Capítulo 8. Sistemas de partículas idénticas

Transcripción

1 Capítulo 8 Sistemas de patículas idénticas 8 Indistinguibilidad 8 Funciones popias del opeado de pemutación 8 Átomo de helio 83 spín total

2 8 Sistemas de patículas idénticas n la mecánica clásica en una colisión ente dos patículas idénticas siempe es posible detemina la identidad de cada patícula A pati de la condiciones iniciales la integación de las ecuaciones de moviento pemite conoce las tayectoias individuales Po el contaio en la mecánica cuántica sólo se tienen pobabilidades y éstas no pemiten distingui ente las patículas Además el concepto de tayectoia no está definido Po esta azón cuando se tienen vaias patículas es necesaio incopoa la indistinguibilidad de éstas mecánica clásica mecánica cuántica { ( t) ( t) } ( t ) tayectoia no hay tayectoias 8 Indistinguibilidad Considee a un sistema de dos patículas idénticas H T + T + V ( ) opeado de pemutación se define como ( ) f ( ) P f Al aplica este opeado sobe el hamiltoniano ( ) ( ) ( ) ( ) P Hf T + T + V f HP f l se tiene ue [ H P ] Po lo tanto H y P tienen funciones popias comunes 8 Funciones popias del opeado de pemutación La ecuación de valoes popios puede escibise como ( ) ( ) ( ) P π λπ π y aplicando una vez más el opeado de pemutación ( P ) ( ) ( ) ( π λ π π ) 8-

3 entonces λ o bien λ ± Paa el valo popio positivo P π ( ) π( ) función simética n el oto caso P π( ) π( ) antisimética po lo tanto la función popia es una se tiene una función xpeimentalmente se ha obsevado ue a las patículas con espín enteo les coesponde λ y se les denomina bosones (γ α ) Las patículas con espín semienteo están asociadas con λ y se llaman femiones (p n e) Po ejemplo paa dos patículas sin inteacción el hamitoniano es sepaable H h + h ψ ψ y ε a + ε b en donde así ( ) ( ) ( ) a b h i ψ a b ε a b ψ a b Note ue ψ ( ) ψ ( ) b tambíen es solución con la misma enegía Ninguna de las a soluciones anteioes es función popia del opeado de pemutación peo si lo son las siguientes combinaciones ( ) ψ ( ) ψ ( ) + ψ ( ) ψ ( ) S a b b a ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) A a b b a n geneal paa N femiones la foma más sencilla de genea funciones antisiméticas consiste en apovecha las popiedades de los deteminantes La función A ( N) N! ψ ( ) ψ ( ) ψ ( N) ψ ( N) N N se denomina deteminante de Slate y cumple con la popiedades ) P ij A A ) si ψ ψ i j A Obseve ue este compotamiento está en concodancia con el pincipio de exclusión 8-3

4 A T K la enegía de N bosones no inteactuantes esulta se BOS Nε mientas ue paa los femiones FRMI N ε i i 8 Átomo de helio Paa un átomo de dos electones el hamitoniano no es sepaable H ( + ) Z + µ po lo ue es necesaio esolve diectamente la ecuacion en deivadas paciales Como apoximación inicial suponga ue la epulsión ente los electones es peueña n este caso el hamitoniano es sepaable H h + h ( hido ) ( hido) y la solución toma la foma ( ) ( hido) ( hido) a + b ε ε ( ) ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) a b b a en donde las funciones monoelectónicas y sus enegías son solución del hamiltoniano de una patícula h hido i i hido ( ) ( ) ψ ε ψ i ε ( hido) i ε ψ i n i l i m i s n i m i Dado ue el espín es un momento angula sus funciones popias cumplen con las popiedades descitas con anteioidad Paa s se denotan en la foma α β y son otogonales m m δ m s m s s s Tomando en cuenta la popiedad de antisimetía paa el estado basal del helio (s ) se tiene ue 8-4

5 ( ) ( ) ψ ( ) ψ ( ) α( ) β( ) β( ) α( ) s s ( ) a Z ε s Paa estima la contibución de la epulsión electónica se puede calcula el valo pomedio de este opeado usando la función apoximada sta contibución puede considease como una coección ( ) ( ) ( ) Obseve ue la suma de ambos téminos coincide con el valo pomedio de la enegía paa la función apoximada H + ( ) ( ) ( ) ( ) Dado ue ψ ( ) s Z 3 Z a e en donde Y 4π 4π entonces ψ ψ ψ ψ αβ βα αβ βα ( ) s s s s en donde se asume explicitamente la notación siguiente fg hi f ( ) g( ) h( ) i( ) La pate de espín se puede evalua diectamente así αβ βα αβ βα α α β β α β β α β α α β + β β α α ( ) ψ sψ s ψ sψ s Paa calcula el valo de la integal espacial se usa el desaollo de en amónicos esféicos (ue es muy utilizado en electostática) 8-5

6 l l m l * ( ) ( ) Y ( ) 4π f Y l lm lm en donde ( ) f l < l l + l Así en geneal paa funciones hidogenoides tipo s ψ ψ ψ ψ as bs cs ds * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y Ra Rb Rc Rd * fl Ylm ( ) Y ( * ) Y ( ) Ylm ( ) d d 4π ntonces lm Ra Rb Rc Rd Y Y Y Y dd lm δ δ lm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R f d d lm lm a b c d l ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] [ ] lm R R R R f l mo a c b d l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R f d d a c b d d d Ra ( ) Rc ( ) Rb ( ) Rd ( ) d Rb ( ) Rdo ( ) d d + ( ) 6 Z Z Z Z a e e d e d d a Z x x y y e x e y dy e ydy dx 4 x + x en donde x Z y y Z Aplicando la integación po pates se tiene ue 8-6

7 ( ) 5 Z 4 Po tanto + Z a ( ) ( ) 5 8 Z Z 5 8Z s impotante comenta ue la coeción toma su valo máximo paa Z en donde epesenta 5/ % con especto a la apoximación inicial Y aunue su contibución elativa disminuye en geneal se puede conclui ue la epulsión electónica no epesenta un efecto peueño l potencial de ionización en este modelo esulta se + Z Z I + 5 a a 8Z Z a 5 8Z sta expesión pemite defini una caga nuclea efectiva I Z eff a 5 en donde Zeff Z < Z Paa el helio en esta apoximación la caga nuclea 4Z efectiva esulta se igual a po lo ue los obitales hidogenoides s apantallan al núcleo en 78 unidades de caga Al aumenta Z el apantallamiento de estos obitales tiende a uno Paa el pime estado excitado (s s ) se pueden constui cuato funciones antisiméticas 8-7

8 [ ψ s ( ) ψ s ( ) ψ s ( ) ψ s ( ) ] α( ) α( ) [ ψ s ( ) ψ s ( ) ψ s ( ) ψ s ( ) ] β( ) β( ) + + [ ψ s ( ) ψ s ( ) ψ s ( ) ψ s ( ) ] α( ) β( ) β( ) α( ) 3 [ ψ s ( ) ψ s ( ) ψ s ( ) ψ s ( ) ] α( ) β( ) β( ) α( ) 4 La integales de espín son fáciles de evalua Paa las pimeas dos funciones la integal del espín es uno n los dos últimos casos es necesaio simplifica peviamente αβ ± βα αβ ± βα α α β β + β β α α ± α β β α ± β α α β Paa la pate espacial ψ ψ ± ψ ψ ψ ψ ± ψ ψ s s s s s s s s [ J K] ss ss + ss ss ± ss ss ± ss ss ± en donde J ss ss K ss ss y se les denomina integal coulómbica y de intecambio espectivamente Así ( ) ( ) ( hido) ( hido) s s + ε + ε + J ± K Al evalua se tiene ue ambas integales son positivas J Z 7 8 K Z 6 79 sin embago J > K Po lo tanto las pimeas tes funciones son degeneadas y tienen meno enegía ue la cuata función y la sepaación ente estos estados es igual al doble de la integal de intecambio 8-8

9 83 spín total Paa un sistema de N electones el momento angula de espín se suma po lo ue el espín total coesponde a la suma de los espines individuales S S + S en donde los opeadoes de difeentes patículas conmutan [ S i S j ] Como entonces Además S S S + + S S ( + ) S S S x + ( S S+ ) i S y S S + S + S S + S S + S S S S + S z z z z z + + Así Utilizando las popiedades del momento angula se obtienen las siguientes popiedades de las funciones popias del opeado de espín: Así S S z S + S α β α 4 β α β α β 8-9

10 S S S 3 S Sz S Sz S 3 Sz 3 3 M S M S M S S 4 S 4 Sz 4 4 M S Po tanto estas funciones son funciones popias de S y S z y su degeneación está asociada con el espín total Las tes pimeas coesponden a un tiplete mientas ue la cuata es un singulete 8-