Módulo 12 La División

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1 Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción inri que soci dos números reles,, con un número rel único llmdo el cociente R De modo que si 0, c c Teorem de l división: L operción de dividir dos números reles es equivlente multiplicr el numerdor por el reciproco del denomindor: c; 0 Por ejemplo:. El teorem se define sólo si el denomindor es diferente de cero. Teorems sore frcciones Los siguientes teorems ásicos sore frcciones son mu importntes en el mnejo de ésts. z w z w Teorem. ; (, w 0) Este resultdo dice que pr multiplicr dos frcciones, se tiene que multiplicr el numerdor por el numerdor el denomindor por el denomindor. Siempre cundo los denomindores sen distintos de cero.

2 Por ejemplo: Se multiplicn los numerdores entre sí los denomindores igulmente como se ilustr continución; Por ejemplo: ) z z ) w w c) w w 0 d) 9 8 e) 8 c c f) d d w w g) z z h) w w 0 z z Teorem. ; (, z 0) Este resultdo dice que un frcción puede ser multiplicd por otr frcción z z (disfrzd de, pues z z ) su vlor no se lter. Por ejemplo: ( quí estmos multiplicndo por ). Otros ejemplos: ( quí estmos multiplicndo por ). ( quí estmos multiplicndo por ).

3 z w Teorem. w z; (, w 0) Este resultdo dice que un frcción es igul otr w z si solmente si el numerdor de l primer multiplicdo por el denomindor de l segund w es igul l numerdor de l segund z multiplicdo por el denomindor de l primer ; es decir, w z. Este resultdo es mu importnte pr usos prácticos en cunto operr con frcciones pues con él podemos ser si dos frcciones son igules, que st hcer ls multiplicciones indicds si mos resultdos son igules entonces ls frcciones tmién son igules. Por ejemplo: 0 0 son igules. ( )( ) ( 0)( ) como ( )( ) 0 ( 0)( ) entonces ls frcciones Teorem. (, 0) Este resultdo dice que pr dividir l unidd por un frcción st considerr el recíproco de l frcción:. Por ejemplo: ) ) c)

4 Este resultdo tmién sirve pr encontrr el recíproco de un número. Por ejemplo, el recíproco del es:. El recíproco del es El recíproco del es En cso que se teng que dividir un frcción entre otr se proce de l mner siguiente: c d c d Ejemplos: ) ) c) 0 A mner de repso, en lo que sigue ilustrmos como se sumn se restn los números rcionles: Pr ests operciones se deen tener en cuent dos csos fundmentles:

5 CASO : Cundo los rcionles tienen el mismo denomindor: En éste cso se deen sumr o restr los numerdores, de cuerdo con l le de los signos de los números enteros, el denomindor es el mismo que tienen los rcionles operr, es decir: c c Ejemplos: 9 9 ) ) CASO : Cundo los rcionles tienen distinto denomindor: En este cso, h tres forms de sumrlos o restrlos. Primer form: se deen convertir los rcionles en frcciones con el mismo denomindor posteriormente se sumn sus numerdores el denomindor es el común entre los rcionles. Por ejemplo: En el ejemplo del inciso, el rcionl se convierte l rcionl (st multiplicr l numerdor l denomindor por ) lo podemos sumr l rcionl como en l primer form, pues tienen el mismo denomindor ) )

6 En el ejemplo del inciso, el rcionl se convierte l rcionl 0 (st multiplicr l numerdor l denomindor por ) l rcionl lo convertimos l rcionl 0 (st multiplicr l numerdor l denomindor por ). Un vez que los dos rcionles tienen el mismo denomindor los podemos sumr como en l primer form. Segund form: Primero se encuentr el mínimo común múltiplo de los denomindores, después este se divide entre cd denomindor el resultdo se multiplic por cd numerdor. Los resultdos se sumn o restn se divide entre el mínimo común múltiplo. Oservemos los ejemplos que siguen: Pr resolver l operción siguiente: Primero encontrmos el mínimo común múltiplo de, el cul en este cso es el mismo. Y este será el nuevo denomindor. Luego, lo dividimos entre el denomindor el resultdo lo multiplicmos por el numerdor. Hcemos lo mismo con el denomindor el numerdor del otro rcionl. Finlmente, summos los resultdos: Vemos el otro ejemplo: En este cso, el mínimo común múltiplo del el es el 0, el cul l dividirlo entre multiplicrlo por - nos d - l dividirlo entre multiplicrlo por el nos d. Finlmente summos -. Tercer form: pr sumr o restr dos rcionles primero se multiplicn los denomindores el resultdo será el nuevo denomindor. Después, se multiplic el numerdor del primer rcionl por el denomindor del segundo rcionl tmién se multiplic el denomindor del primer rcionl con el numerdor del segundo rcionl. Finlmente se sumn estos resultdos. L fórmul que sigue ilustr lo nterior. Vemos unos ejemplos: c d c d d Resolvmos l operción siguiendo l fórmul.

7 ( )() ()() ()() mínimo común múltiplo : El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Ejemplo: el m.c.m. de 0 0: Múltiplos de 0: 0, 0, 0, Múltiplos de 0: 0, 0, es el múltiplo menor que es común mos números. Form deciml Todo número frccionrio tiene un form deciml; por ejemplo, l form deciml de ½ es 0. o ien, l form deciml de ¾ es 0. de ¼ es 0.. Por ejemplo, ls forms decimles de /, /, /8, /, / /8 son: 0., 0., 0., 0., 0., 0. respectivmente. Ests epresiones decimles se otienen con el sólo hecho de efectur l división. Pero est división puede o no llegr terminr, como se vio en ls nteriores forms decimles, sí que vle l pen considerr este hecho. Al uscr l form deciml de /, encontrmos que el proceso de división no termin. Lo mismo sucede l intentr encontrr l form deciml de /. Sin emrgo l uscr l form deciml de ½, el proceso de dividir si termin. Al deciml 0. que result de ½ se le llm terminnte l deciml 0. que result de dividir / se le llm no terminnte o periódico. Si es necesrio empler puntos suspensivos pr representr l form deciml de un número Rcionl, se dice que el número Rcionl tiene un form deciml no terminnte. En l siguiente list de decimles, ls opciones,, d f son epresiones decimles terminntes, no sí ls opciones c e.

8 ) ¾ ) /8 c) /9 d) / e) /9 f) / Ls frcciones decimles no terminntes pueden o no representr un secuenci de cifrs repetids. Cundo presentn un secuenci de cifrs repetids, le llmremos decimles repitientes o periódicos. Así, son epresiones decimles periódicos, lo mismo que ls epresiones decimles El proceso de dividir / no termin pues l epresión deciml es Pr convertir un número mito deciml, un form prctic de hcerlo es l siguiente: Por ejemplo, pr convertir d.. Este vlor se pone enseguid del entero. Así deciml st hcer l división entre lo cul.. Ahor, nlicemos el cso en que tenemos un deciml queremos epresrlo como frcción: Por ejemplo, pr epresr el deciml.000 en frcción lo que tenemos que hcer es contr cuntos números h después del punto deciml (sin contr los ceros que pudier tener el deciml después de él). En este cso, en el deciml.000 solo se cuent el pues después de él h un infinidd de ceros esos no se cuentn. Así sólo h un número. Luego, considermos l 0 como divisor del pr formr l frcción: En cso de que h dos números después del punto deciml, pondremos l 00 como divisor. Si h tres números después del punto deciml, pondremos l 000 como divisor. Y sí sucesivmente. Ejemplos:

9 Recordr que los ceros posteriores no se cuentn, menos de que en el deciml intermedio h un cero: Si el número es mito st con convertir l prte deciml frccionri nteponer el entero l frcción: Hst hor nos hemos referido los números rcionles, sin emrgo, eiste otro conjunto de números tmién mu importnte. En seguid nos referimos este conjunto: Un número rcionl se definió como un deciml que termin o un deciml que se repite indefinidmente. Si un deciml ni se repite indefinidmente ni termin, no es un número Rcionl. Luego, Al conjunto formdo por tods ls epresiones decimles infinits no periódics lo llmmos el conjunto de los números irrcionles lo denotmos por I. Es decir, un número Irrcionl es quel cu form deciml ni termin ni se repite indefinidmente. Ls epresiones decimles siguientes:,..., 9...,..., Que son infinits no periódics, no pueden representr un número rcionl, puesto que result imposile escriirls como rzón o cociente de dos enteros (p/q). Los ejemplos nteriores son l epresión deciml de los números irrcionles, π, el número e.

10 Actividdes de prendizje.- Escri el recíproco de cd uno de los números que se dn continución: ) ) c) d) e).- Eprese en form deciml ls siguientes frcciones: ) ) c) 000 d) e).- Eprese en form frccionri los siguientes decimles: ). ). c). d).00. L representción en form frccionri de 0. es ) 0 ) c) d). Es el reciproco de ) ) c) d).- Resuelv ls operciones siguientes:

11 ) - ) 8 c) 9 d) 9

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