Restricciones - Un grupo inversor dispone de un máximo de 9 millones de euros para invertir

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1 UNIVERSIDDES PÚLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUE DE CCESO ESTUDIOS UNIVERSITRIOS (LOGSE) SEPTIEMRE MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II Fse esecífic INSTRUCCIONES: El lumn deberá elegir un de ls ds cines que figurn en el resente emen y cntestr rndmente ls cutr ejercicis de que cnst dich ción. Pr l relición de est rueb uede utilirse clculdr científic, emre que n disng de ccidd de reresentción gráfic de cálcul mbólic. TIEMPO: 9 minuts. OPCIÓN Ejercici. (Puntución máim: unts) Un gru inversr disne de un máim de 9 millnes de eurs r invertir en ds tis de fnds de inverón, y. El fnd de inverón del ti tiene un rentbilidd del % nul y un limitción legl de millnes de eurs de inverón máim. El fnd de inverón del ti tiene un rentbilidd del % nul, deben invertirse l mens millnes de eurs y n hy límite suerir de inverón. El gru inversr dese invertir en el fnd del ti, cm máim, el dble de l invertid en el fnd del ti. Qué cntidd debe invertir el gru en cd ti de fnd r btener el máim benefici nul? Clcúlese dich benefici máim. Definición de vribles. Citl en millnes invertid en el fnd ; y Citl en millnes invertid en el fnd Función bjetiv. (, y) y Restriccines - Un gru inversr disne de un máim de 9 millnes de eurs r invertir y 9 - El fnd de inverón del ti tiene un limitción legl de millnes de eurs de inverón máim - En el fnd de inverón del ti deben invertirse l mens millnes de eurs y n hy límite suerir de inverón y - El gru inversr dese invertir en el fnd del ti, cm máim, el dble de l invertid en el fnd del ti y Se ide mimir l función (, y) smetid ls guientes restriccines: Región fctible. Vértices. Pr seleccinr l región fctible se tm un unt culquier que n ertenec ningun de ls rects, r ejeml P(, ) y se cmrueb cules restriccines l cumlen, l cumle, l región dnde est el unt resect de l restricción es l fctible, n l cumle, será l cntrri. (,) y 9 9 L cumle (,) y L cumle y y : (, ) : (, ) y y 9 C : (, ) C : (, ) y 9 y

2 Otimción. C D y (, y) y Cumliend ls restriccines ruests se btiene benefici máim de invirtiend millnes en bn ti y millnes en bn ti. Ejercici. (Puntución máim: unts) Se cnder l función rel de vrible rel definid r: f () ) Determínese l ecución de l rect tngente l gráfic de f en su unt de infleión. b) Determínese ls etrems reltivs de f y esbócese su gráfic. c) Clcúlese el áre del recint ln ctd limitd r l gráfic de f y l rect de ecución y.. L ecución de l rect tngente un función f() en en frm unt endiente tiene r ereón: y f f Se ide clculr l rect tngente en el unt de infleión, r determinrl se igul cer l segund derivd, cmrbnd que l tercer derivd n es nul en el unt. f f : f : : f En (, f ()) l función resent un unt de infleión. L tngente l función en este unt en frm unt-endiente es: f y f f ( ) () : : y ( ) f () En (, ) l función resent un unt de infleión cn tngente de ecución y. b. Un función tiene etrems reltivs en ls unts dnde su rimer derivd se cer y su segund derivd se distint de cer, cn el guiente criteri: f : Máim Sí f y f en (, f()) l función tiene un etrem reltiv: f > : Mínim f : : ( ) : : f En (, f()) l función tiene un máim lcl f f f > En (, f()) l función tiene un mínim lcl Gráfic. Crtes cn ls ejes: (, ) Máim (, ) Mínim. - OX (y ): Medinte Ruffini se clculn ls slucines (, ) ; (, ) - OY ( ): y ; (, )

3 Tendenci en ls infinits: Lím ( ) ( ) ( ) ( ) Lím Cncids ls unts de crte cn ls ejes y ls etrems reltivs y tendenci en ls infinits, se esb l gráfic de l función. ls c. L rimer es delimitr el recint de integrción, r l cul es muy útil dibujr ls funcines. Ls límites de integrción se clculn reslviend el stem frmd r ls ds ecucines. y Igulción ; y L ecución se resuelve cn el métd de Ruffini. : Teniend en cuent l ción reltiv de ls gráfics que delimitn el recint y ls unts de crtes entre mbs, el áre es: [ ( ) ] d ( ) Áre [ ] d ( ) d ( ) d u Ejercici. (Puntución máim: unts) En un redenci univertri viven 8 estudintes, de ls cules utilin l biblitec. De ests últims, 7 estudintes hcen us de l lvnderí, mientrs que sól de ls que n usn l biblitec utilin l lvnderí. Se elige un estudinte de l redenci l r. ) Cuál es l rbbilidd de que utilice l lvnderí? b) Si el estudinte elegid n utili l lvnderí, cuál es l rbbilidd de que utilice l biblitec? Sucess: Dts: Un estudinte de l redenci univertri utili l biblitec. Un estudinte de l redenci univertri utili l lvnderí. 8 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 8 8

4 7 ( ( ) 8 b. ( ) ( ) ( ) Ejercici. (Puntución máim: unts) Pr medir el ceficiente de inteligenci µ de un individu, se relin test cuy clificción X se sune que es un vrible letri cn distribución nrml de medi igul µ y desvición tíic igul. Un ciert individu reli 9 test cn indeendenci. ) Si l clificción medi de dichs test es igul 8, determínese un intervl de cnfin l 9% r su ceficiente de inteligenci µ b) Si el individu que h relid ls 9 test tiene un ceficiente de inteligenci µ, cuál es l rbbilidd de que bteng un clificción medi muestrl myr que?. Se ide clculr el intervl de cnfin r l medi blcinl cncid un medi muestrl de un vrible cn distribución nrml. : N µ 9 n 9 ( µ,) : N, N ( µ, ) En un muestr de 9 test, se btenid un mdi: 8. El intervl de cnfin r l medi blcinl (µ) rtir de un medi muestrl ( ) viene dd r l ereón: σ Zα, Zα n σ n Dnde Z α se btiene rtir del nivel de cnfin ( α). α, α α,9 α,: φ φ φ (,97), 9 Sustituyend en l ereón de intervl de cnfin: 8,9,8,9 9 9 ( 98,;7,8) Cn un rbbilidd del 9% se uede segurr que el ceficiente intelectul del individu v estr cmrendid entre 98, y 7,8. b. Cncid l distribución que gue l vrible, se ide clculr l rbbilidd de que l medi de un muestr se myr que un determind vlr. n 9 : N(,) : N, N (, ) 9 N(, ) ( > ) ( >,) (,) (,) φ(, ),,977,8 L rbbilidd de que l medi de nueve test relids r el individu se myr de es del,8%

5 OPCIÓN Ejercici. (Puntución máim: unts) Se cndern ls mtrices: ; y X ; O ) Clcúlense ls vlres de r ls cules n eiste l mtri invers. b) Pr, clcúlese l mtri invers. c) Pr, clcúlense tds ls slucines del stem linel X.. L cndición necesri y suficiente r que un mtri cudrd teng invers es que su determinnte se distint de cer. det SRRUS : : Pr, ó, el determinnte de l mtri es cer y n eiste. b. : t dj dj dj t dj t c. : y : y y Sistem hmgéne, rg rg * Sistem cmtible. : S.C.I. y : S.C.D.

6 Pr, : rg rg * n. Sistem cmtible indetermind. Tmnd cm ecucines linelmente indeendientes ls que cntienen el menr de rden ds distint de cer: S': y Pr reslver el stem se tm cm rámetr l vrible cuys ceficientes n frmrn rte del menr de rden. λ S' λ y λ λ ( λ) : : y λ λ R Ejercici. (Puntución máim: unts) Se cnder l función rel de vrible rel definid r: f () b > ) Clcúlense y b r que l función f se cntinu en tds ls unts. b) Eisten vlres de y b r ls cules f es derivble en? Rónese l resuest c) Pr, b, clcúlese l integrl definid f ()d. L función está definid r erenes linómics, ls cules sn cntinus en sus dminis de definición, r que l función se cntinu deberá ser cntinu en ls unts frnter ( y en ). En : Pr que l función se cntinu se debe cumlir: Lím f f Pr que eist límite cund tiende cer, deben eistir ls límites lterles en y ser igules, r l que l cndición de cntinuidd l dems cmbir r: Lím f Lím f f Teniend en cuent l definición de l función en cer y en su entrn: Lím Lím b Reslviend: b b Reitiend ls misms cncets en : Lím f Lím f f Teniend en cuent l definición de l función en cer y entrn cer: Lím b Lím Reslviend: b b Ls ds cndicines ermiten lnter un stem cuy slución sn ls vlres de y b. b : b b f () >

7 7 b. Se ide clculr ls vlres de y b r que l fundón se cntinu y derivble en, indeendientemente de ls que se en. Cntinu: b del rtd ) Derivble: > () f : f f : Frmnd un stem cn ls ds cndicines se clculn ls vlres de y b r que l función se cntinu y derivble en. b ; : b > f () c. > f () : d d d f ( ] Ejercici. (Puntución máim: unts) Sen y ds sucess de un eeriment letri, tles que P(),. Clcúlese P en cd un de ls guientes css: ) y sn mutumente ecluyentes. b). c) y P (),. d) P( ),. Sl. y sn mutumente ecluyentes Si se cumle n se cumle y vicevers.,, b.

8 c. y P (),. ( ) ( ) ( ),,, d. ( ) ( ),,, Ejercici. (Puntución máim: unts) El sld en cuent fin de ñ de ls clientes de un ciert entidd bncri se uede rimr r un vrible letri cn distribución nrml de desvición tíic igul eurs. Cn el fin de estimr l medi del sld en cuent fin de ñ r ls clientes de dich entidd, se elige un muestr letri mle de clientes. ) Cuál es el nivel máim de cnfin de l estimción se sbe que el vlr bslut de l diferenci entre l medi muestrl y l medi blcinl es menr igul que eurs? b) Clcúlese el tmñ mínim necesri de l muestr que h de bservrse r que el vlr bslut de l diferenci entre l medi muestrl y l medi blcinl se menr igul que eurs, cn un nivel de cnfin del 9%.. El rblem se uede hcer de ds frms diferentes: r rbbilidd r errr. Pr rbbilidd. El nivel de cnfin de l estimción es: ( µ ) ( µ ) ( µ µ ) N. C. Ls medis de ls muestrs de tmñ de l vrible guen un distribución nrml. σ : N, N, µ µ N( µ, ) n Pr clculr l rbbilidd, se tiific l vrible cn ls rámetrs de l distribución. µ µ N µ, ( µ µ ) (,, ) µ µ µ, (,) (,) (,) ( >,) (,) (, ) (,) ( (,) ) (,) φ(,),9, 9 Nivel cnfin 9,% Pr errr máim dmitid. El errr máim dmitid viene dd r l ereón: σ ε má Zα n De est ereón se cnce td mens el vlr crític de ( Z α ). Z ε n má α σ, Teniend en cuent que α φ Zα 8

9 α φ( Z ) : α ( φ( Z ) φ(,) α (,9), 99 α Cncid el nivel de gnificción (α), se clcul el nivel de cnfin. N.C. α,99,9 N.C. 9,% b. El tmñ muestrl se clcul rtir de errr máim dmitid σ ε má > Zα n σ n > Z α ε má N.C. 9% α, Z,9 φ α φ α φ,97,, α n >,9, n elements 9 9