Aplicaciones de la integral definida.

Transcripción

1 Cálculo Mtemático. Práctic 6. Curso AMRP. 1 Aplicciones de l integrl definid. Práctic 6 (Específic de l signtur de Cálculo Mtemático en E.U.A.T.) (Práctic elord prtir de ls relizds en cursos nteriores por los profesores Mrí José Cáceres, Junjo M. Nieto y Óscr Sánchez) Introducción En est práctic veremos como clculr el áre de regiones plns, l longitud de rcos de curvs, el áre de superficies de revolución, el volumen de sólidos de revolución y el volumen de sólidos de secciones conocids, todo ello como plicción del concepto de integrl definid. Áre de un región pln definid por un o dos curvs ü Áre de un región definid por l gráfic de un función y el eje horizontl Dd un función f D Ø R continu, el áre que qued entre l gráfic de f, el eje OX y ls rects verticles x= y x= viene dd por l expresión À f HxLÀdx. Es clro que l dificultd de este cálculo es determinr los puntos, si los hy, donde f cmi de signo. Vemos un ejemplo. f@x_d := x^3 3 x^2+ 1; Plot@f@xD, 8x, 1, 3<D; Buscmos los puntos de corte con los ejes. pcorte = NSolve@f@xD, xd Llmmos tles puntos, y c. = x ê. pcorte@@1dd = x ê. pcorte@@2dd c = x ê. pcorte@@3dd

2 2 AMRP. Curso Práctic 6. Cálculo Mtemático. Diujmos de nuevo y clculmos el áre uscd. Pr relizr el diujo utilizremos el comndo FilledPlot pr somrer l región que nos interes. Pr poder usr FilledPlot hy que crgr previmente el pquete Grphics`- FilledPlot`. << Grphics`FilledPlot` FilledPlot@f@xD, 8x,, c<d; Teniendo en cuent que f es positiv ntre y y que es negtiv entre y c, podemos y clculr. Integrte@f@xD, 8x,, <D Integrte@f@xD, 8x,, c<d ü Oservción En versiones ntigus de Mthemtic (l 3. por ejemplo) el uso del vlor soluto (As) en Integrte puede dr lugr resultdos erróneos. En ls versiones moderns (l 5.2 por ejemplo) este prolem prece her sido resuelto. Integrte@As@f@xDD, 8x,, c<d Integrte@As@f@xDD, 8x,, <D Integrte@As@f@xDD, 8x,, c<d ü Áre de un región limitd por dos funciones Dds dos funciones f, g D Ø R continus, el áre que qued entre l gráfic de f, l gráfic de g y ls rects verticles x= y x= es igul À f HxL - ghxlàdx. En este cso l dificultd está en determinr los puntos de corte, si los hy, de ls dos gráfics. Vemos un ejemplo. f[x_]:=cos[x]; (*en rojo*) g[x_]:=x^2-x-1; (*en zul*) Plot[{f[x],g[x]},{x,-3,3},PlotStyle->{{RGBColor[1,,]},{RGBColor[,,1]}}]; Loclizmos los puntos de corte entre f y g y los gurdmos. (Intent uscrlos con NSolve). FindRoot@f@xD g@xd, 8x, 1<D = x ê. % FindRoot@f@xD g@xd, 8x, 1<D = x ê. % Diujmos l región concret y clculmos el áre uscd oservndo que f está por encim de g en [,]. FilledPlot@8f@xD, g@xd<, 8x,, <D; Integrte@f@xD g@xd, 8x,, <D

3 Cálculo Mtemático. Práctic 6. Curso AMRP. 3 Longitud de un rco de curv ü Curv dd explícitmente Cundo l curv está dd por un función derivle f D Ø R, con f ' continu en [,], su longitud es igul "####################### 1 + H f ' HxLL 2 dx. Vemos un ejemplo. f@x_d := Tn@xD H 1.3, 1.3D L Plot@f@xD, 8x, 1.3, 1.3<D; longitud = NIntegrte@Sqrt@1 + Hf'@xDL ^2D, 8x, 1.3, 1.3<D ü Curv dd en prmétrics Cundo l curv está dd en prmétrics D Ø R 2, HtL = HxHtL, yhtll, (siendo x(t), y(t) funciones derivles con continuidd en [,]) su longitud es igul "################################# Hx' HtLL 2 + Hy' HtLL 2 dt. Vemos el ejemplo de un curv llmd crdioide* (ecución implícit Hx 2 + y 2 - xl 2 = 2 Hx 2 + y 2 L, > ) cuy longitud es 8. Ls prmétrics que dmos quí están definids en [-, ] pero por rzones técnics trjremos en [-3,3] pr pintr y en [-6,6] en l integrl, por lo que hrá un pequeño error l clculr l longitud. *Referenci: = 1; x@t_d := 2 H1 t^2lêh1 + t^2l^2; y@t_d := 4 têh1 + t^2l^2; PrmetricPlot@8x@tD, y@td<, 8t, 3, 3<, AspectRtio AutomticD; longitud = NIntegrte@Sqrt@Hx'@tDL ^2 + Hy'@tDL ^2D, 8t, 6, 6<D Vemos dos ejemplos más. lf@t_d := 8 1 Cos@tD, 5 Sin@tD<; PrmetricPlot@lf@tD, 8t,, 2 Pi<, AspectRtio AutomticD; longitud = NIntegrte@Sqrt@Hlf'@tD@@1DDL ^2 + Hlf'@tD@@2DDL ^2D, 8t,, 2 Pi<D curv@t_d := 8Cos@3 td, Sin@2 td<; PrmetricPlot@curv@tD, 8t,, Pi<, AspectRtio AutomticD; longitud = NIntegrte@Sqrt@Hcurv'@tD@@1DDL ^2 + Hcurv'@tD@@2DDL ^2D, 8t,, Pi<D

4 4 AMRP. Curso Práctic 6. Cálculo Mtemático. Áre de un superficie de revolución ü Girndo en torno OX Dd un función positiv y derivle f D Ø R, con f ' continu en [,], genermos un superficie de revolución girndo 36º l gráfic de f entre los puntos x= y x= en torno l eje OX. El áre de l superficie resultnte viene dd por l fórmul 2 p f HxL "################ 1 + H f ' HxLL ######### 2 dx. Vemos un ejemplo. f@x_d := êh5.6 xl + 1 ê 2 Cos@xD; Plot@f@xD, 8x,, 5<, PlotRnge 8, 3<, AspectRtio AutomticD; PrmetricPlot3D@8x, f@xd Cos@uD, f@xd Sin@uD<, 8x,, 5<, 8u, Pi ê 2, 3 Pi ê 2<D; El áre será igul re = 2 Pi NIntegrte@f@xD Sqrt@1 + Hf'@xDL^2D, 8x,, 5<D ü Girndo en torno OY Dd un función derivle f D Ø R, donde > y con f ' continu en [,], genermos un superficie de revolución girndo 36º l gráfic de f entre los puntos x= y x= en torno l eje OY. El áre de l superficie resultnte viene dd por l fórmul 2 p x "################ 1 + H f ' HxLL ######### 2 dx. Vemos como ejemplo el áre de medi esfer (de rdio 1). f@x_d := Sqrt@1 x^2d; Plot@f@xD, 8x,, 1<, PlotRnge 8, 1<, AspectRtio AutomticD; PrmetricPlot3D@8x Cos@uD, x Sin@uD, f@xd<, 8x,, 1<, 8u, Pi ê 2, 3 Pi ê 2<D; Y el áre será igul (y semos que será igul 2p) re = 2 Pi Integrte@x Sqrt@1 + Hf'@xDL^2D, 8x,, 1<D

5 Cálculo Mtemático. Práctic 6. Curso AMRP. 5 Volumen de un sólido de revolución ü Método de discos (giros en torno OX) Dd un función positiv y continu f D Ø R, genermos un sólido de revolución girndo 36º l región que qued jo l gráfic de f entre los puntos x= y x= en torno l eje OX. El volumen de l figur sí construid viene ddo por l fórmul p H f HxLL 2 dx. Vemos un ejemplo. El volumen es: f@x_d := êh5.6 xl + 1 ê 2 Cos@xD; FilledPlot@f@xD, 8x,, 5<, PlotRnge 8, 3<, AspectRtio AutomticD; PrmetricPlot3D@88x, f@xd Cos@uD, f@xd Sin@uD<, 85, f@5d Hx ê 5L Cos@uD, f@5d Hx ê 5L Sin@uD<<, 8x,, 5<, 8u,, 2 Pi<D; volumen = Pi NIntegrte@Hf@xDL ^2, 8x,, 5<D L fórmul se llm de los discos porque se otiene "sumndo" ls áres de los discos que gener cd líne verticl de l región como vemos en l siguiente ilustrción. (Recordmos quí que un integrl es en esenci un "sum infinit", por ello l "sum" de tods ls áres de cd disco, p (rdiol 2 = p (f(x)) 2, d lugr l integrl nterior)

6 6 AMRP. Curso Práctic 6. Cálculo Mtemático. ü Método de tuos (giros en torno OY) Dd un función continu f D Ø R, donde >, genermos un sólido de revolución girndo 36º l región que qued jo l gráfic de f entre los puntos x= y x= en torno l eje OY. El volumen de l figur sí construid viene ddo por l fórmul 2 p xfhxl dx. Vemos un ejemplo. El volumen es: f@x_d := 1 ê 4 + Sqrt@1 ê 4 Hx 1L^2D; H L FilledPlot@f@xD, 8x,.5, 1.5<D; PrmetricPlot3D@8x Cos@uD, x Sin@uD, f@xd<, 8x,.5, 1.5<, 8u,, 2 Pi<D; volumen = 2 Pi NIntegrte@x f@xd, 8x,.5, 1.5<D L fórmul se llm de los tuos porque se otiene "sumndo" ls áres de los tuos que gener cd líne verticl de l región (recordmos quí que un integrl es en esenci un "sum infinit", por ello l "sum" de tods ls áres de cd tuo, 2p(se)(ltur) = 2p x f(x) d lugr l integrl) ü Algun vrinte Podemos usr ests técnics cundo l región girr se l comprendid entre dos funciones continus f, g D Ø R. Genermos un sólido de revolución girndo 36º l región que qued entre ls gráfics de f y g respecto l eje OX y respecto l OY. Si f HxL ghxl tenemos : respecto OX Æ p HH f HxLL 2 - HgHxLL 2 L dx. respecto OY Æ 2 p x H f HxL - ghxll dx. Vemos un ejemplo gráfico.

7 Cálculo Mtemático. Práctic 6. Curso AMRP. 7 f@x_d := Hx 1L^2+ 5 ê 2; H en rojo L g@x_d := Hx 1L^2+ 1 ê 2; H en negro L FilledPlot@8f@xD, g@xd<, 8x,, 2<, PlotRnge 8, 5 ê 2<, PlotStyle 88RGBColor@1,, D<, 8RGBColor@,, D<<D; Girndo est región respecto OX y OY otenemos ls figurs que siguen. PrmetricPlot3D@88x, f@xd Cos@uD, f@xd Sin@uD<, 8x, g@xd Cos@uD, g@xd Sin@uD<<, 8x,, 2<, 8u,, 2 Pi<D; PrmetricPlot3D@88x Cos@uD, x Sin@uD, f@xd<, 8x Cos@uD, x Sin@uD, g@xd<<, 8x,, 2<, 8u,, 2 Pi<D; Los respectivos volumenes son igules volumenox = Pi Integrte@Hf@xDL^2 Hg@xDL^2, 8x,, 2<D volumenoy = 2 Pi Integrte@x Hf@xD g@xdl, 8x,, 2<D ü Un ejemplo plicdo de integrles impropis: Trompet de Griel f@x_d = 1 ê x; FilledPlot@f@xD, 8x, 1., 5.<D; PrmetricPlot3D@8x, f@xd Cos@uD, f@xd Sin@uD<, 8x, 1, 5.<, 8u,, 2 Pi<D; volumen = Limit@Pi Integrte@Hf@xDL ^2, 8x, 1, M<D, M D H Volumen finito L re = Limit@2 Pi Integrte@f@xD Sqrt@1 + Hf'@xDL^2D, 8x, 1, M<D, M D H Áre infinit L Volumen por secciones Consideremos un sólido comprendido entre los puntos x = y x =. Se A(x) el áre de l sección del sólido resultnte de l intersección con el plno perpendiculr l eje OX en el punto x. Supongmos que l función A:[,]Ø R sí definid es continu. Entonces el volumen del sólido viene ddo por l fórmul AHxL dx. Vemos un ejemplo. f@x_d := êh5.6 xl + 1 ê 2 Cos@xD; Plot@f@xD, 8x,, 5<, PlotRnge 8, 2<D; PrmetricPlot3D@88x, f@xd Cos@uD, f@xd Sin@uD<, 85, f@5d x ê 5 Cos@uD, f@5d x ê 5 Sin@uD<<, 8x,, 5<, 8u,, 2 Pi<D; A l vist de l gráfic de f(x), cd sección tiene un superficie igul p (f(x))^2. Por tnto, el volumen vendrá ddo por π NIntegrte@Hf@xDL ^2, 8x,, 5<D Oserv que este resultdo y lo simos por el ejemplo visto el método de discos pr volúmenes de revolución.

8 8 AMRP. Curso Práctic 6. Cálculo Mtemático. Ejercicios 1.- Clculr el áre de l región del plno limitd por ls gráfics de ls funciones y = xsen(x+2) e y = 4cos(x) entre los puntos x = -2 y x = Clculr l longitud del rco de l curv f(x) = 6log(x)+7 è!!!!! x 3 entre los puntos de sciss x = 1 y x = Hll el áre de l región del plno entre l rect x+y-3 = y l curv y = 6-3x-x Se R l región del plno limitd por l práol y = 6-3x-x^2 y l rect x+y-3 =. Hllr el volumen del cuerpo de revolución que engendr R l girr ) lrededor de l rect x = 3; ) lrededor de l rect y =. 5.- Hll el volumen del sólido que result l girr el áre jo l prte positiv de l gráfic de y = -x 2 +5 en torno l eje OX. 6.- Hll el áre de l superficie que result l girr l curv del ejercicio nterior en torno l eje OX. 7.- Hll el volumen del cuerpo que qued l girr l región jo l gráfic de l función coseno entre y p/2, primero en torno l eje OX y luego en torno l eje OY. 8.- Con l función nterior, clcul el áre de l superficie resultnte l girr en torno los dos ejes. 9.- Clcul un fórmul explícit pr el volumen de un esfer. 1.- Encuentr un fórmul que dé el volumen de un cono de revolución Con los comndos quí expuestos, reliz los ejercicios del 2 l 29 de l relción de ejercicios de teorí.