado n? Recordáis la Regla de Ruffini? Supongamos que queremos calcular las raíces enteras del siguiente polinomio: P () = 3 +6 Los candidatos a ser raíces enteras del polinomio son los divisores de 6, ±1, ±, ±3, ±6. Empezamos probando =

9 Prof. Susana López 9 Por tanto =1es una raíz del polinomio P () = Esto también quiere decir que: P () = 6 ( 1) Continuamos aplicando Rufinni, pero ahora sólo buscamos las raíces enteras del polinomio en este caso tenemos que =1no es una raíz entera de 6. Por tanto, probamos por otro divisor de de manera que = es otra raíz entera de P () = 3 +6portantoP () = ( 3) ( +)( 1), de aquí a vemos que la tercera raíz entera del polinomio P () es =3. 1. Funciones racionales Una función racional f es un cociente de la forma: f () = P () Q () donde P () Q () son polinomios. El dominio de la función f () consta de todos los valores de tales que Q () 6= f () = En este caso la función esta definida en todo R ecepto en = ±, es decir: Dom (f) ={ R 6= ±}

10 Prof. Susana López Funciones eponenciales Son aquellas de la forma f () =Aa, donde A R a>. Las funciones eponenciales aparecen en muchos modelos económicos, sociales físicos. Mediante funciones eponenciales podemos describir modelos de crecimiento económico el interés acumulado continuamente, este tipo de funciones son también mu utilizadas en estadística. En matemáticas ha un valor de a que da lugar a una función eponencial mucho más importante que las demás, surge a través de la definición del número irracional siguiente: e = lim n µ1+ 1 n El valor de dicho límite es aproimadamente e ' Toda función eponencial es por definición siempre continua su dominio es todo R. n = e Quién es el conjunto imagen de esta función? Propiedades de las funciones eponenciales: 1. a a = a +. a a = a 3. a b =(ab) 4. a b = a b. (a ) = a 6. a =1

11 Prof. Susana López Funciones logarítmicas La función logarítmica se define como la función inversa de la función eponencial. Supongamos que realizamos un depósito de 1 u.m. en una cuenta de ahorro al 8% anual queremos saber cuanto tiempo tardará en triplicarse la cantidad inicial, para ello deberemos resolver la ecuación siguiente: 1 (1 +.8) t = 3 En dicha ecuación la incógnita es el eponente, t : (1.8) t =3 buscamos un número tal que 1.8 elevado a t nos dé como resultado 3. A ese número t lo denominaremos logaritmo en base 1.8 de 3. Definición 4 Si a = b se dice que es el logaritmo en base a de b, seescribe = log a b.en el caso de e = b, diremos que es el logaritmo natural de b o logaritmo neperiano, =lnb =ln Tenemos entonces que se da la siguiente igualdad: e ln a = a si a> es decir, ln a es justamente el número al que tenemos que elevar el número e para obtener como resultado a. La función logarítmica sólo está definida para los reales positivos verifica las siguientes propiedades: 1. ln () =ln +ln ³. ln =ln ln 3. ln ( a )=a ln

12 Prof. Susana López 1 4. ln e =1; ln1=; ln=. ln e = R; = e ln si > 6. log a b = ln b ln a El dominio de definición de cualquier función logarítmica es el conjunto de los números reales estrictamente positivos, >, es continua en todos los puntos de su dominio. Cuál es el conjunto imagen de la función logarítmica? 1. Composición de funciones Consideremos la función f : A B lafuncióng : B C. Si el conjunto imagen de f esta contenido en el dominio de g : img (f) Dom (g) podemos entonces formar la función composición (g f) :A C, de manera que (g f)() =g (f ()) Supongamos que f () = g () = +1, tenemos entonces que: (g f)() = g (f ()) = g = +1 (f g)() = f (g ()) = f ( +1)=( +1) (f f)() = f (f ()) = f = 4 (g g)() = g (g ()) = g ( +1)= Funciones definidas por secciones En ocasiones una función puede tener una epresión algebráica difente dependiendo de la zona o sección del dominio de la función en la que nos encontremos, dando lugar a las funciones definidas por secciones f () = - ½ 1 si 1 si >1 si 1 g () = si 1 < si >

13 Prof. Susana López 13 A continuación damos un ejemplo de aplicaciones de las funciones definidas por secciones en el campo de los derivados financieros, mu utilizados en los mercados bursátiles. Se define una opción de copra (call option), como aquel contrato que da a su poseedor el derecho pero no la oblicación de comprar determinado subacente en una fecha futura (fecha de vencimiento de la obligación) a un precio pactado con anterioridad (precio de ejercicio o Stricke). Vamos a calcular la función de pagos de una opción de compra que vence en el momento T con precio de ejercicio X. Denotaremos por S T al precio de mercado del subacente en el momento T. Supongamos que en el momento T el precio de mercado S T es menor que el precio de ejercicio. En tal caso al poseedor de la opción no le interesará ejercerla por tanto su ganancia a través de la opción será cero. Sin embargo cuando el precio de mercado está por encima del precio de ejercicio de la opción el poseedor de la opción la ejercerá comprará el subacente a través de la opción de compra en lugar de ir al mercado, en ese caso su ganacia será la diferencia entre el precio de mercado el precio de ejercicio del subacente (S T X). De modo que su función de pagos viene definida por: G(ST) ½ G (S T )= 1 si S T X S T X si S T X 1 ST donde tomamos X =1. Del mismo modo se define una opción de venta (put option), como aquel contrato que da a su poseedor el derecho pero no la oblicación de vender determinado subacente en una fecha futura, a un precio pactado con anterioridad. Cuál sería la función de pagos de una opción de venta que vence en el momento T con precio de ejercicio X?

14 Prof. Susana López 14 Ejercicios: 1. Calcular el dominio de las siguientes funciones: a. f () = 1 b. f () = 1 c. f () =ln( 4) +1 d. f () = q 6 e. f () = f. f () = g. f () =ln( 9) h. f () =e 1 +4 i. f () = 1 1 j. = 1 k. = 16 l. = 1 m. =ln n. = e 1 3 ñ. = 1. Un negocio cuo capital original es de. C=, tienes ingresos gastos semanales de 6. C= 4.8 C=, respectivamente. Si se conservan todas las ganacias, epresar el valor V del negocio al final de t semanas, como una función de t. 3. Si una máquina de 3. C= se deprecia un % de su valor original cada año, determinar una función f que eprese el valor V de la máquina después que han transcurrido t años. 4. Supongamos que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice una película es p = 1.., donde q es el número de películas que protagoniza durante el año. q Si el artista actualmente cobra 6. C= por película, cuántas protagoniza cada año? Si quiere protagonizar cuatro películas por año, cuánto cobrará por esto?. Estudiar su dominio dibujar las siguientes funciones: si < 1 ( 1) (a) h () = si 1 << si 1 (b) g () = 1 si < ln si <<1 +1 si 1 6. Encontrar las raíces enteras de los siguientes polinomios: (a) P () = (b) P () = Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P =(, 3) Q =(1, ). Cuánto vale la pendiente de la recta? 8. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P =(, ) tiene una pendiente igual a Una recta L pasa por el punto (1, 1) tiene pendiente 3. Otra recta M para por los puntos ( 1, ) (3, 1). Hallar las ecuaciones de las rectas L M, así como su punto de intersección.

15 Prof. Susana López 1 1. El coste total de producir unidades de un cierto bien es una función lineal. En una ocasión, se hicieron 1 unidades con un coste de u.m, en otra se hicieron 1 unidades por 7 u.m. Hallar la ecuación lineal para el coste total en términos del número de unidades producidas. 11. El gasto C de un hogar en bienes de consumo está relacionado con el ingreso familiar de la manera siguiente: Cuando los ingresos son de 1 Euros se gastan 9, cada vez que los ingresos aumentan en 1 Euros los gastos lo hacen en 8 Euros. Suponiendo que la relación entre ingresos gastos es lineal, hallar la función que las describe. 1. Hallar las raíces enteras de las siguientes ecuaciones: a = b = c = d = 13. La población de una ciudad de habitantes crece a razón de un 3% anual. Determinar una ecuación que proporcione la población después de t años a partir de ahora encontrar la población dentro de 3 años. 14. A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminue a razón de un 1.% anual. Al inicio había 3 habitantes. Cuántos habrá después de 3 años? 1. Resolver las siguientes ecuaciones: (a) e.4t =8 (b) = 1+4e.t (c) 4e t 1 =4 16. Si log =3 log z =, encontrar una fórmula para z como función eplícita que dependasolode. 17. La función de demanda para cierta marca de CDs esta dada por: p = D () = donde p es el precio unitario al por maor, en Euros, es la cantidad demandada cada semana, en unidades de millar. Trazar la curva de demanda correspondiente. Por encima de qué precio al por maor no eiste demanda? Cuál es la cantidad máima demandada por semana? 18. La gerencia de la compañía de neumáticos Titán ha determinado que las funciones semanales de demanda oferta de sus neumáticos Super Titán están dadas por: p D = D () =144 p O = O () =48+.

16 Prof. Susana López 16 donde tanto p D p O son los precios de demanda oferta respectivamente se miden en Euros en unidades de centena. Determinar la cantidad el precio de equilibrio, es decir, precio cantidad donde la oferta es igual a la demanda. 19. La compañía de arrendamiento de camiones Súper Car alquila un camión de cierto tamaño a 3 Euros el día 1 céntimos el kilómetro recorrido, mientras que la compañía Todo transporte alquila el mismo tipo de camión a Euros el día céntimos el kilómetro recorrido. (a) Determinar el coste diario de renta de cada compañía, en función de los kilómetros recorridos. (b) Trazar las gráficas de las don funciones en el mismo gráfico. (c) Qué compañía debe elegir un cliente para alquilar un camión por un día, si planea recorrer a lo sumo 7 kilómetros quiere minimizar sus costes?. Calcular f g, g f, f f, g g siendo f g las siguientes funciones: (a) f () =ln +, g() = 1 +3 (b) f () =cos + e, g() =3ln( +) (c) f () =e, g() =ln 1. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, q, es una función del número de empleados, m, donde q = f (m) = 4m m 4 El ingreso total, r, que se recibe por la venta de q unidades está dado por la función g, doonde r = g (q) =4q. Determinar (g f)(m). Qué es lo que describe esta función compuesta?

17 Prof. Susana López 17 Límite Continuidad de una función Definición Diremos que la función f tiene límite L R cuando tiende a lim f () =L si los valores de f () se pueden aproimar tanto como queramos a L cuando está sufucientemente próimo pero no igual a. También podemos decir que el límite de una función eiste cuando eisten los límites laterales además estos coinciden: lim f () = lim + f () =L Propiedades de los límites: donde L R M R entonces: Supongamos que lim f () =L lim g () =M, 1. lim f () ± g () = lim f () ± lim g () =L ± M. lim f () g () =lim f () lim g () =L M 3. lim f() g() = lim f() lim g() = L M si M 6=. 4. lim Af () =A lim f () =AL para todo A R.. lim [f ()] r = [lim f ()] r = L r. 6. lim [f ()] g() = [lim f ()] lim g() = L M Definición 6 Diremos que una función es continua en un punto si se cumplen las condiciones siguientes: 1. La función está definida en, es decir, Dom (f). lim f () eiste 3. f ( )=lim f () Por ejemplo la función mostrada en el dibujo vemos que es continua en todos los puntos de su dominio, donde Dom (f) ={ 6= ± }. Es decir, la gráfica de esta función presenta dos rupturas en los puntos = en =, justamente en los puntos donde la función no está definida.

18 Prof. Susana López = 1 En otros casos puede que la función esté definida en todo punto pero que aun así eistan puntos de discontinuidad como es el caso siguiente. La siguiente función que vemos, está definida en todo punto R, sin embargo presenta una discontinuidad de salto en el punto = f () = ½ 1 si 1 si >1 Cualquier polinomio de grado n está definido en todo el conjunto de los números reales es siempre una función continua. Teorema 1 (TEOREMA DE BOLZANO) Si f es continua en [a,b] f(a)f(b) < entonces eiste c (a,b) tal que f(c) =. Teorema (TEOREMA DE DARDOUX O DEL VALOR INTERMEDIO) Si f es continua en [a,b] entonces f toma todos los valores entre f(a) f(b) Teorema 3 (TEOREMA DE WEIESTRASS) Si f es continua en [a,b] entonces f es acotada en [a,b] alcanza valor mínimo sobre [a,b]. un valor máimo un

19 Prof. Susana López 19 Definición 7 Diremos que la recta = a es una asíntota horizontal de la función f () si: lim f () =a ó lim f () =a Diremos que = b es una asíntota vertical de f () si: lim f () =± b Diremos que la recta = a + b es una asíntota oblicua de f () si: f () lim f () = a ó lim = a lim f () a = b ó lim f () a = b

20 Prof. Susana López Ejercicios: 1. Calcular los siguientes límites: (a) lim 3 (b) lim a a 7 a 7 (c) lim 1 (d) lim 1 1 (e) lim (f) lim 1 (g) lim 3 µ 6 + (h) lim (i) lim µ /4 /( +1) (j) lim µ + (k) lim 3 (l) lim 1 µ 3( 1) ( 1)( +) (m) lim ( +1) 1/ µ (n) lim (o) lim µ +4 (p) lim µ (q) lim (+)/( 1) /( 3 1)

21 Prof. Susana López 1 µ +1 (r) lim +3 (s) lim (t) lim µ (u) lim +1 3 (v) lim 1. Dibujar las siguientes funciones eaminar si son continuas: ½ ½ 3 si < 1 si 6= 1 a. f () = b. f () = 1 si si =1 1 si 1 ½ 1 c. f () = si 1 <<1 1 d. f () = + si 1 si 1 3 si > 3. Para que valor de a es continua la siguiente función para todo a? ½ a 1 para 1 f () = para >1 4. Supongamos que las funciones f g son discontinuas esn = a. Son f + g f g necesariamente discontinuas en = a? En caso contrario, dar ejemplos.. Sea f la función definida por f () = cuando < f () = 3 +1cuando >, Definir f () como una función lineal en [, ] de tal forma que f sea continua? 6. Demostrar que si f () =P () /Q () es una función racional, donde el grado del polinomi P () es una unidad maor que el grado del polinomio Q () entonces f () tiene una asíntota oblicua. Usar este resultado para calcular las asíntotas de las siguientes funciones: a. f () = +1, b. f () =3 +1 c. f () = 3 + 1, d. f () 3 +1 = Considerar la siguiente función de costes definida por ( + b) C () =A + d + c para donde A, b, c d son constantes positivas. Hallar las asíntotas.

22 Prof. Susana López 8. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a. f () = c. f () = ½ <<1 1 < 3 1 <3 e e +1 1 ( +1) > b. f () = ½ d. f () = +3 3 << +1 = 4 > e e +1 ( +1) > 9. Probar que la ecuación = tiene al menos una raíz real en (1,). Análogamente la ecuación 3 + 1=en (,1) 1. Sean f, g: R R: definidas como: f () = +, g() = Estudiar la continuidad de f, g, g f f g ½ < 11. Sea f : R R. Calculara en función de b c para que f sea continua en todo R. ½ cos f () = a + b si <c si c 1. Sea g una función continua en =, g() = talque f () g ().Demostrar que f es continua en =. 13. Suponer que f g son continuas en [a, b] quef (a) <g(a),perof (b) >g(b). Demostrar que f () =g () para algún [a, b]. 14. Suponer que f es una función continua en [, 1] quef () está en [, 1], es decir f () [, 1] para toda [, 1]. Demostrar que f () = para algún [, 1]. 1. Las acciones de cierta empresa se contizavan a 1 Euros a la apertura del mercado a 3 Euros al cierre del mismo. Al día siguiente esas mismas acciones se negocian a 3 Euros a la apertura a 1 Euros al cierre del mercado. Demostrar, tanto gráficamente como analíticamente, que hubo una hora del día en la cual en ambos días las acciones tuvieron se cotizaron al mismo precio.

23 Prof. Susana López 3 3 Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables Cuando estudiamos función del tipo = f (), nos gustaría saber cómo varía la variable dependiente cuando varía la variable. Esto es equivalente a estudiar la inclinación de la gráfica de la función en un punto determinado. Sabemos que cuando tenemos la ecuación de una recta = a + b, elnúmeroa no sólo nos indica la pendiente de la recta, es decir, el grado de inclinación de la misma, sino que también nos indica cuánto varía la variable cuando varía la variable una unidad. Cuanto maor sea a maor será la variación de la variable cuanto menor sea a más insensible será la variable ante cambio en la variable. Pero, cómo medir la inclinación de la gráfica de una función cualquiera en un punto determinado? Una respuesta a esta pregunta es definir la inclinación de una curva en un punto como la pendiente de la tangente a la curva en ese punto Recta tangente en =3 Cómo calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto? Como se puede observar en el dibujo la recta tangente no es más que el límite de rectas secantes que pasan por el punto (,f( )) Consideremos el siguiente gráfico: Rectatangentecomolímitederectassecantes

24 Prof. Susana López Rectatangentecomolímitederectassecantes Vamos a calcular cual es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (,f( )). Para ello consideramos la recta secante que pasa por los puntos (,f( )) ( + h, f ( + h)). La pendiente de la recta secante no es más que: f ( + h) f ( ) = f ( + h) f ( ) + h h La pendiente de la recta tangente será el límite del cociente anterior cuando h se hace cada vez más pequeño, si ese límite eiste lo definiremos como derivada de f en el punto lo denotaremos por f ( ), también diremos que f es diferenciable en, f ( ) = lim h f ( + h) f ( ) h Si f es diferenciable en todos los puntos de su dominio diremos entonces que la función es diferenciable. Definición 8 Si una función es derivable en Dom (f) entonces la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (,f( )) tiene por ecuación: = f ( )+f ( )( ) 3.1 Tasas de variación su significado económico Supongamos que los rendimientos de dos activos X e Y están relacionados por la siguiente función = f (), es decir, cuando el activo X ofrece un rendimiento de a unidades el activo Y ofrece un rendimiento de f (a) unidades. Si el rendimiento del activo X se incrementa en h unidades el incremento o decremento en el rendimiento del activo Y será f (a + h). La variación del rendimiento del activo Y con relación a la variación del rendimiento del activo X se denomina tasa de variación media de f en el intervalo [a, a + h] es igual a: f (a + h) f (a) h = tasa de variación media

25 Prof. Susana López Si hacemos que el incremento de variación, h, sea cada vez menor de tal modo que llegue a ser cero lo que obtendremos será la tasa de variación instantánea: f f (a + h) f (a) (a) = lim = tasa de variación instantánea h h 3. Reglas de derivación Si f g son dos funciones diferenciables entonces también lo será F () =f () +g () G () =f () g () : F () = f ()+g () G () = f () g () Si f g son dos funciones diferenciables g () 6= para todo Dom (g) entonces H () =f () g () P () = f() también son diferenciables: g() H () = f () g ()+f () g () P () = f () g () f () g () [g ()] Regla de la cadena F () =(f g)() : Reglas de derivación Si f g son dos funciones diferenciables entonces también lo será F () =f (g ()) g () Damos a continuación una lista de reglas de derivación. Ejemplos f () =a constante f () = f () =3 f () = f () = n f () =n n 1 f () = 4 f () =4 3 f () =sin f () =cos f () =cos f () = sin f () =tan f () =1+tan = 1 cos f () =ln f () = 1 f () =e f () =e f () =ag () f () =ag () f () =3cos f () = 3sin f () =g n () f () =ng n 1 () g () f () =( 3) 3 f () =3( 3) f () =lng () f () = g () f () =ln( 3 3 +) f () = 3 3 g() ( 3 3+) f () =e g() f () =g () e g() f () =e sin f () =cose sin

26 Prof. Susana López Derivación logarítmica Supongamos que g () h () son diferenciables, entonces también lo son f () = a g() f () =h () g(). Cómocalculamoslasderivadasdeestasfunciones? Por ejemplo, consideremos f () = a g(), si tomamos logaritmos en ambos lados de la igualdad obtenemos: ln f () =lna g() = g ()lna derivando en ambos lados de la igualdad: despejando f () : Ejemplo: f () =3 = f () =3 ln 3 f () f () = g ()lna f () =f () g ()lna = a g() g ()lna Si consideramos a continuación f () =h () g(), de nuevo tomando logaritmos en ambos lados tenemos: derivando en ambos lados de la igualdad: despejando f () : ln f () =lnh () g() = g ()lnh () f () f () = g ()lnh ()+g () h () h () f () =h () g() g ()lnh ()+g () h () h () Ejemplo: f () =(3sin + ) = f () =(3cos + ) ln (3 cos + )+ 3cos+ 3sin+

27 Prof. Susana López 7 Ejercicios: 1. Derivar las funciones siguientes: f () = f () =ln(e +1) f () =ln(ln) f () = 3 f () = 3 f () =ln 1 +1 f () =e sin 3 f () =e 3 ln f () = ln ( +1) f () =ln(cos sin ) f () =3 ( ) ln f () =e f () =cos f () =cos( 3 +) 3 f () =(cos3) f () =ln( 3 4 +) f () = 3 f () =( 3) 1. Hallar la pendiente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de las siguientes curvas en los puntos que se indican: (a) f () =3 +en (, ) (b) f () = 1 en (1, ) (c) f () = 3 en (1, 1) (d) f () = 3 +en (3, 3) (e) f () =sin(3 +)en, 3 (f) f () =ln(3 ) en (1, ) (g) f () = 4 cos en (, 1) 3. El número de personas que ven cierta serie de televisión que lleva varios años en antena seaproimaalafunción: N () =(6+) /3 1 6 donde N () (medido en millones) denota el número de espectadores semanales de la serie en la semana. Hallar la razón de incremento de la audiencia semanal al final de la segunda semana al final de la semana 1. Cuántos espectadores había en la semana 4? 4. Un controlador aéreo detecta dos aviones que vuelan en traectorias perpendiculares a la misma altura. Uno de ellos dista 1 km de la torre de control se mueve a 4 km/h. El otro está a km se desplaza a 6 km/k. (a) A qué ritmo decrece la distancia entre los dos aviones? (b) De cuánto tiempo dispone el controlador para ordenar a uno de ellos que cambie su ruta?

28 Prof. Susana López 8 4 Optimización en una variable 4.1 Función creciente decreciente Diremos que una función f es creciente cuando para todo, Dom (f) con se verifica que f () f (). Diremos que es estrictamente creciente si f () <f() f () =ln Cuando una función es creciente tenemos entonces que para todo h>, f ( + h) f (), por tanto, f ( + h) f (), de manera que el límite siguiente es positivo f f ( + h) f () () = lim h h De este modo vemos que buscar las zonas de crecimiento de una función se reduce a buscar las regiones del dominio de la función f donde su derivada es positiva. Diremos que una función f es decreciente cuando para todo, Dom (f) con se verifica que f () f (). Diremos que es estrictamente decreciente si f () >f() = e

29 Prof. Susana López 9 Cuando una función es decreciente tenemos entonces que para todo h>, f ( + h) f (), por tanto, f ( + h) f (), de manera que el límite siguiente es negativo f f ( + h) f () () = lim h h De este modo vemos que buscar las zonas de crecimiento de una función se reduce a buscar las regiones del dominio de la función f donde su derivada es negativa. 4. Máimos, mínimos Definition 1 Diremos que Dom (f) es un máimo global de la función f si f ( ) f () para todo Dom (f). Diremos que Dom (f) es un mínimo global de la función f si f ( ) f () para todo Dom (f). Definition Diremos que Dom (f) es un máimo local de la función f si eiste un intervalo I al que pertenece tal que f ( ) f () para todo I. Diremos que Dom (f) es un mínimo local de la función f si eiste un intervalo I al que pertenece tal que f ( ) f () para todo I. En el caso de una función diferenciable en un intervalo I donde la función presenta un máimo en el punto I, en ese punto la función pasa de ser creciente a decreciente, por tantolafunciónderivadaf () pasa de ser positiva a negativa, de manera que en el punto máimo la derivada necesariamente tiene que ser cero. En el caso de la que función presente un mínimo en I, en ese caso, la función pasa de ser decreciente a creciente, de manera que f () pasa de ser negativa a positiva, de nuevo en el punto mínimo la derivada necesariamente tiene que ser cero =sin Teorema 4 Sea f una función diferenciable en Dom (f), si es un máimo o mínimo de la función entonces f ( )=

30 Prof. Susana López 3 Sigamos razonando. En el caso de que la función sea dos veces diferenciable en un punto máimo, la pendiente de la función cerca de dicho punto pasa de ser creciente a decreciente, es decir, la pendiente de la función es decreciente en un entorno del punto. Como a hemos mencionado anteriormente, al ser la función f () es decreciente en un entorno de, se tendrá entonces que f ( ). De modo similar si en eiste un mínimo de la función entonces f ( ). =cos f () =sin f () =cos 4..1 Cálculo de máimos mínimos de una función A continuación resumimos los pasos que ha que realizar para calcular los máimos mínimos relativos de una función. Dada una función f () 1. Resolvemos f () =, las raíces de esta ecuación serán los candidatos a máimo o mínimo.. Sea Dom (f) tal que f ( )=. Calculamos f () (a) Si f ( ) < entonces en eiste un máimo de la función (b) Si f ( ) > entonces en eiste un mínimo de la función (c) Si f ( )=entonces calculamos f () si f ( ) 6= en eiste un punto de infleión si f ( )=entonces si f (4) ( ) < entonces en eiste un máimo de la función si f (4) ( ) > entonces en eiste un mínimo de la función si f (4) ( )=entonces calculamos f () () si f () ( ) 6= en eiste un punto de infleión si f () ( )=en calculamos f (6) () si f (6) ( ) < entonces en eiste un máimo de la función si f (6) ( ) > entonces en eiste un mínimo de la función si f (6) ( )=...

31 Prof. Susana López Concavidad conveidad Diremos que una función es convea en un entorno I =[a, b] Dom (f) si la recta que une los puntos f (a) f (b) se encuentra por encima de la curva. Si nos damos cuenta la pendiente de la función en el intervalo I crece a medida que nos desplazamos a la derecha del intervalo, eso quiere decir que la función f () quemidela pendientedelafunciónf () es creciente, por tanto f () f () = +4intervalo I =[1, 4] Por tanto, buscar las zonas donde la función sea convea es equivalente a buscar los intervalos donde f (). De modo equivalente, diremos que una función es cóncava en un entorno I =[a, b] Dom (f) si la recta que une los puntos f (a) f (b) se encuentra por debajo de la curva f () = +4intervalo I =[, 1] De nuevo nos damos cuenta que la pendiente de la función en el intervalo I decrece a medida que nos desplazamos a la derecha del intervalo, eso quiere decir que la función f () que mide la pendiente de la función f () es decreciente, por tanto f (). Por tanto, buscar las zonas donde la función sea cóncava es equivalente a buscar los intervalos donde f (). Lospuntosdondelafuncióncambiadecóncavaaconveaoviceversasedenominanpuntos de infleión. De manera que si es un punto de infleión f ( )=.

32 Prof. Susana López f () = 3 +3punto de infleión = f () = 3 punto de infleión en = Obsérvese que en la función f () = 3 +3,f () = f () =, mientras que en f () = 3 se tiene que f () = pero f () 6=.

33 Prof. Susana López 33 Ejercicios: 1. La filial en Méico de la compañía Thermo-Master fabrica un termómetro para interiores eteriores. La gerencia estima que la ganancia que puede lograr la compañía por la fabricación ventqa de unidades de termómetros por semana es P () =.1 +8 Euros. Encontrar los intervalos donde la función de ganancia es creciente los intervalos donde es decreciente.. El coste medio, en Euros, de la producción de discos de larga duración en la compañía de discos Lincoln está dado por C () =.1 ++ <<6 Mostar que C () siempre es decreciente en el intervalo (, 6). 3. Las ganancias mensuales estimadas que pueden alcanzar la compañía Cannon por la fabricación venta de unidades de su cámara modelo M1 es: P () = Euros Cuántas cámaras debe producir Cannon cada mes para maimizar sus ganancias? 4. La década de los 8 vio una tendencia hacia detenciones de corte antiguo, opuestas a las políticas penales más liberales las correcciones con base en la comunidad, populares en la década de los 6 principios de los 7. Como resultado, las prisiones se sobrepoblaron se amplió la brecha entre el número de reclusos la capacidad de las prisiones. Con base en las cifras del Departamento de Justicia de Estados Unidos, el número de prisioneros (en miles) en las cárceles federales estatales es aproimado mediante la función N (t) =3.t +6.7t t 1 donde t se mide en años t =corresponde a El número de reclusos para los que fueron diseñadas las cárceles está dado por C (t) =4.3t +36 t 1 donde C (t) se mide en miles t tienen el mismo significado anterior. Mostrar que la diferencia entre el número de prisioneros la capacidad carcelaria se ha reducido a cada instante t.. Las ventas totales S, en miles de Euros, de la corporación de instrumentos de precisión Cannon se relaciona con la cantidad de dinero que Cannon gasta en la publicidad de suspruductosmediantelafunción S () = donde se mide en miles de Euros. Determinar el punto de infleión de la función S analizar su significado.

34 Prof. Susana López Como resultado del maor coste de la energía, la tasa de crecimiento de las ganancias de la compañía Venice, con cuatro años de antigüedad, ha comenzado a declinar. La gerencia de Venice, después de consultar a epertos en energía, decide implantar ciertas medidas de conservación de la energía para reducir la cuenta de la misma. El director general indica que, de acuerdo con sus cálculos, la tasa de crecimiento de las ganancias de Venice deberá incrementarse de nuevo dentro de cuatro años. Si las ganancias de Venice (en cientos de Euros) dentro de años están dadas por la función P () = determinar si la predicción del director general es precisa. 7. Un estudio de eficiencia realizado para la compañía de aparatos eléctricos Elektra mostró que el número de walkie-talkies Space Commander ensamblados por el trabajador promedio t horas después de iniciar su jornada de trabajo a las 8 a.m. está dado por N (t) = t 3 +6t +1t t 4 En qué momento del turno matutino trabaja el obrero con su máima eficacia? 8. Una caja de base cuadrada parte superior abierta debe contener un volumen de 3 cm 3. Encontrar las dimensiones de la caja que minimice la cantidad de material usado. 9. Determinar el nivel de producción que maimiza el beneficio de una compañía que posee como función de costes función precio por unidades demandadas: C () = p () = Por eperiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 1 unidades sabe que se ocuparán todas si la renta es de 4 Euros al mes. Una investigación del mercado sugiere que, en promedio, quedará una unidad adicional vacía por cada incremento de Euros en la renta. Cuánto debe cargar el gerente por renta para maimizar el ingreso? 11. Sehaestimadoquelaproduccióntotaldepetróleodeciertopozopetroleroestádadapor T (t) = 1 (t +1)e.1t + 1 miles de barriles t días después de iniciar su producción. En qué año el pozo estará produciendo a su máima capacidad? 1. El valor presente de una propiedad adquirida por un inversor está dado por la función t P (t) = 8e.9t t 8 donde P (t) se mide en Euros t es el tiempo en años desde el presente. Determinar el tiempo óptimo para que el inversor venda la propiedad. Cuál es el valor presente óptimo de la propiedad?

35 Prof. Susana López 3 Teorema del Valor Medio Supongamos que queremos evaluar el siguiente límite e 1 lim no podemos usar directamente los límites para trabajar con este ejemplo a que el límite del denominador es cero. Para calcular este límite es útil un teorema conocimo como la Regla de L Hôpital que establece que, bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funciones f() g() coincide con el límite del cociente de sus derivadas: f () g () Su demostració utiliza el resultado conocido como Teorema general del valor intermedio. Teorema (Teorema de Rolle) Sifescontinuasobre[a, b] derivablesobre(a, b), f(a) = f (b) entonces eiste un número c (a, b) tal que f(c) =. Teorema 6 (Teorema del valor medio) Si f es continua sobre [a, b] derivable sobre (a, b), f(a) 6= f (b) entonces eiste un número c (a, b) tal que f (c) = f (b) f (a) b a Teorema 7 (Teorema general del valor medio) Si f g son diferenciables en un intervalo abierto (a, b) continuasen[a, b] ademásg () 6= para todo (a, b), eiste algún punto c (a, b) tal que f (c) g (c) = f (b) f (a) g (b) g (a) Teorema 8 (Regla de Lôpital) Sean f g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b) que contiene al punto =c, ecepto posiblemente en el punto c. Supongamos que g () 6= para todo (a, b), ecepto posiblemente en el punto c. Si el límite de f() cuando tiende a c g() produce una forma indeterminada /, entonces f () lim c g () = lim f () c g () supuestoqueellímitedeladerecha eisteoesinfinito. Este resultado es válido también si el límite de f() produce cualquiera de las formas indeterminadas ± / ±. g()

36 Prof. Susana López 36 EJERCICIOS: 1. Calcular los límites siguientes: 1 cos a.lim h. lim cos m cos n b.lim sin c.lim 1 + tan 1 d.lime ln 1 cos e.lim sin f.lim 3 +tan g. lim sin ln(1+e ) i. lim 3 e j. lim 1 k. lim 1 1 e 1 l. lim e 1 m. lim (ln ) 3 ln(ln ) n. lim. LafórmulaparaelcapitalproducidoporunainversióninicialP aunatasar de interéws compuesto n veces al año, tras t años, es ³ A = P 1+ r nt n Probar que la fórmula límite cuando n tiende a infinito es A = Pe rt 3. Aplicar el teorema general del valor medio a las funciones f g en el intervalo indicado. Encontrar los valores c en el intervalo (a, b) tales que: f (c) = f (b) f (a) b a (a) f () = 3, g() = +1, [, 1] (b) f () =sin, g () =cos,, π 4. Sean f g continuas en [a, b] derivables en (a, b). Tambiénf (a) =g (a) f () <g () cuando a < < b. Demustre que f (b) < g(b). Sugerencia: aplicar el teorema del valor medio a la función h = f g.. A las : p.m. el velocímitro del automóvil indica 3 millas/h. a las :1 p.m. indica millas/h. Demostrar que en algún momento entre las : :1 la aceleración es 1 millas/h, eactamente. 6. Dos corredores arracan al mismo tiempo en una competición terminan empatados. Demuestre que en cierto momento de la carrera tuvieron la misma velocidad. Sugerencia, estudiar la función h = f g donde f g son las funciones posición de cada uno de los corredores.