Convergencia de sucesiones y series de funciones

Transcripción

1 Covergecia de sucesioes y series de fucioes El objetivo de esta práctica es usar el programa Mathematica para ilustrar mediate aimacioes gráficas los coceptos de covergecia putual y uiforme. Al mismo tiempo, aprederemos alguos comados y procedimietos de Mathematica que tiee iterés por sí mismos. Como sabes, el campo de covergecia putual de ua sucesió de fucioes { f } que supoemos defiidas e u itervalo I, es el cojuto C = {x I : { f (x)} es covergete}; y, supuesto que C Ø, la fució límite putual de { f } es la fució f : C R dada por f (x) = lím{ f (x)} para todo x C. Se dice tambié que la sucesió { f } coverge putualmete e C. Dado u itervalo J C, se dice que { f } coverge uiformemete e J si para todo ε > 0 existe u úmero atural ε tal que para todo ε se verifica que sup{ f (x) f (x) : x J} ε. Ejemplo 1 Defiamos las fucioes f : [0,1] R por f (x) = x (1 x ). Vamos a represetar jutas las gráficas de las primeras quice fucioes de esta sucesió. Recuerda que el comado Plot[f, {x, xmi, xmax}] dibuja la gráfica de f como fució de x e el itervalo [xmi,xmax]; y Plot[{f 1,f,...},{x, xmi, xmax}] dibuja jutas las gráficas de las fucioes f 1,f,... Observa que {f 1,f,...} es ua lista. Ua lista es simplemete cualquier objeto ecerrado etre llaves { }. Mathematica utiliza listas para fies muy diversos, como para defiir vectores o matrices y e muchas otras situacioes. Como escribir la lista co las primeras quice fucioes de uestra sucesió es bastate pesado, podemos pedirle a Mathematica que lo haga. Ua forma usual de geerar iistas co Mathematica la proporcioa el comado Table[expr, {i, imax}] que geera ua lista co los valores de expr cuado i recorre los eteros de 1 a imax. Debido a la forma e que Plot evalúa sus argumetos, asigado primero valores a la variable x y evaluado después las fucioes e dichos valores, cuado la lista de fucioes de Plot viee dada por u comado como, por ejemplo, Table, es preciso usar Evaluate para que Mathematica haga primero la lista de fucioes y después las evalúe (pues de otra forma Mathematica trataría de producir ua ueva tabla para cada valor de x lo que produce u error de salida). Recordemos que Plot tiee muchas opcioes, ua de ellas es PlotRage->{ymi,ymax} que sirve para idicar el itervalo del eje de ordeadas dode queremos que se represete las fucioes. Ahora ya puedes etrar e Mathematica la siguiete orde: I[1]:= Plot[Evaluate[Table[x i(1-x i),{i,15}]], {x,0,1}, PlotRage->{0,0.3}] Out[1]= -Graphics- Es imediato que lím{ f (x)} = 0, para todo x [0,1]; pero al observar las gráficas te darás cueta de que cuado x está muy próximo a 1 la sucesió { f (x)} coverge a 0 muy letamete. Podemos haceros idea de la rapidez co que { f (x)} coverge a 0 pidiédole a Mathematica que haga ua lista co los primeros térmios de { f (x)}, lista que después evaluaremos para distitos valores de x y de. 1

2 Prácticas de ordeador. Covergecia de sucesioes y series de fucioes I[]:= f[_,x_]:=x (1-x ) I[3]:= sucesio[_,x_]:=table[f[i,x],{i,}] Si ahora escribes sucesio[1000,0.99] obtedrás ua lista co las primeras mil fucioes de la sucesió evaluadas e x = 0,99. Observa que los valores e la lista va creciedo hasta llegar a 0,5 y después decrece hasta hacerse muy pequeños, de hecho el último valor es meor que Si ahora escribes sucesio[1000,0.999] verás que tambié los valores e la lista crece hasta llegar a 0,5 y después decrece pero ya o se hace ta pequeños. Podemos itetar calcular m tal que para m tegamos que f (0,999) < Como, evidetemete, f (x) x, es suficiete tomar m tal que (0,999) m < Tomado logaritmos y despejado resulta que: I[4]:= m=floor[log[10-4]/log[0.999]]+1 Out[4]= 906 Dode hemos usado la fució parte etera que e Mathematica se escribe Floor[x] y da el mayor etero meor o igual que x. Puedes probar ahora co x = 0,9999 y obtedrás m = Ya ves que cuato más próximo está x a 1 hay que tomar valores mayores de para lograr que f (x) < Lo aterior os idica que { f } o coverge uiformemete e [0,1]. De hecho, observado las gráficas que obtuvimos ates, parece que el mayor valor que alcaza las fucioes de la sucesió e dicho itervalo es igual a 0,5. Para comprobarlo podemos estudiar la derivada de f. I[5]:= Simplify[D[f[,x],x]] Out[5]= -x (-1+ )(-1 + x ) La forma de la derivada permite deducir fácilmete que f es creciete e [0, 1 ] y decreciete e [ 1,1] por lo que máx{ f ( (x) : x [0,1]} = f 1 ) = 1/4. Hemos probado así que { f } o coverge uiformemete e [0,1]. El estudio aterior sugiere que puede haber covergecia uiforme e itervalos de la forma [0, a] dode 0 < a < 1. E efecto, dado 0 < a < 1, tomemos p N tal que a < 1 p. Etoces, para todo p 1 teemos que a [0, 1 p ] [0, ] por lo que máx{ f (x) : x [0,a]} = f (a), y como lím{ f (a)} = 0 cocluimos que { f } coverge uiformemete e [0,a]. Modificado u poco la gráfica que hicimos al pricipio podemos obteer ua aimació co las gráficas de las primeras quice fucioes. Basta para ello co hacer ua tabla co las quice gráficas.

3 Prácticas de ordeador. Covergecia de sucesioes y series de fucioes 3 I[6]:= Table[Plot[f[k,x],{x,0,1},PlotRage->{0,0.3}], {k,15}] Out[6]= -Graphics- Seleccioa uo de los gráficos co el botó izquierdo del rató y haz doble click para ver la aimació. Si va muy rápida puedes cotrolar la velocidad co los botoes que habrá aparecido e la esquia iferior izquierda de la vetaa. Ejemplo Defiamos f : R + R por f (x) = ( x 1). Si duda recuerdas que lím{ f (x)} = logx, para todo x R +. Las gráficas y la aimació que sigue, e las que he itroducido pequeñas variates que te permite elegir diversos parámetros, te ayudará a visualizar la covergecia de esta sucesió. I[7]:= Clear["Global *"] I[8]:= g[_,x_]:= (x (1/)-1) I[9]:= grafgk[_,a_,b_,c_,d_]:= Plot[Evaluate[Table[g[k,x], {k,}]], {x,a,b}, PlotRage->{c,d}, PlotStyle->Table[RGBColor[0,0,1],{}], DisplayFuctio->Idetity] I[10]:= graflog[a_,b_,c_,d_]:= Plot[Log[x],{x,a,b}, PlotRage->{c,d}, PlotStyle->RGBColor[1,0,0], DisplayFuctio->Idetity] I[11]:= graficas[_,a_,b_,c_,d_]:= Show[grafgk[,a,b,c,d], graflog[a,b,c,d], DisplayFuctio->$DisplayFuctio] I[1]:= grafgklog[_,a_,b_,c_,d_]:= Plot[{g[,x],Log[x]}, {x,a,b},plotrage->{c,d}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}] I[13]:= aimacio[_,a_,b_,c_,d_]:= Table[grafgklog[k,a,b,c,d],{k,}] Escribe ahora graficas[10,0.3,15,-1,5.5]. Cambia alguos parámetros para ver qué pasa. Observa cómo la aproximació es peor al aumetar el itervalo [a,b]. Fialmete, para ver la aimació puedes escribir aimacio[15,0.3,55,-1,6]. Experimeta u poco al cambiar los parámetros.

4 Prácticas de ordeador. Covergecia de sucesioes y series de fucioes 4 Como hemos visto e clase, la sucesió que estamos cosiderado coverge uiformemete e itervalos cerrados y acotados coteidos e R + pero o coverge uiformemete e igú itervalo del tipo ]0,a] (porque f (e ) log(e ) = (1/e 1) + = /e) i tampoco e igú itervalo del tipo [a,+ [ (porque f (e ) log(e ) = (e 1) = (e )). Series de Taylor Dada ua sucesió de fucioes { f }, podemos formar otra, {F }, cuyos térmios se obtiee sumado cosecutivamete los de { f }. Es decir, F 1 = f 1, F = f 1 + f, F 3 = f 1 + f + f 3, e geeral F = La sucesió {F } así defiida se llama serie de térmio geeral f y la represetaremos por el símbolo f. Los coceptos de covergecia putual y uiforme para sucesioes de fucioes se aplica igual para series. Así el campo de covergecia putual de la serie f k=1 f k. cuyas fucioes f supoemos defiidas e u itervalo I, es el cojuto C = {x I : f (x) es covergete}. La úica ovedad es que ahora tambié podemos cosiderar el campo de covergecia absoluta de la serie, que es el cojuto A = {x I : f (x) es covergete}. Uas series de fucioes muy importates so las llamadas series de potecias"que so series del c (x a) dode {c } 0 es ua sucesió de úmeros reales llamados coeficietes de la serie, y tipo 0 a es u úmero real. Se dice que la serie c (x a) está cetrada e a. Las series de potecias más 0 frecuetes y útiles so las series de Taylor. Dada ua fució f que tiee derivadas de todos órdees e f (k) (a) u puto a, se defie la serie de Taylor de f e el puto a como la serie de potecias (x a) k, k 0 k! co los coveios usuales. Recuerda que la suma parcial -ésima de la serie de Taylor es el poliomio de Taylor de orde de f e a, que represetamos como T ( f,a)(x) = f (a) + k=1 f (k) (a) (x a) k. Observa k! que la serie de Taylor es la sucesió de los poliomios de Taylor. Vamos a realizar ua aimació mostrado cómo los gráficos de los poliomios de Taylor del coseo se va aproximado a la gráfica del coseo. El comado Series[fuc,{x,a,grado}] calcula la serie de Taylor de fuc e la variable x cetrada e a hasta los térmios que idica grado. Escribe Series[Cos[x],{x,0,10}] y observa que al fial de la respuesta al comado aparece el orde de error O[x] 11, que os idica que los térmios que falta de la serie so todos de grado mayor o igual que oce. Fíjate que e el caso del coseo, los térmios de potecia 11 o existe pues, al ser ua fució par, las derivadas de orde impar del coseo e cero so ulas, pero el comado usado o iforma a Mathematica de este detalle. Para obteer solamete el poliomio de Taylor si que aparezca el térmio de error basta escribir Normal[Series[Cos[x],{x,0,10}]]. Vamos a defiir ua fució que calcule poliomios de Taylor e cero del coseo. Para ello escribe Table[scos[,x_]=Normal[Series[Cos[x],{x,0,}]],{,0,100,}]; o olvides el ; al fial para evitar que la respuesta salga e patalla y la ocupe toda. El comado aterior crea ua lista co los poliomios de Taylor hasta el orde 100 y les da el ombre scos[,x]. Como los poliomios de grados y +1 coicide, hemos hecho que el cotador tome solo los valores pares desde cero a cie. Puedes comprobarlo pidiedo a Mathematica scos[,x] para distitos valores

5 Prácticas de ordeador. Covergecia de sucesioes y series de fucioes 5 pares de. Defiamos ahora ua fució que realice pero o muestre e patalla el gráfico del coseo juto co el de scos[,x] e u itervalo [a,b]. I[14]:= graf[_,a_,b_]:=plot[{cos[x],scos[,x]},{x,a,b}, PlotRage->{-,}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}] Escribe graf[10,-pi,pi] para ver la gráfica del coseo y de su poliomio de Taylor de orde 10, e [-Pi,Pi]. Puedes variar el itervalo para comprobar que al aumetarlo la aproximació e putos lejaos es mala. Fialmete, como ya vimos ates, para hacer ua aimació cualquiera es ecesario hacer todos los cuadros de la aimació, como e u dibujo aimado. Nuestra aimació costará de 1 cuadros que será los valores de graf[,a,b] para tomado valores de 0 a 40 de e. Esto ya sabrás cómo hacerlo, verdad? Es fácil, basta escribir aimacos[a_,b_]:=table[graf[,a,b],{,0,0,}] y Mathematica se ecarga del resto. Compruébalo escribiedo aimacos[-pi,pi]. Ua vez que tiees los cuadros de la aimació, seleccioas uo de ellos y haces doble click. Puedes cotrolar la velocidad como e los casos ateriores. Ejercicios Experimeta co lo que has apredido, modificado de forma coveiete los comados, para realizar ua aimació de la covergecia de la series de Taylor del seo (Si[x]) y del arcotagete (ArcTa[x]) e x = 0. Elige itervalos y rago de represetació adecuados. Observas algú comportamieto particular e las aproximacioes al arcotagete? Sabes explicarlo?