CAPACITANCIA EN LINEAS DE TRANSMISION. OBJETIVO Analizar la Capacitancia de una Línea de transmisión de potencia

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ESCUELA DE INGENIERIA EN ENERGIA CURSO: SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA VIII CICLO SEMANA 11 CAPACITANCIA EN LINEAS DE TRANSMISION OBJETIVO Analizar la Capacitancia de una Línea de transmisión de potencia BIBLIOGRAFIA Duncan-Sarma SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA. Editorial Ciencias e Ingenieria.3 Edición. CAPITULO IV 30/12/2012 Ing. César L. Lopez Aguilar

2 CONTENIDO 1. CAMPO ELECTRICO Y TENSION: CONDUCTOR CILINDRICO SOLIDO 2. CAPACITANCIA: LINEA MONOFASICA DE DOS CONDUCTORES Y LINEA TRIFASICA DE TRES CONDUCTORES CON ESPACIAMIENTO IGUAL ENTRE FASES 3. CAPACITANCIA: CONDUCTORES TRANZADOS, ESPACIAMIENTO DESIGUAL ENTRE FASES, CONDUCTORES EN HAZ. 4 PRACTICA DOMICILIARIA Ing. César L.López Aguilar SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA ING. EN ENERGIA 2

3 1. CAMPO ELECTRICO Y TENSION: CONDUCTOR CILINDRICO SOLIDO Se puede determinar la capacitancia entre los conductores en un medio con permisividad constante є mediante la determinación de lo siguiente: 1. La intensidad del campo eléctrico, E, a partir de la ley de Gauss. 2. La tensión entre los conductores. 3. La capacitancia a partir de la carga por unidad de volt (C=q/V). La ley de Gauss afirma que el flujo eléctrico total sale de una superficie cerrada es igual a la carga total que está en el volumen encerrado por esa superficie. Es decir, la componente normal de la densidad de flujo eléctrico, integrada sobre una superficie cerrada, es igual a la carga encerrada: 3

4 En donde D denota la componente normal de la densidad de flujo eléctrico, E denota la componente normal de la intensidad del campo eléctrico y ds denota el área de la superficie diferencial. Por la ley de Gauss, la carga eléctrica es una fuente de campos eléctricos. Las líneas del campo eléctrico se originan en las cargas positivas y terminan en las negativas. Sea un conductor cilíndrico sólido con radio r y con carga q coulumbs por metro (considerada positiva en la figura), uniformemente distribuida sobre la superficie el conductor. Por sencillez, suponga que el conductor es 1)suficientemente largo, de modo que los efectos en los extremos son despreciables y 2). un conductor perfecto(es decir, cero resistividad, ρ = 0 4

5 Dentro de conductor perfecto, la ley de Ohm da E int = ρj=0. Es decir, el campo eléctrico interno E int es cero. Para determinar el campo eléctrico afuera del conductor, selecciones el cilíndrico con radio x>r y con una longitud de 1 metro, mostrado en la figura, como la superficie cerrada para la Ley de Gauss. Debido a la distribución uniforme de carga, la intensidad de campo eléctrico Ex es constante en el cilindro. También no existe componente tangencial de Ex, de modo que el campo eléctrico es radial al conductor. Entonces, la integración da: є E x (2π x)(1) = q(1) E x = q/(2π x) V/m En donde, para el conductor en el espacio libre, є=єo= x F/m. En la figura, se muestra una gráfica de las líneas del campo eléctrico. La dirección de las líneas del campo Ing. César L.López Aguilar SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA ING. EN ENERGIA 5

6 Eléctrico, denotada por las flechas, es de las cargas positivas, en donde se origina el campo eléctrico, hacia las cargas negativas, las cuales, en este caso, están en el infinito. Si la carga sobre la superficie del conductor fuera negativa, entonces se invertiría la dirección de las líneas del campo. Los cilindros concéntricos que rodean al conductor son superficies de potencial constante. La diferencia de potencial entre dos cilindros concéntricos a las distancias D 1 y D 2 del centro del conductor es: Usando la ecuación anterior Esta última ecuación da la tensión V 12 entre los puntos P 1 y P 2, a las distancias D 1 y D 2 del centro del conductor, como se muestra en la figura. También según la anotación acordada, V 12 es la tensión en Ing. César L.López Aguilar SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA ING. EN ENERGIA 6

7 P 1 con respecto a P 2. Si q es positiva y D 2 es mayor que D 1, como se muestra en la figura, entonces V 12 es positiva; es decir, P 1 está a un potencia más alto que P 2. La ecuación última también es válida para cd o ca. Para ca, V 12 es una tensión fasorial y q es una representación fasorial de una carga sinuoidal. Aplicando la última ecuación al arreglo de M conductores cilíndricos sólidos que se muestra en la figura. Suponga que cada conductor m tiene una carga q m C/m de ca uniformemente distribuida a lo largo del conductor. La tensión V kim entre los conductores k e i debida a la carga q m actuando sola es En donde D mm = r m cuando k=m o i = m. En esta ecuación se ha despreciado la distorsión del campo eléctrico en la vecindad de los otros Ing. César L.López Aguilar SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA ING. EN ENERGIA 7

8 Conductores con superficies de potencial constante. V kim se puede concebir como la tensión entre los cilindros con radios D km y D im concéntricos al conductor m en los puntos sobre los cilindros remotos a los conductores, en donde no hay distorsión. Usando la superposición, la tensión V ki entre los conductores k e i debida a todas las cargas es Ing. César L.López Aguilar SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA ING. EN ENERGIA 8

9 2. CAPACITANCIA: LINEA MONOFASICA DE DOS CONDUCTORES Y LINEA TRIFASICA DE TRES CONDUCTORES CON ESPACIAMIENTO IGUAL ENTRE FASES La figura muestra una línea monofásica de dos conductores cilíndricos sólidos x e y, Suponga que los conductores están energizados por una fuente de tensión tal que el x tiene una carga uniforme q C/m y, suponiendo la conversación de la carga, el conductor y tiene una cantidad igual de carga negativa q. Usando la ecuación anterior para k = x, i =y y m = x Usando D xy = D yx = D, D xx = r x y D yy = r y, la ecuación anterior queda: 9

10 Para un tramo de 1 m de línea, la capacitancia entre los conductores es: y si r x = r y = r Si la línea de dos conductores es alimentada por un transformador con una toma central conectada a tierra, entonces la tensión entre cada conductor y tierra es la mitad : V xn = V yn = V xy /2 Y la capacitancia de cualquiera de las dos líneas al neutro a tierra es C n = C xn = C yn = q/v xn = 2 C xy = 2π є/ln(d/r). A continuación de muestra las figuras de los circuitos de las capacitancias para una línea monofásica de dos conductores: Capacitancia línea a Línea Capacitancias Línea a neutro 10

11 A continuación se muestra una línea trifásica con espaciamiento igual entre las fases. En este caso, se desprecia el efecto de los conductores a tierra y neutro. A fin de determinar la capacitancia en secuencia positiva, suponga las cargas q a, q b, q c en secuencia positiva tales que q a + q b + q c =0. Usando la ecuación con k=a, i=b y m = a, b, c, la tensión V ab entre los conductores a y b es: Utilizando D aa = D bb = r y D ba = D ca = D cb = D La ecuación anterior queda: Note que el tercer término de esta última ecuación es cero porque los conductores a y b están equidistantes del conductor c. Por tanto, los conductores a y b se encuentran sobre un cilindro de potencial constante para el campo eléctrico debido a qc. 11

12 De modo semejante, si se usa la ecuación para k= a, i= c y m = a, b, c, la tensión V ac es : Recuerde que para las tensiones balanceadas en secuencia positiva: Sumando esta dos últimas ecuaciones : V ab +V ac =3 V an y con q b +q c = -q a La capacitancia al neutro por tramo de línea es:. Debido a la simetría, el mismo resultado se obtiene para C bn = q b /V bn y C cn = q c /V cn. Sin embargo, para la operación trifásica balanceada, solo es necesario considerar una fase. En la siguiente figura se muestra una representación del circuito de la capacitancia al neutro. 12

13 3. CAPACITANCIA: CONDUCTORES TRANZADOS, ESPACIAMIENTO DESIGUAL ENTRE FASES, CONDUCTORES EN HAZ. Las ecuaciones anteriores se basan en la hipótesis de que los conductores son cilíndricos sólidos con resistividad cero. El campo eléctrico en el interior de estos conductores es cero y el campo eléctrico externo es perpendicular a las superficies de los mismos. Los conductores prácticos tienen un campo eléctrico interno pequeño, como consecuencia, el campo eléctrico externo es ligeramente alterado cerca de la superficie de conductores. También, el campo eléctrico cerca de la superficie de un conductor trenzado no es el mismo que el de uno cilíndrico sólido. No obstante, es usual al calcular la capacitancia de la línea, reemplazar un conductor trenzado por uno cilíndrico sólido de conducción perfecta cuyo radio sea igual al radio exterior de ese conductor trenzado. El error resultante en la capacitancia es pequeño ya que solo resulta afectado el campo eléctrico cerca de las superficies de los conductores. 13

14 Del mismo modo se supuso una distribución uniforme de la carga, pero la distribución de la carga en los conductores no es uniforme en presencia de otros conductores cargados. Sin embargo se puede demostrar que la no uniformidad de la distribución de la carga en los conductores tiene un efecto despreciable sobre la capacitancia de la línea. Para las líneas trifásicas con espaciamiento desigual entre fases, no se obtienen tensiones balanceadas en secuencia positiva con cargas balanceadas también en secuencia positiva. En lugar de ello, se presentan tensiones no balanceadas línea a neutro y las capacitancias fase a neutro son desiguales. Se puede restablecer el balance al transponer la línea de tal forma que cada fase ocupe cada posición un tercio de la longitud de la línea. Si para cada posición en el ciclo de transposición se escriben ecuaciones semejantes para V ab, asicomo para V ac y a continuación se promedian, la capacitancia resultante queda: En donde: 14

15 La siguiente figura se muestra una línea de conductores en haz, con dos conductores por haz. Con el fin de determinar la capacitancia de esta línea, suponga las cargas q a, q b, q c balanceadas en secuencia positiva para cada fase, tales que q a + q b + q c =0. Suponga que los conductores en cada haz, los cuales están en paralelo, comparten las cargas por igual. De este modo, cada uno de los conductores a y a tiene la carga q a /2. Asimismo, suponga que los espaciamientos entre fases son mucho más grandes que los espaciamientos en el haz, de modo que se puede usar D ab en lugar de (D ab d) o (D ab + d). Entonces usando la ecuación para k= a, i= b y m = a, a, b, b, c, c, la tensión V ab es : 15

16 Para una línea transpuesta, conduciría a: la deducción de la capacitancia En donde para un haz de conductores. De modo similar para un haz de cuatro conductores. La corriente suministrada a la capacitancia de la línea de transmisión se llama corriente de carga. Para un circuito monofásico qu8e opera con tensión de línea a línea V xy = V xy <0, la corriente de carga es : I carga = Y xy V xy = jwc xy V² xy A. Un capacitor entrega potencia reactiva. La potencia reactiva entregada por la capacitancia línea a línea es: 16

17 Para una línea trifásica completamente transpuesta que tiene tensiones balanceadas en secuencia positiva La corriente suministrada a la capacitancia de la línea de transmisión se llama corriente de carga. Para un circuito monofásico que opera con tensión de línea a línea V xy = V xy <0, la corriente de carga es : I carga = Y xy V xy = jwc xy V² xy A. Un capacitor entrega potencia reactiva. La potencia reactiva entregada por la capacitancia línea a línea es: Para una línea trifásica completamente transpuesta que tiene tensiones balanceadas en secuencia positiva, con V an = V LN <0, la corriente de carga de la fase a es: y la potencia reactiva entregada por la fase a es: La potencia reactiva total suministrada por la línea trifásica es: 17

18 5 PRACTICA DOMICILIARIA 1. Una línea monofásica que opera a 60 Hz, consta de dos conductores 4/0 de 12 hilos de cobre con espaciamientos de 5 pies entre los centros de dichos conductores. La longitud de la línea es de 20 millas. Determine la Capacitancia línea a línea, en F, y la admitancia línea a línea, en S. Si la tensión en la línea es de 20 kv, determine la potencia reactiva en kvar suministrada por esta capacitancia. 18

19 2. Cada uno de los conductores de cmil del ejemplo anterior, se reemplaza por dos conductores ACSR 26/2 de cmil, como se muestra en la figura. El espaciamiento en haz es de 0.40 m. Se conserva el espaciamiento plano horizontal, con 10 m entre los centros de haces adyacentes. Determine la capacitancia al neutro, en F, y la admitancia en derivación al neutro, en S. Si la tensión en la línea es de 345 kv, determine la corriente de carga, en ka por fase, y la potencia reactiva total, en Mvar, suministrada por la capacitancia de la línea. Suponga tensiones balanceadas en secuencia positiva. Línea trifásica de conductores en Haz FECHA DE PRESENTACION, LA SIGUIENTE SEMANA DE TEORIA. LA PRESENTACION ES INDIVIDUAL. 19