Álgebra matricial CAPÍTULO 9

Transcripción

1 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil 9. INTRODUCCIÓN LS MTRICES 9. TIPOS ESPECILES DE MTRICES 9. OPERCIONES MTRICILES 9. EL DETERMINNTE 9. L INVERS DE UN MTRIZ 9. PLICCIONES SELECTS Términos y conceptos clve Ejercicios dicionles Evlución del cpítulo Ejercicios por computdor Minicso: Plneción de recursos humnos

2 OBJETIVOS DEL CPÍTULO Proporcionr comprensión de l nturlez de un mtriz y l representción mtricil de los dtos. Proporcionr entendimiento del álgebr mtricil. Presentr un vriedd de plicciones de ls mtrices y el álgebr mtricil.

3 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil ESCENRIO DE MOTIVCIÓN: nálisis del cmbio de mrc El nálisis del cmbio de mrc se ocup del comportmiento de compr de los consumidores que comprn un producto o contrtn un servicio en repetids ocsiones. Como ejemplos de tles productos se pueden citr l gsolin, los detergentes, los refrescos y ls comids rápids. El nálisis del cmbio de mrc se enfoc en l leltd l mrc y el grdo en que los consumidores están dispuestos cmbir productos competidores. Ls empress menudo trtn de proyectr los efectos que tendrán ls cmpñs de promoción, como rebjs y progrms publicitrios, sobre ls vents de sus productos. Si se tiene informción disponible en relción con ls tss de ls gnncis y pérdids por todos los competidores, un empres puede: ) pronosticr su prticipción en el mercdo en lgún momento futuro; b) pronosticr l ts con que l empres umentrá o disminuirá su prticipción en el mercdo en el futuro, y c) determinr si l prticipción en el mercdo lgun vez llegrá niveles de equilibrio en que cd empres o mrc retiene un prticipción constnte del mercdo. En este cpítulo se nliz el álgebr mtricil y sus plicciones. Se present l nturlez de ls mtrices y luego se nlizn los diferentes tipos de mtrices, el álgebr de mtrices y lgunos conceptos especilizdos de l mtriz. L últim sección del cpítulo present vris plicciones del álgebr mtricil. 9. Introducción ls mtrices Qué es un mtriz? Siempre que se mnejn dtos, se debe interesr en orgnizrlos de mner tl que sen significtivos y se puedn identificr con fcilidd. Resumir los dtos en form tbulr puede yudr en est función. Un mtriz es un form común pr resumir y presentr números o dtos. Definición: Mtriz Un mtriz es un rreglo rectngulr de elementos. Los elementos de un mtriz por lo generl son números reles, pero no siempre. Considere ls clificciones de prueb de cinco estudintes en tres exámenes. Ésts se presentn en l siguiente mtriz. Prueb Estudinte

4 9. Introducción ls mtrices L mtriz contiene el conjunto de clificciones de prueb encerrds entre los préntesis grndes. El rreglo tiene form rectngulr con cinco fils (un por cd estudinte) y tres columns (un por cd prueb). Cd fil contiene ls tres clificciones de prueb pr un estudinte prticulr. Cd column contiene ls cinco clificciones en un prueb prticulr. Form generlizd de un mtriz Un mtriz que contiene elementos ij tiene l form generl n n... m m mn Est mtriz generlizd se represent con m fils y n columns. Los subíndices en un elemento ij indicn l ubicción del elemento en un mtriz. El elemento ij se locliz en l intersección de l fil i y l column j de l mtriz. Por ejemplo, se locliz en l intersección de l fil y l column. El elemento se ubicrí en l fil y l column de l mtriz. Ejercicio de práctic Si l mtriz de clificción de prueb de los estudintes recibe el nombre de S y los elementos se expresn como s ij, cuáles son los elementos s, s, s y s? Respuest:, 7, 99, no hy elemento s. Los nombres de l mtriz generlmente se representn con letrs myúsculs y los elementos de un mtriz con letrs minúsculs con subíndices. Un mtriz se crcteriz tmbién por su dimensión. L dimensión o el orden indicn el número de fils y el número de columns contenidos en un mtriz. Si un mtriz tiene m fils y n columns, se dice que tiene un dimensión m n, que se lee m por n. L mtriz de clificción de prueb de los estudintes tiene un dimensión ( ), o se dice que es un mtriz de por. Propósito del estudio del álgebr mtricil Ls mtrices ofrecen un medio conveniente pr lmcenr, presentr y mnipulr dtos. Los dtos de ls clificciones obtenids en un prueb se lmcenn convenientemente en l mtriz nterior y ést ofrece un método clro y compcto pr presentr estos dtos. L myor prte de los dtos lmcendos en computdors se lmcenn en un formto de mtriz. En el lenguje FORTRN se reserv espcio de lmcenmiento pr rreglos en l memori de l computdor pr utilizr el enuncido DIMENSION. El enuncido

5 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil DIMENSION (, ) reserv espcio pr un mtriz que tiene un dimensión ( ). En el lenguje BSIC, el enuncido DIM (, ) cumple l mism función. Cundo se lmcenn dtos en mtrices, menudo es necesrio desplegrlos. Si los dtos se lmcenn en un mtriz con lgún ptrón lógico, puede ser reltivmente fácil recuperr elementos individules o grupos de elementos. Con frecuenci es necesrio mnipulr dtos que se lmcenn en un mtriz. Por ejemplo, un profesor tl vez quier determinr el promedio de un clse en un prueb dd o el promedio de un estudinte en ls tres pruebs utilizndo los dtos de l clificción en l prueb de l mtriz ntes definid. El álgebr mtricil permite mnipulr los dtos y efectur cálculos l vez que mntiene los dtos en form de mtriz. Esto es conveniente en especil en ls plicciones computrizds. Ejemplo (Consumo de energí en Estdos Unidos) L mtriz E siguiente present el consumo de energí dirio promedio de cutro regiones diferentes del pís durnte 97. Ls cifrs se dn en millones de brriles por dí y representn l cntidd de petróleo que generrí l energí equivlente. Se hn redondedo los brriles más cercnos. E es un mtriz ( ). Petróleo y gs estdounidense Crbón Petróleo y gs importdos Hidroeléctric, solr, geotérmic y combustibles sintéticos Nucler E..... Noreste..... Sur..... Oeste medio..... Oeste Ls siguientes secciones nlizn diferentes tipos de mtrices y su mnipulción. 9. Tipos especiles de mtrices Vectores Hy un clse especil de mtrices que se denomin vector. Un vector es un mtriz que sólo tiene un fil o un column. Definición: Vector fil Un vector fil (o vector renglón) es un mtriz que sólo tiene un fil. Un vector fil R con n elementos r ij tiene un dimensión ( n) y l form generl R (r r r r n ) Nótese que es posible expresr los elementos generlizdos de un vector fil ( n) medinte r j, donde j,..., n.

6 9. Tipos especiles de mtrices 7 Ls tres clificciones obtenids por el estudinte en l prueb se podrín gurdr en el vector fil ( ) como (7 ) El siguiente vector fil ( ) es un submtriz del ejemplo que resume el equivlente promedio del consumo dirio de energí pr el noreste durnte 97. B (.....) Definición: Vector column Un vector column es un mtriz que sólo tiene un column. Un vector column C con m elementos c ij tiene un dimensión m y l form generl C c c. c m En el cso de l mtriz de ls clificciones obtenids por los estudintes en l prueb nterior, se podrín representr ls clificciones de los cinco estudintes en el primer exmen medinte el vector column ( ) T Mtrices cudrds Definición: Mtriz cudrd Un mtriz cudrd es un mtriz que tiene el mismo número de fils y columns. Si l dimensión de un mtriz es (m n), un mtriz cudrd es tl que m n. Ls siguientes mtrices son cudrds. () B C

7 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil Si un mtriz es cudrd, veces nos interesmos en un subconjunto de elementos ij que ce lo lrgo de l digonl principl de l mtriz. Estos elementos se loclizn en posiciones en que i j, por ejemplo,,,,,..., nn. Los elementos en l digonl principl de l mtriz B son b y b. Los elementos en l digonl principl de l mtriz C son c, c y c. Definición: Mtriz identidd Un mtriz identidd I, en ocsiones llmd mtriz unidd, es un mtriz cudrd pr l cul todos los elementos lo lrgo de l digonl principl son igules y todos los otros elementos son igules. Si e ij represent un elemento generlizdo en un mtriz identidd, entonces e ij si i si i j j Ls mtrices I e I son mtrices identidd ( ) y ( ). unque se verán distints plicciones de l mtriz identidd, un propiedd importnte incluye l multiplicción de un mtriz identidd por otr mtriz. L multiplicción de mtrices es un operción lgebric legítim en cierts circunstncis. Dd un mtriz y un mtriz identidd I, si el producto I está definido, I. De modo similr, si el producto de I está definido, entonces I. L mtriz identidd I es pr l multiplicción mtricil, lo que el número es pr l multiplicción en el sistem de los números reles; esto es, ()() ()(). Trnspuest de un mtriz Hy veces en que es necesrio reordenr los elementos de dtos en un mtriz. L reordención simplemente puede tener el objetivo de ver el rreglo de números desde un perspectiv diferente o mnipulr los dtos en un últim etp. Un clse de reordención consiste en l trnspuest de un mtriz. Definición: Trnspuest Dd l mtriz (m n) con elementos ij, l trnspuest de, expresd como T, es un mtriz (n m) que contiene elementos t ij donde t ij ji.

8 9. Tipos especiles de mtrices 9 Ejemplo Pr encontrr l trnspuest de l mtriz primero se determin l dimensión de T. Ddo que es un mtriz ( ), T será un mtriz ( ) con l form T t t t t t t Usndo l definición nterior, se obtiene t t t t t t o bien T Estudie ls mtrices y T del ejemplo. Encuentr lgún ptrón? Lo que debe observr es que ls fils de se convierten en ls columns de T. De igul modo, ls columns de se convierten en ls fils de T. Ests relciones serán verdders pr culquier mtriz y su trnspuest, y ofrecen un método sencillo pr determinr l trnspuest. Ejemplo plíquese est lógic pr encontrr l trnspuest de B Pr formr l trnspuest de B, ls fils, y se convierten en ls columns, y de B T,o B T De igul mner, se puede considerr que ls columns, y de B se convierten en ls fils, y de B T. mbs perspectivs son válids.

9 7 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil Sección 9. Ejercicios de seguimiento Determine l dimensión de cd un de ls siguientes mtrices y encuentre l trnspuest.. ( ) Encuentre un mtriz ( ) pr l cul ij i j. Encuentre un mtriz B ( ) pr l cul b ij i j i j si i si i si i si i j j j j 9. Operciones mtriciles En est sección se nlizrán lguns de ls operciones del álgebr mtricil. dición y sustrcción de mtrices Propiedd de l dición (sustrcción) de mtrices Se pueden sumr o sustrer dos mtrices si y sólo si tienen l mism dimensión.

10 9. Operciones mtriciles 7 Si y B son mtrices (m n) sumds pr formr un nuev mtriz C, C tendrá l mism dimensión que y B. Los elementos de C se encuentrn l sumr los elementos correspondientes de y B. Es decir, c ij ij b ij pr tod i y j Si se sustre un mtriz B de un mtriz pr formr un nuev mtriz C, los elementos de C se encuentrn l sustrer los elementos correspondientes de B de, o bien c ij ij b ij pr tod iy j Ejemplo Dds y B B ( ) Ejemplo Usndo ls misms mtrices, B () () () ( ) Ejemplo El Deprtmento de Energí h proyectdo cifrs de consumo de energí pr el ño. L mtriz P muestr el promedio de consumo dirio por fuente de energí pr ls misms regiones de Estdos Unidos que se indicron en el ejemplo. Como ntes, ests cifrs se dn en millones de brriles de petróleo por dí que drín l energí equivlente. Petróleo y gs estdounidense Crbón Petróleo y gs importdos Hidroeléctric, solr, geotérmic y combustibles sintéticos Nucler P Noreste Sur Oeste medio Oeste

11 7 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil El cálculo de l mtriz P E reflej el cmbio estimdo en el promedio del consumo dirio por fuente de energí entre 97 y. P E Ejercicio de práctic Interprete el significdo de los vlores en l mtriz de diferenci P E. Multiplicción esclr Un esclr es un número rel. L multiplicción esclr de un mtriz es l multiplicción de un mtriz esclr. Se encuentr el producto multiplicndo cd elemento de l mtriz esclr. Por ejemplo, si k es un esclr y l siguiente mtriz ( ), entonces k k k k k k k Ejemplo 7 (Pronósticos de energí) Un fundción de investigción de polític privd proyect que el consumo de energí umentrá % en cd región y por cd fuente de energí entre 97 y 99. Si el consumo se increment % en cd región y por cd fuente de energí, el consumo en 99 será igul % del consumo de 97. Por consiguiente, se puede determinr el consumo proyectdo en 99 medinte l multiplicción esclr.e, o bien R Ejercicio de práctic En el ejemplo 7, qué multiplicción esclr pronosticrí un reducción de % en el consumo de energí en generl? Respuest: R.9E.

12 9. Operciones mtriciles 7 El producto interno Definición: Producto interno Supong que (,,..., n ) y B expresdo como B, es b b. b n ; entonces el producto interno, B b b n b n Con bse en est definición, cbe destcr tres puntos:. El producto interno se define sólo si los vectores fil y column contienen el mismo número de elementos.. El producto interno result cundo se multiplic un vector fil por un vector column y el producto resultnte es un cntidd esclr.. Se clcul el producto interno l multiplicr los elementos correspondientes en los dos vectores y sumr lgebricmente. Considere l multiplicción de los siguientes vectores: B ( ) Pr encontrr el producto interno se multiplic el primer elemento del vector fil por el primer elemento del vector column; se sum el producto resultnte l producto del elemento del vector fil y el elemento del vector column. Pr los vectores indicdos, se clcul el producto interno sí: b b, o bien: ( ) = ()() + ( )() = Ejemplo Ddos los vectores fil y column M ( ) y N

13 7 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil se clcul el producto interno sí M N ( ) ()( ) ( )( ) ()() ()() ()() Ejercicio de práctic Ddos S ( ) y V ( ), encuentre el producto interno SV T. Respuest:. Multiplicción de mtrices Supong que un mtriz que tiene un dimensión m n se tiene que multiplicr por un mtriz B que tiene un dimensión m B n B. Propieddes de multiplicción de mtrices I II El producto mtricil B está definido si y sólo si el número de columns de equivle l número de fils de B, o si n m B. Si se puede relizr l multiplicción (es decir, n m B ), el producto resultnte será un mtriz que tiene un dimensión m n B. L primer propiedd de l multiplicción estblece l condición necesri y suficiente pr l multiplicción de mtrices. Si n m B, ls mtrices no pueden ser multiplicds.. B (m n ) (mb n B)? n = m B Prueb pr l condición necesri y suficiente L propiedd II define l dimensión de l mtriz que result de un producto de mtrices.. B = C (m n ) (m B n B) n = m B (m n ) B Dimensión de l mtriz resultnte

14 9. Operciones mtriciles 7 Pr determinr los elementos de l mtriz que result en un producto de mtrices, se puede utilizr l siguiente regl de cálculo. Regl de cálculo Si B C, un elemento c ij de l mtriz que result del producto es igul l producto interno de l fil i de l mtriz y l column j de l mtriz B. (Vése l figur 9..) B C Column j Figur 9. Multiplicción de mtrices: cálculo de c ij usndo el producto interno. Fil i = c ij Ejemplo 9 Pr encontrr el producto mtricil B, donde y B primero se revis pr determinr si l multiplicción es posible. es un mtriz ( ) y B es un mtriz ( ).. B C ( ) ( ) = ( ) = sí, el producto está definido porque el número de columns de equivle l número de fils de B. L mtriz que result del producto tendrá un dimensión ( ) y tendrá l form generl C c c Pr encontrr c, se clcul el producto interno de l fil de y l column de B, o bien: De igul form, c se encuentr clculndo el producto interno entre l fil de y l column de B, o

15 7 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil NOT Como primer intento pr clculr el producto de mtrices, el lector puede encontrr útil escribir l form generl de l mtriz que result del producto de mtrices. Se hizo esto l estblecer primero l form generl de C como c c. Con los elementos identificdos de est mner, los subíndices de cd elemento indicn cómo se puede clculr cd elemento. Ejemplo Determine el producto mtricil B pr ls mtrices del ejemplo 9. SOLUCIÓN El producto B implic multiplicr un mtriz ( ) por un mtriz ( ), o bien: B. ( ) ( ) Puesto que el número de columns de B no es igul que el número de fils de, el producto B no está definido. NOT Este ejemplo ilustr que l propiedd conmuttiv que se plic en l multiplicción de números reles no es necesrimente válid en el cso de l multiplicción de mtrices. No se puede estblecer utomáticmente que B B pr dos mtrices culesquier y B. Ejemplo Encuentre, si es posible, el producto PI T, donde P e I

16 9. Operciones mtriciles 77 SOLUCIÓN P es un mtriz ( ) e I es un mtriz identidd ( ). Y que el número de columns de P equivle l número de fils de I, se puede relizr l multiplicción y l mtriz de producto T tendrá un dimensión. Por lo tnto, P. I = T ( ) = ( ) ( ) T tendrá l form generl T t t t t t t t t t t t t lgunos elementos muestr se clculn en ls siguientes operciones: t ( ) t ( ) t ( ) ()() ()() ( )() ()() ()() ( )() ()() ()() ( )() Verifique que l mtriz T que result del producto de mtrices es: T NOT Este ejemplo ilustr l propiedd ntes menciond con respecto de ls mtrices identidd. Esto es, si se multiplic un mtriz identidd por otr mtriz, el producto será l otr mtriz. En este ejemplo, PI T. Pero P T; por ello, PI P.

17 7 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil Ejercicio de práctic Dds y B, encuentre el producto B. Respuest: Ejemplo (Clificciones promedio en el curso) L profesor que plicó ls tres pruebs cinco estudintes está preprndo los promedios del curso. H decidido ponderr ls dos primers pruebs en % cd un y l tercer en %. L profesor quiere clculr los promedios finles pr los cinco estudintes usndo l multiplicción de mtrices. L mtriz de clificciones es G y los vlores ponderdos del exmen se ponen en el vector fil W (...) L profesor necesit multiplicr ests mtrices de form tl que l primer clificción conseguid por cd estudinte se multiplique por., l segund clificción obtenid por. y l últim clificción por.. El lector debe verificr que los productos GW y WG no estén definidos. No obstnte, si se hubier estblecido W como un vector column, el producto mtricil GW llevrí l resultdo desedo. Se puede trnsformr W en un vector column con sólo obtener su trnspuest. El producto GW T está definido, conduce un mtriz resultnte de orden ( ), y de modo más importnte, reliz los cálculos desedos. G. W T = ( ) ( ) ( ) = Los promedios finles se clculn sí: (.) (.) (.) 9(.) 9(.) (.) (.) 7(.) (.) 9(.) (.) 99(.) 7(.) 7(.) 7(.) Los promedios son., 9., 7.7,. y 7.9, respectivmente, pr los cinco estudintes.

18 9. Operciones mtriciles 79 Ejercicio de práctic Clcule el producto WG T. No d esto el mismo resultdo que GW T? Representción de un ecución Un ecución se puede representr usndo el producto interno. L expresión x x x se puede representr por medio del producto interno ( ) x x x donde el vector fil contiene los coeficientes de cd vrible en l expresión y el vector column contiene ls vribles. Multiplique los dos vectores pr verificr que el producto interno dé como resultdo l expresión originl. Pr representr l ecución x x x se puede igulr el producto interno con un mtriz ( ) que contiene l constnte del ldo derecho, o se ( ) x x x () Recuerde que pr que dos mtrices sen igules, deben tener l mism dimensión. El producto interno siempre d como resultdo un mtriz ( ), que en este cso contiene un elemento: l expresión x x x. Un ecución linel de l form x x x n x n b se puede representr en form mtricil como sigue: ( n ) x x x.. x n b (9.)

19 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil Representción de sistems de ecuciones unque se posible representr ls ecuciones individules usndo el producto interno, se puede representr un sistem de ecuciones utilizndo un multiplicción de mtrices. El sistem: puede representrse sí: x x x x x x Si relizmos l multiplicción de mtrices en el ldo izquierdo de l ecución mtricil, el resultdo es x x x x Pr que ests dos mtrices ( ) sen igules, los elementos correspondientes deben ser igules (esto es, x x y x x, l informción comunicd por el pr originl de ecuciones). Un sistem de ecuciones (m n) que tiene l form x x n x n b x x n x n b... m x m x mn x n b m puede representrse medinte l ecución mtricil X B donde es un mtriz (m n) que contiene los coeficientes de ls vribles en el ldo izquierdo del conjunto de ecuciones, X es un vector column con n componentes que contiene ls n vribles y B es un vector column con m componentes que contiene ls constntes del ldo derecho pr ls m ecuciones. Est representción tiene este specto: n x b n x b (9.) m m mn x n b m

20 9. Operciones mtriciles Ejemplo Se puede representr el siguiente sistem de ecuciones: x x x x x x x x x x x en l form mtricil X B mostrd continución x x x x x Verifique siempre que est representción se válid y que se deben incluir ceros en l mtriz cundo un vrible no prece en un ecución prticulr. Ejemplo L representción mtricil de ecuciones no se limit ls ecuciones lineles. L ecución cudrátic x x se puede representr por medio de l ecución mtricil equivlente ( ) x x () Sección 9. Ejercicios de seguimiento Relice ls siguientes operciones mtriciles siempre y cundo se posible..... k b b k b b (7 ). ( ) 9. ( ). ( ). ( b) x y. ( ) x x x

21 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil. ( ). ( b c d) ( ). e f g h 7. ( ). ( ) ( ) x x. 7.. x x x ( ).. c b d e g i f h j. 7.

22 9. El determinnte Represente los siguientes sistems de ecuciones en form mtricil: 7. x y. x x y x y 9. x x x. x x x x x x x. x bx c. x bx cx dx ex f dx ex f gx hx ix j gx hx i. x x b x x b. x x x x 7. Si, B y C, verifique que ) (BC) (B)C y b) (B C) B C.. x x b x x b x x b. x x x x b x x x x b x x x x x b x x x x b 9. El determinnte Un concepto importnte en el álgebr mtricil es el del determinnte. Si un mtriz es cudrd, los elementos de l mtriz se pueden combinr pr clculr un número de vlor rel llmdo determinnte. El concepto del determinnte es de prticulr utilidd l resolver ecuciones simultánes. El determinnte de l mtriz se puede denotr medinte el símbolo o poniendo línes verticles en torno los elementos de l mtriz. El determinnte de se puede expresr como o De igul modo, se puede representr el determinnte escribiendo línes verticles lrededor del nombre de l mtriz. Por lo tnto, es posible representr el determinnte de como Hy diferentes mners de encontrr el vlor de un determinnte. Primero se nlizrán técnics específics pr mnejr mtrices ( ), ( ) y ( ), y luego se seguirá con el procedimiento de cofctores más generl.

23 CPÍTULO 9 Álgebr mtricil El determinnte de un mtriz de orden ( ) El determinnte de un mtriz de orden ( ) simplemente es el vlor del único elemento contenido en l mtriz. Si (),. Si M ( ),. El determinnte de un mtriz de orden ( ) Dd un mtriz ( ) que tiene l form (9.) El cálculo implic un multiplicción cruzd de los elementos en ls dos digonles, como se indic continución: = Ejemplo Si entonces ()() ()( ) Ejercicio de práctic Encuentre el determinnte de. Respuest:. El determinnte de un mtriz de orden ( ) Dd l mtriz ( )

24 9. El determinnte se puede encontrr el determinnte medinte el siguiente proceso:. gregue ls dos primers columns de l mtriz l ldo derecho de l mtriz originl.. Loclice los elementos en ls tres digonles primris (P, P, P ) y los de ls tres digonles secundris (S, S, S ). S S S P P P. Multiplique los elementos de cd digonl primri y de cd digonl secundri.. El determinnte equivle l sum de los productos de ls tres digonles primris menos l sum de los productos de ls tres digonles secundris. lgebricmente, el determinnte se clcul sí: (9.) Ejemplo Pr encontrr el determinnte de l mtriz se ñden ls dos primers columns l derech de l mtriz originl ( ): S S S P P P Se identificn ls tres digonles principles y secundris y el determinnte se clcul sí: [()()() ()()() ()( )( )] [()()() ( )()() ()( )()] ( ) ( ) ( )