Realizabilidad de Precompensadores en Sistemas Lineales Multivariables

Transcripción

1 Congreo Anual 2 de la Aociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalico, México. Realizabilidad de Precompenadore en Sitema Lineale Multivariable E. Catañeda, J. Ruiz-León CINVESTAV-IPN, Unidad Guadalajara Av. Científica 45, Col. El Bajío, 455 Zapopan, Jalico, México. (cataned, jruiz)@gdl.cinvetav.mx Tel: (33) Fax: (33) Reumen En ete artículo e preentan nuevo reultado utilizando un enfoque etructural para la realizabilidad de compenadore de rango pleno por columna mediante retroalimentación de etado etática, aplicado a itema lineale multivariable. Se preentan condicione necearia y uficiente de realizabilidad para un compenador de rango pleno por columna dado, la cuale e etablecen en término de lo índice de controlabilidad del itema y en término de lo polo, lo índice de controlabilidad y la etructura cero-polo del itema compenado. Palabra clave: Sitema lineale multivariable, Realizabilidad de precompenadore, Retroalimentación de etado. I. INTRODUCCIÓN Un equema de control ampliamente utilizado en itema lineale multivariable, e el control por retroalimentación de etado etática. En alguno problema de control donde la retroalimentación de etado e uada, por ejemplo deacoplamiento, rechazo de perturbacione, eguimiento de modelo, etc., una poible forma de atacar el problema e coniderar un precompenador, tal que la matriz de tranferencia en lazo cerrado e la olución de alguno de eto problema y poteriormente tratar de obtener una retroalimentación de etado que tenga el mimo efecto dede el punto de vita entrada-alida a la acción que produce el precompenador en el itema. En ete trabajo e conidera la realizabilidad de precompenadore dinámico, e decir, determinar bajo qué condicione exite una ley de retroalimentación de etado que ea equivalente dede el punto de vita entrada-alida a la acción que produce un precompenador dinámico en el itema. El problema de realizabilidad de precompenadore ya ha ido reuelto, en el entido que exiten condicione necearia y uficiente para determinar i un precompenador e realizable. La condicione necearia y uficiente de realizabilidad pueden vere en (Hautu y Heymann, 978; Kučera, 998) para el cao de precompenadore no ingulare y en (Herrera, 992) para el cao de precompenadore de rango pleno por columna. Sin embargo, a nuetro aber, no han ido completamente etablecida condicione necearia y uficiente que relacionen la realizabilidad de precompenadore dinámico con la propiedade etructurale del itema. Una interpretación etructural de realizabilidad e un apecto importante, ya que provee un entendimiento má profundo de lo que ucede en el itema cuando e aplica una retroalimentación de etado equivalente a la acción del precompenador, por lo tanto creemo que tal interpretación ayudará a encontrar la olución a problema no reuelto, como e el cao por ejemplo de deacoplamiento no regular de itema lineale multivariable. Enfocado en eta línea, ya e han obtenido condicione necearia y uficiente en término etructurale para la realizabilidad de un precompenador no ingular en (Catro y Ruiz-León, 24). En el cao de precompenadore de rango pleno por columna olo e tienen condicione necearia de realizabilidad en término de la etructura del itema y del compenador (Catañeda y Ruiz-León, 29; Herrera, 99). En el preente artículo continuamo con el efuerzo de obtener la condicione necearia y uficiente en término etructurale de realizabilidad de un precompenador de rango pleno por columna. Como reultado principale e preentan condicione necearia y uficiente para la realizabilidad de un precompenador de rango pleno por columna dado, en término de lo índice de controlabilidad del itema, y lo polo, lo índice de controlabilidad y la etructura cero-polo del itema compenado. Depué de introducir alguno reultado preliminare en la Sección II, e preentan lo reultado principale y un ejemplo ilutrativo en la Sección III. Finalmente e preentan alguna concluione. II. PRELIMINARES A lo largo de ete trabajo, e denotará al conjunto de la funcione racionale propia obre el campo de lo reale R como R p, y e denotará como R m r y R m r p repectivamente, al conjunto de matrice de dimenione m r con elemento en R y R p. Sea Σ(A, B, C) la repreentación de un itema lineal

2 Congreo Anual 2 de la Aociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalico, México. multivariable decrito por ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) donde x R n, u R m y y R p on, repectivamente, el vector de etado, entrada y alida del itema, con A, B y C matrice contante de dimenione apropiada, y donde () T () = C(I A) B (2) e la matriz de tranferencia del itema. Conideremo una retroalimentación de etado etática (F, G) dada por u(t) = F x(t) + Gv(t), (3) donde F R m n y G R m r on matrice contante, con G de rango r, entonce la matriz de tranferencia del itema en lazo cerrado e T F,G () = C(I A BF ) BG. (4) Si r = m (la matriz G e cuadrada y no ingular), entonce (3) e dice que e una retroalimentación de etado etática regular, y i r < m entonce e llamada retroalimentación de etado etática no regular. Depué de alguna manipulacione algebraica en (4), e puede obtener T F,G () = T ()W () (5) donde T () e la matriz de tranferencia del itema Σ(A, B, C), y W () = [I F (I A) B] G (6) e una matriz racional propia. En el cao de retroalimentación regular, donde r = m, e tiene que (6) e una matriz bipropia, e decir, e una matriz racional propia no ingular cuya invera e también racional propia. En el cao de retroalimentación de etado no regular, (6) e una matriz bipropia por columna o de rango pleno por columna al infinito, e decir rank lím [I F (I A) B] G = r. De lo anterior, tenemo entonce que el efecto de una retroalimentación de etado (F, G) actuando en el itema Σ(A, B, C) puede er repreentado en término entradaalida, como una matriz propia (6) multiplicando por la derecha a la matriz de tranferencia del itema T (). El problema invero, e decir, bajo qué condicione una matriz propia multiplicando por la derecha a T () e equivalente, dede el punto de vita entrada-alida, a una retroalimentación de etado, e conocido como realizabilidad de precompenadore. Entonce, dado un precompenador propio C(), e dice que C() e realizable por retroalimentación de etado i exite una retroalimentación de etado (F, G), tal que C() = [I F (I A) B] G. (7) La realizabilidad de precompenadore e un enfoque utilizado en problema donde, aún cuando e aplica retroalimentación de etado, la epecificacione e pueden dar en término de caracterítica deeable de la matriz de tranferencia en lazo cerrado. Por ejemplo, que eta matriz ea diagonal en el cao de deacoplamiento, que ea igual a una matriz racional propueta en el cao de eguimiento de modelo, etc. Lo iguiente reultado etablecen la condicione necearia y uficiente bajo la cuale un compenador dado e realizable, el Lema para el cao de compenadore no ingulare y el Lema 2 para el cao de compenadore de rango pleno por columna. Lema (Hautu y Heymann, 978). Sean la matrice N () y D() una factorización coprima derecha del itema Σ(A, B, I n ), y ea C() Rp m m un compenador no ingular. Entonce C() e realizable por retroalimentación de etado i y olo i C() e bipropio, C ()D() e una matriz polinomial. Lema 2 (Herrera, 992). El compenador de rango pleno por columna C() Rp m r e realizable por retroalimentación de etado etática i y olo i lo índice de Kronecker izquierdo {µ i } de la matriz [ ] (I A) BC() H() :=, C() donde C() e la parte etrictamente propia de C(), atifacen la iguiente do condicione: a) Para algún entero q, µ = = µ m = = µ m+q = < µ m+q+ µ n+m p p := rank H(). b) Entre la fila correpondiente a µ,..., µ m+q en una bae mínima del kernel izquierdo de H(), exiten m fila la cuale tienen la forma [X E m ], donde E m e una matriz contante no ingular de dimenión m m. Oberve que la condicione necearia y uficiente de realizabilidad de lo lema anteriore no etán relacionada de ninguna manera con la propiedade etructurale del itema o la etructura del compenador. Eto e un apecto importante, ya que creemo que una interpretación etructural de la condicione de realizabilidad de un precompenador dado, ayudará a la olución de alguno problema no reuelto en la teoría de control lineal. Reultado en eta dirección ya han ido obtenido, en el cao de compenadore no ingulare e tienen condicione necearia y uficiente en término etructurale en (Catro

3 Congreo Anual 2 de la Aociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalico, México. y Ruiz-León, 24), la cuale etán etablecida en término de lo cero del compenador, lo modo del itema y la imagen fila de la matriz de controlabilidad. En el cao de precompenadore de rango pleno por columna, obtener condicione necearia y uficiente de realizabilidad en término etructurale e má complicado, eto debido al uo de una retroalimentación de etado etática no regular que realice al precompenador, la cual modifica la propiedade etructurale del itema. Condicione necearia de realizabilidad en término etructurale de precompenadore de rango pleno por columna pueden vere en (Catañeda y Ruiz-León, 29), la cuale etán relacionada con lo índice de controlabilidad del itema y la etructura cero-polo del itema compenado, cuyo reultado principal e muetra a continuación. Lema 3 (Catañeda y Ruiz-León, 29). Sea {N (), D()} una factorización coprima derecha del itema Σ(A, B, I n ), con D() reducida por columna, y ea C() R m r p un compenador de rango pleno por columna realizable. Entonce e cumple que i) La forma de Smith-McMillan de la matriz D ()C() e de la forma [ diag{ Υ (),..., Υ r () } ] M() = cumpliéndoe que Υ r () Υ r ()... Υ (), donde denota diviión polinomial. ii) Se atiface que r m deg Υ p () p= i= donde k, k 2,..., k m on lo índice de controlabilidad del itema. III. k i RESULTADOS PRINCIPALES En la búqueda de la condicione necearia y uficiente de realizabilidad de compenadore de rango pleno por columna en término etructurale, e igue con la idea preentada en (Catañeda y Ruiz-León, 29) y e conidera la matriz D ()C() como en el Lema 3 en vez de la matriz C ()D() como en el Lema, ya que la matriz D ()C() etá definida tanto para compenadore no ingulare, como para compenadore de rango pleno por columna, ademá de la exitencia de una fuerte relación entre lo cero y polo de la matriz D ()C() con lo cero y polo del itema compenado (i uponemo que el compenador e realizable). Conidere un compenador de rango pleno por columna C(), entonce e puede obtener una matriz bipropia C() = [ C() E ], (8) donde E e una matriz de dimenione m (m r) que completa el rango, tal que C() ea una matriz bipropia. Se puede deducir entonce el iguiente reultado. Teorema. Dada una factorización coprima derecha {N (), D()} del itema Σ(A, B, I n ), con D() reducida por columna, ea C() Rp m r un compenador de rango pleno por columna y ea E una matriz contante tal que la matriz C() = [ C() E ] e bipropia, entonce el compenador C() R m r p () e realizable i y olo i la forma de Smith-McMillan de la matriz D () C() e M() = ψ ()... ψ m () donde ψ i+ () ψ i (), i =,..., m., (9) Prueba. (Solo i). Se upone que C() e realizable. Se puede ecribir C() como donde C() = C() + C, G = C = lím C(), y C() e la parte etrictamente propia de C(). Oberve que C() puede ecribire también como C() = [ C() E ] [ ] I r. Ahora, dado que G e de rango pleno por columna, entonce exite una matriz contante no ingular V, tal que entonce V G = [ I r ] T, C() = C()V G. Dado que el compenador e realizable, entonce por lo tanto C() = C()V G = [I F N ()D ()] G, C()V = [I F N ()D ()]. De la ecuación anterior e obtiene D () C()V = [D() F N ()]. Note que la matriz [D() F N ()] e polinomial, por lo tanto la matriz V C ()D() = [D() F N ()] también lo e, entonce e igue que la forma de Smith- McMillan de la matriz D () C() e (9). (Si). Se upone que la forma de Smith-McMillan de la matriz [ D C()] () C() e como en (9), por lo tanto la matriz D () e polinomial, lo cual implica,

4 Congreo Anual 2 de la Aociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalico, México. de acuerdo al Lema, que exite una retroalimentación de etado etática (F, G) que realiza al compenador bipropio C(), por lo tanto la retroalimentación que realiza al compenador C() e (F, G) donde G = lím C(). La matriz E en el reultado anterior e conidera por implicidad que e una matriz real, pero el reultado e igue cumpliendo cuando E e una matriz racional propia tal que C() ea realizable. Oberve que la deventaja del Teorema e que no e abe bajo qué condicione exite la matriz E tal que C() ea realizable. El iguiente reultado erá utilizado má adelante, el cual proporciona condicione necearia y uficiente para aignar un conjunto de polinomio mónico ψ i (), tal que la raíce de lo polinomio ψ i () ean lo polo del itema retroalimentado utilizando retroalimentación de etado etática no regular. Lema 4 (Loieau et al., 999). Sea Σ(A, B, C) un itema lineal con índice de controlabilidad k k 2 k m y ψ (),..., ψ r () un conjunto de polinomio mónico, donde ψ r () ψ r ()... ψ (). Exite una retroalimentación de etado etática no regular, tal que la raíce del conjunto de polinomio dado on lo polo del itema en lazo cerrado i y olo i exite una lita de entero k k 2 k r que atifacen deg ψ j () j k j i k j j k j i k j para i =, 2,..., n. k j para i =, 2,..., n, () donde k i = para i > r, al igual que k i =, para i > m y deg ψ i () = para i > r. Dada la matriz de tranferencia T () del itema Σ(A, B, C) y dado un compenador de rango pleno por columna C(), definiremo al itema compenado como T ()C(). Se puede obtener una factorización coprima derecha {B(), A()} del itema compenado, con A() reducida por columna, tal que T ()C() = B()A (). A lo grado por columna de la matriz A() lo definiremo como lo índice de controlabilidad del itema compenado, eto por la imilaridad a la forma en que pueden er obtenido lo índice de controlabilidad del itema Σ(A, B, C). Oberve que lo índice de controlabilidad del itema compenado erán lo índice de controlabilidad del itema en lazo cerrado i e upone que el precompenador e realizable. La notación j k j i de la umatoria () e puede decribir en palabra, como la umatoria de lo entero k j tal que cumplan la condición de que cada k j ea menor o igual a i. En bae a lo lema anteriore, en el iguiente reultado e preentan condicione necearia y uficiente en término etructurale para la realizabilidad de un precompenador de rango pleno por columna. Teorema 2. Sea {N (), D()} una factorización coprima derecha del itema Σ(A, B, I n ) con D() reducida por columna y matriz de tranferencia T (). Dado un compenador propio C() de rango pleno por columna r, entonce C() e realizable por retroalimentación de etado etática i y olo i i) La forma de Smith-McMillan de la matriz D ()C() e [ diag{ M() = Υ (),..., Υr() } ], () donde Υ r () Υ r ()... Υ () con r p= deg Υ p() m i= k i. ii) Lo polinomio invariante denominadore ψ (),..., ψ n () en la forma de Smith-McMillan del itema compenado T ()C(), donde ψ n () ψ n ()... ψ () cumplen con la iguiente deigualdad deg ψ j () k j para i =, 2,..., n (2) iii) donde k j on lo índice de controlabilidad del itema compenado. j k j i k j j k j i k j para i =, 2,..., n, (3) donde k i on lo índice de controlabilidad del itema. Se define k i = y deg ψ i () = para i > r, al igual que k i =, para i > m. Prueba. (Solo i). Se upone que C() e realizable, entonce exite una retroalimentación de etado etática (F, G), tal que C() = C ()G donde C () = [I F (I A) B] (4) e una matriz bipropia. En término de una factorización coprima {N (), D()} de Σ(A, B, I n ), e puede exprear C() como por lo tanto C() = C ()G = [I F N ()D ()] G, D ()C () = [D() F N ()]

5 Congreo Anual 2 de la Aociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalico, México. e una matriz polinomial, entonce exiten matrice unimodulare U () and U 2 (), tal que D ()C() = D ()C ()G Ψ m () = U ()... Ψ () U 2 ()G. Sea M() la forma de Smith-McMillan de la matriz D ()C() en la forma general, donde M() = diag{ ɛ () Ψ,..., ɛ r() r() Ψ } () Entonce [ D Ir ()C() = U 3() Ψ m () = U ()... ] { ɛ () diag Ψ,..., ɛ } r() U 4() r() Ψ () Ψ () U 2()G, donde U 3 () y U 4 () on matrice unimodulare. De la ecuación anterior Ψ m () [ ] U2 ()... U ()U Ir 3() Ψ () y entonce { = GU4 () diag Ψr () ɛ (),..., Ψ } () ɛ r () Ψ m () [ ] U 4 () GU2 ()... U Ir ()U 3 () Ψ () { Ψr () = diag ɛ,..., Ψ } () (5) () ɛ r() donde G e una invera izquierda de G, la cual iempre exite ya que G e upone que e de rango pleno por columna. Dado que U (), U 2 (), U 3 () y U 4 () on matrice unimodulare, entonce el lado izquierdo de (5) e una matriz polinomial, por lo tanto el lado derecho de (5) también e una matriz polinomial. Eto implica que ɛ () = = ɛ r () =, y entonce la forma de Smith-McMillan de la matriz D ()C() e (). Para la condición r p= deg Υ p() m i= k i, e tiene que lo grado por columna de la matriz polinomial C ()D() on lo mimo grado por columna de la matriz D() (lo cuale coinciden con lo índice de controlabilidad del itema), entonce la uma lo grado de lo polinomio invariante Ψ m (),..., Ψ () de la matriz C ()D() e igual a la uma de lo índice de controlabilidad del itema, por lo tanto al aplicar el determinante a la ecuación (5) e cumple que r p= deg Υ p() m i= k i. Si el itema e controlable, entonce r deg Υ p () n. p= Para la iguiente condicione e abe que exite la retroalimentación de etado, entonce de acuerdo al Lema 4, e cumplen (2) y (3). (Si). Se upone que e cumplen la condicione (), (2) y (3). Se abe que la retroalimentación de etado en cao de que exita no introduce cero finito en el itema retroalimentado. Ahora por la forma de Smith-McMillan de D ()C() dada en () e oberva que no e introducen cero finito, por lo tanto puede exitir una retroalimentación de etado que realice al compenador. Sean k i para i =, 2,..., r lo índice de controlabilidad del itema compenado. Ahora dado que e cumple (3) y (2), entonce de acuerdo al Lema 4, exite una retroalimentación no regular que aigna lo polo del itema compenado, por lo tanto el compenador e realizable. Lo anterior implica que exite una matriz polinomial C ()D(), donde C() = C ()G y C () e un compenador bipropio realizable, el cual etá dado en (4), tal que [C ()D()]D ()C() = G. (6) Una vez obtenida la matriz polinomial C ()D() tal que e cumpla (6), e puede obtener la matriz C (), la cual e vita como un compenador no ingular realizable, por lo tanto exite una matriz F que realiza a C (). La retroalimentación F puede obtenere utilizando cualquier método para compenadore no ingulare (Herrera, 992; Catro y Ruiz-León, 24). La matriz G etá dada por G = lím C(). A continuación e muetra un ejemplo para ilutrar lo reultado obtenido. Ejemplo. Sea el itema Σ(A, B, I n ), donde A = B =, con matriz de tranferencia T () = Sea C() = + (+) +3 ( + )

6 Congreo Anual 2 de la Aociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalico, México. un compenador en el que e verificarán la condicione del Teorema 2. Una factorización coprima derecha del itema e N () = Se tiene que, D() = G = lím C() = D ()C() = La forma de Smith-McMillan de la matriz e M() = +2 (+) (+)(+3), y e cumple la primera condición del Teorema 2. Ahora la forma de Smith-McMillan de la matriz e T ()C() = M c() = + +2 (+) +3 (+)(+3) Oberve que deg ψ () = 3, deg ψ 2 () =, con ψ () = ( + )( + 3). Una factorización coprima derecha del itema compenado T ()C() e B() = A() = ( + 3),5, ( + ),5 [ ( + 3)( + ),5( + 3) donde lo índice de controlabilidad del itema compenado etán dado por lo grado por columna de la matriz A(). Como e puede ver, lo índice de controlabilidad del itema compenado on {2, } y lo índice de controlabilidad del itema Σ(A, B, I n ) on {,, }, por lo que e verifican (2) y (3) repectivamente, entonce para i = 3 3 i = 2 i = 3 i = 3 i = i = Como e cumplen la condicione del Teorema 2, entonce exite una retroalimentación de etado no regular que realiza al compenador, por lo tanto exite la matriz polinomial C ()D(). ] De acuerdo a la ecuación (6), e puede verificar que el compenador bipropio C () realizable que e requiere e +3 C () = Para encontrar la retroalimentación de etado F que realiza a C (), e puede utilizar cualquier método para compenadore no ingulare. La retroalimentación requerida para realizar a C() e entonce F = 4 IV., G = CONCLUSIONES Se preentaron condicione necearia y uficiente etructurale para la realizabilidad de compenadore de rango pleno por columna. Eta condicione on etructurale en el entido que e relaciona la realizabilidad del compenador, con la etructura del itema y la etructura del itema compenado, e decir, baado en lo índice de controlabilidad del itema, lo índice de controlabilidad del itema compenado, aí como también de la etructura finita de la matriz D ()C(). El iguiente pao en eta línea de invetigación, erá abordar problema no reuelto donde e utilice retroalimentación de etado etática no regular, tomando como bae la condicione etructurale encontrada en ete trabajo, como ayuda a la olución de tale problema, por ejemplo el cao de deacoplamiento no regular de itema lineale multivariable. REFERENCIAS Catañeda E. y J. Ruiz-León (29). New reult on the tate feedback realizability of full column rank precompenator. International Conf. on Electrical Engineering, Computing Science and Automatic Control. Toluca, México. Catro V. y J. Ruiz-León (24). On tate feedback realizable precompenator. Proc. Latin-American Conference on Automatic Control CLCA. La Habana, Cuba. Hautu, M. L. J. y M. Heymann (978). Linear feedback: An algebraic approach. SIAM J. Contr. Optimiz. 6, Herrera, A. N. (99). On the tatic realization of dynamic precompenator and ome related problem. Proc. European Control Conference ECC-9. Grenoble, France. Herrera, A. N. (992). Static realization of dynamic precompenator. IEEE Tranaction on Automatic Control. 37, no 9, Kučera, V. (998). Tranfer function equivalence of feedback/feedforward compenator. Kybernetika. 34, no 6, Loieau, J.J., P. Zagalak y V. Kučera (999). Pole etructure aignament vian non-regular tatic tate feedback. Automatica. 35,