I.2 ONDAS LONGITUDINALES

Transcripción

1 I. ONDAS LONGITUDINALES Las ondas iajeras o pulsos en los cuales los elementos del medio perturbado se mueen paralelamente a la dirección de propagación de la onda se denominan ondas longitudinales. Las ondas de sonido son ondas longitudinales, y así como utilizamos las cuerdas para ejemplificar ondas transersales, utilizaremos ondas de sonido para ejemplificar ondas longitudinales, las cuales se desplazan en cualquier medio físico con una rapidez que depende de las propiedades del medio. Si consideramos un tubo que contiene gas (aire) y un mecanismo (émbolo) que se puede moer hacia la derecha y perturbar el medio: Inicialmente, el gas no está perturbado y por lo tanto es de densidad uniforme, al moer el émbolo, el gas aledaño al mismo se comprime (región comprimida) y en esa región la presión y la densidad del gas son más altas de lo que eran inicialmente. Esa región comprimida sigue desplazándose hacia la derecha con rapidez que depende de la compresibilidad y de la densidad del medio: Mediante un análisis mecánico, demostramos la ecuación de rapidez para una onda transersal en una cuerda. Experimentalmente, es decir, de forma empírica, se obtiene también que la rapidez de propagación de cualquier tipo de onda en un medio físico (como el gas) sigue la ecuación: = Propiedades elásticas del medio Propiedades inerciales del medio Dependiendo del estado y propiedades que conforman el medio físico, cambian los términos a utilizar en la ecuación anterior.

2 En física, la materia existe en estado sólido, líquido y gaseoso (también plasma). En mecánica los cuerpos son sólidos y fluidos (líquidos y gases), para analizar la rapidez de una onda longitudinal en algún medio de este tipo, es necesario estudiar las propiedades elásticas de los cuerpos. La elasticidad de los cuerpos es una medida de como se deforman bajo un esfuerzo dado. Esfuerzo es una cantidad física que representa la fuerza que actúa sobre un cuerpo por unidad de área, el resultado de este esfuerzo es una deformación. Bajo esfuerzos pequeños (que no alteren la elasticidad de un medio físico) la deformación es proporcional al esfuerzo, la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de elasticidad: Coeficiente de elasticidad Ξ Esfuerzo Deformación Unitaria a) Módulo de Elasticidad Elasticidad en Longitud Barra larga de área A transersal y longitud inicial Li, se le aplica una fuerza F en un extremo y sufre una deformación L. La deformación por tensión define un coeficiente de elasticidad Y como: Y Ξ Resistencia a la tensión F/A Deformación por tensión = L/Li b) Coeficiente de rigidez Elasticidad de forma Elemento con área A en las caras y altura h transersal, se le aplica una fuerza F paralela a una cara (mientras la otra está fija) y esta sufre una deformación x. La deformación por esfuerzo cortante define un coeficiente de rigidez S como: S Ξ Esfuerzo cortante = F/A Deformación por cortante x/h Desde el punto de ista mecánico, un medio es fluido (líquidos y gases) si no presenta resistencia al esfuerzo cortante. Los fluidos tienen la propiedad de ejercer presión por sí solos. c) Módulo de Volumen Elasticidad en Volumen Elemento de olumen inicial Vi, se le aplica una fuerza F uniforme perpendicularmente sobre toda la superficie (este tipo de esfuerzo se denomina presión P) y sufre una deformación de compresión V. La deformación por olumen define un módulo de olumen ß (también llamado compresibilidad) como: Un aumento en presión ( P positio) genera una disminución en olumen ( V negatio) y iceersa ß Ξ Esfuerzo de olumen - F/A = Deformación de olumen V/Vi = - P V/Vi

3 La rapidez de las ondas longitudinales de sonido depende de la compresibilidad y la densidad del medio. Si es un líquido o gas (fluido) depende del módulo de olumen ß y la densidad olumétrica ρ (masa por unidad de olumen) = ß ρ Velocidad (rapidez) de una onda en un fluido Si es una barra de material sólido: = Y ρ Velocidad (rapidez) de una onda en una barra La elocidad del sonido en el aire es 331 m/s a 0 ºC, como la densidad y presión del aire cambian con la temperatura, la elocidad del sonido también se modifica con la temperatura (Tc): = 331 m/s 1 + Tc 73ºC I..1 ONDAS DE SONIDO SENOIDALES Lo que nuestro oído percibe como sonido son ariaciones de presión (del aire, agua, ) generadas por perturbaciones que iajan como una onda de presión. Considerando un tubo largo que contenga gas (o cualquier fluido) a una presión uniforme de equilibrio, si moemos hacia la derecha un émbolo, se genera una región de mayor densidad de elementos del medio y por ende mayor presión en esa región, llamada compresión que iaja a traés del tubo como un pulso. Compresiones Rarefacciones Si se hace oscilar el émbolo de forma periódica, se generan arias compresiones y por consiguiente también regiones de menor densidad y menor presión (expansiones) que se denominan rarefacciones, las cuales también iajan a traés del tubo.

4 Al oscilar el émbolo senoidalmente (de forma armónica), las compresiones y expansiones (rarefacciones) se forman periódicamente: La distancia entre dos compresiones sucesias (o dos expansiones) se denomina longitud de onda. Los elementos pequeños del medio oscilan armónicamente en la dirección de propagación de la onda (en x ). Podemos utilizar la expresión S(x,t) = S max cos(kx wt) para representar el moimiento de los elementos del medio en función del tiempo t y de su posición en x, donde S representa el desplazamiento de un elemento en un momento dado respecto a su posición original de equilibrio. S(x,t) = S max cos(kx wt) k=л/ (número de onda angular) w=л/t (frecuencia angular del émbolo) Como onda de sonido es importante analizar las ariaciones de presión P del gas respecto a la presión inicial de equilibrio, recordando la ecuación de compresibilidad: ß = - P V/Vi P = - ß V Vi Si consideramos un elemento de área transersal A y espesor x, de modo que su olumen inicial es Vi=A x: El cambio de olumen V debido al cambio de presión es V=A S, donde S es el cambio en x del espesor x: P = - ß V Vi = - ß A S A x = - ß S x Si x tiende a cero S/ x se conierte en S/ x: P = - ß S x S(x,t) = S max cos(kx wt)

5 P = ß S max ksen(kx wt) ß= ρ P = ρ S max ksen(kx wt) k = w/ P = ρws max sen(kx wt) ρws max = P max P = P max sen(kx wt) S(x,t) = S max cos(kx wt) Variación de presión desde el equilibrio Este tipo de onda longitudinal de sonido se denomina también onda de presión, lo que percibimos como sonido son las ariaciones de presión del medio. P(x,t) = P max sen(kx wt) Analizando el moimiento de los elementos del medio: S(x,t) = S max cos(kx wt) La rapidez por definición es: = ds / dt La aceleración por definición es: a= d / dt = ds/dt (x=constante) = S/ t = w S max sen(kx wt) Rapidez de los elementos de gas V máx = w S max a= d/dt (x=constante) = / t = w S max cos(kx wt) a máx = w S max Aceleración de los elementos de gas

6 I.. ENERGÍA EN ONDAS DE SONIDO Considerando un elemento de aire de masa m y ancho x junto a un émbolo que oscila armónicamente con una frecuencia angular w, su energía cinética es: Ec = 1 m Ec = 1 (ρa x) Si x tiende a cero: dec = 1 (ρadx) Donde es la elocidad del elemento, = ws max sen(kx wt) dec = 1 ρa w S max sen (kx wt)dx Si integramos esta expresión en una longitud de onda, se obtiene la energía cinética total de todos los elementos diferenciales de gas en una longitud de onda. Para simplificar la solución, realizamos la integración en una foto (t=0): 0 dec = 1 ρaw S max sen (kx)dx 0 / Por métodos de integración: = 1 ρaw S max sen (kx)dx 0 Ec = 1 ρaw S max x - senkx 4k 0 = 1 ρaw S max 4 Además de energía cinética, en una longitud de onda existe energía potencial de todos los elementos del medio (por desplazamientos y fuerzas desde el equilibrio), si efectuamos el mismo análisis se obtiene que la energía potencial total es el mismo alor que la energía cinética total: Ep = 1 ρaw S max 4

7 P Como energía mecánica es igual a cinética más potencial, la energía total de los elementos de gas en una longitud de onda es: Em = 1 ρaw S max + 1 ρaw S max 4 4 Si esta es energía total en una longitud de onda (que corresponde a un período de oscilación), como la onda iaja a traés del gas la tasa de transferencia de energía o potencia de la onda es: = E t = 1 ρaw S max T = 1 ρaw S max P = 1 ρaw S max Potencia de una Onda Longitudinal Para independizar la energía transferida de esta onda del área transersal A, definimos Intensidad de la onda, que representa la potencia por unidad de área transersal (perpendicular) al desplazamiento de la onda: I = P A = 1 ρw S max = P max ρ Intensidad de una onda de sonido ρws max = P max En función de la frecuencia de la onda de sonido, se caracterizan en: a) ondas audibles, con frecuencias dentro del rango de sensibilidad del oído humano b) ondas infrasónicas, con frecuencias abajo del rango de sensibilidad del oído humano c) ondas ultrasónicas, con frecuencias arriba del rango de sensibilidad del oído humano Sin embargo, la capacidad del oído humano de captar sonido, no solo depende de la frecuencia sino también de la intensidad de la onda (débil o fuerte). Si fijamos una frecuencia estándar de referencia igual a 1000 Hz, la mínima intensidad que el oído puede detectar (llamada umbral auditio) es de Io=1.00x10-1 W/m (Io=intensidad de referencia). Y la máxima intensidad que puede tolerar el oído humano (llamada umbral del dolor) es de 1.00 W/m. Debido al amplio rango de intensidades que capta el oído humano, es necesario crear una escala mas adecuada para medir la intensidad, llamada decibeles, utilizando la función matemática logaritmo: ß = 10 log ( I ) Io Niel de sonido en decibeles

8 I..3 EFECTO DOPPLER En ez de considerar un tubo de aire, podemos considerar un espacio tridimensional en el cual iajan ondas de sonido a traés del aire, mediante una fuente puntual de sonido que emite ondas longitudinales iguales en todas direcciones de forma periódica, denominada onda esférica. La intensidad de la onda disminuye radialmente a medida que nos alejamos de la fuente. I = P A I = P 4лr Fuente puntual periódica de sonido Frentes de onda Representamos a traés de superficies circulares concéntricas puntos donde los elementos del medio tienen la misma características en función del iaje de la onda, por ejemplo, las superficies representan crestas de la onda. Estas superficies las llamaremos frentes de ondas. La distancia entre dos frentes es una longitud de onda. Veremos ahora que pasa si tenemos una fuente de frecuencia f, un obserador receptor del sonido y ambos se pueden moer con elocidades s y o, respectiamente. Consideremos también la ecuación = f. s =0 Fuente puntual periódica de sonido o Obserador Receptor Si el obserador se muee hacia la fuente con o y la fuente está en reposo, la frecuencia con la cual percibe los frentes (f ) de onda es mayor, ya que la elocidad con la cual se encuentra con los frentes es mayor que la elocidad del sonido: Velocidad relatia f = f = f = + o Como =/f f = ( + o ) f Obserador moiéndose hacia la fuente

9 Si el obserador se aleja de la fuente con o y la fuente está en reposo, la frecuencia con la cual percibe los frentes (f ) de onda es menor, ya que la elocidad con la cual se encuentra con los frentes es menor que la elocidad del sonido: s =0 Fuente puntual periódica de sonido f = f = ( o ) f De forma general: f = f = o o Como =/f Obserador Receptor Obserador alejándose de la fuente f = ( ± o ) f Velocidad relatia Considerando ahora el caso donde la fuente se muee hacia el obserador con s menor que la elocidad del sonido, el obserador está en reposo: s o =0 Los frentes de ondas que percibe el obserador están mas juntos que con la fuente fija, cada ez que se genera un frente, la fuente ha iajado una distancia s T= s /f: f = = f = s /f = s f f = /f s /f f = f Fuente moiéndose hacia el obserador s Si ahora la fuente se aleja del obserador con s menor que la elocidad del sonido y el obserador está en reposo:

10 s o =0 Los frentes de ondas que percibe el obserador están mas separados que con la fuente fija, cada ez que se genera un frente, la fuente ha iajado una distancia s T= s /f: f = f = f = + f = + s /f = + s f f = /f + s /f Fuente alejándose del obserador + s De forma general: f = f ± s Si el obserador y la fuente se mueen simultáneamente, se combinan las dos ecuaciones: f = ( ± o ) f f = f ± s f = ± o f ± s Ecuación general del efecto Doppler Si la elocidad de la fuente s es igual a la elocidad del sonido: Cuando la elocidad del emisor es igual que la elocidad de propagación de las ondas en el medio, la longitud de onda medida por el obserador situado a la derecha del emisor es cero.

11 Si la fuente excede la elocidad del sonido, los frentes de onda iajan una distancia t mientras la fuente ya ha iajado una distancia s t: Si trazamos desde la fuente una línea tangente a un frente, la misma es tangente a todos los otros frentes generados en tiempos anteriores, la enolente de todos esos frentes es un cono, donde el ángulo Ø que emos en la figura se denomina número de Mach y iene dado por la expresión senø = t/ s t= / s Al ser s > (elocidades supersónicas) se forma un frente de onda cónico, una onda de choque, la cual llea gran energía y percibimos como un estruendo o estampido sónico, con ariaciones de presión del medio equialentemente grandes.