GUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS

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Rafael Luna Montes
hace 6 años
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GUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS Matrices Esta guía de estudio está diseñada con ejercicios resueltos paso a paso con el fin de mostrar los procedimientos detallados para abordar cada uno de ellos.

1 GUÍA DE EJERCICIOS: MATEMÁTICAS Matrices Esta guía de estudio está diseñada con ejercicios resueltos paso a paso con el fin de mostrar los procedimientos detallados para abordar cada uno de ellos. Las estrategias de solución que se muestran NO son únicas, y algunos de los pasos mostrados en cada uno de los procedimientos se pueden obviar dependiendo del nivel de manejo algorítmico de cada estudiante. Objetivos. Practicar operaciones con matrices. 2. Encontrar valores específicos para matrices particulares dadas. Contenidos. Suma y multiplicación de matrices. 2. Inversa de una matriz. 3. Solución de ecuaciones. Debo saber Antes de empezar a realizar estos ejercicios es importante recordar algunos conceptos: Notación: A M R n significa que A es una matriz cuadrada, de orden n, cuyas componentes son números reales. Igualdad de Matrices: Dos matrices A y B son iguales si y solo si a ij = b ij, a ij A, b ij B. Producto de Matrices: Si A M R n m B M R m p, entonces AB M R n p. Primera Edición - 206

2 Ejercicio : Suma de Matrices Encuentre los valore de a y b para que a 2 b + b 5 7 a = Solución Para poder determinar los valores de a y b de tal manera que se cumpla la igualdad, primero se debe solucionar la suma que se encuentra a la izquierda de la igualdad, pues para realizar la comparación se debe tener solo una matriz a cada lado de la igualdad. a 2 b + b 5 7 a = a + b b a = Definición de suma de matrices. a + b = = = 5 b a = 3 i ii iii iv Definición de igualdad entre matrices. A partir de estas igualdades, se pueden establecer los valores de a y b mediante la resolución de las ecuaciones i y iv. En este caso se utilizará el método de sustitución. Observe que las igualdades ii y iii se cumplen. b = 3 + a v Despejar b de la ecuación iv. a a = 5 a a = 5 2a = 5 3 2a = 504 a = 09 = Reemplazar el valor de b en la ecuación i. Eliminar paréntesis. Sumar términos semejantes a la izquierda de la igualdad y restar 3 a ambos lados de la igualdad para dejar los términos independientes a la dereca. Resolver operaciones. Despejar a y resolver operaciones. Con esto se obtiene el valor de a. Primera Edición

3 b = b = b = = 99 6 Reemplazar el valor de a en v. Resolver operaciones. Resolver operaciones y encontrar el valor de b. Los valores de a y b para los cuales se cumple la igualdad son a = 09 6 y b = Ejercicio 2: Multiplicación de matrices e inversa de una matriz Demostrar que las matrices de la forma M R2, con entradas reales, conmutan al multiplicarlas entre sí y se obtiene una matriz del mismo tipo. Además encuentre la matriz inversa de. Solución Dado que se pide demostrar la conmutatividad, debe tomarse 2 matrices A y B que tengan la forma mencionada y mostrar que AB = BA. Ya que las matrices son de 2 2, es factible realizar estas operaciones, pues el procedimiento no resulta extenso. Sean A = a b d y B = c, entones b a d c AB = a b d c b a d c ac bd ad bc AB = bc + ad bd + ac Definición de multiplicación. BA = c d b a d c b a Conmutatividad. ca db cb da BA = da + cb db + ca Definición de multiplicación. ac bd ad bc db cb da = ca bc + ad bd + ac da + cb db + ca Definición de conmutatividad de matrices. ac bd ad bc bd ad bc = ac bc + ad bd + ac bc + ad bd + ac Reorganización de los términos de la matriz ubicada a la dereca de la igualdad. En este caso se aplicó la propiedad conmutativa tanto de la suma como del producto de R. Esto es posible porque los términos de estas matrices son números reales. Primera Edición

4 ac bd ad + bc ac bd ad + bc = ad + bc ac bd ad + bc ac bd Reorganizar los términos de las matrices y factorizar el signo menos. Al comparar los términos correspondientes en cada una de las matrices, se observa que estos términos son iguales, es decir, ab ij = ba ij, ab AB ba BA. Por lo tanto, las matrices de la forma conmutan al multiplicarlas. Además, al comparar los términos correspondientes, se observa que la matriz resultante tiene la misma forma de las matrices originales. Otra forma de realizar esta demostración es comenzar con del producto AB, luego aplicar la conmutatividad en R para reorganizar los términos de la matriz y, finalmente, separar este resultado en el producto de las dos matrices BA. Para encontrar la matriz inversa de, se ará la reducción por filas ya que este método es aplicable para todas las matrices invertibles. 0 0 Matriz ampliada. L L 0 0 Multiplicar la fila por. Esto ace que se encuentre el de la posición a. L 2 L + L L 2 L Multiplicar la fila por y luego sumar la fila 2; este resultado se reemplaza en la fila 2 con el fin de encontrar el cero 0 de la posición a 2. Realizar operaciones correspondientes. Multiplicar la fila 2 por Esto ace que se encuentre el de la posición a 22. L L 2 + L Multiplicar la fila 2 por y luego sumar la fila ; este resultado se reemplaza en la fila con el fin de encontrar el cero 0 de la posición a 2. Eliminar paréntesis en a. Primera Edición

5 Realizar operaciones en a Realizar operaciones en a. Observe que se factorizó en el numerador de la facción Eliminar paréntesis en a. Observe que se simplificó el valor de y luego se sacaron todos los términos de los paréntesis. 0 0 Realizar operaciones correspondientes. La matriz inversa de la matriz es =. Para comprobar que efectivamente la matriz encontrada es la inversa de la matriz inicial, se deben multiplicar y el resultado debe ser la matriz I n. Entonces: Matriz inicial por su inversa Definición multiplicación matrices. de entre Realizar operaciones dentro de cada uno de los paréntesis. Eliminar paréntesis. Realizar operaciones en cada una de las entradas de la matriz. Observe que en la primera entrada a, se aplicó la propiedad conmutativa en el numerador. Primera Edición

6 0 0 Realizar operaciones en cada una de las entradas de la matriz. Observe que en las entradas a 2 y a 2 el numerador se ace cero 0, por lo que la fracción completa se ace cero 0. Además, en las entradas a y a 22 tanto el numerador como el denominador son iguales, por lo tanto, al acer la división el resultado es. Por lo tanto, la matriz inversa que se encontró es correcta. Ejercicio 3: Dada la matriz A = 0 3 2, encuentre las matrices B, tal que AB = I 2. Solución a Como A M R 2 3 y AB = I 2, significa que B M R 3 2. Si B = c e cumplirse que b d, entonces debe f 0 3 a b 2 c d = 0 e f 0 0 a + 3 c + e 0 b + 3 d + f a + 2 c + e b + 2 d + f = 0 0 Definición de multiplicación de matrices. 3c e 3d f a + 2c + e b + 2d + f = 0 0 Realizar operaciones. 3c e = 3d f = 0 a + 2c + e = 0 b + 2d + f = e = 3c vi vii viii ix Definición de igualdad entre matrices. A partir de estas igualdades, se pueden establecer los valores de a, b, c, d, e y f mediante la resolución de las distintas ecuaciones. Es importante mencionar que al aber más incógnitas que ecuaciones, algunas de las incógnitas quedarán en funciones de otras. En este caso se utilizará el método de sustitución. Despejar e de vi y f de vii. Primera Edición

7 f = 3d a + 2c + 3c = 0 a = 5c b + 2d + 3d = b = 5d 5c 5d c d 3c 3d Reemplazar el valor de e en viii. Resolver operaciones y despejar a. Reemplazar el valor de f en ix. Resolver operaciones y despejar b. Escribir la matriz B. 5c 5d Las matrices que B tales que AB = I 2 son las matrices de la forma c d. Es necesario 3c 3d destacar que c y d son valores independientes, a partir de los cuales se construye la matriz B mientras que a, b, e y f son valores dependientes. Para ver algún ejemplo de matriz B, basta con darle valores c y d. Por ejemplo, si c = 7 y d = 3, se tendría la matriz B = B = B = Reemplazar los valores de c y d en la matriz B. Eliminar paréntesis. Realizar operaciones. Finalmente, para comprobar que la matriz cumple con las condiciones dadas inicialmente, se realiza el producto correspondiente. AB = Reemplazar las matrices A y B AB = Definición de multiplicación de matrices AB = Realizar operaciones en cada una de las componentes. Primera Edición

8 AB = 0 0 Realizar operaciones. Por lo tanto, la matriz B elegida cumple con las condiciones dadas inicialmente. Primera Edición - 206

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