Escuela de Ingeniería Eléctrica. Materia: Teoría de Control (E )

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1 Escuela de Ingeniería Eléctrica Departamento de electricidad aplicada Materia: Teoría de Control (E ) Síntesis de Correctores en Reacción Publicación E TE-03B-0 Marzo de 2013

2 Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores Contenido 1. CORRECTORES CORRECTORES EN RECCIÓN EQUIVLENCI ENTRE CORRECTORES EN CSCD Y CORRECTORES EN RECCIÓN EJEMPLOS DE EQUIVLENCIS ENTRE CORRECTORES EN CSCD Y RECCIÓN Página 2 de 15

3 Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores 1. CORRECTORES Los correctores o controladores tienen la función de modificar la respuesta que pueden adoptar las magnitudes de salida del sistema, cuando ocurren cambios ya sea en las señales de entradas al sistema o planta o ya sea por la introducción de otras señales que generan variaciones en el comportamiento del sistema que se modifican el comportamiento del mismo. Estas señales son las denominadas perturbaciones. Las mismas por lo general no son aplicadas al sistema o planta de igual forma que las entradas, como por ejemplo la variación de carga mecánica de un motor eléctrico. Los correctores tienen como fin el modificar el comportamiento transitorio y estacionario del sistema. lgunas de estas magnitudes son: Velocidad de respuesta Sobrevalores o magnitud de oscilaciones. Errores en régimen permanente Estabilidad relativa Según la ubicación del controlador, los actuadores y sensores se desprenderán diversas topologías de sistemas físicos y de control. Para cada tipología el comportamiento del sistema ante la acción de los diversos tipos de controladores serán disímiles. En esta publicación enfocada en la síntesis de controladores, se abordarán dos casos en particular, en la primer parte Cascada o Serie, y en la siguiente Reacción o Paralelo e r e G(s) r Ilustración 1 Sistema a lazo cerrado realimentación unitaria e e Jc(s) f(e) G(s) r r Ilustración 2 Sistema a lazo cerrado con corrector serie o cascada e e G(s) r r Jc(s) Ilustración 3 Sistema a lazo cerrado con corrector paralelo o reacción Página 3 de 15

4 Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores Es importante considerar que los efectos producidos por cada uno de los controladores y sus componentes aquí explicados serán distintos si se aplican en otros emplazamientos dentro del diagrama de bloques. 2. CORRECTORES EN RECCIÓN Dado un sistema realimentado elemental como el de la ilustración 3, donde: Función transferencia rama directa; Función transferencia rama de realimentación; Función transferencia lazo abierto; Función transferencia lazo cerrado; ; la que denominaremos como expresión general. nalizaremos dos aproximaciones: Supongamos la siguiente condición: lo que implica: (Ec. 01) En cambio si: lo que implica: (Ec. 02) Ejemplo: Si disponemos de un dispositivo cuya función transferencia es M(s) y es necesario obtener su inversa con M(s):, de difícil diseño, es posible lograr realimentando un amplificador de alta ganancia si E(s) R(s) M(s) Ilustración 4 Sistema a lazo cerrado funcional para obtener función transferencia inversa de M(s) Trazado aproximado de curvas de lazo cerrado en función de las curvas de lazo abierto: Si consideramos aisladamente a las funciones y Siendo ; (Ec. 03) el módulo de H(s) siempre menor que el de ; (Ec. 04) Página 4 de 15

5 Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores Siendo el módulo de siempre menor que el de ; En el rango de frecuencias donde se verifica la (Ec 02) o sea donde ; denominamos a esta condición banda de paso de, ; (0Db), a las frecuencias donde delimitan las (Ec 01) y (Ec 02), a estas frecuencias las que denominamos frecuencias de corte. En las representaciones frecuenciales, cuya metodología es la aplicada para este método, las condiciones indicadas en las ecuaciones 01 y 02, se verifican tanto en módulo como en fase, lo cual también se extiende para las ecuaciones 03 y 04. De tal manera es que si es representado por su forma inversa: ; (Ec. 05) Valiendo la representación vectorial donde se cumplen Ec 03 y Ec 04 podemos efectuar el diagrama vectorial de Ilustración 5: Ilustración 5 hora supongamos que ocurre si los módulos de los vectores F y 1/G de (Ec 05) adoptasen valores muy disímiles: Si (Ec 02) lo que puede verse en la ilustración 6. Ilustración 6 Si lo cual puede verse en la ilustración 7. Página 5 de 15

6 Módulos Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores Ilustración 7 Si visualizamos un sistema a lazo abierto con en el bode de módulo siguiente y si consideramos lo determinado en 1) podemos concluir que en las zonas externas (de baja y alta frecuencia) denominada banda de paso (zona de atenuación) de, donde entonces (por Ec 3) Surge que para obtener el trazado aproximado de se trazan y, tomando las porciones de curvas que tienen menores ordenadas. Los puntos de intersección a y b entre delimitan banda de paso pues corresponde a (0dB). y a a G H ncho de banda de T/ Banda de paso b b w0a w0b w Ilustración 8 En los puntos a y b quedan delimitados ángulos α y β que señalan las diferentes pendientes de - pendiente de = pendientes de + pendiente de = pendientes de = pendientes de. Estos ángulos no deben superar variaciones de 40dB/dec, pues si la frecuencia de corte, T tiene pendiente > 40dB/dec, su fase superará los 180 y esta es condición de inestabilidad en lazo cerrado. Estos conceptos son aplicables para lazos menores (secundarios) o principales, y son de aplicación para el estudio de correctores en reacción, basándose solo en curvas de ganancia EQUIVLENCI ENTRE CORRECTORES EN CSCD Y CORRECTORES EN RECCIÓN. Sea un sistema con un anillo secundario,, donde, puede haber incorporado alrededor de un bloque, de la rama directa de un sistema original para lograr efectos correctores: Página 6 de 15

7 Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores Hj(s) E(s) G1(s) Gj(s) G3(s) R(s) Fj(s) F(s) Ilustración 9 La función a lazo abierto original ( ) es. l incorporar el bloque ahora el lazo abierto tiene como función: (Ec. 06) Donde función a lazo abierto de lazo menor (anillo secundario). Se puede ver el efecto del lazo menor de es multiplicar a por un factor tal como si se hubiese insertado un bloque en cascada con el anillo principal. Esto se corresponde con el concepto de corrección en cascada a través de dispositivos tipo. Ilustración 10 Se desprende que se puede entonces lograr efectos de corrección con bloques que sean equivalentes a correcciones en reacción con elementos, y viceversa. Este es el fundamento de los métodos de corrección por lazos de realimentación secundarios EJEMPLOS DE EQUIVLENCIS ENTRE CORRECTORES EN CSCD Y RECCIÓN CSCD PD CON PLNT CONSTNTE Dada una planta a lazo abierto del cuya función transferencia es una constante mayor que 1 de valor genérico. demás propongamos aplicar en cascada un corrector PD cuya función transferencia es: Página 7 de 15

8 Módulo Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores, por lo que la función transferencia para el esquema cascada será: F(s) Ilustración 11 db. db 1/ 2 1/ 2 db Ilustración 12 Por la inspección de la representación de las asíntotas del diagrama de bode de módulos, podemos concluir que una posible representación de la curva de reacción podrá ser la graficada en color rojo. De inspección del bode la expresión aproximada para es: lo que implica que: (Ec. 07) hora si por otra parte hiciéramos el cálculo exacto por medio de las expresiones comenzando por la siguiente expresión: se deduce que F : (Ec 08) (Ec. 09) Lo que puede apreciarse es la diferencia que existen entre la Ec 07 aproximación de la Ec 08 cuyo resultado es exacto. La aproximación será tanto mejor como menor sea el valor de α respecto de 1. Página 8 de 15

9 Módulo Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores CSCD PD CON PLNT DE PRIMER ORDEN Dada una planta a lazo abierto del cuya función transferencia es una constante mayor que 1 de valor genérico. demás propongamos aplicar en cascada un corrector PD cuya función transferencia es: Teniendo como planta: por lo que la función transferencia para el esquema cascada será: (Ec. 10) (Ec. 11) 1+Ts 1+Ts F(s) Ilustración 13 Se ha elegido el corrector de manera tal que la frecuencia del cero del corrector en cascada PD coincida con el polo del sistema o planta para que las asíntotas del corrector y de la planta se cancelen entre sí, es decir que τ2=t De esta forma la planta quedará con el polo en la ubicación del polo del corrector. Esto es que: (Ec. 12) db. db db 1/ 1/ 2 1/ 2 Ilustración 14 y entonces: (Ec. 13) y luego: Página 9 de 15

10 Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores (Ec. 14) Y si el sistema es físicamente eléctrico esto puede ser representado por un divisor de tensiones: En términos de implementación se ha trasladado el polo desde 1/T 1 1/αT, aumentando la frecuencia de corte Por otra parte la ganancia del sistema pasó de tener magnitud a tener una menor α En cuanto a la determinación exacta del corrector F, será utilizando la expresión de (Ec. 08) para el caso de (Ec 10), tenemos: Para el caso de que α<<1, entonces vale la aproximación de (Ec. 14) (Ec. 15) CSCD PD CON PLNT DE TIPO 1. Dada una planta a lazo abierto del cuya función transferencia es una constante mayor que 1 de valor genérico. demás propongamos aplicar en cascada un corrector PD cuya función transferencia es: Teniendo como planta:, por lo que la función transferencia para el esquema cascada será: (Ec. 16) (Ec. 17) Se ha elegido el corrector de manera tal que la frecuencia del cero del corrector en cascada PD coincida con el polo del sistema o planta para que las asíntotas del corrector y de la planta se cancelen entre sí, es decir que τ2=t De esta forma la planta quedará con el polo en la ubicación del polo del corrector. Esto es que: (Ec. 18) K s(1+ts) K s(1+ts) F(s) Ilustración 15 Página 10 de 15

11 Módulo Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores K. db K/S K. /S db 1/ 1/ 2 1/ 2 K K Ilustración 16 y entonces: (Ec. 19) y luego: (Ec. 20) Y si la salida del sistema es físicamente una posición esto significa que la realimentación que se requiere es taquimétrica. El efecto de modificar la constante del taquimétro λ es el mismo que modificar α., pues K es constante, con lo cual varia la función y por lo tanto el ancho de banda, y el margen de fase, con lo cual varia la respuesta temporal. Determinación de la expresión exacta de F(s) Para el caso de que α<<1, entonces vale la aproximación de (Ec. 20) (Ec. 21) CSCD PI CON PLNT CONSTNTE Dada una planta a lazo abierto del cuya función transferencia es una constante mayor que 1 de valor genérico. demás propongamos aplicar en cascada un corrector PI cuya función transferencia es: (Ec. 22), por lo que la función transferencia para el esquema cascada será: Página 11 de 15

12 Módulo Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores Ilustración 17 db /bdb 1/bdB 1/b 1 1/ 1 Ilustración 18 Por la inspección de la representación de las asíntotas del diagrama de bode de módulos, podemos concluir que una posible representación de la curva de reacción podrá ser la graficada en color rojo. De inspección del bode la expresión aproximada para es: lo que implica que: (Ec. 23) hora si por otra parte hiciéramos el cálculo exacto por medio de las expresiones comenzando por la siguiente expresión: deducimos que para calcular F despejando quedará: (Ec. 24) (Ec. 25) Lo que puede apreciarse es la diferencia que existen entre la Ec 23 aproximación de la Ec 25 cuyo resultado es exacto. La aproximación será tanto mejor como mayor sea el valor de b respecto de CSCD PI CON PLNT DE PRIMER ORDEN Dada una planta a lazo abierto del cuya función transferencia es una constante mayor que 1 de valor genérico. demás propongamos aplicar en cascada un corrector PD cuya función transferencia es: Página 12 de 15

13 Módulo Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores por lo que la función transferencia para el esquema cascada será: Teniendo como planta: (Ec. 26) (Ec. 27) K 1+Ts K 1+Ts F(s) Ilustración 19 Se ha elegido el corrector de manera tal que la frecuencia del cero del corrector en cascada PI coincida con el polo del sistema o planta para que las asíntotas del corrector y de la planta se cancelen entre sí, es decir que τ1=t De esta forma la planta quedará con el polo en la ubicación del polo del corrector. Esto es que: (Ec. 28) K db K/(1+TS) K/(1+TS) 1/bdB 1/b 1 1/ 1/ n Ilustración 20 y entonces: (Ec. 29) y luego: (Ec. 30) En cuanto a la determinación exacta del corrector F, será utilizando la expresión de (Ec. 08) para el caso de (Ec 30), tenemos: (Ec. 31) Página 13 de 15

14 Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores Para el caso de que b>>1, entonces vale la aproximación de (Ec. 30) CSCD PI CON PLNT DE TIPO 1. Dada una planta a lazo abierto del cuya función transferencia es una constante mayor que 1 de valor genérico. demás propongamos aplicar en cascada un corrector PD cuya función transferencia es: Teniendo como planta: por lo que la función transferencia para el esquema cascada será: (Ec. 32) (Ec. 33) Se ha elegido el corrector de manera tal que la frecuencia del cero del corrector en cascada PI coincida con el polo del sistema o planta para que las asíntotas del corrector y de la planta se cancelen entre sí, es decir que τ1=t De esta forma la planta quedará con el polo en la ubicación del polo del corrector. Esto es que: (Ec. 34) Ilustración 21 y entonces: (Ec. 35) y luego: (Ec. 36) Determinación de la expresión exacta de F(s) (Ec. 37) Para el caso de que b>>1, entonces vale la aproximación de (Ec. 36) Página 14 de 15

15 Módulo Carrera: Ingeniería Eléctrica Materia: Teoría de Control (E ) punte Teoría Síntesis de correctores K/(1+TS) K b 1/bdB 1/ 1/b 1 1/ 1 K K/(1+TS) Ilustración 22 Página 15 de 15