Análisis de imágenes digitales

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Héctor Toledo González
hace 6 años
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1 Análisis de imágenes digitales FILTRADO DE LA IMAGEN Filtros espaciales suavizantes

2 INTRODUCCIÓN El uso de máscaras espaciales para el procesamiento de imágenes se denomina filtrado espacial y a las propias máscaras se les denomina filtros (máscaras, kernels, ventanas, plantillas). El filtrado espacial consiste de (a) un vecindario, típicamente un cuadrado pequeño, y (b) una operación predefinida que se computa sobre los píxeles que están en el vecindario. El filtrado espacial consiste en modificar el valor del píxel central del vecindario. El filtrado espacial se puede categorizar en lineal y no lineal, de acuerdo al tipo de operación que se realiza sobre el vecindario. y Origen Filtro de tamaño3 3 Imagen f(x,y) x 2

3 INTRODUCCIÓN Para generar un filtro lineal de tamaño m n se especifican los mn coeficientes del filtro, con los cuales se realiza una suma de productos (convolución o correlación) con los píxeles que cubre la máscara. w w z 2 w z 3 2 z 3 w 4 w z 5 w 6 4 z 6 z 5 z 6 z 7 z 8 Suma de productos (convolución) que modifica el valor del píxel central z5 w 6 w 7 w 8 z 5 = w i z i 9 i= Para generar un filtro no lineal se especifica el tamaño m n del filtro y las operaciones que involucran a los píxeles que cubre el filtro. Nótese que no se realiza ninguna suma de productos, sino que las operaciones utilizan únicamente los valores de los píxeles del vecindario. z z 2 z 3 z 4 z 6 z 5 z 6 z 7 z 8 Máximo del vecindario que modifica el píxel central z5 { } z 5 = max z,,z 9 3

INTRODUCCIÓN Desde el punto de vista del espectro de frecuencias, existen básicamente tres tipos de filtros para imágenes: Filtro Atenua Aplicación Paso bajas Frecuencias altas Reducción de ruido

4 INTRODUCCIÓN Desde el punto de vista del espectro de frecuencias, existen básicamente tres tipos de filtros para imágenes: Filtro Atenua Aplicación Paso bajas Frecuencias altas Reducción de ruido Paso altas Frecuencias bajas Detección de bordes Paso banda Frecuencias intermedias Realce de características Secciones transversales de los filtros paso bajas, paso altas y paso banda con simetría circular en el dominio de la frecuencia y sus correspondientes filtros espaciales. 4 u u u x x x

5 FILTRO DE MEDIAS Los filtros lineales más simples son el filtro de media aritmética (promedio) y filtro de medias ponderadas. En el primer caso todos los píxeles son tratados por igual, mientras que en el segundo caso se le da más peso a los píxeles cercanos al píxel central. Su mayor uso es en la reducción de detalles irrelevantes de la imagen. La implementación general para un filtro promedio, w, de tamaño m n (con m y n impares) se expresa como: ˆf (x,y) = (s,t ) w (s,t ) w f (s,t) w(s,t) Una característica de los filtros lineales suavizantes es que la suma de los coeficientes del filtro siempre suma la unidad. 5

6 FILTRO DE MEDIAS Imagen ruidosa Media aritmética Media ponderada

7 FILTRO DE MEDIAS Una imagen imagen filtrada con un filtro de media geométrica de tamaño m n está dada por la expresión: ˆf (x,y) = (s,t ) w mn f (s,t) = exp (s,t ) w log f (s,t) Este filtro tiene mejor desempeño que el filtro de media aritmética en la remoción de ruido Gaussiano y en la preservación de bordes. Imagen ruidosa mn 7

8 FILTRO DE MEDIAS El filtro de medias harmónico está dado por la expresión: ˆf (x,y) = mn (s,t ) w f (s,t) Este filtro funciona bien para remover ruido tipo sal, aunque falla en ruido tipo pimienta. También es adecuado para reducir ruido Gaussiano. Ruido sal 5 5 Ruido pimienta 5 5 8

9 FILTRO DE MEDIAS El filtro de medias contraharmónico se basa en la siguiente expresión: ˆf (x,y) = (s,t ) w (s,t ) w f (s,t) Q+ f (s,t) Q donde Q es el orden del filtro. Este filtro es útil para eliminar virtualmente los efectos del ruido sal y pimienta. Para valores positivos de Q se reduce el ruido pimienta y para valores negativos de Q se reduce el ruido sal. Nótese que no se reducen ambos tipos de ruido simultáneamente. 9

10 FILTRO DE MEDIAS Ruido sal Ruido pimienta Filtro contraharmónico de 3 3 con Q =.5 Filtro contraharmónico de 3 3 con Q =.5 0

FILTRO GAUSSIANO Probablemente el suavizado Gaussiano es el filtro paso bajas más utilizado en la práctica para remoción de ruido y reducción de

11 FILTRO GAUSSIANO Probablemente el suavizado Gaussiano es el filtro paso bajas más utilizado en la práctica para remoción de ruido y reducción de detalles. Los coeficientes del filtro Gaussiano se calculan con la siguiente expresión: G(x,y) = 2πσ exp x 2 + y 2 2 2σ 2 G(x,y) donde σ 2 es la varianza. x y

12 FILTRO GAUSSIANO El grado de suavizado de la imagen está definido por el valor de la varianza y el tamaño del kernel. 9 Tamaño del filtro Desviación estándar 2

13 FILTROS DE ORDEN ESTADÍSTICO Los filtros de orden estadístico son filtros espaciales no lineales cuya respuesta se basa en un ordenamiento de los píxeles contenidos en un vecindario y, entonces, reemplaza el valor del píxel central con el valor de algún percentil. El filtro más conocido es el filtro de mediana (i.e., el percentil 50), el cual como su nombre lo indica reemplaza el valor del píxel central por el valor de mediana del vecindario. Este filtro forza los puntos con niveles de intensidad distintos a que sean más parecidos a sus vecinos. Son particularmente efectivos cuando el patrón de ruido consiste de componentes fuertes (ruido impulsivo) y se desea preservar la agudeza de los bordes. z z 2 z 3 z 4 z 6 z 5 z 6 z 7 z 8 ˆf (x,y) = mediana (s,t ) w { f (s,t)} 3

14 FILTROS DE ORDEN ESTADÍSTICO Ruido sal y pimienta Filtro mediana 3 3 Ruido Gaussiano Filtro mediana 5 5 4

15 FILTROS DE ORDEN ESTADÍSTICO El filtro mediana híbrido preserva mejor los bordes de los objetos que el filtro de mediana original, debido a que obtiene información de diferentes direcciones espaciales: MD = mediana {Todos los valores de las diagonales D} MR = mediana {Todos los valores verticales y horizontales R} C = mediana {MD, MR, C} 3 3 D R D R C R D R D 5 5 D R D D R D R R C R R D R D D R D 5

16 FILTROS DE ORDEN ESTADÍSTICO Filtro mediana 5 5 Filtro mediana híbrido 5 5 Ruido Gaussiano Ruido sal y pimienta 6

17 FILTROS DE ORDEN ESTADÍSTICO El filtro de mediana representa el 50-ésimo percentil de un conjunto de números ordenados. Por otro lado, cuando se usa el 00-ésimo percentil se dice que es un filtro max definido como: ˆf (x,y) = max { f (s,t)} (s,t ) w El 0-ésimo percentil es el filtro min, que es el opuesto al filtro max, y se define como: ˆf (x,y) = min { f (s,t)} (s,t ) w Dentro del área de la morfología matemática, al filtro max se le denomina operador de dilatación, mientras que al filtro min se le conoce como operador de erosión. 7

18 FILTROS DE ORDEN ESTADÍSTICO Ruido sal Ruido pimienta Filtro min 3 3 Filtro max 3 3 8

FILTROS DE ORDEN ESTADÍSTICO El filtro de punto medio simplemente computa el punto medio entre el máximo y mínimo de un vecindario w como: ˆf (x,y) = 2 max { f (s,t)} + min (s,t

19 FILTROS DE ORDEN ESTADÍSTICO El filtro de punto medio simplemente computa el punto medio entre el máximo y mínimo de un vecindario w como: ˆf (x,y) = 2 max { f (s,t)} + min (s,t ) w (s,t ) w { f (s,t)} Este este filtro combina filtros de orden estadístico con la media y funciona adecuadamente con ruido tipo Gaussiano o uniforme. Ruido Gaussiano

20 FILTROS DE DIFUSIÓN En el filtrado de imágenes existe un compromiso entre la reducción del ruido y la deformación de la imagen. Por ejemplo, si se usa un filtro Gaussiano, con valores grandes de σ se reduce más el ruido, aunque la imagen se hace más borrosa, perdiendo detalles importantes en los bordes de los objetos. Para resolver el problema del borrado de la imagen, se utiliza un banco de filtros Gaussiano con σ creciente y aplicarlos sucesivamente a la imagen. A este banco de filtros se le conoce como espacio de escala (scale-space). Ruido Gaussiano σ =.0 σ =.5 σ =2.0 σ =2.5 20

21 FILTROS DE DIFUSIÓN La aplicación de este conjunto de filtros Gaussianos es equivalente a resolver iterativamente la ecuación de difusión lineal: I(x,y,t) t I(x,y,0) = 2 I(x,y,t) = I 0 (x,y) donde el operador Laplaciano se define como la divergencia del gradiente: 2 I = I La idea básica es que la temperatura de un cuerpo tiende a uniformizarse a medida que pasa el tiempo. Entonces, aplicando la ecuación de difusión a una imagen, se espera que sus niveles de intensidad se hagan uniformes dentro de regiones homogéneas. 2

22 FILTROS DE DIFUSIÓN Discretizando la ecuación de difusión para cuatro vecinos se tiene: I t+ t i,j = I i,j t [ ] i,j + 4 N I + S I + W I + E I donde el símbolo indica gradiente de la imagen I en alguna de las direcciones N (arriba), S (abajo), W (izquierda) ó E (derecha): N I = I i,j I i,j S I = I i+,j I i,j E I = I i,j + I i,j W I = I i,j I i,j Ruido Gaussiano t = 2 t = 4 t = 8 22

23 FILTROS DE DIFUSIÓN Sin embargo, es necesario que la difusión del calor se detenga en los bordes de los objetos para evitar perder información de ellos. Perona y Malik * propusieron un método que aplica la ecuación del calor en imágenes, de manera que suaviza los niveles de intensidad dentro de regiones delimitadas por bordes y no lo hace a través de ellos. Para lograrlo se utiliza un coeficiente de conducción variable g que controla la ecuación del calor, de modo que para que exista preservación de los bordes g 0 sobre el borde y g en las regiones internas. De esta manera la ecuación del calor toma la forma: I(x,y,t) t = g ( I ) I * P. Perona, J. Malik, "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2 (7):

24 FILTROS DE DIFUSIÓN Para mejorar regiones amplias sobre regiones pequeñas se utiliza la siguiente función de conducción: g ( I ) = + I 2 κ 2 donde κ es una constante que controla la extensión de la difusión y es el valor absoluto. Discretizando la ecuación de Perona y Malik para cuatro vecinos se tiene el filtro no lineal de difusión anisotrópico (ADF): donde: I t+ t i,j = I i,j + t 4 [ g N N I + g S S I + g W W I + g E E I ] i,j g N = g N I g S = g S I ( ) g E = g ( E I ) ( ) g W = g ( W I ) 24

25 FILTROS DE DIFUSIÓN Ruido Gaussiano t = 00, κ = 3 25

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