Guía para el Trabajo Práctico N 5. Métodos Estadísticos en Hidrología

Transcripción

1 Guía para el Trabajo Práctco 5 Métodos Estadístcos en Hdrología er. PASO) Realzar el ajuste de la funcón de dstrbucón normal a una muestra de datos totales anuales de una varable (caudal, precptacón, etc.) y verfcar la bondad del ajuste utlzando la prueba Ch cuadrado (x ). El procedmento consste en dvdr el rango de la varable en ntervalos dscretos y contar el número de observacones que cae en cada uno de ellos. La ampltud del ntervalo se elge de manera que cagan sufcentes observacones dentro de cada uno para que el hstograma tenga una varacón suave en el rango de la nformacón. Prmero se calcula para cada ntervalo la frecuenca relatva que es el cocente entre las observacones que caen en él y el total de observacones. Segudamente obtenemos la frecuenca acumulada que resulta de sumar las frecuencas relatvas sucesvas. A contnuacón se estandarza la varable, tomando para cada ntervalo el límte superor, para lo cual se utlza la meda y el desvío de la muestra como estmadores de los parámetros de la poblacón. Suponendo que la varable fuera caudal, la varable estandarzada vale: Sendo la Meda Artmétca Q Q z = σ Q Q = = Sendo: Q : valores de la varable : longtud de la muestra Y el Desvío Típco o Standard σ = ( Q) Q los que se han de utlzar en todo los métodos. El valor correspondente de la funcón de probabldad acumulada se encuentra utlzando la tabla 3. La funcón de probabldad ncremental se calcula desacumulando los valores de la funcón de probabldad. Fnalmente la bondad del ajuste puede probarse comparando los valores teórcos y muestrales de las funcones de frecuenca relatva por medo del Test de Ch cuadrado (X ).

2 Su ecuacón es: m = número de ntervalos de clase. = número total de observacones. X = m = * [ f ( x ) p( x )] s p( x ) y este valor se compara con el valor de la dstrbucón de probabldad X que se encuentra tabulado según el nvel de confanza adoptado (95%) y el número de grados de lbertad. Dchos valores fguran en la tabla n 4. n de grados de lbertad: v = m - p - donde m = n de ntervalos de clase Para el ordenamento de los cálculos realzamos la sguente tabla: p = n de parámetros de la funcón de dstrbucón teórca. Intervalo Rango n f s (x ) F s (x ) z F (x ) p(x ) X < 0 /69 / /69 3/ / Total: Donde f s(x) : frecuenca relatva de la muestra. F s(x) : frecuenca relatva acumulada de la muestra. z : varable estandarzada. F (x) : probabldad acumulada obtenda utlzando la dstrbucón normal. p (x) : probabldad ncremental obtenda utlzando la dstrbucón normal. do. PASO) Realzar el estudo estadístco de la sere que se presenta como dato, para determnar los valores máxmos anuale s de la varable hdrológca analzada (precptacón, caudal, temperatura, etc.) para tempos de recurrenca dados y para obtener probabldades de ocurrenca de valores máxmos dados de la varable, aplcando los métodos de Ven Te Chow, Gumbel, Log Pearson III y Gbrat-Galton. Una vez logrado el ajuste por dchos métodos deberá comprobarse la bondad de ellos calculando el Error cuadrátco medo de la varable (ECMV) y de la frecuenca (ECMF). Los pasos a desarrollar para la ejecucón del trabajo son los que sguen:.) Ordenar los térmnos de la sere anual de mayor a menor, por tratarse de un estudo de valores máxmos, adjudcándole a cada uno de los valores un número de orden, dentfcable con la letra m. De ese modo el máxmo valor de la sere tendrá un m= y el mínmo un m =..) La resolucón por el método de Ven Te Chow es de carácter analítco, puesto que se basa en la funcón generalzada de frecuencas propuesta por el menconado autor. Q = Q + K Sendo Q: Caudal máxmo buscando para una recurrenca determnada Q : Caudal medo K: Factor de frecuencas, tabulado para dferentes valores de (longtud de la sere) y TR (período de retorno); σ : Desvío stand ard de la sere. σ

3 Según se observará en la tabla n, deberá hacerse una nterpolacón lneal para algunas recurrencas peddas, mentras que las recurrencas menores a los 0 años no se calcularán por no tener asgnado su coefcente K. Este método de resolucón es utlzado para determnacones expedtvas cuando se transta etapa de dentfcacón de un conjunto de alternatvas de obra, donde las determnacones estadístcas no son un factor de mportanca..3) El ajuste por el método de GUMBEL se realza en forma analítca y gráfca partendo de la expresón doble exponencal con la cual el método defne la probabldad de ocurrenca de un valor mayor o gual al analzado: P Q = e ( ) e y Donde y: varable reducda de Gumbel; e: base de los logartmos naturales. La varable reducda y puede determnarse en forma analítca por la expresón y = α ( Q ) Q 0 en la cual α y Q 0 son parámetros que permten el ajuste de la sere de datos, sendo calculados por: α = σ Q o = Q α De ese modo es posble adjudcarle a cada uno de los térmnos de la sere su correspondente probabldad y período de retorno promedo calculando la varable reducda y para desarrollar luego la expresón P (Q) ). Para ordenar los valores de la representacón gráfca debe realzarse el sguente cuadro: m de orden Q (m 3 /seg) y P (Q) Probabldad TR = /P (Q) Tempo de Retorno Los valores calculados en dcho cuadro (Caudal Tempo de Retorno o Recurrenca) se representan en papel de Gumbel, adecuado convenentemente la escala de ordenadas (decmal) a los valores de la sere (m 3 /s, mm, etc.) y quedando la escala horzontal (probablístca) para los valores de TR en años. La representacón de tales valores en este tpo de papel permte trazar un línea recta, que determna el ajuste de los térmnos de la sere a la de GUMBEL. Esta gráfca se utlza para hallar los valores máxmos, para las recurrencas peddas; se ngresa con el valor de TR hasta cortar a la recta y se lee el eje de ordenadas el correspondente valor de Q o P..4) Para la determnacón analítco-gráfca propuesta por el método de Log Pearson III se deben transformar los valores de la sere dada a sus logartmos decmales, obtenéndose luego los sguentes parámetros: Meda Artmétca Q = log Q ( log Q Q) Desvío Típco o logq =

4 Coefcente de Asmetría (log Q Q) g = ( )( )( σ 3 logq ) 3 Estos tres parámetros caracterzan a la sere de caudales o precptacones máxmas según el crtero estadístco de Pearson, pudendo obtenerse la magntud de los caudales peddos aplcando la funcón generalzada de frecuenca adaptada al método: log Q = Q + k σ donde k se halla tabulado como funcón del tempo de retorno (o de la probabldad) y del coefcente de asmetría g. Para lograr el ajuste gráfco se debe trabajar en un papel especal, de escala logarítmco probablístca, en el cual se representan los pares de valores (Q m 3 /s) Prob. (%), obtendos de la sguente manera: para cada valor máxmo de la sere se calcula se respectvo factor k. k Q = log σ Q Con este valor de k se ngresa en la tabla n por la fla correspondente al coefcente de asmetría de la sere (o nterpolando) y por nterpolacón smple se obtene su probabldad (en %). Recordando el concepto de que la probabldad de ocurrenca de un valor mayor o gual a uno dado es el valor recíproco del Tempo de Recurrenca (TR), tendremos: P( Q ) = TR m Q log Q ( log Q Q) ( log Q Q) 3 k P (Q) Σ = Σ = Σ = De los valores de la sere debe hacerse el cálculo señalado y la representacón gráfca para / valores por lo menos que cubran todo el rango de la varable. Una vez grafcados se aproxma una línea contnua que los una, pudendo resultar una curva, o será una recta en el caso de que sea nulo el valor del coefcente de asmetría, lo que sgnfca que la dstrbucón de frecuenca es smétrca para la sere estudada. Será consderado nulo el valor de g cuando esté comprenddo entre 0.05 y , acordando que g se obtendrá con una aproxmacón a dos decmales. Partendo de los conceptos anterores se esquematza a contnuacón el manejo de la gráfca para la obtencón de los valores buscados..5) Para la aplcacón del método de GIBRAT GALTO debe consderarse el ajuste y la utlzacón en forma emnentemente gráfca y recordar la relacón que vncula al tempo de recurrenca (TR) como recíproco de la probabldad mayor o gual: TR = P( Q )

5 por lo tanto, para un TR = 0 años corresponde una P (Q) = 0.0; para un TR = 50 años corresponde una P (Q) = 0.0. El método transforma la dstrbucón normal en una funcón logarítmca de la forma. ( Q Q ) b z a log + = 0 en la cual a, Q 0 y b son tres constantes que permten el ajuste adecuado de los datos de la sere a la funcón de dstrbucón propuesta. La determnacón de esas constantes se hace en forma gráfca, pero debe elaborarse prevamente una tabla que permta el ordenamento de los valores a grafcar: de Orden m Caudal (m 3 /seg) Q Frecuenca Expermental f = m / (+ ) Frecuenca Acumulada F = - f Varable Tpfcada z El térmno denomnado frecuenca expermental (f) es equvalente al que anterormente se denomnó probabldad de ocurrenca mayor o gual P(Q). Se determna luego su complemento respecto de la undad para obtener su frecuenca acumulada (F) que a su vez representa la probabldad de ocurrenca de un valor menor o gual al analzado. Por ejemplo, el máxmo valor de una sere de 0 térmnos (=0) tendrá una frecuenca expermental f=0.048 (probab ldad de 4.8% de ser superado) y una frecuenca acumulada F=0.95 (probabldad del 95.% de que se den valores menores a él). El valor de la varable tpfcada (z) para cada térmno se obtene ngresando en el tabla de Dstrbucón ormal o de Gauss con el valor de frecuenca acumulada mentras ésta sea mayor o gual a 0.5, como la dstrbucón es smétrca debe hacerse F=F* e ngresando con éste nuevo valor de la frecuenca acumulada F* para los cuales la varable tpfcada tene valores negatvos. Luego se procede a la representacón gráfca en papel logarítmco decmal de los valores (Q Q o) en escala logarítmca y z en la escala decmal. Para ello el Qo de ser estmado ncalmente tomando un valor nulo o muy pequeño (50% del valor más chco de la sere) y hacendo por lo menos tres tentatvas de alneacón (3 valores dferentes de Qo) hasta lograr el mejor ajuste gráfco, que ndudablemente responde a una recta de acuerdo con la ecuacón ncal: ( Q Q ) b z a log + = 0 Una vez trazada la recta correspondente al ajuste logrado, se está en condcones de obtener los caudales para los tempos de recurrenca solctados, ngresando con dferente valores de la varables tpfcada z por la escala correspondente, recordando que: TR = f = F En el caso de que se quera determnar para un certo caudal conocdo cuál es la probabldad de que sea superado o cuál es su tempo de recurrenca, se debe proceder en forma nversa, ngresando a la gráfca por la escala logarítmca y obtenendo el valor de z.

6 3er PASO) El paso fnal consste en verfcar la precsón con cada una de las funcones desarrolladas, exceptuando la de Ven Te Chow por ser de uso relatvo, a través del cálculo del error cuadrátco medo de frecuenca ECMF -, y del error cuadrátco medo de la varable ECMV. Ambos, obtendos al confrontar cada dstrbucón teórca con la muestra, son de utldad para determnar cuál de ellas ajusta mejor. 3.a) Error cuadrátco medo de frecuenca: ECMF = ( P( x ) Pj( x ) ) Donde: P (x) = Frecuenca expermental correspondente a un valor de la varable x. Pj (x) = Frecuenca teórca correspondente a una dstrbucón j para la varable x. = Longtud de la sere analzada. Cada sere de valores anuales analzada tene una dstrbucón expermental relaconada con su longtud (), lo que permte asgnarle a cada uno de los térmnos ordenados que la componen una frecuenca denomnada expermental. Entre las varas fórmulas exstente se utlzará la de Webull, ya aplcada en el método de Gbrat Galtón, donde: Donde: f m = + m = úmero de orden de cada valor de la varable. Para ordenar el cálculo se propone el sguente cuadro: m Q f = P (x) ( P ( x ) Pj( x ) ) ECMF Probabldad de Gumbel Probabldad Log Pearson III Probabldad Gbrat Galtón El valor de la frecuenca teórca o probabldad de ocurrenca de cada térmno para el método de Gbrat Galtón, deberá calcularse entrando en el gráfco con Q Q 0, y con el valor de z r a la tabla correspondente obtenendo F y luego f= F, que es el valor de frecuenca teórca a colocar en el cuadro. Para las dstrbucones de Gumbel y Log Pearson, se recurre drectamente al gráfco, entrando con el valor de la varable y calculando su probabldad de ocurrenca. En el método de Gumbel se puede usar drectamente la expresón de cálculo de Probabldad. 3.b) Error cuadrátco medo de la varable: ECMV = ( X Xj ( P ) ) Donde: X = Valor de la varable (al que le corresponde una frecuenca expermental P).

7 Xj(P) = Valor teórco de la varable correspondente a una dstrbucón j para la frecuenca expermental P. Para el cálculo de ECMV se propone ordenar el msmo a través del sguente cuadro: m f = P X = Q ( X Xj ) ( P ) ECMV Xj Gumbel Xj Log Pearson III Xj Gbrat Galtón Cada uno de los valores de la varable (Xj) se obtene en las 3 dstrbucones, entrando al gráfco correspondente con el valor de probabldad dado por la frecuenca expermental, e nterceptando la recta o curva, obtener el valor de la varable (Xj). En el caso de la dstrbucón de Gumbel se puede hallarlo analítcamente despejando el valor de la varable de la expresón de cálculo de la probabldad. Para el método de Gbrat Galtón, como ya se ha vsto, a partr de F se calculo z por la tabla, y así poder entrar al gráfco, obtenendo (Q Q0). Una vez obtendos el ECMV y el ECMF para cada dstrbucón, se debe señalar cuál de ellas ajusta mejor, según los menores valores de errores.

8 TABLA : Valores del factor K para la expresón de Ven Te Chow TR TABLA Coefcente de asmetra 3,0,8,6,4,,0,8,6,4,,0 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, - 0,4-0,6-0,8 -,0 -, -,4 -,6 -,8 -,0 -, -,4 -,6 -,8-3,0 Período de retorno, años,00, vel de probabldad, porcentaje ,667-0,74-0,769-0,83-0,905-0,990 -,087 -,97 -,38 -,449 -,588 -,733 -,880 -,09 -,78 -,36 -,47 -,65 -,755 -,89-3,0-3,49-3,7-3,388-3,499-3,605-3,705-3,800-3,889-3,973-4,05-0,636-0,666-0,696-0,75-0,75-0,777-0,799-0,87-0,83-0,844-0,85-0,856-0,857-0,855-0,850-0,84-0,830-0,86-0,800-0,780-0,758-0,73-0,705-0,675-0,643-0,609-0,574-0,537-0,499-0,460-0,40-0,396-0,384-0,368-0,35-0,330-0,307-0,8-0,54-0,5-0,95-0,64-0,3-0,099-0,066-0, ,033 0,066 0,099 0,3 0,64 0,95 0,5 0,54 0,8 0,307 0,330 0,35 0,368 0,384 0,396 0,40 0,460 0,499 0,537 0,574 0,609 0,643 0,675 0,705 0,73 0,758 0,780 0,800 0,86 0,830 0,84 0,850 0,855 0,857 0,856 0,85 0,844 0,83 0,87 0,799 0,777 0,75 0,75 0,696 0,666 0,636,80,0,38,6,84,30,38,39,337,340,340,336,38,37,30,8,58,3,00,66,8,086,04 0,994 0,945 0,895 0,844 0,795 0,747 0,70 0,660,78,75,67,56,40,9,93,63,8,087,043,993,939,880,88,75,680,606.58,448,366,8,98,6,035 0,959 0,888 0,83 0,764 0,7 0,666 3,5 3,4 3,07 3,03,970,9,848,780,706,66,54,453,359,6,59,054,945,834,70,606,49,379,70,66,069 0,980 0,900 0,830 0,768 0,74 0,666 4,05 3,973 3,889 3,800 3,705 3,605 3,499 3,388 3,7 3,49 3,0,89,755,65,47,36,78,09,880,733,588,449,38,97,087 0,990 0,905 0,83 0,769 0,74 0,667

9 Tabla 3: Valores de Frecuenca Acumulada F (z) en funcón de la varable normal tpfcada (), para aplcar en el método de GIBRAT GALTO.- Para Z < 0, pueden hallarse los valores correspondentes por medo de la relacón F (-Z) = F (Z). Z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5000 0,5398 0,5793 0,679 0,6554 0,5040 0,5438 0,583 0,67 0,659 0,5080 0,5478 0,587 0,655 0,668 0,50 0,557 0,590 0,693 0,6664 0,560 0,5557 0,5948 0,633 0,6700 0,599 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,539 0,5636 0,606 0,6406 0,677 0,579 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,539 0,574 0,603 0,6480 0,6844 0,5359 0,5753 0,64 0,657 0,6879 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,695 0,757 0,7580 0,788 0,859 0,6950 0,79 0,76 0,790 0,886 0,6985 0,734 0,764 0,7939 0,8 0,709 0,7357 0,7673 0,7967 0,838 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,864 0,7088 0,74 0,7734 0,803 0,889 0,73 0,7454 0,7764 0,805 0,835 0,757 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,790 0,757 0,783 0,806 0,8365 0,74 0,7549 0,785 0,833 0,9389,0,,,3,4 0,843 0,803 0,8849 0,903 0,99 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,907 0,846 0,8686 0,8888 0,9066 0,9 0,885 0,8708 0,8907 0,908 0,936 0,8508 0,879 0,895 0,9099 0,95 0,853 0,8749 0,8944 0,95 0,965 0,855 0,8770 0,896 0,93 0,979 0,8577 0,8790 0,8980 0,947 0,99 0,8599 0,880 0,8997 0,96 0,9306 0,86 0,8830 0,905 0,977 0,939,5,6,7,8,9 0,933 0,945 0,9554 0,964 0,973 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,979 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,976 0,9370 0,9484 0,958 0,9664 0,973 0,938 0,9495 0,959 0,967 0,9738 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9406 0,955 0,9608 0,9686 0,9750 0,948 0,955 0,966 0,9693 0,9756 0,949 0,9535 0,965 0,9699 0,976 0,944 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767,0,,,3,4 0,977 0,98 0,986 0,9893 0,998 0,9778 0,986 0,9864 0,9896 0,990 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,99 0,9788 0,9834 0,987 0,990 0,995 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,997 0,9798 0,984 0,9878 0,9906 0,999 0,9803 0,9846 0,988 0,9909 0,993 0,9808 0,9850 0,9884 0,99 0,993 0,98 0,9854 0,9887 0,993 0,9934 0,987 0,9857 0,9890 0,996 0,9936,5,6,7,8,9 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,998 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,998 0,994 0,9956 0,9967 0,9976 0,998 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9948 0,996 0,997 0,9979 0,9985 0,9949 0,996 0,997 0,9979 0,9985 0,995 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,995 0,9964 0,9974 0,998 0,9986 3,0 3, 3, 3,3 3,4 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9987 0,999 0,9993 0,9995 0,9987 0,999 0,9994 0,9995 0,9988 0,999 0,9994 0,9996 0,9988 0,999 0,9994 0,9996 0,9989 0,999 0,9994 0,9996 0,9989 0,999 0,9994 0,9996 0,9989 0,999 0,9994 0,9996 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9990 0,9993 0,9995 0,9998 3,6 0,9998 0,9998

10 Tabla 4: Valores percentles para la dstrbucón j cuadrado con v (área en sombra = p ). v X 995 X 99 X 975 X 95 X 90 X 75 X 50 X 5 X 0 X 05 X 05 X 0 X

11 Datos (a modo de ejemplo) Sere de Precptacones anuales Estacón: ITA-Colona Benítez Año P anual (mm) Año P anual (mm) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 a) Ajustar la dstrbucón normal a la sere de precptacones anuales regstrada en Colona Benítez. b) Verfcar el ajuste utlzando el Test de Ch Cuadrado. c) Calcular la precptacón anual que tene una probabldad del 5% de ser superada.

12 Sere de Caudales máxmos anuales del Río egro en Puerto Trol Año Q [m 3 /seg] a) Calcular los caudales máxmos para Tempos de Retorno de: 5, 5, 50 y 00 años. b) Calcular los TR (años) para los caudales máxmos de: 30, 50 y 350 m 3 /seg.