I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

Transcripción

1 I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Dada la función f() = Calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto =. La fórmula de la recta tangente es y f(a) = f (a)( a). Primero calculamos la función derivada: f () = Por tanto. a = (el valor donde se quiere calcular la tangente) f(a) = f() = = 8 f'(a) = f () = = 4 La recta tangente es: y 8 = 4( ) Operando y despejando y, se obtienen que la recta tangente es: y = 4 40 Hallar el punto de la función f() = en que la tangente es la recta de ecuación y = 4 4. La pendiente de la recta tangente es f (a) y en nuestro caso es 4 (la pendiente es el coeficiente de la variable ). Como f () = = 4, obtenemos que = Así f() = = 4. Por tanto el punto de la gráfica es (, 4) Calcular el punto de corte de las tangentes a las curvas f() = y g() = 1, en = 1. Primero se calculan las tangentes. f () = 5 f (1) = 1 5 = f(1) = = 7 Luego la recta tangente a f() en = 1 es: y 7 = ( 1) y = g'() = g' = g' ( 1) = = g1 = = 1 1 Luego la recta tangente a g() en = 1 es: y 1 = 1( 1) y = + El punto de corte es: y = + 10 = 4 y = y = + Por tanto el punto de corte es ( 4, ) + Sea la curva f( ) =. Calcular los puntos en los que la tangente a dicha curva es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La bisectriz del primer cuadrante es la recta y =. Por consiguiente la pendiente de la misma (coeficiente de ) vale 1. Como: 1 ( ) ( + ) ( 1) 4 f' = = ( ) ( ) Por tanto: 4 = 0 f 0 = 1 = 1 4 = 4 + = 0 ( ) = f Luego el único punto es (0, 1)

2 0 f = 1 + > 0 a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de f() b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = 1 Dada la función a) Para la continuidad hay que ver si tiene límite en = 0, ya que cada una de las funciones que lo definen son continuas en su dominio. Para ello hay que calcular los límites laterales: lim f = lim = lim f = 0 0 lim f = lim + = Al eistir el límite la función es continua en = 0 y por consiguiente continua en todo su dominio. Para la derivabilidad hay que hacer lo mismo, es decir calcular la derivadas en = 0 y ver si coinciden: 1 ( 1) 1 f' ( 0 ) = = = 1 ( 1) ( 1) + f' ( 0 ) = + 1= 1 La derivada no coincide. La función no es derivable en = 0 b) Tenemos: f(1) = = f () = + 1 f (1) = = Entonces la recta tangente en ese punto es: y = ( 1) y = 1 Por tanto la recta tangente a la gráfica en el punto = 1 es y = 1 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f() = ( 1) e Como su dominio es, hay que fijar se en cuando la derivada primera se hace cero. f' () = 1 e + ( 1) e = e Igualando la derivada a cero se obtiene: e = 0 = 0,0 ; 0, Así los intervalos a estudiar son: Probamos con un punto de cada intervalo: f' ( 1) < 0 f' (1) > 0 Por tanto, la función es creciente en el intervalo ( 0, ) y decreciente en el intervalo (,0) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función Calculamos su dominio: D = { 1, 1} La función derivada es: f' f() = ( 1) ( 1) 1 = = Igualando a cero la derivada primera se obtiene: 1 Así los intervalos a estudiar son: (, 1 );( 1,0 );( 0,1 );( 1, ) 1 = 0 = 0 = 0 Probamos con un punto de cada intervalo (recuerda que hay que probarlo en la derivada primera): f'( ) = 4 > 0. Creciente f'( 0,5) = 1,77 > 0. Creciente f'(0,5) = 1,77 < 0. Decreciente f'() = 4 < 0. Decreciente Por tanto, la función es creciente en los intervalos (, 1 );( 1,0) y decreciente en los intervalos ( 0,1 ); ( 1, )

3 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f() = Calculamos su dominio: D = { } ( ) ( 1) 4 La función derivada es: f' = = ( ) ( ) Igualando a cero la derivada primera se obtiene: 4 = 0 = 0 4 = 0 ( ) = 4,0 ; 0, ;,4 ; 4, Así los intervalos a estudiar son: Probamos con un punto de cada intervalo (recuerda que hay que probarlo en la derivada primera): f'( 1) = 0,56 < 0. Decreciente f'(1) = > 0. Creciente f'() = > 0. Creciente f'(5)= 0,56 < 0. Decreciente Por tanto, la función es: Creciente en los intervalos ( 0, ); (, 4 ) Decreciente en los intervalos (,0 );( 4, ) Obtener los puntos singulares de la función f = + 1 Calculemos sus derivadas: ( + 1) 1 + f' = = ( + 1) ( + 1) ( + ) ( + 1) ( + ) ( + 1) 1 ( + 1)( 1) 1 f'' = = = = ( 1) Igualamos sus derivadas a cero: + = 0 f' = 0 = 0 + = 0 + = Como: f (0) = < 0 máimo f ( ) = 6 > 0 mínimo En = 0 hay un máimo y en = hay un mínimo. Por otra parte: ( 1) f'' = 0 = 0 ( 1) = 0 = 1 ( + 1) En = 1 hay un punto de infleión (se puede comprobar que f (1) 0) Hallar los máimos y mínimos de la función f() = 4 Calculemos sus derivadas f'() = 4 4 f''() = 1 4. Igualando la primera derivada a cero obtenemos: 4 4 = 0 = { 1,0,1} Introduciendo estos valores en la derivada segunda obtenemos: f''( 1) = 1 ( 1) 4 = 8 > 0. Mínimo f''(0) = = 4 < 0. Máimo f''() = = 8 > 0. Mínimo Por tanto hay un máimo relativo en = 0 y dos mínimos relativos en = 1, = 1

4 Obtener los puntos singulares de la función f() = 9 Calculemos sus derivadas: f' f'' ( ) ( 9) ( 9) ( ) ( ) ( 9) ( 9) 9 18 = = = = Igualamos a cero las derivadas: f' = 0 18 = 0 = 0 9 ( 9) f '' = = 0 solución Veamos si en = 0 hay un máimo o un mínimo: f'' ( 0) = = < 0. En = 0 hay un máimo No hay puntos de infleión Sea la función f () = + b + a 5. Hallar los valores de a y b de forma que la función tenga un máimo en = 1 y un mínimo en = Tenemos que: Máimo en = 1 f'(1) = 0 Mínimo en = f'() = 0. Como la función derivada es f'() = 6 + b + a. Entonces: f'(1) = b 1 + a = b + a = 0 f'() = b + a = b + a = b + a = 0 Resolviendo el sistema obtenemos que a = 1 y b = b + a = 0 Dada la función f() = a + b + c + d hallar los coeficientes a, b, c y d, sabiendo que la ecuación de la tangente en el punto de infleión (1,0) es y = +, y que la función presenta un etremo en el punto de abscisa = 0 Tenemos que: Pasa por (1,0) f(1) = 0 Punto de Infleión en = 1 (en el punto (1,0)) f''(1) = 0 Tangente y = 1 + en = 1 f'(1) = Etremo en = 0 f'(0) = 0 Como las funciones derivadas son: f'() = a + b + c f''() = 6a + b Entonces f(1) = 0 a 1 + b 1 + c 1 + d = 0 a + b + c + d = 0 f''(1) = 0 6a 1 + b = 0 6a + b = 0 f'(1) = a 1 + b 1 + c = a + b + c = f'(0) = 0 a 0 + b 0 + c = 0 c = 0 a+ b + c + d = 0 6a + b = 0 Resolviendo el sistema a + b + c = c = 0 a = 1 b = obtenemos que c = 0 d =

5 Hallar la función de la que se sabe que su segunda derivada es constante, que pasa por el punto ( 1,) y que tiene pendiente en dicho punto y tiene la misma pendiente que la recta y = en = 0 Si la segunda derivada es constante significa que es una función cuadrática (polinomio de grado dos). Es decir f() = a + b + c Tenemos: Pasa por el punto ( 1,) f( 1) = Pendiente en = 1 f ( 1) = Pendiente 1 (y = ) en = 0 f (0) = 1 Como f () = a + b, resulta que: f( 1) = a( 1) + b( 1) + c = a b + c = f ( 1) = a( 1) + b = a + b = f (0) = 1 a 0 + b = 0 a b + c = a = 1 Resolviendo el sistema: a + b = obtenemos que la solución es b = 0 b = 0 c = + si < f = 10 si a a) Calcular los valores del parámetro a para que la función f() sea continua en = b) Para a = 0 calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). Sea la función a) Para que sea continua los límites por la izquierda y derecha en = deben coincidir. lim f = lim + = lim f = lim = + + a a Por tanto: 10 = 0 a =,5 a b) Calculamos sus derivadas y las igualamos a cero. f () = = 0 = ±1 10 ( 1) 10 f' = = valores que igualen la derivada a cero. ( ) Los intervalos en los que hay que estudiar el crecimiento son(, 1); ( 1, 1); (1, ); (, ). f'( ) > 0 Creciente f'( 0) < 0 Decreciente f'() > 0 Creciente f'(4) > 0 Creciente Luego la función es decreciente en ( 1, 1) y creciente en el resto. Calcular la longitud que debe de tener los lados de un terreno rectangular de 400 m de área si queremos que el perímetro de su contorno sea le mínimo posible. El perímetro de la figura es P = + y. 400 Por otra parte el área es y = 400 y = Por tanto el perímetro es: P = + = + = Derivamos y obtenemos: 4 ( + 800) P' = = Igualando a cero la derivada (nos piden un mínimo) obtenemos que: 800 = = 0 = ± 0 Por tanto el perímetro mínimo se alcanza con = 0 m (y = 0 m) ya que una longitud no puede ser negativa. También se puede comprobar calculando la derivada segunda y viendo que en 0 0 tenemos un mínimo (derivada segunda positiva)

6 Un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos engendrando un cono. Sabiendo que la suma de sus catetos es 5 m, hallar las dimensiones del triángulo para que el volumen del cono sea máimo. El volumen del cono es V = Como + y = 5 y = 5 π y Por tanto el volumen queda: π (5 ) 10π π V = = Derivando obtenemos: 0π 6π V' = ; 0π 1π V'' = Igualando a cero la derivada (nos piden un máimo) obtenemos que: = 0 0π 6π = 0 0π 6π = 0 10 = 10 Como: V (0) > 0; V < 0. El máimo se obtiene con = 10 m, y = 5 m Calcular la longitud que deben de tener los lados de un triángulo isósceles de 4 cm de perímetro para que el área del triángulo sea máima. b h El área del triángulo es A = Calculamos (usando el teorema de Pitágoras) la altura: h = 1 = Por tanto, el área es: ( 4 ) A = = ( 1 ) Derivando se obtiene: A ' = ( 1 ) = + = Igualando a cero la derivada: 88 6 = = 0 = Luego (se puede comprobar que f (8) < 0) el área máima se consigue cuando los lados iguales miden 8 cm y la base 8 cm (es decir es un triángulo equilátero).

7 Se quiere construir una caja rectangular, sin tapa en la parte superior y de base cuadrada, con 108 dm de material. Cuáles tienen que ser las dimensiones de la caja para obtenerla de volumen máimo? El volumen viene dado por la fórmula V = y Como el área es de 108 dm, resulta que: y = 108 y = 4 Por tanto el volumen es: V = = 4 4 Derivando e igualando a cero se obtiene que: 108 V ' = = = 0 = ± 6 4 Desechamos el valor negativo Como V'' = V'' ( 6) = = 54 < El volumen máimo se consigue cuando = 6 dm e y = dm El área ocupada por una infección cutánea se desarrolla a partir del instante t = 0 según la función t f(t)= 10 + t +1 a) Calcular la superficie ocupada por la infección al principio. b) Hallar el instante en que es máima el área infectada y calcular dicha área. c) Estudiar que ocurre con el transcurso del tiempo. Se estabiliza o desaparece? a) Al principio significa que t = 0. Por tanto 0 f( 0) = 10 + = b) Calculamos su derivada primera y luego igualamos a cero: ( t + 1) ( t + 1) 1 t + 1 t t 1 t f' = 0+ = = 0 1 t = 0 t = ± 1 Como no puede haber tiempos negativos el área máima ocurre cuando t = 1 (se puede comprobar que es máima calculando la derivada segunda y viendo que para t = 1 el valor es negativo). 1 El área en ese instante es: f( 1) = 10 + = 10, c) Para contestar a esta pregunta tenemos que calcular el límite cuando t es muy grande: t lim 10 + = = 10 t t + 1 Luego se estabiliza y nunca desaparece.

8 Se ha comprobado que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del tiempo que se esta 100 t jugando a través de la epresión: f(t) =, donde t representa el tiempo jugado en minutos. Se t pide: a) Cuánto más tiempo se permanezca jugando es mayor la ganancia que se obtiene? b) Determinar el tiempo de juego que proporciona la ganancia mayor. c) Puede ocurrir que con el paso del tiempo, el juego de pérdidas? Por qué? a) Para responder la pregunta hay que estudiar su crecimiento y decrecimiento. ( t + 400) ( t + 400) 100 t t t t t = 0 f '( t) = = = t = 0 t = 0 Desechamos el valor negativo (no eiste t < 0) y estudiamos el crecimiento, como: f (10) > 0, para los valores 0 < t < 0 la función crece f (0 < 0, para los valores t > 0 la función decrece. Por tanto no aumenta siempre las ganancias con el tiempo. b) El máimo de ganancias se produce cuando t = 0 tal y como se puede observar del apartado anterior (hasta t = 0 la función crece y a partir de allí decrece). c) Resulta que: 100t > 0 pues t es siempre positivo. t > 0 ya que es la suma de dos valores positivos. Por tanto f() es siempre positiva, luego no hay nunca pérdidas. En una noche oscura y lluviosa, la temperatura T (medida en grados centígrados) varió según la función: T() = 9 + 8, 0 1 (siendo el tiempo, medido en horas, a partir de las 1 de la noche) a) Qué temperatura había a las de la mañana? b) A que hora hubo una temperatura de cero grados? c) Cuál fue la temperatura mínima? A qué hora se produjo? a) T() = = 6 Hacía una temperatura de 6 grado bajo cero b) T() = = 0 = 1, = 8 Por tanto la temperatura de cero grados ocurre a la una de la noche y a las 8 de la mañana c) Para calcular la temperatura mínima, hay que calcular la derivada primera y posteriormente igualarla a cero: T'() = 9 = 0 = 4,5 T(4,5) = 4,5 9 4,5 + 8 = 1,5 Luego la temperatura mínima se produjo a las cuatro y media (T'' (4,5) = > 0) y fue una temperatura de 1,5 grados bajo cero Una emisora de radio ha determinado que el porcentaje de ciudadanos que sintonizan entre las 1 de la mañana y las 1 de la noche viene dado por la función: S(t) = 660 1t + 7t t, donde t indica las horas transcurridas desde las 1 en punto de la mañana. a) A qué hora tiene audiencia máima y mínima? b) Cuántos ciudadanos sintonizan la emisora e esas horas? a) Para calcular la hora de audiencia hay que derivar la función, igualarla a cero y luego comprobar su derivada segunda. f'(t) = t t f' (t) = 54 6t t = 11 54t + 1 = 0 = 7 f (11) = = 1 Hay un máimo f (7) = = 1 Hay un mínimo La audiencia máima se produce a las 11 de la noche y la audiencia mínima a las 7 de la tarde. b) f(11) = = 55 f(7) = =

9 El consumo de gasolina C() de un coche (epresado en litros/km) viene dado en función de la velocidad (epresada en Km/hora), por la fórmula: velocidad a la que se consigue. e C = 90 El consumo mínimo se consigue cuando la derivada primera vale cero e e e 90 e e ( 90) C' ( ) = 90 = = Determinar el consumo mínimo y la e C' ( ) =0 e ( 90) e = = 0 = 90 Luego el consumo mínimo (se puede comprobar que f (90) > 0) se consigue cuando = 90 km/h. En ese momento el consumo es: 90 e C( 90 ) = e = 0 Tras la ingestión de una bebida alcohólica, la concentración de alcohol C() en la sangre (en gr/l) 1 t evoluciona según la función: C( t) = t e, donde t es el tiempo, en horas, trascurrido desde el instante de la ingestión. Calcular el momento en que se alcanza la concentración máima y cuanto valdrá ésta. La concentración máima se consigue cuando la derivada primera sale cero. 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t C' t = 1 e + t e 1 = e t e = e 1 t 1 t 1 t e = 0 C' ( t) = 0 e ( 1 t) = 0 1 t = 0 t = 1 Luego la concentración mínima (se puede comprobar que C (1) < 0) se consigue cuando t = 1 h. En ese momento la concentración es: C1 = 1 e = e 1 1 Una persona situada a 0 metros del suelo lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 5 m/s. La altura de la pelota viene dada por h(t) = 5t + 5t + 0, donde t es el tiempo, en segundos, desde el momento del lanzamiento. a) Cuánto tarda en llegar al suelo? b) Cuál es la altura máima que alcanza? Los datos 0 metros del suelo y 5 m/s no nos sirven para nada ya que están incluidos en la fórmula. a) Cuando llega al suelo la altura h(t) es cero. Por tanto 5t + 5t + 0 = 0 h = 1, h = 6 Como el tiempo no puede ser negativo, obtenemos que tarda en llegar al suelo 6 segundos. b) La altura máima nos la dará la derivada primera igualada a cero: h'() = 10t + 5 = 0 t =,5 H(,5) = 5,5 + 5,5 + 0 = 61,5 La altura máima la alcanza a los,5 segundos y es de 61,5 metros

10 Los costes de fabricación, C() en céntimos de euros de cierta variedad de salchichas, dependen de la cantidad elaborada ( en kilos) de acuerdo con la epresión C() = El fabricante estima que el precio de ventas en céntimos de euros de cada kilogramo de salchichas viene dado por la 5 fórmula: P = 00. Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtener la función que recoge las ganancias. Qué cantidad de salchichas le interesa producir para maimizar las ganancias? Las ganancias G() son la diferencia entre el precio de venta PV() y los costes C() Teniendo en cuenta que PV() = P(), obtenemos que: 5 5 G = 00 ( ) = Derivando e igualando a cero, se obtiene: G' = 0 = 0 = = = ± 00 Como no se puede producir un número negativo de salchichas, hay que producir 00 kg de salchichas para obtener la ganancia máima. El propietario de un inmueble tiene alquilados los cuarenta pisos del mismo a 500 euros al mes cada uno. Por cada 50 euros de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino, que se traslada a otro piso más económico. Cuál es el alquiler que más beneficio produce al propietario? Llamamos al número de inquilinos que pierde, que coincide con las veces que aumenta el alquiler 50 euros. El beneficio que obtiene el propietario es: B() = Precio alquiler N.º viviendas alquiladas = ( ) (40 ) = Por tanto: B () = = 0 = 15 El alquiler mas beneficioso es = 150 euros Una enfermedad se propaga de tal manera que después de t semanas ha afectado a N(t) cientos de 5 t ( t 6) para 0 t 6 personas donde: N( t) = 5 ( t 10 ) para 6 < t 10 4 a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de N(t) b) Calcular el máimo de personas afectadas y la semana en que se produce a) t( t 6) t 1 = t + 1t para 0 t 6 N' ( t) = 5 para 6 < t 10 4 t = 0 t + 1t = 0 para 0 t 6 t = 4 N' ( t) = 0 5 = 0 para 6 < t 10 4 Por tanto los intervalos donde hay que estudiar la monotonía son (0, 4); (4, 6); (6, 10) N () = 4 > 0 crece N (5) = 15 < 0 decrece 5 N (7) = < 0 decrece 4 Luego la función crece en (0,4) y decrecen en (4, 10). b) Por su crecimiento y decrecimiento se ve que el máimo se alcanza en = 4. Como N(4) = 5 4 (4 6) = 7 Por tanto en número máimo de personas afectadas es de 700 (7 100) y se alcanza en la cuarta semana.

11 Representar la función f() = En este tipo de funciones polinómicas basta con calcular sus etremos relativos (y si es posible los puntos de corte con los ejes) para representarlas ya que todas siguen un mismo patrón. Calculamos su derivadas f'() = f''() = 6 6 Igualando la primera derivada a cero obtenemos los máimos y mínimos: = 0 = 1; = f''( 1) = 6 ( 1) 6 = 1 < 0 En = 1 hay un máimo f''() = 6 6 = 6 > 0 En = hay un mínimo. Además tenemos que dichos puntos son: f( 1) = = 1 En ( 1, 1) hay un máimo f() = = 14 En (, 14) hay un mínimo. Llevando estos datos a los ejes de coordenadas y sabiendo que la función es continua (lo son todas las funciones polinómicas), obtenemos que la función es:

12 Representar la función f() = En las funciones polinómicas basta con calcular sus etremos relativos (y si es posible los puntos de corte con los ejes) para representarlas ya que todas siguen un mismo patrón. Calculamos su derivadas f'() = 0 6 f ''() = 0 1 Igualando la primera derivada a cero obtenemos los máimos y mínimos: = = 0 = 5 f''(0) = = 0 > 0 En = 0 hay un mínimo. f ''(5) = = 0 < 0 En = 5 hay un mínimo. Además tenemos que dichos puntos son: f(0) = = 10 En (0, 10) hay un mínimo. f(5) = = 155 En (, 14) hay un mínimo. Llevando estos datos a los ejes de coordenadas y sabiendo que la función es continua se obtiene:

13 Representar la función f = ( + ) ( ) A pesar de estar escrita así, esta función es polinómica de grado tres. f = ( + ) ( ) = 4 En este caso además de calcular sus etremos relativos, vamos a calcular sus puntos d ecorte con los ejes ya que son muy fáciles de obtener: = 0 f = ( + )( ) = 0 = Los puntos de corte son (0, 0); (, 0); (, 0) = Calculamos su derivadas f'() = 4 f''() = 6 Igualando la primera derivada a cero obtenemos los máimos y mínimos: = f'() = 4 = 0 = f'' > 0 En = hay un mínimo. f'' < 0 En = hay un hay un máimo. Llevando estos datos a los ejes de coordenadas y sabiendo que la función es continua, obtenemos que la función es:

14 1 Representar la función f() = 1+ No vamos a seguir todo el protocolo, sólo las partes más importantes. a) DOMINIO Igualando el denominador a cero obtenemos que + 1 = 0 No eiste solución Por tanto el Dominio es D = b) ASÍNTOTAS Verticales: No tiene 1 Horizontales: lim = 0 y = 0. No tiene + 1 c) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO ( 1+ ) ( 1+ ) f' = = = 0 = 0 = 0 Los intervalos para el estudio del crecimiento son: (,0 );( 0, ) Comprobando cada intervalo se obtienen que la función es creciente en el intervalo (,0) y decreciente en el intervalo ( 0, ) Con esta información podemos afirmar que en = 0 hay un máimo. d) DIBUJO DE LA FUNCIÓN

15 Representar la función f = + 1 No vamos a seguir todo el protocolo, sólo las partes más importantes. a) DOMINIO Igualando el denominador a cero obtenemos que + 1 = 0 = 1 D = 1 Por tanto el Dominio es { } b) ASÍNTOTAS Verticales: + 1 = 0 = 1 Horizontales: lim =. No tiene + 1 f a = lim = lim + 1 = lim = 1 + Oblicuas: + b = lim f a = lim = lim = lim = y = 1 c) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO ( + 1) f' = = = 0 + = 0 = Los intervalos para el estudio del crecimiento son: (, );(, 1 );( 1,0 );( 0, ) Comprobando cada intervalo se obtienen que la función es creciente en los intervalos (, ); ( 0, ) y decreciente en los intervalos (, 1 ); ( 1, 0) Con esta información podemos afirmar que en = hay un máimo y en = 0 hay un mínimo. d) DIBUJO DE LA FUNCIÓN

16 Representar la función f = 16 No vamos a seguir todo el protocolo, sólo las partes más importantes. a) DOMINIO Igualando el denominador a cero obtenemos que 16 = 0 = ±4 D = 4,4 Por tanto el Dominio es { } b) SIMETRÍAS f( ) = = = = f Es una función impar c) ASÍNTOTAS Verticales: 16 = 0 = ±4 Horizontales: lim = 0. y = 0 16 Oblicuas: No tiene d) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO ( 16) ( 16) = = = = = f' Los intervalos para el estudio del crecimiento son: (, 4 );( 4,4 );( 4, ) Comprobando cada intervalo se obtienen que la función es siempre decreciente Por tanto no va a tener ni máimos ni mínimos relativos e) DIBUJO DE LA FUNCIÓN

17 Representar la función f() = 1 No vamos a seguir todo el protocolo, sólo las partes más importantes. a) DOMINIO Igualando el denominador a cero obtenemos que 1 = 0 = ±1 D = 1, 1 Por tanto el Dominio es { } b) ASÍNTOTAS Verticales: 1 = 0 = 1, = 1 Horizontales: lim =. No tiene 1 f a = lim = lim 1 = lim = 1 Oblicuas: b = lim f a = lim ( ) = lim + = lim = y = c) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO 0 1 ( 1 ) ( 1 ) 4 4 f' = = = 0 = 0 = Los intervalos para el estudio del crecimiento son: (, );(, 1 );( 1,1 );( 1, );(, ) Comprobando cada intervalo se obtienen que la función es decreciente en los intervalos (, );(, ) y creciente en los intervalos (, 1; ) ( 1,1;1, ) ( ) Con esta información podemos afirmar que en = hay un mínimo y en = hay un máimo. d) DIBUJO DE LA FUNCIÓN

18 Representar la función f = 1 En el fondo lo único hay que representar es la función f() = 1, pero teniendo en cuenta que los valores negativos de la función se convierten en positivo. Como 1 = 0 = ±1, esto significa que la función f() es negativa en el intervalo ( 1, 1) y por tanto es en este intervalo donde hay que dar los valores positivos a la función. Por tanto la representación de la función es:

19 , 1 Representar gráficamente la función: y = 1, 1 <, < Estudiar su continuidad y sus asíntotas. Hay que representar cada parte de la función según sus diferentes definiciones. La gráfica es: Observando la gráfica se ve que la función es continua en todos los puntos ecepto para = 1, donde se produce un salto. Las asíntotas son las líneas rectas a las que se aproima la función en el infinito. Basta con observar la gráfica para ver que hay dos asíntotas claras, una cuando tiende a que es la recta y = y otra cuando tiende a, que es la recta y =. Por tanto las asíntotas son y =, y =

20 1 si 8 < 4 Dada la función f() = 4 + si 4 < 8 si a) Representarla gráficamente. b) Estudiar su continuidad y su crecimiento. c) Calcular sus asíntotas. a) Hay que representar cada parte de la función según sus diferentes definiciones. La gráfica es: b) Observando la gráfica se deduce con facilidad que: La función es continua en todos sus puntos ecepto para = 5 y =. Creciente en el intervalo ( 8, 4) Decreciente en el intervalo ( 4, ) Constante en el intervalo ( 8, 4) c) Sólo tiene una asíntota, que es cuando tiende a, ya que no eiste cuando tiende a, pues la función no esta definida allí (sólo lo esta hasta = 8). 8 Como resulta que lim = 0 entonces la asíntota horizontal es y = 0

21 + 1 si 1 Dada la función f() = + 4 si 1 < si > Representarla gráficamente calculando su continuidad, crecimiento y asíntotas. Hay que representar cada parte de la función según sus diferentes definiciones. La gráfica es: Observando la gráfica se deduce con facilidad que: La función es continua en todos sus puntos. Creciente en los intervalos (1, ) y (, ) Decreciente en los intervalos (, 1) y (, ) Las asíntotas son las líneas rectas a las que se aproima la función en el infinito. Basta con observar la gráfica para ver que hay dos asíntotas claras, una cuando tiende a que es la recta y = y otra cuando tiende a, que hay que calcularla. Como resulta que lim = 1, las asíntotas son: y =, y = 1.