ESTADÍSTICA INFERENCIAL. Sesión 6: Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas

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1 ESTADÍSTICA INFERENCIAL Sesión 6: Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas

2 Contextualización Las variables aleatorias discretas son aquellas que toman estrictamente valores enteros, por lo que generalmente se aplican en procesos probabilísticos de conteo. Por su parte, las variables aleatorias continuas no se restringen a valores enteros, sino que pueden asumir, además de éstos, valores decimales comprendidos entre valores enteros, es decir, pueden tomar cualquier valor de manera continua que se encuentre entre valores discretos. En términos matemáticos, los valores discretos se denominan numerables, mientras que a los valores continuos se les conoce como no numerables.

3 Introducción En esta sesión se estudiarán distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas, específicamente la distribución normal, así como su aproximación a la distribución binomial, dando el conocimiento del uso de sus formulas y las diferencias que caracterizas a cada una de estas, sabiendo como y donde se pueden aplicar para tener un resultado mas preciso.

4 Variables aleatorias continuas. Definición de variable aleatoria continua Sea ε un experimento y Ώ su respectivo espacio muestral asociado. A la función (o relación) X, que asigna un número real X(ω) a cada elemento ω (letra griega omega, en minúscula) que pertenece a Ώ, se le denomina variable aleatoria continua si X(ω) puede tomar valores continuos, es decir, valores decimales que se encuentran entre valores discretos o enteros a, b. En este sentido, el conjunto {a X b} es un suceso o evento de Ώ. Si la distribución de probabilidad de la variable aleatoria se rige por una función f,1 entonces la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre los números a y b se denota como P(a X b) y equivale al área bajo la curva de f entre x = a y x = b.

5 Variables aleatorias continuas. Definición de variable aleatoria continua Área que puede obtenerse mediante el cálculo de la siguiente integral:

6 Distribución normal de probabilidad Al estudiar alguna característica particular de diversos fenómenos naturales y sociales, se dice que asumen un comportamiento normal aquellos que concentran la mayoría de las observaciones cercanas a un valor promedio y la minoría en valores extremos. Por ejemplo: Al medir la estatura de un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellas tiene una estatura muy cercana a un cierto valor promedio. Al pesar a un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellas tienen un peso muy cercano a un cierto valor promedio. Si se mide el coeficiente intelectual de un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellas tienen un coeficiente muy cercano a un cierto valor promedio

7 Distribución normal de probabilidad La distribución normal tiene una representación gráfica en forma de campana, frecuentemente denominada campana de Gauss en honor al célebre matemático alemán Karl F. Gauss, quien realizó importantes aportaciones al estudio de la distribución normal. Esta representación gráfica se caracteriza por ser una curva simétrica respecto al eje y.

8 Definición de distribución normal Sea X una variable aleatoria. La expresión: Significa que X se distribuye como una normal, con parámetros μ (letra griega mu) y σ (letra griega sigma), donde: X = Variable aleatoria μ = Media poblacional σ = Desviación estándar poblacional Una vez que se sabe que un fenómeno tiene una distribución normal y se conoce la media y la desviación estándar poblacionales, puede entonces calcularse la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos; por ejemplo, la probabilidad de que al seleccionar a una persona de un grupo de individuos de la misma edad: Su estatura sea menor que un valor dado. Su estatura sea mayor que un valor dado. Su estatura se encuentre entre dos valores determinados.

9 Área bajo la curva de una distribución normal Como ya se mencionó, el cálculo de probabilidad de ocurrencia de eventos asociados a una variable aleatoria con distribución normal equivale a calcular el área bajo la curva normal delimitada por ciertos valores. Por ejemplo, la Secretaría de la Defensa Nacional lleva un registro de todos los jóvenes que prestan su servicio militar.

10 Área bajo la curva de una distribución normal Considerando que sus edades son muy similares, puede resultar de interés que al seleccionar a uno de ellos: Su estatura sea menor que un valor x1, lo que se denota como P( X x 1 ) Su estatura sea mayor que un valor x2, lo que se denota como P( X x 2 ) Su estatura se encuentre entre los valores x 1 y x 2, lo que se denota como P(x 1 X x 2 ). Esto significaría calcular el área bajo la curva mediante las siguientes integrales:

11 Conclusión Con la representación grafica se puede conocer de una forma mas precisa el actuar de los elementos que se estudian, es decir, con las áreas sombreadas dentro de una grafica se puede conocer lo que abarca o lo que no, dando la oportunidad de conocer los elementos que se buscan o a los que se desea dar una presencia mas amplia. Para lograr graficar se tiene que conocer la forma de resolver integrales y los elementos que pueden determinarse con estas operaciones. Se requiere del conocimiento de la prioridad de elementos para que los resultados no se alteren, es decir, saber si primero se multiplica, se suma, se resta o multiplica, y tener los conocimientos necesarios en los despejes de ecuaciones para facilitar la resolución y graficacion de los mismos.

12 Para aprender más Normalización y cálculo de probabilidad Para calcular probabilidades de ocurrencia de eventos asociados a una distribución normal es importante considerar dos propiedades fundamentales: El área total bajo la curva normal es igual a uno. La curva es simétrica respecto a la media, por lo que el área de cada mitad corresponde al cincuenta por ciento.

13 Aproximación normal de probabilidades binomiales La distribución binomial P(X= k)= b(k;n, p) puede acercarse notablemente a la distribución normal cuando n es grande y ni p ni q tienen valores cercanos a cero, donde: n=número de ensayos o repeticiones del experimento k = Número de éxitos p= Probabilidad de éxito q= Probabilidad de fracaso Para calcular probabilidades aproximando la distribución normal a la binomial se tiene que: µ = np σ=npq

14 Referencias García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de Cultura Económica. Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana. Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley Iberoamericana. Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM. (2007). Estadística básica con Excel. México: UNAM. Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.

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