Calculo de límites vol.1

Transcripción

1 Calculo de límites vol.1

2 Propiedades de los límites Teoría Ejemplos f (x)= p g( x)=q f (x)=2 g( x)= (f (x)+ g(x))= p+q (f (x) g(x))= p q (f (x) g(x))= p q ( f (x) g(x) )= p q si q 0 (k f (x))=k p k R (f (x)) g(x) =p q si p q es unnúmero real (f (x)+ g(x))=2+=5 (f (x) g(x))=2 = 1 (f (x) g(x))=2 =6 ( f (x) g(x) )= 2 (5 f (x))=5 2=10 (f (x)) g(x) =2 =8

3 Calculo de límites A la hora de calcular límites se nos pueden presentar las siguientes posibilidades: Caso 1: Se obtiene un valor real x 2 x+2=4 Caso 2: Se obtiene Tanto en este caso como en los otros lo que hacemos es sustituir el valor hacia el que tiende la x en la función: 2+2=4 x + x 2 = 0 =+ Caso : Se obtiene k/ donde k es un número real y esto vale 0 x 2= =0 Caso 4: Se obtiene una indeterminación. x x 2= 0 0

4 Calculo de límites II Caso 2: Se obtiene Cuando el resultado es un número real divido por cero el valor de la función tiende a infinito pero debemos de calcular el signo del infinito. En este caso hayamos los límite laterales de la función. Es posible que no coincidan y por tanto que el límite no exista. (Recordemos que para que un límite exista los límites laterales deben coincidir). x 2 5 x x 2 = 10 0 f (x)= 5 1,9999 x 2 1, =10 0 = = - f (x)= 5 2,0001 x 2 2, =10 0 = =+ + Al no coincidir los límites laterales esta función no tiene límite cuando la x tiende a 2. NOTA: Esto es un ejemplo. No se pone lo que se encuentra en gris. En su lugar se pone el siguiente resultado, indicando si nos aproximamos a 0 por la derecha (positivo) o por la izquierda (negativo).

5 Calculo de límites III Vamos a analizar mediante ejemplos las posibles opciones que se nos pueden presentar cuando trabajamos con infinitos. Estudiaremos las indeterminaciones un poco más adelante. 1-. Si al realizar el límite nos encontramos con elevado a un número real distinto de 0 el resultado será infinito, respetando los signos como si fuese un número. x =+ x x = x x 2 =+ 2-. Si al realizar el límite nos encontramos con un número POSITIVO (distinto de 0 y 1) elevado a + el resultado será si el número es mayor que 1 (o 0 si el número se encuentra entre 0 y 1). 4 x =+ 0,4 x =0 x 4 x =4 = 1 4 = 1 =0 No podemos elevar un número negativo a infinito. Recuerda a b = 1 a b

6 Calculo de límites IV -. Si nos sale + el resultado es x 2 +x=+ + =+ 4-. Si nos sale +k, donde k es un número, el resultado es x 2 =+ =+ x x+= += 5-. Si nos sale k, donde k es un número, el resultado es x 2 = =+ x 2 = =

7 Calculo de límites V 6-. Si nos sale k/0, donde k es un número distinto de 0, el resultado es + o - CUIDADO con los Limites LATERALES x 2= 0 =+ x = = x = 0 = Si nos sale el resultado es con su correspondiente signo: x e x = =+ 8-. Si nos sale + elevado a el resultado puede ser o 0. (x 2 5) x =+ + =+ (x 2 5) x =+ =0 x

8 Indeterminaciones A la hora de calcular límites pueden salirnos 7 tipos de resultados cuya resolución no es tan sencilla. A estos casos se les denominan indeterminaciones: 1 x 2 2 x 2 ( x 2 x x ) x x x ln(x 2 ) x x x 1 x 2 x+2 x 1 ( 1 2 x x ) Con las herramientas actuales solo podemos resolver algunas de estas indeterminaciones. Más adelante aprenderemos a resolver el resto.

9 Indeterminaciones I En estos casos, cuando tenemos funciones con polinomios arriba y abajo (las raíces también cuentan ya que se pueden poner como exponente) nos fijamos en exponente del término principal del numerador y del denominador. x +2 x 2 x 2 x 2 +5 x 1 = = x 2 x 2 =+ Si el exponente del término principal del numerador es mayor que el del denominador entonces el límite vale infinito 1 x +2 x 2 2 x 2 x +5 x 1 = = x + x 2 x = 2 Si el exponente del término principal del numerador es igual que el del denominador entonces el límite vale el cociente de los coeficientes. x +2 x 2 x 2 x 4 +5 x 1 = = x 2 x 4 =0 Si el exponente del término principal del numerador es menor que el del denominador entonces el límite vale 0.

10 Indeterminaciones I NUEVO De igual forma trabajamos cuando nos aparezcan raíces, teniendo en cuenta que las raíces son exponentes fraccionarios. 2 x 2 x 2 x 9 +5 x 1 = = 2 x 2 2 x 9 = 2 x 2 2 x 9 = 2 x 2 2 x =0 Cogemos el exponente más grande de arriba y abajo. Comparamos los exponentes. Transformamos la raíz en exponente fraccionario.

11 Indeterminaciones I NUEVO Es muy importante que tengamos en cuenta el coeficiente que se encuentra dentro de la raíz, especialmente a cuando los grados son iguales arriba y abajo. 2 x x 2 x 9 +5 x 1 = = 2 x 2 x 9 = 2 x 2 x 9 = 2 x 2 x = 2 2 Cogemos el exponente más grande de arriba y abajo. Comparamos los exponentes. Transformamos la raíz en exponente fraccionario.

12 Indeterminaciones I NUEVO En ocasiones nos encontraremos con varias raíces. En estos casos hay que tener cuidado. 5 x x x 2 x = = x + 5 x x 2 2= + 4 x 5 x x+2 x = 5 x x = 5 Cogemos los exponentes más grandes de cada raíz. Comparamos los exponentes. Transformamos la raíz en exponente fraccionario y simplificamos si podemos. Nota: Si vemos directamente que el exponente final de una de las raíces va a ser menor que el de la otra, podemos coger directamente el mayor.

13 Indeterminaciones II En estos casos tenemos que diferenciar entre si son solo polinomios o si hay raíces. 0 0 Caso 1: Polinomios. El método consiste en factorizar y simplificar la fracción algebraica resultante: x 2 x 2 + x 18 x 2 x 2 = 0 0 = x 2 ( x 2)( x+) (x 2)(x+1) = x 2 ( x+) (x+1) = (2+) (2+1) =15 =5 1º Realizamos el límite y obtenemos una indeterminación. 2º Factorizamos tanto el numerador como el denominador. NO OLVIDAR PONER EL COEFICIENTE DEL TÉRMINO PRINCIPAL. º Simplificamos todo lo que podamos. 4º Volvemos a realizar el límite.

14 Indeterminaciones III NUEVO Caso 2: Raíces. En estos casos hay que multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador o del numerador, según donde esté la raíz. (cambiando el signo): 0 0 Cuando multipliquemos por el conjugado solo debemos de hacer la identidad notable. x x x = 0 0 = Obtenemos una indeterminación al ejecutar el límite. = x x x+ x x+ = x (x )( x+) = x 9 x (x )( x+) = (x ) x ( x+) = 6 =2 Puede ser que el polinomio no esté factorizado (en este caso si lo está (x-)). Si no lo estuviera es conveniente factorizar. Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado. En ocasiones al realizar la identidad notable nos saldra un polinomio no factorizado. Debemos factorizarlo para poder simplificar. Simplificamos lo que podamos. Realizamos el límite.

15 Indeterminaciones III NUEVO Caso 2: Raíces. Cuando hay raíces en el numerador y en denominador multiplicamos ambas por su conjugado, realizando solo las identidades notables: 0 0 Ejecutamos las identidades notables del numerador y del denominador. x 2 x+ x = 0 0 = Obtenemos una indeterminación al ejecutar el límite. = x ( 2 x+ ) ( x ) ( 2 x ++) ( 2 x ++) ( x+) ( x+) = x (2 x+ 9) ( x 9) ( 2 x++) = ( x+) = x 2( x ) (x ) ( 2 x++) ( x+) = x 2 ( 2 x++) = 2 ( x+) En ocasiones al realizar la identidad notable nos saldra un polinomio no factorizado. Debemos factorizarlo para poder simplificar.

16 Indeterminaciones IV Distinguiremos entre fracciones y entre radicales. Si tan solo son polinomios la x de mayor grado es la que manda. Caso 1: Fracciones algebraicas. El método consiste en simplificar las fracciones algebraicas. Es posible que nos salga otra indeterminación como 0/0. x x x (1 x) 2= = x 1 (1 x) x (1 x) 2 = x x (1 x) 2= 2 0 = Obtenemos una indeterminación al ejecutar el límite. Simplificamos las fracciones algebraicas realizando el mínimo común múltiplo. Después simplificamos lo que podamos el numerador. Realizamos el límite. En este caso los dos límites laterales salen igual ya que el denominador es siempre positivo al estar al cuadrado.

17 Indeterminaciones V Caso 2: Radicales. Aplicamos lo que hemos visto antes. Multiplicamos por el conjugado arriba y abajo. (x+1) x= = ( (x+1) x) (x+1)+ (x) (x+1)+ (x) = x+1 x (x +1)+ (x) = 1 =0 Obtenemos una indeterminación al ejecutar el límite. Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado. Solo ejecutamos la identidad notable. Simplificamos todo lo que podamos. Realizamos el límite.

18 Indeterminaciones VI Cuando obtenemos esta indeterminación podemos aplicar la siguiente fórmula para resolver el límite. 1 ( x 2 x x ) = 1 =e x[ x 2 x x x a 1] =... f (x) g( x) =e x a g(x)[ f ( x) 1] Nota: Para poder aplicar esta fórmula es necesario que cuando x tiende a a, f(x) tienda a 1 y g(x) tienda a infinito. Calculamos el límite aparte para que resulte menos engorroso de escribir. x[ x 2 x 1]= x [ x 2 x x ]= x [ 2 x ]= 2 x x = 2 Simplificamos todo lo posible antes de hallar el límite. Finalmente resolvemos el límite pedido con el valor obtenido. ( x 2 x x ) =1 =e x [ x 2 x x 1] =e 2 = 1 e 2

19 Infinitésimos Se dice que una función y=f(x) es un infinitésimo en x=a, si se verifica que: Si f(x) y g(x) son infinitésimos en x=a y además: Vamos a ver algunos ejemplos: x a f (x) g(x) =1 f (x)=0 decimos entonces que son infinitésimos equivalentes. Cuando x 0 Cuando x 1 x sen(x) x arcsen( x) x ln(1+ x) 1 cos(x) x2 2 x 1 ln(x) x tg(x) x arctg(x) x e x 1 arcsen (x) = 0 x 2 0 = x x 2=0 x 2 sen( x 2) = 0 x 2 0 = x 2 x 2 x 2 =1 tg(5 x) ln(1+x) = 0 0 = 5 x x =5