Ecuaciones de segundo Grado

Transcripción

1 Ecuciones de segundo Grdo Frcso y éxito El frcso tiene mil excuss, el éxito no requiere explicción. Cd vez que no logrmos lgo siempre tenemos un mgnífic disculp; el mediocre busc instintivmente un justificción pr su frcso y, por supuesto, siempre jueg el ppel de víctim. El triunfdor es siempre un prte de l respuest; el perdedor es siempre un prte del problem. El triunfdor dice: Podemos hcerlo ; el perdedor dice: Ése no es mi problem. El triunfdor siempre tiene un progrm; el perdedor siempre tiene un excus. El triunfdor ve siempre un respuest pr culquier problem; el perdedor ve siempre un problem en tod respuest. El triunfdor ve un oportunidd cerc de cd obstáculo; el perdedor ve de dos tres obstáculos cerc de cd oportunidd. El triunfdor dice: Quizá es difícil, pero es posible ; el perdedor dice: Puede ser posible, pero es demsido difícil. ECUACIÓN DE do GRADO Form Formción de l ecución x + bx + c = 0 ; 0 depende sum se debe tener se resuelve por Fctorizción Fórmul A = b - c Discriminnte producto Sum : S = - b Producto : P = c AB = 0 A=0 B=0 -b b -c, = si Diferenci donde x - Sx + P = 0 A > 0 A = 0 A < 0 A > 0 Ríces reles diferentes Ríces igules Ríces complejs y conjugds x = x = m + ni x = m - ni m; n lr, demás: i = -1 Ríces reles

2 OBSERVACIONES Operciones con ríces Ecuciones cudrátics equivlentes sum de inverss si si si ls ecuciones 1 1 x + x + = x x 1 x +bx+c = 0 ; 0 mx +nx+p=0 ; m 0 sum de cudrdos se cumple tienen se cumple x + x = (x +x ) 1 1 -x x x ls misms ríces x = 0 x = 1 o soluciones sum de cubos se cumple x 3 + x 3 = (x +x ) 3-3x x (x +x ) sum, producto y diferenci b c m = n = p (x +x ) - (x -x )= x x Teorem: (Ríces irrcionles conjugds) Se l ecución: x + bx + c = 0; 0 de ríces x ; donde (; b; c) Q (coeficientes rcionles). Si: = m + n es un ríz irrcionl, entonces: x = m - n es l otr ríz irrcionl conjugd. Teorem: C.S. = {m + n ; m - n } (Ríces complejs conjugds) Se l ecución : x + bx + c = 0; ¹ 0 de ríces x ; donde (; b; c) lr. Si: = m + ni es un ríz complej, entonces: x = m - ni; es l otr ríz complej conjugd. C.S. = {m + ni ; m - ni} m; n lr. Problems resueltos 1. Resolver: bx - (b + 6 )x + 3b = 0; b 0 Aplicndo sp simple: Luego : bx - (b + 6 )x + 3b = 0 x bx De l ecución : b m c m 6 -b -3 -b x -6 x (x - b) (bx - 3) = 0 x - b = 0 bx - 3 = 0 b x = 3 x = b b 3 C.S. = ; b -(b +6 )x. Clculr los vlores de m que hcen que l ecución: x - mx + (m + 6) = 0 ; teng ríces igules. Ls ríces de l ecución serán igules, si el discriminnte: = b - c = 0...

3 Reemplzndo en ( ): (-m) - ()(m+6) = 0 m - 8m - 8 = 0 m -1 m + (m - 1)(m + ) = 0 m - 1 = 0 m + = 0 Finlmente : m = 1 m = - 3. Determinr l sum de los vlores de k que hcen que l sum de ls ríces de l ecución: x + kx + x - k + = 0 se igul l producto de ls misms. Dndo form l ecución: 1x + (k+)x + ( - k ) = 0 Según el problem: + x = x (k ) k k - = - k k - k - 6 = 0 k - 3 k + (k - 3) (k + ) = 0 Multiplicndo en sp se tiene: (n + 1) (x + 3x) = (n - 1) (5x + ) Efectundo : (n+1)x + 3(n+1)x = 5(n - 1)x + (n - 1) Trnsponiendo y grupndo: (n + 1)x + [3(n + 1) - 5(n - 1)]x - (n - 1) = 0 (n + 1)x + (-n + 8) x - (n - 1) = 0 Ls ríces de l ecución serán simétrics, si: + x = 0 ( n 8) 0 n 1 -n + 8 = 0 n = 8 Finlmente: n = 6. Form l ecución de do grdo de coeficientes reles, si un de sus ríces es: = - 5i De donde: k - 3 = 0 k + = 0 k = 3 k = - pero: i. Determinr el vlor de p en l ecución: x - 6x + + p = 0 sbiendo que l diferenci de sus ríces es. Por teorem de ríces complejs conjugds, si: = - 5i entonces l otr ríz esx = + 5i Pr formr l ecución se necesit: S x 5i 5i P x ( 5i)( 5i) = - (5i) = - 5i 1 i 1 Reemplzndo: P = x = - 5 (-1) = 9 Luego l ecución es: x - Sx + P = 0 Es decir: x - x + 9 = 0 Por propiedd: x Dto del problem : - x = Reemplzndo dtos : ( 6) (1)( p) p 1 Elevndo l cudrdo : 0 - p = p = 16 p = 5. Hllr el vlor de n pr que ls ríces de l ecución: Bloque I Problems pr l clse 1. Hllr ls ríces de l ecución: 3x - x ) ; b) 3 ; 5 c) 5 ; d) ; 5 e) {5; -}. Hllr un ríz de l ecución: x - 3x - 3 = 0 sen simétrics. x 3x 5x n 1 n 1 ) d) b) e) 3 c) 3 3

4 3. Siendo: x ls ríces de l ecución: x - 5x + 1 = Hllr : E 1 x d) 5 5 ) b) c) - 5 e) 5 ) b) 3 c) 6 d) e) 5. Siendo y ríces de l ecución: x - 6x + 1 = 0 Hllr : M ) 16 b) 15 c) 1 d) 13 e) 1 5. Clculr m, si un ríz de l ecución: x - mx + 8 = 0, es: x = ) b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 6. Hllr un ríz de: 6x + x - 1 = 0 Bloque II 1. Hllr (>0), si l ecución: 9x - ( + )x + 1 = 0 present ríces igules. ) 1 b) c) 3 d) e) 10. Hllr m, si l ecución: x - (m+7)x + 5 = 0 present ríz doble (m>0) ) 1 b) c) 3 d) e) 5 3. Hllr m, si l ecución: 3x - (3m - 600)x - 1 = 0 posee ríces simétrics. 3 ) b) c) d) - e) 3 7. Resolver: Indicr un ríz. x x x x 3x ) - + b) - c) + d) - e) ) 0 b) 50 c) 100 d) 150 e) 00. Hllr k, si l ecución: (k - 1)x - 7x + (k+9) = 0 posee ríces recíprocs ) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) ) b) c) - 5. Dd ls ecuciones: (n-1)x - 3(n+5)x + 10 = 0... (I) d) e) 1 (m-)x - (m+7)x + (9m+1) = 0... (II) L sum de ríces de l ecución (I) es 1 y el producto 8. Resolver: x de ríces de l ecución (II) es 0. Clculr mn + x + = 0 9. Hllr un ríz de: x + 6x + 7 = 0 ) 63 b) 6 c) 65 d) 66 e) Si ; x son ríces de: x(x - 6) = -3 obtener: T = (1 + )(1 + x ) ) 8 b) 9 c) 10 ) -3 + b) 3 + c) 3 - d) 11 e) 1 d) 3 e) Resolver: 1x + 60x + 75 = 0 7. L sum de ls inverss de ls ríces de l ecución: ( - )x - x - (3 - ) = 0 es 10/7. Clculr.

5 ) 5 b) c) 3 d) e) 6 8. Si: (m - 1)x - mx + m + = 0 tiene ríz doble, clculr el vlor de: (m + m + 1) ) 3 b) 13 c) 1 d) 7 e) Hllr el vlor de n si: x - (n - 3)x + n = 0 tiene únic solución. ) 3 b) 7 c) 9 d) 1 e) Hllr un ríz: ) d) - x 5 36 x - 3 x 3 x b) e) -3 c) 3. Formr l ecución de do grdo cuys ríces son: ; 1 ) ( - 1)x - x + = 0 b) ( - 1)x + x + = 0 c) ( + 1)x - x + = 0 d) ( - 1)x - x + = 0 e) x + x + 1 = Dd l ecución: x - 1x + (p + ) = 0 Clculr p, pr que l diferenci de sus ríces se. ) -1 b) -7 c) -1 d) 1 e) 1 6. Hllr un ríz: (1 - x) - ( - x) 16x 8x 3 x ) 5 b) -3 c) 5 d) e) - 3 Bloque III 1. Formr l ecución de do grdo de coeficientes rcionles, si un de sus ríces es: = 7 - ) x - 1x + 9 = 0 b) x - 1x + 5 = 0 c) x - 1x + 7 = 0 d) x + 1x - 7 = 0 e) x - 1x - 7 = 0. Pr que un de ls ríces de l ecución: x + bx + c = 0 se el triple de l otr, l relción de coeficientes debe ser: ) 16b = c b) 16b = 3 c) 3b = 16 d) 3b = 16c e) 9b = 16c 3. Indique (V) o (F): 7. Pr qué vlor de m (m 0) ls ríces de: (m + )x - 3mx + m - 1 = 0 difieren de 1. ) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) Clcule Z pr que: x - ( + 3)x = 0 teng un sol ríz. ) 0 b) 1 c) d) 3 e) 9. Si: (b - 1)x + bx + c = 0 tiene ríces igules, hllr el myor vlor de c, sbiendo que b es único. ) 0 b) c) 3 d) e) 1 b 10.En: I. En: bx - ( - b )x = b, un ríz es - x - (m - 1)x + (m + 1) = 0 qué vlor positivo debe drse m pr que ls ríces difiern en uno? II. Si: x... entonces: x =. III. L myor ríz de (x-) + (x-5) = (x - 3), es: x = 8 ) VFF b) VVV c) FFV d) VFV e) VVF ) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

6 Autoevlución 1. Hllr m, si l sum de ríces de l ecución es 10. (m - )x - (5m + 5) x + 8 = 0 3. Hllr m, si ls ríces de l ecución son recíprocs: (m - 3)x - (m + )x + 3m - 15 = 0 ) 1 b) c) 6 d) 7 e) 8 ) 0 b) 1 c) 5. Hllr n, si un ríz de l ecución: d) 15 e) 5 x + (n + 6)x + 6n = 0, es: x = 3. Hllr k (k<0), si l ecución: 9x - kx + = 0 posee ríces igules. ) 1 b) 1 c) 16 d) -16 e) -1 ) -3 b) - c) 1 d) e) 3 5. Formr l ecución de do grdo cuys ríces son: 3 x 3 ) x - 8x + 13 = 0 b) x + 8x + 13 = 0 c) x - 3 x + 16 = 0 d) x - 8x + 13 = 0 e) x - 8x + 3 = 0 Clves 1. c. e 3. c. 5.

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