FÍSICA APLICADA. PRIMER PARCIAL 18 - MARZO 2015 CUESTIONES TEORÍA

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1 FÍSICA APLICADA. PRIMER PARCIAL 18 - MARZO 2015 CUESTIONES TEORÍA 1.- Contestar razonadaente a las siguientes preguntas acerca del oviiento arónico siple (MAS): 1A (0.25 p).- Si el periodo de un MAS es T = 1 s y se epieza a contar el tiepo desde el oento en que el oscilador pasa por un extreo, al cabo de cuánto tiepo será áxia su energía cinética? 1B (0.25 p).- Si la aplitud de un MAS se duplica, en cuánto varía la velocidad áxia del oscilador? 1C (0.25 p).- Si la aplitud de un MAS se cuadruplica, en cuánto varía la frecuencia del oscilador? 1D (0.25 p).- Coparar cualitativaente la gráfica de un MAS ideal y la de un MAS con pequeño aortiguaiento. 2.- En la figura se representa, en función de la posición y para t = 0, la gráfica de una onda viajera que se propaga en una cuerda tensa a 50 /s. 2A (1 p).- Cuál es el núero de ondas y la frecuencia? Escribir la ecuación de la onda si la aplitud es A = 10 c. 2B (1 p).- Si la frecuencia de la onda fuese la itad, cuál sería el aspecto de la gráfica? Explicar razonadaente.

2 FÍSICA APLICADA. PRIMER PARCIAL 18 - MARZO 2015 PROBLEMAS PROBLEMA 1.- Un disco hoogéneo de radio R = 10 c se cuelga de un clavo por un pequeño orificio situado a una distancia R/2 por encia de su CM (punto E en la figura) y se deja oscilar libreente con una aplitud de 10º (suponeos que la fricción es despreciable). (a) Calcular cuántas oscilaciones realiza en 1 inuto. (1 p) (b) Calcular qué velocidad y qué aceleración tiene el CM cuando el disco pasa por la vertical. (1 p) Recordatorio. El oento de inercia de un disco respecto al centro de asas es ½ R 2. PROBLEMA 2 (2 p).- El oído huano puede percibir ondas sonoras de una frecuencia de 1000 Hz en el rango de intensidades coprendido entre W -2 (ubral de audición) y 1 W -2 (ubral de dolor). Calcular las aplitudes de presión y los desplazaientos áxios asociados con estos dos líites para ondas sonoras de esa frecuencia que se propagan en el aire a 22 ºC. Datos del aire. Densidad 1.20 kg -3 ; asa olecular 28.9 g ol -1 ; coeficiente adiabático = PROBLEMA 3.- En el laboratorio de física disponeos de dos cuerdas flexibles A y B de densidades lineales de asa A = 5.0 graos/etro y B = 3.2 graos/etro. Un trao de la cuerda A de 2 de longitud se coloca horizontalente, sujeto por abos extreos y soetido a una tensión T =2 N, y se hace vibrar (con una aplitud de 6 c) cabiando la frecuencia hasta que aparece el segundo arónico. (a) Cuál es la frecuencia del segundo arónico? Escribir la ecuación de la onda estacionaria en la cuerda A. (1 p) (b) Si se onta el experiento con la cuerda B (isa longitud, isa tensión, isa aplitud), a qué frecuencia aparecerá el segundo arónico? Escribir la ecuación de la onda estacionaria en la cuerda B. (1 p) (c) Explicar en cuál de las dos cuerdas será ayor la velocidad áxia de vibración transversal para el segundo arónico (puede explicarse razonadaente sin necesidad de cálculos). (1 p)

3 CUESTIONES TEORÍA 1.- Contestar razonadaente a las siguientes preguntas acerca del oviiento arónico siple (MAS): 1A (0.25 p).- Si el periodo de un MAS es T = 1 s y se epieza a contar el tiepo desde el oento en que el oscilador pasa por un extreo, al cabo de cuánto tiepo será áxia su energía cinética? 1B (0.25 p).- Si la aplitud de un MAS se duplica, en cuánto varía la velocidad áxia del oscilador? 1C (0.25 p).- Si la aplitud de un MAS se cuadruplica, en cuánto varía la frecuencia del oscilador? 1D (0.25 p).- Coparar cualitativaente la gráfica de un MAS ideal y la de un MAS con pequeño aortiguaiento. 1A.- La energía cinética del oscilador arónico es áxia cuando pasa por su posición de equilibrio, y es nula cuando está en uno de los extreos (elongación igual a la aplitud). Todo oviiento arónico pasa por la posición de equilibrio un ¼ de periodo después de haber pasado por uno de los extreos, así que coo el periodo aquí es T = 1 s, la respuesta a la pregunta es que la energía cinética será áxia en este caso concreto 0.25 segundos después de coenzar a contar el tiepo. 1B.- La ecuación del MAS x = A cos(ωt + δ) nos da la posición en función del tiepo, y su priera derivada x = Aω sin (ωt + δ) nos da la velocidad del oscilador. Véase que la velocidad áxia es igual al valor absoluto de la velocidad cuando la función seno es igual a la unidad x = Aω, es decir, la velocidad áxia es proporcional a la aplitud, por lo que si la aplitud se duplica, la velocidad áxia tabién se duplica. 1C.- La frecuencia del oscilador no es una función de la aplitud, sino una característica intrínseca del iso. Por lo tanto aunque la aplitud varíe, la frecuencia no variará. 1D.- El MAS aortiguado tiene un térino sinusoidal y un térino exponencial decreciente. Resultado: la aplitud decrece a edida que transcurre el tiepo.

4 2.- En la figura se representa, en función de la posición y para t = 0, la gráfica de una onda viajera que se propaga en una cuerda tensa a 25 /s. 2A (1 p).- Cuál es el núero de ondas y la frecuencia? Escribir la ecuación de la onda si la aplitud es A = 10 c. 2B (1 p).- Si la frecuencia de la onda fuese la itad, cuál sería el aspecto de la gráfica? Explicar razonadaente. 2A.- El eje x está escalado en etros. Véase que en el intervalo de 0 a 2 hay cuatro ondas, por lo tanto el núero de ondas es k = 4-1. Fora alternativa: a partir de los datos gráficos sobre el eje x, la longitud de onda es λ = =. Por tanto k = = / = 4. Si la onda se propaga a v = 50 /s, coo v = ω = k v = 200 rad/s. Así que la ecuación de onda será y = A cos(kx ωt ± δ) = 0.1 cos(4x 200t ± δ) y debeos deterinar la fase inicial. Para esto últio véase en prier lugar que la onda está atrasada, porque los áxios de la función representada en la gráfica cos(4x ± ) ocurren en un tiepo posterior a los áxios de la función cos 4x (los cuales ocurren en x =0,, 2, etc ). Por lo tanto ha de ser negativo, y la función de onda será y = A cos(kx ωt δ) = 0.1 cos(4x 200t δ). Adeás, véase en la gráfica que cuando x = 0 y = 0.5A = A cos (-), y por lo tanto = -/3 ( = -60º). y = 0.1 cos(4x 200t π/3) (Unidades S.I., x e y en, t en s) 2B.- La velocidad v de propagación en la cuerda es fija, y coo debe cuplirse que v =, si la frecuencia fuese la itad, entonces tabién sería la itad, y por consiguiente k tabién se reduciría a la itad. Puesto que λ =, si k se reduce a la itad, el valor de se dobla. La gráfica resultante aparece en trazo continuo rojo en la figura, superpuesta a la figura original en trazo discontinuo.

5 PROBLEMA 1.- Un disco hoogéneo de radio R = 10 c se cuelga de un clavo por un pequeño orificio situado a una distancia R/2 por encia de su CM (punto E en la figura) y se deja oscilar libreente con una aplitud de 10º (suponeos que la fricción es despreciable). (a) Calcular cuántas oscilaciones realiza en 1 inuto. (1 p) (b) Calcular qué velocidad y qué aceleración tiene el CM cuando el disco pasa por la vertical. (1 p) Recordatorio. El oento de inercia de un disco respecto al centro de asas es ½ R 2. (a) El periodo de un péndulo físico de asa es T = 2π, donde d es la distancia desde el centro de asas hasta el eje perpendicular E que pasa por el punto de suspensión e I E es el oento de inercia respecto a dicho eje. El oento de inercia se calcula aplicando el teorea de Steiner (ejes paralelos) I = I + d I = R + = R Periodo del péndulo T = 2π T = 2π = 2π.. = s (véase que no depende de la asa, pues el cociente no depende de la asa). El núero de oscilaciones en un inuto es: n = =. = 77.2 (b) Conocido el periodo, calculaos la frecuencia angular: ω = = 8.09 Si toaos el origen de tiepos cuando el péndulo está en una posición extrea, t = 0 cuando A = 10º = rad, entonces la fase inicial es igual a cero y la ecuación del MAS está dada por θ = A cos ωt = cos 8.09t. A partir de esta ecuación podeos calcular velocidad y aceleración en cualquier instante. Velocidad CM v(t) = θ = Aω sin ωt = sin 8.09t Aceleración CM a(t) = θ = Aω cos ωt = 0.57 cos 8.09t Cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio ωt = ó ωt = (recuérdese que el origen de tiepos t = 0 se ha toado cuando = A), por lo tanto la velocidad y la aceleración del CM al pasar por la vertical son v = Aω sin = /s a = Aω cos = 0. Se ha toado valor absoluto para cubrir las dos posibilidades ωt = ó ωt =

6 PROBLEMA 2.- El oído huano puede percibir ondas sonoras de una frecuencia de 1000 Hz en el rango de intensidades coprendido entre W -2 (ubral de audición) y 1 W -2 (ubral de dolor). Calcular las aplitudes de presión y los desplazaientos áxios asociados con estos dos líites para ondas sonoras de esa frecuencia que se propagan en el aire a 22 ºC. Datos del aire. Densidad 1.20 kg -3 ; asa olecular 28.9 g ol -1 ; coeficiente adiabático = Velocidad de propagación del sonido en el aire: R T M La relación entre la aplitud de presión P de una onda sonora y el desplazaiento áxio s de las oléculas del edio a través del cual se transite es P P c s s c La intensidad de la onda y el desplazaiento áxio s están relacionados ediante: 1 2 c 2 I s c 2 2 c De aquí podeos relacionar la aplitud de presión P y la intensidad I P 2 c I ubral ubral P 2 c Idolor dolor 2 P Pa (22 273) Pa /s Cálculo del desplazaiento áxio s P 5 ubral s ubral c s dolor P dolor c

7 PROBLEMA 3.- En el laboratorio de física disponeos de dos cuerdas flexibles A y B de densidades lineales de asa A = 5.0 graos/etro y B = 3.2 graos/etro. Un trao de la cuerda A de 2 de longitud se coloca horizontalente, sujeto por abos extreos y soetido a una tensión T =2 N, y se hace vibrar (con una aplitud de 6 c) cabiando la frecuencia hasta que aparece el segundo arónico. (a) Cuál es la frecuencia del segundo arónico? Escribir la ecuación de la onda estacionaria en la cuerda A. (1 p) (b) Si se onta el experiento con la cuerda B (isa longitud, isa tensión, isa aplitud), a qué frecuencia aparecerá el segundo arónico? Escribir la ecuación de la onda estacionaria en la cuerda B. (1 p) (c) Explicar en cuál de las dos cuerdas será ayor la velocidad áxia de vibración transversal para el segundo arónico (puede explicarse razonadaente sin necesidad de cálculos). (1 p) (a) Longitud de onda del arónico n = 2 L = n λ = = = L = 2 Conoceos la densidad lineal y la tensión calculaos la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda A v = = = 400 = 20 Relación entre velocidad de propagación, frecuencia y longitud de onda: v = λ f Ecuación 2º arónico: y = 0.06 sin kx sin ωt = 0.06 sin f = v λ = 20 2 = 10 Hz x sin 2πft = 0.06 sin πx sin 20πt (cuerda A) (b) Si se utiliza la cuerda B, la velocidad de propagación de las ondas en ella será distinta ya que la densidad de asa es diferente: v = = = 625 = 25. Puesto que la cuerda tiene tabién longitud L = 2, la longitud de onda del segundo arónico sigue siendo la isa que antes, lo que cabiará es la frecuencia a la que aparece porque la velocidad de propagación ya no es la isa del apartado (a). Frecuencia f = = = 12.5 Hz y la ecuación del 2º arónico será y = 0.06 sin kx sin ωt = 0.06 sin x sin 2πft = 0.06 sin πx sin 25πt (cuerda B) (c) La velocidad de vibración transversal áxia es la de los vientres de la cuerda (que están situados a las distancias de los extreos) cada vez que pasan por la posición de equilibrio. Las partículas situadas en esas posiciones deben de recorrer una distancia igual a dos veces la aplitud en cada ciclo, es decir, que cada segundo recorrerán una distancia igual al doble de la aplitud ultiplicada por la frecuencia. Por lo tanto, la ayor velocidad corresponderá a la que tenga ayor frecuencia, que es la que tiene que hacer un recorrido ayor en un iso intervalo de tiepo. En este caso, la de ayor velocidad de vibración transversal áxia será la cuerda B.