MODELO JUNIO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

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1 Modelo de eamen Junio MODELO JUNIO MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II OPCIÓN. (Punuación máima: punos) Se dice que una mari cuadrada es orogonal si T I: Noa: La noación T significa mari ranspuesa de. a) Esudiar si la siguiene mari es orogonal. La mari es ocogonal se cumple: I b) Siendo la mari del aparado anerior, resolver el sisema: Muliplicando por la iquierda ambos miembros de la igualdad por la inversa de, se consigue despejar la mari incógnia. El produco de marices no es conmuaivo, para que la igualdad se manenga se debe muliplicar en el mismo orden en los dos miembros. ; Para calcular, se iene en cuena el aparado anerior, a que, si es orogonal. : I I ; I 7

2 puno o es que:. (Punuación máima: punos) Sea la función f() a) Calcular sus eremos relaivos su puno de infleión. La condición necesaria suficiene para que una función alcance un eremo relaivo en un Si f Con el siguiene crierio: Si f f ( o ) f ( o ) ( o ) f ( o ) < ( o, f ( o )) ( ) f ( ) > (, f ( )) o o o o un MÁXIMO un MÍNIMO Derivadas de f (): f ( ) ; f ( ) : f ( ) 6 igualando a cero la deriva se obienen los posible punos de eremo relaivo. Si : f ( ) f ( ) ; : ± : Si : f ( ) para comprobar si es un eremo relaivo se usa el crierio de la derivada segunda f ( ) 6 < (, ) un MÁXIMO f () 6 > (, ) un MÍNIMO La condición necesaria suficiene para que una función enga un puno de infleión en o es que: ( ) f ( ) f plicando a la función propuesa, los posibles punos de infleión se calculan igualando a cero la segunda derivada resolviendo la ecuación ( ) ; 6 ; ; f ( ) f para comprobar si es un puno de infleión se uilia el crierio de la ercera derivada. f ( ) 6 La función presena un puno de infleión en (, ) Modelo de eamen Junio

3 Modelo de eamen Junio b) Calcular el área del recino plano acoado limiado por la gráfica de f(), el eje OX las recas vericales,. El área pedida se debe calcular como suma de dos áreas, debido a que pare de ella esá por encima del eje OX pare por debajo, esá úlima se calcula en valor absoluo. ( ) ( ) d d rea ( ) ( ) ( ) ( ) u (Punuación máima: punos) Un ajedrecisa gana una parida con probabilidad,6, la empaa con probabilidad, la pierde con probabilidad,. El jugador juega dos paridas. a) Describir el espacio muesral la probabilidad de cada uno los resulados de ese eperimeno aleaorio. La forma mas sencilla de describir el espacio muesral es mediane un diagrama en árbol. Si además se iene en cuena que los resulados de las paridas son independienes enre si, la probabilidad de las inersecciones es el produco de las probabilidades. ( ) ( ) ( ) B p p B p

4 b) Calcular la probabilidad de que gane al menos una parida. p [ ] ( G G) p ( G G) ( G E) ( G P) ( E G) ( P G) p ( G G) p( G E) p( G P) p( E P) p( P G) '6 ' 8 '6 ' 8 '6 '8. (Punuación máima: punos) El número de días de ausencia en el rabajo de los empleados de ciera empresa para un período de seis meses, se puede aproimar mediane una disribución normal de desviación ípica, días. Una muesra aleaoria de die empleados ha proporcionado los siguienes daos a) Deerminar un inervalo de confiana del 9% para el número medio de días que los empleados de esa empresa han falado durane los úlimos seis meses. nº de días de ausencia en el rabajo, se aproima a una disribución normal de la que se conoce su desviación pero no su media. : N( µ, σ) N( µ,' ) Si en esa variable se oman muesras de amaño de cada muesra se calcula la media, se obiene una disribución de medias muesrales, que sigue eniendo un comporamieno normal, cuos parámeros serán: σ ' : N µ, N µ, n Se pide deerminar un inervalo de confiana ( α) al 9% para el número medio de días de ausencia a parir de una media muesral conocida. σ σ o Zα, o Zα n n o α Zα φ : Zα φ α '9 : α ' ( '9) ' 6 ' ' '6, '6 ( ', '78) Se puede esimar con una probabilidad del 9% que la media de ausencia por empleado va a ', '78. esar en el inervalo ( ) Modelo de eamen Junio

5 b) Qué amaño debe ener la muesra para que el error máimo de la esimación sea de, días, con el mismo nivel de confiana? El amaño muesral para un nivel de confiana fijado, se esima a parir del máimo error admiido. Ε Para n Muesras. Zα σ σ ' ; n Zα '6 '... n Ε ' Modelo de eamen Junio

6 OPCIÓN B. (Punuación máima: punos) Una compañía naviera dispone de dos barcos B para realiar un deerminado crucero. El barco debe hacer anos viajes o más que el barco B, pero no puede sobrepasar viajes. Enre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes no más de. La naviera obiene un beneficio de 8 euros por cada viaje del barco euros por cada viaje del B. Se desea que las ganancias sean máimas. a) Epresar la función objeivo. nº de cruceros realiados por. nº de cruceros realiados por B. (, ) 8.. F b) Describir mediane inecuaciones las resricciones del problema represenar gráficamene el recino definido. Vérices de la región facible: 6 :, B : E, 6 E : ( ) C : D (,8) ( ) D : C (,) B ( 6,) c) Hallar el número de viajes que debe efecuar cada barco para obener el máimo beneficio. Calcular dicho beneficio máimo. F (, ) B. C 8. D 6. E 6 8. Con las resricciones propueso el máimo beneficio es.. Se consigue realiando cruceros con el barco 8 con el barco B. Modelo de eamen Junio

7 . (Punuación máima: punos) Se considera la función real de variable real definida por: si f ( ) In( ) si > a) Esudiar la coninuidad de f() en. Para que una función sea coninua en un puno lim f lim f En f a () lim f La función es coninua en b) Esboar su gráfica. ( ) lim f : lim f a se debe cumplir: lim f f f a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a ( ) lim ( ) ( ) lim( lu ) : lim f lu ( ) f ( ) Modelo de eamen Junio

8 Tomando de cada una de las funciones el inervalo correspondiene, se consrue la gráfica de la función pedida. c) Hallar la ecuación de la reca angene a dicha gráfica en -l. La ecuación de la angene a f ( ) en, en forma puno-pendiene eniendo la forma. f ( ) f ( )( ( ) ) Donde (, f ( ) ) es un puno de la reca (el de angencia) f ( ), por la definida de derivada en un puno, es la pendiene de la reca angene. Si Si < f ( ) : f ( ) > Ln Si > Si Despejando a forma eplicia: f ( ) ( ) ( ) 6 f ( ) ( ) 7 r g 6 7 ( ) 7. (Punuación máima: punos) En un cenro de enseñana ha esudianes mariculados en curso de Bachillerao. La siguiene abla recoge su disribución por seo por opción que se cursa: Chicas Chicos Cienífico- Tecnológica 6 Humanidades C. Sociales 7 Si se elige un esudiane al aar de enre los que cursan de Bachillerao en ese cenro, calcular la probabilidad de que: a) No curse la opción Cienífico- Tecnológica. Chicas Chicos Cienífico- Tecnológica 6 6 Humanidades C. Sociales 7 8 Modelo de eamen Junio

9 Por la definición aiomáica de probabilidad. Casos favorables p Casos posibles b) Si es chico, curse la opción de Humanidades Ciencias Sociales. C.F. p C.P.. (Punuación máima: punos) La emperaura corporal en una ciera especie animal es una variable aleaoria que iene una disribución normal de media 6,7 C Y desviación ípica,8 C. Se elige aleaoriamene una muesra de ejemplares de esa especie. Hallar la probabilidad de que la emperaura corporal media de la muesra: a) Sea menor o igual a 6,9 C. Temperaura: N ( 6'7, '8) Las medias de las muesras de amaño siguen ambién una disribución Normal: : N 6'7, '8 N 6 ( 6'7, '8) p ' '8 6'9 ( 6'9) 6'9 6'7 p( ') φ( ') '79 : p( 6'9) 7' 9% b) Esé comprendida enre 6, C 7, C. 6' 6'7 6' ' p 6' < < 7' '8 p ' < < '8 p '8 p < ' 7' 6'7 7' '8 '8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( '8) p( > ') p( '8) ( p( ') ) φ( '8) ( φ( ') ) '99 ( '79) ' 68 p ( 6' < < 7') 6'8% p Modelo de eamen Junio