Diseño Mecatrónico usando optimización basada en bacterias

Transcripción

1 Laboratorio Nacional de Informática Avanzada Diseño Mecatrónico usando optimización basada en bacterias TESIS Que presenta: Betania Hernández Ocaña Para obtener el grado de: Maestra en Computación Aplicada Directores de Tesis: Dr. Efrén Mezura Montes Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores Xalapa, Veracruz, México Octubre 2011

2 Agradecimientos A mi Dios por estar conmigo en todo momento, por su amor incomparable, bondad innita y bendiciones. A mis padres el Sr. Pablo y la Sra. Nelly por conar en mí, por su apoyo incondicional y sobre todo por ese gran amor para conmigo. A mis hermanos, Yenni Cristel y Pablo, por amarme a pesar de la distancia y el tiempo, por apoyarme y ser el motivo de mi superación. Al Dr. Efrén Mezura-Montes por su apoyo, amistad, tiempo, dirección y consejos en la realización de esta tesis. Al Dr.Edgar A. Portilla Flores por su apoyo, amistad y dirección en la realización de esta tesis. A mis amigas y amigos, por su comprensión y apoyo en cualquier circunstancia y sobre todo por compartir esta amistad. Al CONACyT por la beca otorgada para la realización de la maestría.

3 Resumen En esta tesis se resuelve el problema de optimización derivado de un sistema de Transmisión de Variación Continua con el Algoritmo de Optimización del Forrajeo de Bacterias Modicado. Debido a que el problema de optimización es multi-objetivo con restricciones el algoritmo fue adaptado en sus operadores propios, también se utilizan mecanismos para el criterio de selección de soluciones, manejo de restricciones, uso de elitismo y manejo de diversidad. El algoritmo propuesto es sometido a un conjunto de experimentos para observar su comportamiento en este tipo de problema multi-objetivo. Los resultados obtenidos son analizados desde el punto de vista mecánico y a través de métricas de desempeño para conocer qué soluciones favorecen la construcción del sistema de Transmisión de Variación Continua. Además, los resultados son comparados con dos algoritmos del estado del arte.

4 Contenido Lista de guras Lista de tablas viii x 1. Introducción Antecedentes Planteamiento del problema Objetivo general y especícos Justicación Alcances y limitaciones Alcances Limitaciones Organización de la tesis Optimización Concepto de optimización Función objetivo Variables de diseño Restricciones de diseño Optimización Multi-objetivo Dominancia de Pareto Óptimo de Pareto Frente de Pareto Diseño Mecatrónico Diseño óptimo en Ingeniería Diseño Paramétrico Cinemático Síntesis cinemática iv

5 3.3. Caso de estudio Técnicas de solución al problema del TVC Algoritmos de Inteligencia Colectiva Introducción a la Inteligencia colectiva Elementos generales de un algoritmo de Inteligencia Colectiva Estado del arte Algoritmos básicos Algoritmos derivados del forrajeo de bacterias Estudio a los procesos del BFOA Híbridos con el BFOA Aplicaciones usando algoritmos basados en bacterias Algoritmo de Optimización del Forrajeo de Bacterias Modi- cado para problemas Multi-Objetivo (MOMBFOA) Modied-Bacterial Foraging Optimization Algorithm (MBFOA) Pseudocódigo del MBFOA Descripción del pseudocódigo del MBFOA Algoritmo de Optimización del Forrajeo de Bacterias Modicado para problemas Multi-Objetivo (MOMBFOA) Implementación de mecanismos al MBFOA para resolver problemas multi-objetivos Versiones del MBFOA Adaptaciones a los mecanismos propios del MBFOA Pseudocódigo del MOMBFOA Descripción del pseudocódigo MOMBFOA Resultados Diseño experimental Análisis de comportamiento del MOMBFOA para satisfacer a la restricción dinámica y generar soluciones factibles y no dominadas Resultados comparados con la métrica Two set coverage Resultados comparados con la métrica Hypervolume Calidad de los resultados Consistencia de los resultados Resultados comparados desde el punto de vista mecánico... 86

6 7. Conclusiones Anexo 94 Referencias 104 vi

7 Lista de guras 2.1. Representación de dominancia de Pareto Frente de Pareto Transmisión de Variación Continua Mecanismo de cuatro barras del TVC Frente de Pareto obtenido del experimento 2 etapa Frente de Pareto obtenido del experimento 2 etapa Número promedio de soluciones factibles por generación sobre 10 corridas independientes en la etapa 2 del experimento 2 de la adaptación del algoritmo MBFOA Frente de Pareto obtenido del experimento Número promedio de soluciones factibles por generación sobre 10 corridas independientes del experimento 3 de la adaptación del algoritmo MBFOA Frente de Pareto obtenido del experimento Frente de Pareto de cada uno de los algoritmos Número promedio de soluciones que satisfacen la restricción dinámica por generación sobre 10 corridas independientes Número promedio de soluciones factibles por generación sobre 10 corridas independientes Número promedio de soluciones factibles no dominadas por generación sobre 10 corridas independientes Localizando al mejor espacio objetivo Graco resultante del simulador del comportamiento del mecanismo de cuatro barras del TVC con una solución del ED, MOMBFOA y NSGA-II dentro del rango que favorece la construcción del mecanismo vii

8 6.7. Diseño Asistido por Computadora del TVC Soluciones del frente ltrado de MOMBFOA Soluciones del frente ltrado de ED parte Soluciones del frente ltrado de ED parte Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte viii

9 Lista de tablas 4.1. Algoritmos básicos de inteligencia colectiva Pasos del algoritmo QB-OA BFOA original. Los parámetros de entrada son el número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, límite del paso de nado N s, límite del ciclo de reproducción N re, número de bacterias a reproducir S r, límite del ciclo de eliminacióndispersión N ed, tamaño de paso C i (y probabilidad de eliminacióndispersión P ed Descripción de los parámetros del BFOA Parte 1 de las propuestas derivadas de lo algoritmos básicos Parte 2 de las propuestas derivadas de lo algoritmos básicos Estudio de los procesos del BFOA Híbridos con el BFOA Aplicaciones usando BFOA Descripción de los parámetros del MBFOA MBFOA. Los parámetros de entrada son el número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, número de bacterias a reproducirse S re, factor de escalamiento F, porcentaje del tamaño de paso R y el número de generaciones GMAX Pseudocódigo para calcular la distancia de aglomeramiento. A[1] es el valor máximo de la t-ésima función y A[a] es su valor mínimo. Size() es una función de Matlab que devuelve el tamaño de las y columnas de una matriz Parámetros para el experimento Parámetros para el experimento Parámetros para el experimento ix

10 5.7. MOMBFOA. Los parámetros de entrada son el número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, factor de escalamiento F, porcentaje del tamaño de paso R y el número de generaciones GMAX. Donde F o corresponde al numero de funciones objetivo. Size() es una función de Matlab que devuelve el tamaño de las y columnas de una matriz Estadísticas de la métrica Two set coverage. Desv. Est.: Desviación estándar. El signo : Si existe diferencia signicativa. El signo =: No existe diferencia signicativa Estadísticas de la métrica Hypervolume. Desv. Est.:Desviación estándar Identicando al mejor algoritmo con la prueba U Mann de Whitney con muestra de la métrica Hypervolume. El signo : Si existe una diferencia signicativa. El signo =: No existe una diferencia signicativa. El signo + identica al mejor algoritmo, el signo - identica al peor algoritmo de la comparación Soluciones de cada algoritmo dentro del rango que favorece la construcción del TVC x

11 Capítulo 1 Introducción 1.1. Antecedentes Los problemas de optimización son la interpretación de los problemas complejos o difíciles de resolver del mundo real, donde se busca encontrar una solución o conjunto de soluciones que maximice o minimice una cierta medida de calidad, conocida como función objetivo. Los problemas de optimización debido a su complejidad requieren de técnicas y estrategias especícas para resolverlos y éstos se clasican de acuerdo a las características que presentan, por lo general, radican en la clasicación que corresponden a la optimización basada en la existencia de restricciones y en el número de funciones objetivos, aunque pueden componerse de dos o más de las clasicaciones [22]. El diseño de máquinas como carros, aviones, aparatos electrodomésticos, retroexcavadoras, cámaras fotográcas automáticas, entre muchos más se pueden considerar como problemas complejos debido a lo difícil que es resolverlos ya que involucran muchos objetivos o compromisos que generalmente se encuentran en conicto. Para lograr el diseño óptimo de estás máquinas se requiere de tiempo, conocimiento y experiencia. En el área de ingeniería las máquinas que realizan ciertas funciones o tareas especícas son vistos como sistemas [55]. En algunos trabajos de investigación proponen dos enfoques para realizar diseños de sistemas, el enfoque Mecatrónico el cual requiere de que el sistema mecánico y de control sean diseñados como un sistema integrado, por lo 1

12 tanto, un problema de diseño concurrente es propuesto para obtener todo el sistema. El segundo enfoque es el Diseño Paramétrico Cinemático (DPC) el cual consiste en asignar la mejor combinación de valores a los parámetros que describen el sistema a diseñar. Los parámetros son el resultado de un análisis y síntesis Cinemático que cumplen con las posiciones, velocidades, dimensiones, formas de las piezas, entre otras, del sistema a diseñar. Con estos parámetros el diseñador puede proponer el conjunto de funciones y restricciones para cuanticar el rendimiento del sistema y obtener el diseño óptimo de este. Cada una de las funciones y restricciones propuestas son probadas hasta lograr obtener un diseño óptimo, de no lograrlo se tiene que rehacer el análisis y síntesis Cinemático del sistema a diseñar. Esto signica la creación de soluciones potenciales en la ausencia de un algoritmo bien denido o predecir la conguración de la solución [53]. Una alternativa para resolver el problema de diseño de sistemas es modelar al DPC como un problema de optimización (PO) [52], [58]. Actualmente, los ingenieros se asisten con herramientas computacionales para diseñar los sistemas lo cual es conocido como Diseño Asistido por Computadoras (CAD), ésto implica tener experiencia y conocimiento de las herramientas computacionales ya que no son fáciles de congurar. En estos días, existen técnicas que buscan soluciones buenas en tiempos razonables conocidas como metaheurísticas. Algunas de estas técnicas emulan o simulan procesos naturales o evolutivos que se agrupan en los llamados algoritmos bio-inspirados, que pueden ser usadas para resolver DPC que generalmente cuentan con más de una función objetivo y restricciones que usualmente entran en conicto ya que éstas cuantican el desempeño del sistema y la estructura mecánica del mismo que los hacen aún más complejos. Por lo general, un DPC se modela como un Problema de Optimización Multiobjetivo con restricciones (POMR) por la presencia de estas características. Cabe mencionar, que el DPC en algunos casos puede ser dinámico debido a que por lo menos una función objetivo y/o restricción es dinámica. Sin embargo, este tipo de DPC dinámico puede resolverse como un POMR estático aunque para el área de optimización puede considerarse dinámico si la función objetivo y/o la restricción del problema al ser evaluada con los mismos parámetros en diferentes tiempos su valor cambia [7]. Al resolver un POMR se obtiene un conjunto de soluciones óptimas que son 2

13 útiles para el diseño de sistemas en Mecatrónica pero la decisión de cual solución usar depende del diseñador ya que entran en juego aspectos como el costo y el tiempo de fabricación del diseño. Existen métodos de programación matemáticas que resuelven POMR [49], pero a veces es complicado utilizarlos por la complejidad de los problemas, por lo que se opta por la transformación del problema original, en algunos casos las funciones objetivo del problema pasan hacer restricciones [33], lo cual requiere de mucho conocimiento matemático y de tiempo para encontrar una solución al problema, además de que se opta por separar a las funciones objetivos del problema y resolverlas por separado para encontrar un punto inicial de búsqueda para el problema. Puede existir el caso de que la tranformación a un problema perjudique la obtención de resultados correctos y esto es porque algunos problemas son muy sensibles a las condiciones iníciales del problema con respecto al punto inicial de búsqueda [57]. Por último, la programación matemática sólo proporcionan una solución para el diseñador [11]. Estas son algunas de las razones por las que diseñadores optan por utilizar otras técnicas que les permita reducir tiempo para resolver estos problemas sin esfuerzos ni complicaciones matemáticas, y es por ello que en esta tesis se propone un algoritmo bio-inspirado de inteligencia colectiva para resolver este tipo de problemas, área que a continuación se describe. En los años 1990's surge un conjunto de algoritmos que emulan los comportamientos colaborativos hallados en animales muy simples como insectos o aves. A este conjunto de nuevos algoritmos se les agrupó en el área de la Inteligencia Colectiva (Swarm Intelligence en inglés). Los algoritmos que dieron origen a esta área fueron el de Optimización mediante Cúmulos de Partículas (PSO) [36] y el algoritmo de Colonia de Hormigas (Ant Colony)[28]. PSO está basado en las coreografías que siguen algunas aves al buscar alimento o refugio y está diseñado para resolver problemas de optimización numérica. El algoritmo de Colonia de Hormigas modela diferentes comportamientos encontrados en los hormigueros y se ha utilizado principalmente para resolver problemas combinatorios. Uno de los algoritmos más novedosos del área de inteligencia colectiva es el algoritmo que emula el comportamiento de forrajeo a nivel de bacterias. Las ideas iníciales de este algoritmo basado en bacterias fueron propuestas por Bremermann [8] y luego aplicadas por Bremermann y Anderson en el 3

14 entrenamiento de una red neuronal [9]. Del modelo inicial llamado, Bacteria Chemotaxis (BC), se emula la reacción de los atractores químicos de las bacterias, y se han reportado estudios de aplicación en problemas de optimización numérica no restringida [51], [2]. Sin embargo, el algoritmo más conocido es el propuesto por Passino [56] llamado algoritmo de bacterias en búsqueda de alimento (BFOA) que, a diferencia del modelo BC, tiene en cuenta el proceso completo de forrajeo de las bacterias E.Coli: Chemotaxis (movimientos de giro y nado), agrupamiento, reproducción y eliminacióndispersión. Mezura-Montes y Hernández-Ocaña [47] proponen el algoritmo MBFOA derivado del BFOA, que implementa mecanismos que reducen el número de parámetros que eran requeridos para la funcionalidad del BFOA. Asimismo, se emplea un mecanismo que permita resolver problemas de optimización con restricciones, logrando con ésto un algoritmo robusto con un costo computacional moderado con respecto a los algoritmos encontrados en la literatura especializada. En esta tesis se propone al MBFOA para resolver un POMR (donde una restricción es dinámica) derivado del diseño paramétrico de un sistema Mecatrónico llamado Transmisión de Variación Continua (TVC). Ésto con los objetivos de adaptar al MBFOA para resolver este tipo de problemas, promover el uso de heurísticas de Inteligencia Colectiva en el área de Ingeniería y proponer al MBFOA como un algoritmo que permita ahorrar tiempo, esfuerzo y costo en el proceso de diseño de sistemas mecatrónicos Planteamiento del problema Un POMR se dene matemáticamente de la siguiente forma: Minimizar ó maximizar: Sujeto a: Φ m ( x), m = 1, 2,..., M; (1.1) 4

15 g j ( x) 0, j = 1, 2,..., J; (1.2) h k ( x) = 0, k = 1, 2,..., K; (1.3) Donde Φ representa el conjunto de funciones objetivo, g el conjunto de restricciones de desigualdad y h el conjunto de restricciones de igualdad del problema. Donde x R n y n 1, es el vector de variables de decisión x=[x 1, x 2,...,x n ] T, y cada x i, i=1,...,n está delimitada por límites inferior y superior L i x i U i que denen al espacio de búsqueda S; M es el número de funciones objetivo, J el número de restricciones de desigualdad y K el número de restricciones de igualdad. Donde se búsca encontrar los vectores óptimos para las funciones objetivo M que satisface al conjunto de restricciones del problema encontrados en F que es la región factible de S, por lo tanto, F S [24]. En esta tesis se resolverá el TVC el cual es un POMR donde una de sus restricciones es dinámica desde el punto de vista del área de optimización [7], por lo tanto, llamaremos al POMR como un Problema de Optimización Dinámico Multi-Objetivo con Restricciones (PODMR). Aunque existen trabajos en el estado del arte que dan una solución competente y robusta para resolver el problema del TVC con algoritmos evolutivos como, evolución diferencial (ED) [57], [48], no se encuentra en la literatura especializada evidencia de uso de algoritmos basados en bacterias en este tipo de PODMR Objetivo general y especícos El objetivo de este trabajo es optimizar un sistema mecatrónico complejo, modelado como un PODMR usando el algoritmo modicado del forrajeo de bacterias para resolver problemas de optimización con restricciones (MB- FOA) propuesto en [46]. La hipótesis a la que está sujeta esta investigación es como sigue: 5

16 Es posible adaptar el algoritmo modicado del forrajeo de bacterias para resolver un problema de optimización dinámica multi-objetivo con restricciones y obtener resultados competitivos con respeto a algoritmos del estado del arte. Objetivos especícos Proponer modicaciones al MBFOA para el manejo de funciones multiobjetivo. Implementar el algoritmo modicado para resolver el problema del TVC. Realizar pruebas estadísticas para medir el rendimiento del algoritmo propuesto y compararlo con otros algoritmos del estado del arte Justicación Debido a la complejidad de diseñar sistemas mecatrónicos, se requieren estrategias que faciliten la optimización del proceso de diseño, el cual consiste en obtener el conjunto de parámetros que describen al sistema a diseñar y, posteriormente, encontrar la mejor combinación de valores para ese conjunto de parámetros. El conjuto de parámetros del sistema son variables de las funciones matemáticas que describen el comportamiento y desempeño Cinemático del sistema conocidas como funciones objetivo, las cuales se tienen que optimizar. Una característica de la formulación matemática de un sistema es que por lo menos una de las funciones objetivo y/o restricciones (funciones mátematicas que representan limitantes físicas o de funcionamiento) son dinámicas, es decir, la optimización de una de ellas esta estrechamente ligada a la optimización de las restantes funciones matemáticas que describen el sistema. Ésto hace que el proceso de diseño sea complejo, ya que mediante técnicas de programación matemática es difícil calcular resultados de funciones dinámicas que cambian durante el tiempo y movimiento del mecanismo a diseñar, es por ello, que se opta por modelar estos diseños como problemas de optimización dinámicos multi-objetivo con restricciones, los cuales pueden ser resueltos con metaheurísticas como MBFOA. 6

17 Los primeras propuestas de heurísticas para resolver problemas como el TVC (que es un problema PODMR), se hicieron a partir de algoritmos evolutivos, en especíco el algoritmo de Evolución Diferencial (ED). Por tal motivo, es importante explorar y explotar nuevas metaheurísticas que resuelvan este tipo de problemas y ofrecer al área de Ingeniería mayor diversidad de estrategias para la solución de sus presentes y futuras problemáticas al momento de diseñar piezas mecánicas. En este trabajo se presenta una metaheurística de inteligencia colectiva para resolver problemas PODMR, tomando coma base al algoritmo propuesto por [46], llamado MBFOA y se realizarán los estudios pertinentes para desarrollar un algoritmo capaz de resolver PODMR, promoviendo con ello el uso de los algoritmos de inteligencia colectiva, y obtener un algoritmo robusto y útil por los diseñadores de sistemas mecánicos. El impacto de este trabajo además se reejará en el diseño óptimo de sistemas mecatrónicos que pueden ser aplicados para la construcción de vehículos verdes que no requieren de combustibles fósiles sino combustibles no contaminantes (energía eléctrica, solar). Por ende, el benecio es directamente para el medio ambiente, conando que el apoyo y la construcción del estos vehículos contribuya en la reducción de contaminación a la atmosfera y disminuir el uso de recursos no renovables como el petróleo Alcances y limitaciones Alcances El algoritmo resolverá únicamente una instancia real y compleja de un problema de optimización dinámico multi-objetivo con restricciones. El algoritmo devolverá un conjunto de soluciones factibles en su experimentos, pero no se atacará el problema de la selección de la solución más conveniente, pues esa labor la realizará el diseñador experto en este caso. Los resultados obtenidos se evaluarán usando métricas de desempeño encontradas en la literatura especializada (HyperVolume y Two set co- 7

18 verage [34]). Principalmente se utilizarán métricas unarias y binarias donde no se requiere conocer la solución óptima del problema a resolver, ya que no se conocen soluciones al problema debido a que es un problema real de reciente aparición en el área de Ingeniería Mecatrónica del CIDETEC-IPN. La solución producida por el algoritmo deberá ser competitiva con respecto a las reportadas por algoritmos del estado del arte Limitaciones Se generará el diseño óptimo del TVC pero no se construirá sicamente Organización de la tesis La tesis esta organizada de la siguiente manera: Capitulo 2. Optimización. En este capítulo se dene el concepto de optimización, se describen los elementos que conforman un problema de optimización y se incluye la descripción de optimización multi-objetivo. Capitulo 3. Diseño Mecatrónico. En este capítulo se describe la importancia de diseño óptimo en Ingeniería, se menciona en qué consiste el diseño paramétrico, y se describe el problema de Diseño Paramétrico Cinemático a resolver en esta tesis, el cual es modelado como un problema de optimización dinámico multi-objetivo con restricciones (PODMR). Finalmente se incluyen los trabajos encontrados en la literatura especializada que dan una solución a este problema. Capitulo 4. Algoritmos de Inteligencia Colectiva. En este capítulo se da una breve introducción a la Inteligencia Colectiva (IC), se describen los elementos generales de estos algoritmos y se presenta la 8

19 revisión de la literatura especializada de los algoritmo de IC, en particular de los algoritmos basado en el forrajeo de bacterias. Capitulo 5. Algoritmo de Optimización del Forrajeo de Bacterias Modicado para problemas Multi-Objetivo (MOMB- FOA). En este capítulo se describe el algoritmo Modied-Bacterial Foraging Optimization (MBFOA), su pseudocódigo y la descripción de su funcionamiento. Además se presentan las modicaciones al MBFOA para resolver un problema multi-objetivo, asimismo las adaptaciones a los procesos del algoritmo resultado de diversos experimentos para mejorar el desempeño de búsqueda. Capitulo 6. Resultados. En este capítulo se presentan los resultados obtenidos por MOMBFOA para el PODMR y la comparación de sus resultados con los algoritmos Evolución Diferencial y NSGA-II. Capitulo 7. Conclusiones y trabajos futuros. En este capítulo se presentan las conclusiones de esta tesis y los futuros trabajos a realizar. 9

20 Capítulo 2 Optimización 2.1. Concepto de optimización La optimización es un proceso que pretende encontrar una solución o conjunto de soluciones que maximice o minimice una cierta medida de calidad, conocida como función objetivo. Dentro de los conceptos más destacados para el término optimización se encuentran: Proceso de buscar la mejor solución posible a un problema, bajo ciertas circunstancias [60]. Método matemático para determinar los valores de las variables que hacen máximo el rendimiento de un proceso o sistema [30]. Los métodos de optimización son conocidos como técnicas de programación matemática, las cuales son aplicables a problemas de toma de decisiones, así como al establecimiento de las mejores soluciones posibles. Los problemas de optimización pueden clasicarse de acuerdo a las siguientes características [22]: 1. Basándose en la existencia de restricciones Con restricciones Sin restricciones 10

21 2. Basándose en la naturaleza de las variables de decisión Problemas estáticos o paramétricos Problemas dinámicos o de trayectorias (las variables son función de un parámetro determinado) 3. Basándose en la naturaleza de las ecuaciones involucradas Problemas lineales Problemas no lineales Problemas de programación geométrica Problemas de programación cuadrática 4. Basándose en los valores permisibles de las variables de diseño Problemas de programación entera Problemas de programación con valores reales Problema donde se busca un orden óptimo de elementos, (problema de optimización combinatoria). 5. Basándose en la naturaleza determinista de las variables Problemas estocásticos Problemas deterministas 6. Basándose en la separabilidad de las funciones Problemas separables Problemas no separables 7. Basándose en el número de funciones objetivo Mono-objetivo Multi-objetivo 11

22 Los problemas de optimización en su forma matemática presentan características especiales como: función objetivo lineal o no lineal, con restricciones de igualdad (lineal o no lineal) o desigualdad (lineal o no lineal), con restricciones activas y diferente número de variables en el problema. El modelado para el problema de optimización numérica con restricciones que representa un problema paramétrico es el siguiente: sujeto a las restricciones: Minimizar o maximizar f( x) g i ( x) 0 h j ( x)= 0 i=1,2,...,p j=1,2,...,q donde x es el vector de variables de dimensiones n, f( x) es la función objetivo, g i ( x) es el conjunto de p restricciones de desigualdad que debe ser menor que n porque si es igual se tiene un conjunto de ecuaciones simultaneas y si es mayor, el problema está sobre descrito, y nalmente h j ( x) es el conjunto de q restricciones de igualdad Función objetivo La función objetivo representa la relación matemática que permite cuanticar el desempeño del sistema u objeto de interés, la cual es determinada después de un profundo análisis del problema. En la función objetivo es donde se evalua el conjunto de valores del vector de variables de diseño para determinar si éstos son los valores óptimos que maximizan o minimizan el problema, según sea el caso Variables de diseño Las variables de diseño son el conjunto de elementos paramétricos que describen el sistema u objeto de interés, donde cada variable proporciona una 12

23 información mínima que en conjunto permiten describir el sistema u objeto para ser diseñado de manera óptima. Las variables de diseño las establece el diseñador cuando hace el análisis del sistema u objeto y determina el rango de valores factibles que puede tomar cada una de las variables, ésto con el n de que al momento de encontrar los valores óptimos, el diseño sea factible de construir. Cuando el diseño del sistema u objeto se lleva a cabo tomando en cuenta el conjunto de variables de diseño, se denomina diseño paramétrico Restricciones de diseño Las restricciones de diseño son el conjunto de limitaciones del sistema que se deben satisfacer para producir un diseño aceptable. Las restricciones de comportamiento o desempeño del sistema son denominadas restricciones funcionales o de comportamiento, mientras que las restricciones que representan limitaciones físicas tales como disponibilidad, facilidad de fabricación y transportabilidad son denominadas restricciones geométricas. Las restricciones son estáticas cuando únicamente dependen de la evaluación del conjunto de parámetros del sistema. Cuando se involucran aspectos dinámicos (control o estados del sistema) o cuando se evalúan en un periodo de tiempo (intervalo de tiempo durante el que se optimiza el sistema), las restricciones son dinámicas Optimización Multi-objetivo La optimización muti-objetivo (POM) se traduce como la optimización de dos o más funciones objetivos que describen a un problema, es decir, consiste en la búsqueda de los mejores valores a las variables del problema, que en conjunto deben satisfacer las restricciones y optimizar a cada una de las funciones objetivos. Sin embargo, optimizar dos o más funciones objetivos del mismo problema es un trabajo complejo de realizar ya que las funciones objetivos pueden entrar en conicto por lo que al mejorar el valor para alguno de ellos, empeora el valor de las demás. 13

24 Un ejemplo de un problema multi-objetivo en la vida real puede ser el de una empresa productora de artículos de limpieza (cloro, jabones, aromatizantes, entre otros) que busca producir un desinfectante con las proporciones adecuadas de químicos que hagan de este producto no solo una novedad en el mercado si no que se produzca con el mínimo costo y al mismo tiempo que no reduzca la eciencia del producto, es decir, que sea un producto de calidad. Como podemos observar el problema presenta dos objetivos en conicto, el costo de producción y la eciencia del producto, además podrían entrar en juego otros objetivos, como por ejemplo, si se deseará dar un color al líquido desinfectante, cuál sería el color más adecuado que no impacte en el costo de producción. Es así como en la vida diaria las empresas, áreas de investigación y las personas se enfrentan a la toma de desiciones de problemas que envuelven muchos objetivos. Los POM involucran aspectos que podemos deducir con ayuda del ejemplo anterior. En primer lugar, bajar los costos de producción, es muy probable que implique utilizar pocos químicos o de baja calidad lo que impacta en la eciencia del producto, por otra parte, si hacemos que el producto sea el número uno en matar o inactivar a los microorganismos esto seguramente aumentaría el costo de producción, ya que se tendría que utilizar una combinación de químicos para que éstos fueran más efectivos. Esta es la primera característica de los POM, que sus objetivos generalmente entran en conicto, normalmente, si mejoramos un objetivo empeoramos el otro. La segunda característica, es que al existir más de una función objetivo no es posible encontrar una sola solución, sino que se busca encontrar un conjunto de soluciones que mejoren cada una de las funciones objetivos. Por último, al obtener un conjunto de soluciones, es necesario que el tomador de decisiones seleccione la solución a implementar; esto es, en nuestro ejemplo, alguién tendrá que decidir si se invierte en obtener un producto impactante pese al costo de producción o, se opta por una inversión moderada para producir un producto de calidad media. En la sección 1.2 se dene matemáticamente al problema de optimización multi-objetivo. 14

25 2.6. Dominancia de Pareto Al resolver un POM se utiliza el concepto de dominancia, es decir, para los POM se obtiene un conjunto de soluciones que satisfacen a las funciones objetivo, durante la búsqueda de estas soluciones, es necesario identicar aquellas soluciones que sean dominadas por otras para eliminarlas del conjunto de soluciones, a partir de las cuales el tomador de decisiones podrá escoger según sus necesidades y metas. El concepto de dominancia aplica de la siguiente manera [24]: Una solución x 1 domina a otra solución x 2 si: La solución x 1 es mejor que la solución x 2 en todos sus objetivos La solución x 1 es mejor que la solución x 2 en al menos un objetivo y tiene valores similares a los restantes objetivos Si alguna de las condiciones es violada, entonces la solución x 1 no domina a la solución x 2. A partir de dos soluciones x 1 y x 2 existen tres posibilidades: 1. x 1 domina a x 2 2. x 1 es dominada por x 2 3. x 1 y x 2 son no dominadas entre sí. Para ejemplicar gracamente lo anterior, observe la gura 2.1, donde se muestra un problema de dos objetivos ambos a minimizar, el eje x representa la función objetivo f1, y y representa a la función objetivo f2. En la gura 2.1 encontramos 5 soluciones (puntos) identicados en el plano por (1,4),(1.5,5), (2,3), (3.5,4) y (4,1). Los puntos (1,4),(2,3) y (4,1) dominan a los puntos (1.5,5), (3.5,4). Analizando al punto (1.5,5) vemos como es dominado por el punto (1,4), ya que los valores para los eje x,y del punto (1.5,5) son mayores y se trata de minimizar estos valores. Del mismo modo, la solución del punto (3.5,4) es dominada por el punto (2,3). Una estrategia eciente para entender la dominancia es trazar una L en cada punto y todo lo que quede dentro de la L de un punto es dominado por ese punto (líneas punteadas de la gura 2.1). Así en este ejemplo, todos los puntos (1,4), (2,3), (4,1) son no dominados entre si. 15

26 Figura 2.1: Representación de dominancia de Pareto 2.7. Óptimo de Pareto En un POM es posible obtener un conjunto de soluciones factibles no dominadas, para determinar el óptimo de Pareto. De acuerdo a estas soluciones se sigue la siguiente denición [16]: Sea I el conjunto de funciones objetivos y Ω el conjunto de soluciones factibles, se dice que un vector de variables de decisión x Ω es un óptimo de Pareto, si para toda x Ω se cumple: 1. i I : f i ( x ) f i ( x) 2. j I : f j ( x ) < f j ( x) Al conjunto de soluciones que conforman el óptimo de Pareto se denomina Conjunto de óptimos de Pareto (P ), denida como: P = x Ω 16

27 donde x es un vector de variables de decisión que conforman una solución factible no dominada y por lo tanto, pertenece al óptimo de Pareto Frente de Pareto El frente de Pareto (F) representa el conjunto de óptimos de Pareto. Formalmente, F es el conjunto: F=f( x) R I x in P La gura 2.2, presenta el frente de Pareto de un conjunto de óptimos de Pareto, el cual es tomado del ejemplo de la gura 2.1, donde el frente de Pareto lo conforman 3 puntos, las tres soluciones (1,4), (2,3) y (4,1). Figura 2.2: Frente de Pareto En un POM se desean encontrar las soluciones que se encuentren en el frente óptimo de Pareto y que éstas esten bien distribuidas en dicho frente [24], es decir, que se encuentren diversas soluciones(puntos) en todo el espacio de 17

28 las funciones objetivo. Estas dos características permiten que se encuentran soluciones buenas, llamadas también soluciones compromiso, para el tomador de decisiones. 18

29 Capítulo 3 Diseño Mecatrónico En este capítulo se describe la importancia del diseño óptimo en Ingeniería, en qué consiste el diseño parámetrico y se detalla el caso de estudio a resolver en esta tesis, dando a conocer su modelado como problema de optimización. Además se presentan dos trabajos encontrados en la literatura especializada que abordan este problema Diseño óptimo en Ingeniería Como parte de las actividades de Ingeniería se realiza el diseño de objetos o productos como los sistemas mecatrónicos. Estos diseños deben ser óptimos, lo cual implica un reto para los ingenieros en diseño. El diseño ingenieril se dice que es óptimo cuando el proceso de diseñar un producto u objeto cumple con todas las restricciones que implique su funcionamiento y comportamiento, optimizando costo y tiempo de construcción. El diseño debe cumplir con la integración y optimización de los elementos que conforman un sistema los cuales son el sistema mecánico, el sistema eléctrico y el control. Ejemplo de estos objetos son aparatos electrodomésticos, carros, computadoras, celulares, aviones o procesos industriales complejos. En Ingeniería es de mucha importancia cuidar aspectos como [31]: Que el diseño sea fácil de reconguración. Que el diseño sea factible de construir con elementos tecnológicamente 19

30 avanzados. Que el costo-rendimiento y calidad al construir el diseño sea lo más favorable para todos los elementos involucrados. De acuerdo a estos aspectos los elementos que conforman un sistema y a los diversos objetos que se diseñan hacen que el proceso de diseño sea complejo, ya que se debe cuidar cada detalle para obtener un objeto de calidad, con el funcionamiento y desempeño deseado. Los sistemas a diseñar por los ingenieros se traducen como un problema paramétrico, ya que el sistema es descrito por un conjunto de funciones matemáticas, donde el reto es encontrar el mejor conjunto de valores para el diseño del sistema. Al proceso de búsqueda de los mejores valores se le conoce como optimización del diseño, donde el ingeniero de diseño obtiene esos valores óptimos. Dicho conjunto de valores óptimos se obtiene de minimizar o maximizar la función matemática que describe el funcionamiento del sistema, cuidando satisfacer el conjunto de restricciones de igualdad y/o desigualdad al que está sujeto el sistema. Dichas restricciones también son presentadas como funciones matemáticas. Cabe mencionar, que es común que los sistemas al ser diseñados se involucren funciones objetivos dinamicas y/o que al menos una de las restricciones lo sea [31]. Por otra parte, debido a la complejidad de los sistemas actuales, la mayoría de las veces las funciones matemáticas que cuantican el desempeño del sistema están en conicto, dando de forma natural un problema de diseño multi-objetivo. Para la obtención de la solución de este tipo de problemas, se ha seguido el enfoque de optimización estática y el uso de técnicas de programación matemática, ambas son las bases del Diseño Paramétrico Cinemático (DPC). Actualmente, el enfoque de optimización dinámica resulta interesante para el área de Ingeniería, ya que permite considerar en forma concurrente los aspectos estructurales y dinámicos del sistema en cuestión. Una de las desventajas del enfoque estático y el uso de técnicas de programación matemática es que el comportamiento mécanico y de control de un sistema se consideran por separado para resolverlos dando lugar a que nunca 20

31 se produzca un funcionamiento correcto de ambos comportamientos. Es importante destacar que el traducir el sistema como un problema paramétrico facilita la búsqueda de los valores óptimos para el conjunto de parámetros del sistema, ya que, permite modelar el diseño como un problema de optimización y por lo tanto, se puede hacer uso de herramientas computacionales para agilizar el proceso de diseño. Actualmente, la implementación de metaheurísticas inspiradas en la naturaleza y la evolución de las especies, permite a los ingenieros diseñadores encontrar esas soluciones potenciales para el sistema [57], [48]. Los dos enfoques principales de diseño ingenieríl son, el enfoque de Diseño Concurrente, que consiste en encontrar la conguración apropiada de comportamiento del sistema dependiendo de la conguración estructural y de control del sistema de forma dinámica. Por otra parte, el Diseño Paramétrico Cinemático (basado en el enfoque estático) consiste en determinar el conjunto de valores óptimos a los parámetros que describen el sistema en diseño, dichos parámetros denidos en el análisis y síntesis realizada previamente en el DPC. El caso de uso a resolver en esta tesis se describe con el enfoque DPC [31] Diseño Paramétrico Cinemático El DPC consiste en encontrar y asignar la mejor combinación de valores al conjunto de parámetros que describe el sistema a diseñar, para ello es necesario primero realizar el análisis y síntesis del sistema o mecanismo. El análisis permite determinar si el mecanismo es adecuado para desarrollar cierta tarea o trabajo, y en la síntesis se determinan tamaños, formas, composiciones y disposiciones de las piezas del sistema para que desempeñen una tarea de movimiento particular. Aunque se dedique mucho esfuerzo en la etapa de análisis, el objetivo fundamental es la síntesis, es decir, el diseño de una máquina, un mecanismo o un sistema. Los tipos de síntesis son detallados en la sección En el enfoque de DPC, los diseñadores optan por diseñar el sistema con ayuda de sistemas de cómputo; lo cual se conoce como sistemas de Diseño 21

32 Asistido por Computadoras (DAC), donde se diseña en 2D y 3D, lo que permite la simulación de lo diseñado, genera diseños con cierta facilidad y rapidez, aunque el diseñador debe tener conocimiento del manejo de herramientas computacionales para poder obtener diseños de calidad. Sin embargo la desventaja de utilizar DAC es que el ingeníero de diseño debe tener amplio conocimiento y experiencia en el manejo de la herramienta computacional ya que los DAC no son necesariamente fáciles de congurar, ni de usar Síntesis cinemática Existen dos tipos de síntesis, la dimensional que busca encontrar los valores de un conjunto de parámetros que describen al sistema, y la síntesis de tipo que dene la topología del sistema, es decir, el conjunto de elementos mecánicos más apropiados para llevar a cabo una tarea especíca. Para la síntesis dimensional existen tres casos [53]: Generación de función Generación de trayectoria Generación de movimiento En la generación de función, un movimiento de entrada está correlacionado con un movimiento de salida de un mecanismo. El problema de generación de trayectoria se relaciona con el control de un punto en un plano, de tal forma que éste pueda seguir una trayectoria previamente establecida. Finalmente, el problema de generación de movimiento se dene como el control de una línea en el plano, de forma tal que un conjunto de posiciones secuenciales se alcanzan. El problema de generación de movimiento es más general que el problema de generación de trayectoria [53]. En esta tesis, se trata el diseño del mecanismo de entrada de un sistema denominado Transmisión de Variación Continua (TVC) el cual se clasica como un problema de generación de movimiento, y que puede ser resuelto como un Problema de Optimización Dinámico Multi-objetivo con Restricciones. Si bien este problema es estático, bajo algunas consideraciones del ingeniero de diseño y desde la perspectiva computacional se puede producir un problema dinámico, debido a la restricción dinámica del TVC. 22

33 3.3. Caso de estudio El caso de estudio de esta tesis es el Sistema de Transmisión de Variación Continua (TVC) el cual es un sistema completo de transmisión unilateral para pedaleo basculante con sistema de cambio de velocidades. La función principal del sistema es convertir el pedaleo batiente de entrada (tipo escaladora ja) en movimiento rotatorio sobre la rueda motriz o de impulsión del vehículo o sistema en el cual se instala. El TVC de tipo basculante, fue propuesto originalmente para la creación de vehículos para discapacitados, donde la fuerza de impulso se obtiene de las extremidades superiores del individuo. Así mismo, este modelo permite una posible implementación de la transmisión en vehículos con baja capacidad de carga, como vehículos híbridos de exploración con impulsión de motor de movimiento continuo. A continuación se presentan las funciones objetivo y restricciones del sistema aunque su detallada descripción se encuentra en el informe que describe el diseño del TVC matemáticamente [32]. Para efectos del análisis del sistema, se puede dividir en tres subsistemas: 1. Sistema de impulsión (Motor de entrada o sistema de pedaleo). 2. Mecanismo de entrada (Eje pedalier). 3. Mecanismo manivela-biela-corredora (MBC). La gura 3.1 muestra al TVC que utiliza un mecanismo de cuatro barras con el objetivo de convertir el movimiento continuo de un motor de entrada, en movimiento basculante. En la gura 3.2 se muestra el diagrama de cuerpo libre del mecanimo de cuatro barras. La conguración de dicho mecanismo es la manivela-balancín. Donde: r 1 es la longitud del eslabón jo o de tierra. r 2 es la longitud de la manivela. 23

34 Figura 3.1: Transmisión de Variación Continua Figura 3.2: Mecanismo de cuatro barras del TVC 24

35 r 3 es la longitud del acoplador. r 4 es la longitud del balancín. θ 1 es el ángulo del eslabón jo. θ 2 es el ángulo de la manivela. θ 3 es el ángulo del acoplador. θ 4 es el ángulo del balancín. µ(x, t) es el ángulo entre el eslabón de salida y el acoplador. El problema del TVC consiste en Optimizar: Con 2 funciones objetivos (φ 1 y φ 2 ): φ = [φ 1 (x), φ 2 (x)]x R 5 (3.1) φ 1 corresponde a la síntesis cuantitativa para generación de movimiento (desplazamiento del balancín): φ 1 (x) = (θ 4max θ 4min ) 2 (3.2) Para φ 1 se requiere que su valor sea lo más grande posible para maximizar la transferencia de energía del motor de entrada hacia el mecanismo de manivela-biela-corredora del TVC. φ 2 corresponde a la calidad de funcionamiento del mecanismo de barras (ángulo de transmisión): φ 2 (x) = (γ max π 2 )2 + (γ min π 2 )2 (3.3) El valor óptimo para φ 2 es cero y se alcanza cuando el valor máximo o mínimo del ángulo de transmisión es de 90 en toda la trayectoria que describa el mecanismo de cuatro barras. Una regla práctica es que el mecanismo de cuatro barras no se debe usar en la región en la que el ángulo de transmisión sea menor que 45 o

36 Dichas funciones objetivo están sujetas a las siguientes restricciones: g 1 (x) = x 2 + x 3 x 1 x 4 0 g 2 (x) = x 1 x 3 0 g 3 (x) = x 4 x 3 0 g 4 (x) = x 1 0,5 0 g 5 (x) = 0,05 x 1 0 g 6 (x) = x 2 0,5 0 g 7 (x) = 0,05 x 2 0 g 8 (x) = x 3 0,5 0 g 9 (x) = 0,05 x 3 0 g 10 (x) = x 4 0,5 0 g 11 (x) = 0,05 x 4 0 g 12 (x) = x 5 π 0 4 g 13 (x) = π x g 14 (x, t) = π µ(x, t) 0 4 h 1 (x) = π θ 4max θ 4min = 0 Donde 0.05 x 1, x 2, x 3, x y 45 x Las cuales son las variables del sistema que corresponden a lo siguiente: x 1 = r 1. x 2 = r 2. x 3 = r 3. x 4 = r 4. x 5 = θ 1. θ 2. θ 3. θ 4. µ(x, t). 26

37 Para φ 1, θ 4max y θ 4min se calculan de acuerdo a la conguración del mecanismo de cuatro barras. Caso a) θ 1 <0: Caso b) θ 1 = 0: Caso c) θ 1 >0: θ 4max = π-[abs(θ 1 )+ arccos( r2 1 +r2 4 (r 3 r 2 ) 2 2r 1 r 4 )] θ 4min = π-[abs(θ 1 )+ arccos( r2 1 +r2 4 (r 3+r 2 ) 2 2r 1 r 4 )] θ 4max = π- arccos( r2 1 +r2 4 (r 3 r 2 ) 2 2r 1 r 4 ) θ 4min = π- arccos( r2 1 +r2 4 (r 3+r 2 ) 2 2r 1 r 4 ) θ 4max = π+[abs(θ 1 )+ arccos( r2 1 +r2 4 (r 3 r 2 ) 2 2r 1 r 4 )] θ 4min = π+[abs(θ 1 )+ arccos( r2 1 +r2 4 (r 3+r 2 ) 2 2r 1 r 4 )] Para φ 2, γ max y γ min se calculan de acuerdo al ángulo de transmisión cuando la manivela está alineada con el eslabón de referencia. γ max = arccos[ r2 3 +r2 4 (r 1+r 2 ) 2 2r 3 r 4 ] γ min = arccos[ r2 3 +r2 4 (r 1 r 2 ) 2 2r 3 r 4 ] La restricción g 14, es dinámica ya que se evalua a lo largo de la trayectoria del mecanismo de cuatro barras. µ(x, t) debe cumplir: 45 µ(., t) 27

38 Donde el ángulo de transmisión se calcula utilizando la denición del mismo, es decir µ(., t) = θ 3 θ 4. θ 3 es una posición angular que esta dada por: donde: θ 3 = 2arctan[ B 1 + θ 4 = 2arctan[ E 1 + B1 2 + A 2 1 C1 2 ] (3.4) C 1 A 1 D1 2 + E1 2 F1 2 ] (3.5) F 1 D 1 A 1 = 2r 3 (r 2 cosθ 2 r 1 cosθ 1 ) B 1 = 2r 3 (r 2 sinθ 2 r 1 sinθ 1 ) C 1 = r r r 2 3 r 2 4 2r 1 r 2 cos(θ 1 θ 2 ) D 1 = 2r 4 (r 1 cosθ 1 r 2 cosθ 2 ) E 1 = 2r 4 (r 1 sinθ 1 r 2 sinθ 2 ) F 1 = r r r 2 4 r 2 3 2r 1 r 2 cos(θ 1 θ 2 ) Por último, θ 2 que es el ángulo de la manivela y su posición angular está dada por: θ 2 = W t in donde W in es la rapidez angular de entrada en la manivela. Para el caso del TVC, W in = 6,9rad/s, por lo que a partir de este valor, se debe calcular el tiempo(t) necesario para completar una vuelta completa por parte de la manivela. El problema del TVC es modelado como un PODMR desde el punto de vista computacional debido a que la restricción g 14 (x) al ser evaluada con los mismos parámetros x 1, x 2, x 3, x 4 y x 5 en diferentes tiempos su valor cambia. En la literatura especializada se encuentran dos trabajos que resuelven este problema los cuales se darán a conocer a continuación. 28

39 3.4. Técnicas de solución al problema del TVC En la literatura especializada se encuentran dos trabajos que resuelven el problema del TVC [57] y [48], el primero presenta una metodología de diseño concurrente para formular el problema de diseño mecatrónico. La metodología propone interpretar al problema de diseño mecatrónico como un problema de optimización multi-objetivo dinámico. Para explicar esta metodología, el problema del TVC se resuelve a través de dos técnicas de optimización una basada en un método de programación matemática (programación por metas); y el otro basado en el algoritmo de Evolución Diferencial (ED). Derivado de los resultados de ambas técnicas se obtienen un conjunto de conclusiones donde hacen ver las desventajas de la programación matemática y las ventajas del algoritmo ED con respecto al problema del TVC. Por ejemplo, una de las desventajas de la programación matemática es que se requiere mucho conocimiento y experiencia matemática ya que en algunos casos se necesita la transformación del problema original debido a su complejidad trayendo con esto una desventaja más que sería obtener una solución errónea del problema debido a la perdida de datos en la transformación del problema. Otra desventaja es que la programación matemática requiere un punto inicial de búsqueda, esto puede ser obtenido al resolver por separado las funciones objetivo del problema o por experiencia del diseñador Mecatrónico, aunque esto no siempre de resultados satisfactorios, caso que en el ED no es necesario ya que éste inicia su búsqueda aleatoriamente. Por último, la programación matemática sólo proporciona una solución al problema mientras que ED da un conjunto de soluciones óptimas al problema por cada ejecución. ED obtuvo mejores resultados que el método de programación matemática aunque el costo computacional es mayor que la técnica de programación matemática.[57]. El segundo trabajo es similar al descrito anteriormente, en este trabajo también se analiza y resuelve el problema del TVC modelado como un problema de optimización multi-objetivo. El problema se resuelve con una técnica de programación matemática conocida como método de obtención de metas y a través del algoritmo de Evolución Diferencial. Derivado de los resultados obtenidos se comparan ambas técnicas con respecto a la calidad, robustez, tiempo computacional y grado de complejidad en implementación de la técnica. 29

40 Con respecto a las comparaciones de las técnicas se encuentra que el método de programación matemática requiere un punto inicial de búsqueda para encontrar una solución al problema, lo que es complicado obtener porque las condiciones iníciales del problema son muy sensibles lo que provoca, en algunas ocasiones, que las soluciones no converjan y sean no factibles(solución que no puede ser posible de construir) lo que disminuye robustez y calidad a esta técnica, además de la complejidad de resolver el problema con esta técnica ya que se tiene que evaluar por separado cada función objetivo con las respectivas restricciones y hacer algunas transformaciones al problema. Estas desventajas son los motivos por el cual los autores de este artículo proponen al ED para resolver dicho problema, ya que ED es fácil de implementar, sus resultados con competitivos e independientes de las condiciones iníciales del problema ya que inicia la búsqueda de soluciones de forma aleatoria, además de que todas sus soluciones son factibles. Sin embargo el costo computacional es más elevado que la técnica de programación matemática. Un dato mencionado en el artículo es que ED encuentra aproximadamente una solución factible por cada hora de ejecución y el método de programación matemática encuentra una solución cada media hora pero con una alta probabilidad (2/10) de que la solución sea no factible.[48]. 30

41 Capítulo 4 Algoritmos de Inteligencia Colectiva En este capítulo se da una breve introducción a la Inteligencia Colectiva (IC), se describen los elementos generales de un algoritmo de IC y la revisión de la literatura especializada de los algoritmo de IC, en particular de los algoritmos basado en el forrajeo de bacterias Introducción a la Inteligencia colectiva La inteligencia colectiva es parte de los algoritmo metaheurísticos inspirados en la naturaleza. La IC descubre y analiza el comportamiento colaborativo y asociativo de animales como una parvada de aves, un conjunto de peces, una colonia de hormigas, de abejas y de bacterias en búsqueda de alimento y/o refugio. Es importante observar, que en los grupos de animales mencionados sobreviven la mayoria de sus integrantes y que todo el grupo sigue por instinto a un lider, dicho elemento es el que tiene la mejor orientación o posición para encontrar alimento o refugio o simplemente para dirigir al grupo de un lugar a otro [37], [29]. Una de las características importantes de estos grupos de animales, es que son colaborativos, es decir, se apoyan unos con otros para alcanzar un objetivo y ésto se logra a través de la comunicación existente entre ellos, por ejemplo, para las parvadas de aves, la comunicación se da cuando las aves 31

42 del grupo identican al lider, que en su caso es el ave que va a la cabeza de la parvada y deciden seguirlo, ya que su velocidad de vuelo debido a la posición en la que va es rápida o satisfactoria; los peces también tienen su mecanismo de comunicación parecido al de parvada de aves pero es con el n de nadar rápido; las hormigas son un caso excepcional, se conoce que son muy trabajadoras y que la comunicación para encontrar alimento y dirigirse hacia el camino más corto es a través de la feromona que van depositando al recorrerlo. Las abejas tienen distintos tipos de comunicación, por ejemplo, la danza o reboloteo de alas y contacto de antenas o manos que utilizan para indicar la dirección de vuelo y distancia del lugar donde se encuentra el alimento e indicar la calidad del néctar. Por último, las bacterias, las cuales al hacer la búsqueda de nutrientes utilizan sus químicos atrayentes para comunicarse e indicar qué lugares son promisorios. Debido al análisis del comportamiento de estos grupos colaborativos, surge la IC, la cual hace referencia a la solución de problemas de comportamiento que surgen de la interación de los integrantes del grupo; y la IC computacional, se reere a los algoritmos que emulan dichos comportamientos. Los primeros algoritmos de IC que surgieron fueron PSO [36] que emula el comportamiento de parvada de aves, y el ACO [28] que emula el comportamiento de colonias de hormigas Elementos generales de un algoritmo de Inteligencia Colectiva Los algoritmos de IC trabajan de la siguiente manera: 1. Generan un conjunto (población) de soluciones (individuos) al problema. 2. Evaluan cada solución en la función objetivo a optimizar. 3. Seleccionan las mejores soluciones de la población con base en su valor en la función objetivo. 32

43 4. Generan nuevas soluciones a partir de las mejores soluciones utilizando operadores de variación. 5. Evaluan las nuevas soluciones. 6. Escogen las soluciones que formarán parte de la siguiente iteración (generación). Para la representación de las soluciones se utilizan números reales, la selección de mejores soluciones se basa en escoger aquellos individuos sobresalientes de los cuales se puedan generar mejores individuos en la población y ésto se obtiene al evaluar la función objetivo. Los operadores de variación en los algoritmos de IC emulan procesos de comportamientos como reproducción, variaciones aleatorias y movimientos cooperativos, y por último, el reemplazo consiste en seleccionar a los mejores individuos que pasarán a la siguiente generación de acuerdo con el valor de función objetivo o tomando en cuenta aspectos estocásticos. Una característica de los algoritmos de IC es que el tamaño de la población permanece constante en cada generación. En esta tesis se aborda un novedoso algoritmo de IC que es el BFOA, del cual se describe un estudio sobre el estado del arte en la siguiente sección Estado del arte Algoritmos básicos Entre los algoritmos más conocidos de inteligencia colectiva se encuentran: la optimización mediante cúmulos de partículas (PSO), la optimización basado en colonias de hormigas (Ant Colony, ACO), la optimización basado en el comportamiento quimiotáctico de bacterias (QB-OA) y la optimización basado en la simulación del forrajeo de bacterias (BFOA), presentados en la Tabla 4.1. Algoritmo de optimización mediante cúmulos de partículas (PSO) El algoritmo PSO basa su funcionamiento en el comportamiento psico-social emergente en las parvadas de aves o bancos de peces [36]. Tiene un espacio 33

44 Algoritmos básicos Nombre Referencia Descripción PSO Kennedy et al. [36] Su funcionamiento es basado en el comportamiento psico-social emergente en las parvadas de aves o bancos de peces. Resuelve problemas de optimización no lineales. Ant Colony Dorigo et al. [28] Simula el comportamiento de una colonia de hormigas en búsqueda de alimento. Resuelve problemas de optimización no lineales con restricciones. QB-OA Bremermann [8] Simula el comportamiento quimiotáctico de bacterias E. Coli. Resuelve problemas de optimización no lineales. BFOA Passino [56] Emula el comportamiento grupal de bacteria o animales cuando buscan alimento o refugio. Resuelve problemas de optimización no lineales con restricciones. Tabla 4.1: Algoritmos básicos de inteligencia colectiva de búsqueda denido por la dimensionalidad del problema a resolver y por el rango de las variables. Sin embargo, tiene la característica de converger muy rápidamente hacia óptimos locales, es decir, todos los individuos se colocan rápidamente en la vecindad del líder o mejor solución del cúmulo. Colonia de Hormigas (Ant Colony) El Ant Colony simula el comportamiento de una colonia de hormigas en búsqueda de alimento [28]. Las hormigas tienen la habilidad de buscar y encontrar el camino más corto para trasladarse de su nido hasta la fuente de alimento y transportar este alimento para almacenarse. La comunicación entre la colonia de hormigas se realiza por la sustancia que éstas segregan y van dejando por el camino por el que pasan. Esta sustancia se conoce como feromona, y se utiliza como guía de la ruta por la que debe transitar la colonia de hormiga para buscar y acarrear el alimento. El camino más corto es el que 34

45 está cargado de feromonas, mientras que el camino más largo no contiene grandes concentraciones de feromonas. Ésto ocurre debido a la evaporación de la feromona con el paso del tiempo, así las hormigas vendrán sobre el camino más corto de su nido a la fuente de alimentación. Algoritmo de optimización basado en el comportamiento quimiotáctico de bacterias (QB-OA) El comportamiento quimiotáctico de bacterias puede modelarse como un proceso de optimización. Este algoritmo de optimización propuesto por Hans Bremermann [8], llega a la conclusión de que una concentración de nutrientes se encuentra en una supercie no homogénea de atrayentes, por lo que estos organismos tienen que seguir los siguientes pasos: Las bacterias giran y salen nadando en línea recta con una dirección aleatoria. Si la dirección apunta hacia una concentración creciente, las bacterias continúan en esa dirección hasta que la concentración disminuye o se llega al máximo (o mínimo si el problema de optimización lo indica). Antes de que las bacterias detecten la disminución de concentración, éstas giran y toman una nueva dirección aleatoria. Si la dirección apunta hacia una concentración disminuida, entonces las bacterias detienen su nado o recorrido, giran y toman una nueva dirección aleatoria. Las direcciones aleatorias son independientes y uniformemente distribuidas. El resultado del proceso de búsqueda de concentración u optimización depende de la forma de la supercie donde se encuentra la concentración. Bremermann propone el algoritmo de optimización basado en el análisis de una supercie elipsoidal con varios ejes, es decir, supercies de equiconcentración cilíndricas y esféricas. Al considerar el problema de optimización en dos dimensiones, se supone que las curvas de equiconcentración son círculos concéntricos. Las bacterias están en algún punto del círculo de las direcciones que se pueden tomar, la mitad apuntan a direcciones erróneas (bajas concentraciones) y la otra mitad a direcciones correctas. El algoritmo determina la distancia entre el punto donde 35

46 está localizada la bacteria y el centro (concentración óptima) y el ángulo entre el rayo aleatorio de la posición de la bacterias y el ángulo normal de la misma. Inician entonces los ciclos en los que la bacteria se dirige hacia la dirección correcta y continua en esa misma o gira si la dirección es errónea, generando un nuevo ángulo aleatorio. En el análisis de supercies esféricas, se complementa el algoritmo con la determinación de que la bacteria sigue en la misma dirección con el mismo ángulo siempre y cuando la concentración aumente. Cabe mencionar que en este algoritmo la distancia recorrida de la bacteria en cada iteración es recortada a la mitad y que el perl radial es independiente de la concentración. Los pasos del algoritmo de optimización se muestran en la Tabla 4.2. Pasos del algoritmo QB-OA 1. Generar una población S aleatoria inicial de bacterias. 2. Determinar la distancia entre cada bacteria en S y el centro del círculo. 3. Generar ángulos aleatorios para cada bacteria S. 4. Evaluar la medida de concentración para cada bacteria en S. 5. Repetir para cada bacteria en S: 5.1 Si la medida de concentración se acerca a un punto creciente de nutrientes: Si será la nueva dirección de la bacteria en S y seguirá con la misma trayectoria cortado a la mitad. 5.2 Si la medida de concentración se dirige a un punto decreciente de nutrientes: La bacteria en S gira y genera un nuevo ángulo aleatorio. Tabla 4.2: Pasos del algoritmo QB-OA. Algoritmo de optimización basado en bacterias en búsqueda de alimento (BFOA) BFOA, propuesto por K.M. Passino [56], emula el proceso completo de forrajeo de las bacterias E. Coli: Chemotaxis (movimientos de giro y nado), reproducción y eliminación-dispersión. En general, se trata de una estrategia de búsqueda de alimento que supone encontrar una zona de comida, determinar si se entra en ella, buscar la comida, y decidir cuándo dejar la zona. La búsqueda de alimento en cúmulos (grupos) requiere de capacidades de comunicación, lo que da ventajas como por ejemplo: el cúmulo podría ser fuerte ante sustancias nocivas y buscar alimento con un tipo de inteligencia. 36

47 Basados en estos pasos, Passino propuso el algoritmo de optimización de bacterias en búsqueda de alimento, el Pseudocódigo es resumido en la Tabla 4.3. Pseudocódigo del BFOA Begin Inicialización de parámetros Generar una población inicial aleatoria θ i (j, k, l) i, i = 1,..., S b Evaluar f(θ i (j, k, l)) i, i = 1,..., S b For l=1 to N ed Do For k=1 to N re Do For j=1 to N c Do For i=1 to S b Do Realizar el paso quimiotáctico (giro-nado o giro-giro) para la bacteria θ i (j, k, l), los nados son limitados por N s End For End For Realizar el paso de reproducción para la eliminación de S r bacterias y duplicar la otra mitad End For Realizar el paso de eliminación-dispersión para todas las bacterias θ i (j, k, l) i, i = 1,..., S b con probabilidad 0 P ed 1 End For End Tabla 4.3: BFOA original. Los parámetros de entrada son el número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, límite del paso de nado N s, límite del ciclo de reproducción N re, número de bacterias a reproducir S r, límite del ciclo de eliminación-dispersión N ed, tamaño de paso C i (y probabilidad de eliminación-dispersión P ed. El paso quimiotáctico fue modelado por Passino con la generación de direcciones aleatorias (ecuación 4.1) 37

48 (i) φ(i) = (i) T (i) (4.1) Donde T (i) es un vector aleatorio generado con elementos dentro de un intervalo:[ 1, 1]. Después de esto, cada bacteria θ i (j, k, l) en su ciclo (j), en su ciclo de reproducción (k) y en su ciclo de eliminación-dispersión (l) modica su posición como se indica en la ecuación 4.2. θ i (j + 1, k, l) = θ i (j, k, l) + C(i)φ(i) (4.2) La ecuación 4.1 representa un giro (busca dirección) y la ecuación 4.2 representa un nado con tamaño de paso (C i ). El nado será repetido N s veces si la nueva posición es mejor que la previa: f(θ i (j + 1, k, l)) < f(θ i (j, k, l)). El paso de reproducción consiste en ordenar la población de bacterias θ i (j, k, l) i, i = 1,...,S b basado en el valor de su función objetivo f(θ i (j, k, l)) y eliminar la mitad de aquellas con el peor valor S r. La otra mitad será duplicada para mantener un tamaño de población constante. El paso de eliminación-dispersión consiste en eliminar cada bacteria θ i (j, k, l) i, i = 1,...S b con probabilidad 0 P ed 1. Descripción del pseudocódigo del BFOA Siguiendo los pasos mostrados en el pseudocódigo del BFOA de la Tabla 4.3, se describe el proceso que se realiza durante su ejecución con un problema de optimización. 1. Como primer paso se inicializan los parámetros, número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, límite del paso de nado N s, del paso de reproducción N re, número de bacterias a reproducir S r, límite del paso de eliminación-dispersión N ed, tamaño de paso C i, (depende de la dimensión del problema) y probabilidad de eliminación-dispersión P ed. 2. Se procede a generar una población aleatoria de bacterias θ i (j, k, l) i, i = 1,...,S b, el tamano de la población debe ser constante durante todo el proceso del algoritmo. 38

49 3. Posteriormente se evalúan cada una de las bacterias f(θ i (j, k, l)) i, i = 1,..., S b, es decir se sustituye en la función objetivo del problema a resolver los valores de las variables de la bacteria en proceso, ésto se realiza para toda la población de bacterias. 4. Se incrementa en 1 el ciclo de eliminación-dispersión, reproducción y quimiotáctico, N ed +1, N re +1, N c +1 hasta el número máximo establecido en la iniciación de parámetros. 5. Posteriormente cada una de las bacterias realizan su primer ciclo quimiotáctico, es decir, realizan su búsqueda, nadando y avanzando hacia una nueva posición, los nados de cada una de las bacterias son sólo el número permitido por N s la elección de un nado se da cuando se mejoró el valor de la función objetivo en la nueva posición. De otra manera se realizará un giro. 6. A continuación se realiza el proceso de reproducción, en el cual se reproducen a S r (mitad) de las mejores bacterias y se elimina a la otra mitad. 7. Finalmente se realiza el proceso de eliminación-dispersión de bacterias de acuerdo a la probabilidad determinada por P ed. 8. Se incrementan los ciclos, eliminación-dispersión, reproducción y quimiotáctico y se vuelven a realizar lo descrito en los puntos 5, 6 y 7 hasta cumplir con el número máximo de ciclos establecidos en la iniciación de parámetros. Como podemos observar los parámetros que utiliza el BFOA son numerosos y los ciclos que intervienen en él hacen que sea un algoritmo demasiado extenso, produciendo en primera instancia un número elevado de evaluaciones y por consiguiente un algoritmo lento. Además, la calibración de parámetros puede ser complicado para los usuarios. En la Tabla 4.4 se muestran los parámetros utilizados por el BFOA Algoritmos derivados del forrajeo de bacterias Las propuestas de mejoras y/o derivaciones que se hacen a los algoritmos basados en el forrajeo de bacterias, surge como respuesta a problemas particulares de optimización. En las tablas 4.5 y 4.6 se resumen algunos de los 39

50 Nombre Símbolo Descripción Bacterias S b Número de soluciones en la población (bacterias). Paso quimiotáctico N c Número de veces que la población de bacterias podrá nadar o girar. Nado N s Número exacto en que la bacteria en procedimiento podrá nadar. Reproducción N re Número de veces que la población de bacterias se reproducirá. Reproducir bacterias S r Número de bacterias que se reproducirán de toda la población. Eliminación-dispersión N ed Número de veces en que se aplicará eliminación-dispersión en la población de bacterias. Tamaño de paso C i Es el paso que la bacteria en proceso podrá avanzar de un punto a otro en su búsqueda, limitado por las dimensiones del problema. Probabilidad de eliminación-dispersión P ed Determina qué bacterias de la población será eliminada y dispersada la nueva en el área de búsqueda. Tabla 4.4: Descripción de los parámetros del BFOA encontrados en la literatura especializada. 40

51 Propuestas derivadas de los algoritmos básicos Nombre Referencia Descripción BCA Alvarez [2] Basado en la quimiotáxis de las bacterias E.Coli que busca evitar el extremo local en la optimización de funciones no lineales. Resuelve PO no lineales como control de robots. BC Algorithm Müller et al.[51] Funciona de manera similar a las estrategias de evolución típicas, las bacterias guardan información de valores de concentración. Resuelve PO multimodales como diseño de plano aerodinámico inverso. SIA Ramos et al. [59] Quimiotáxis computacional en hormigas y bacterias en ambientes dinámicos. Resuelve PO dinámicos complejos. BSA Tang et al. [62] Basa su comportamiento en cúmulo de bacterias para optimización global. Resuelve PO no lineal. ACBEA Das et al. [17] Basado en la mutación bacterial y la transferencia de genes. Resuelve PO no lineal. Tabla 4.5: Parte 1 de las propuestas derivadas de lo algoritmos básicos Estrategias para evitar el extremo local en la optimización de función a través de quimiotáxis, algoritmo básico de bacterias quimiotáxicas (Basic BC) El algoritmo básico de bacterias quimiotácticas, es presentado como herramienta para optimizar las funciones no lineales que aparecen durante el control de avance de estrategias de implementación. Derivado del algoritmo BFO[56]. En este algoritmo se proponen dos estrategias para permitir escapar de un extremo de función local y continuar con la búsqueda por otro punto. Estas estrategias son propuestas para lograr una modicación de recapitulación de 41

52 Propuestas derivadas de lo algoritmos básicos Nombre Referencia Descripción Micro-BFOA Dasgupta et al.[20] Basado en el BFOA donde las bacterias son reinicializadas de acuerdo a la mejor bacteria de la posición. ResuelvePO no lineal. SW-BFOA Ying et al. [15] Algoritmo de rápido nado bacterial para optimización de funciones de altas dimensiones. Resuelve PO uni-modales y multi-modales sin restricciones. PBFOA Bakwad [3] Basado en el BFOA que hace de manera paralela el proceso quimiotáctico de las bacterias. Resuelve PO no lineales, como comprensión de video en tiempo real. SBFOA Bakwad[40] Basado en el BFOA en el que sólo se lleva a cabo el proceso quimiotáctico y los pasos de nados y giros Resuelve PO multi-objetivo y no lineales. MC-BFOA Chen et al.[13] Basado en el BFOA y BCA, donde se tienen varias poblaciones de bacterias en el espacio de búsqueda y se comunican entre ellas. Resuelve PO multi-objetivo usados para planicación de redes RFID. Tabla 4.6: Parte 2 de las propuestas derivadas de lo algoritmos básicos intervalos y un método de búsqueda paralelo. Con este algoritmo se obtiene un aumento de ubicación de puntos, ayudando al BC a obtener un óptimo global con menos procesos bacteriales. [2] 42

53 Optimización basada en bacterias Quimiotáxicas (BC Algorithm) Este algoritmo funciona de manera similar a las estrategias de evolución típicas, aunque se han añadido características tomadas de los resultados de la evaluación de un grupo de pruebas estándares, usando conceptos evolutivos y así obtener una estrategia de optimización mejorada [51]. Estas pruebas fueron realizadas para la optimización global y local de funciones en el dominio de problemas de diseño de plano aerodinámico inverso. Las características añadidas son las siguientes: las bacterias guardan información de valores de concentración, no siguen corriendo en la misma dirección si se incrementa la concentración de quimioatrayentes. Los resultados obtenidos de los experimentos con este nuevo algoritmo basado en bacterias Quimiotáxicas aplicado a los problemas de diseño de plano aerodinámico inverso, muestran que el rendimiento es peor si añadimos propiedades de convergencia mejoradas (funciones cuadráticas), aunque sí tiene la posibilidad de encontrar un óptimo global de una función multimodal [51]. Quimiotáxis computacional en hormigas y bacterias en ambientes dinámicos, algoritmo inteligente de cúmulos (SIA) Este algoritmo toma como referencia las características de un BFOA, en términos de que las bacterias nadan hacia la concentración más alta en nutrientes y huyen de las sustancias nocivas. Este modelo enfrenta la adaptación colectiva de un cúmulo asociado basado en el comportamiento real de una colonia de hormigas (SSA) para caminos extremos en ambientes dinámicos y funciones multimodales complejas. Al comparar este nuevo algoritmo (algoritmo inteligente de cúmulos) con SSA, los resultados indican que la inteligencia colectiva de SSA es viable para adaptarse rápidamente a situaciones imprevistas, incluso en periodos de búsqueda cooperativa de alimento, superando al algoritmo inteligente de cúmulos en la velocidad de adaptación, aunque este nuevo algoritmo trata problemas de optimización dinámicos complejos [59]. Algoritmo de cúmulo de bacterias para optimización global ( BSA) Este algoritmo está basado en el comportamiento de bacterias acumuladas, en particular se concentra en el estudio de las acciones de caídas y corridas que son la parte más importante en el proceso quimiotáctico. Los operadores adaptables, caídas y corridas son desarrollados para mejorar la capacidad de 43

54 búsqueda global y local de este algoritmo (BSA). También se introduce la duración de los pasos de las acciones (caídas y corridas), que es independiente de los problemas de optimización pero puede acelerar el proceso de convergencia de BSA. Estas acciones son seleccionadas con base en su probabilidad, las cuales son actualizadas durante el proceso de búsqueda. BSA posee un gran potencial para resolver problemas de optimización global. En los resultados de la simulación de este algoritmo (BSA), puede tener un rendimiento superior al AG y PSO en optimizar algunas funciones de benchmark, en particular, en relación con los ritmos de convergencia y robustez. [62] Automatic Clustering con BEA (ACBEA) El ACBEA, es derivado del BEA [17]. BEA implementa dos operaciones especiales para desarrollar una población de cromosomas. La primera operación es la mutación bacterial, esta mutación imita un proceso ocurrido a nivel de la genética de bacterias y tiene por objetivo mejorar partes dentro de los cromosomas. La segunda operación, llamada transferencia de genes es empleada para intercambiar información entre los cromosomas de la población, esto se puede lograr debido a que las bacterias pueden difundir su información genética rápidamente a otras células. ACBEA, codica una completa partición de los datos de un cromosoma, tal que cada parte o gen en el cromosoma representa un grupo. En este algoritmo se incorpora un nuevo operador llamado reparación de cromosomas, se modicó la mutación y la transferencia de genes ligeramente para manejar las variables de tamaño de cromosoma. ACBEA inicia con una población de cromosomas de longitud variable, cada una codica una agrupación entera de los datos. Después, la mutación de bacteria es aplicada para cada cromosoma. La mutación del ACBEA diere de algunas extensiones del BEA clásico, estas son especícamente diseñadas para permitir que una longitud de cromosomas pueda ser cambiada dinámicamente como un proceso de aprendizaje evolutivo avanzado. En la mutación bacterial, el primer cromosoma es escogido y entonces éste es reproducido en un clon. Cada clon es tomado probabilísticamente con uno de los tres operadores: remplazo aleatorio, escisión-gene, fusión-gene. Los clones son evaluados y el mejor cromosoma de los individuos es selec- 44

55 cionado para mantenerse en la población, los demás son eliminados. Después del proceso de mutación, se lleva a cabo la reparación de genes, este proceso consiste en escanear las mutaciones de los cromosomas para remover las etiquetas duplicadas. Las etiquetas que no han sido atribuidas a algún gen después de la reparación, son asignadas a un gen tomado al azar pero no puede asignarse a uno de los genes de los que fue retirado. Y por último, se realiza la transferencia de genes, el cual divide en dos a la población, mitad superior (mejores individuos) y mitad inferior (peores individuos); una parte de un gen de la mitad superior se transere a un gen de la mitad inferior. Micro-Bacterial Foraging Optimization El Micro-BFOA es una modicación del BFOA, las características principales de este algoritmo son su pequeña población (solo tres bacterias), la mejor bacteria de la población conserva su posición y los demás miembros de la población son reinicializadas bajo algunos criterios. Este algoritmo es modelado especialmente para problemas de alta dimensión, donde el costo computacional ha sido un obstáculo [20]. El proceso de reproducción no es llevado a cabo en este algoritmo para evitar la saturación y convergencia prematura. El paso de eliminación-dispersión se realiza exactamente como en el BFOA. Después de un ciclo completo del paso quimiotáctico, la población de bacterias se mueve a un nuevo espacio de búsqueda. En este momento, la población es clasicada de acuerdo con los valores de la función objetivo. La mejor bacteria de la población conserva su posición, la segunda mejor bacteria es llevada a una posición muy cerca de la mejor bacteria y la peor bacteria es inicializada en una posición aleatoria. Algoritmo de rápido nado bacterial para optimización de funciones de altas dimensiones Este algoritmo es la combinación del forrajeo de las bacterias con el mecanismo usado en el algoritmo de cumulo de partículas 'factor de atracción', con el n de mejorar la convergencia en funciones de altas dimensiones. Este mecanismo hace que la población de bacterias se dirija a la posición de la mejor bacteria de toda la población. Otro de los elementos de este algoritmo de nado rápido es el tamaño de paso, este es adaptado para mejorar la 45

56 capacidad de la búsqueda local. El tamaño de paso 'C' toma el valor de la división del tamaño de paso inicial 'L red 'determinada por el usuario entre ñ' que es la constante de control de tasa decreciente que varía dependiendo el ciclo de reproducción y eliminación en los que se encuentre el algoritmo. Estos mecanismos implementados buscan una convergencia no prematura y disminuir el costo computacional. Esta propuesta es probada en problemas con funciones unimodales y multimodales sin restricciones de benchmark[15]. Forrajeo en paralelo de bacterias para comprensión de video (PB- FO) El PBFO es una propuesta para la compresión de video en tiempo real. En este algoritmo el mejor valor es actualizado después de la evaluación de la función objetivo de todas las bacterias de la población. El PBFO es utilizado para reducir el tiempo computacional de la estimación de movimiento en la comprensión de video. El elemento fundamental de este algoritmo es que realiza el paso de evaluación de la función de cada bacteria en el proceso quimiotáctico de manera paralela, asegurando la convergencia más rápida hacia una solución competitiva. El tamaño de paso es adaptado mediante el vector de movimiento cero y una topología de vecindad de Von Neumann, asegurando un mejor bloque de combinaciones para la adaptación del tamaño de paso. El paso quimiotáctico y el paso de nado pueden ser variados para ahorrar tiempo computacional y mejorar la señal en proporción del ruido.[3] Simultáneo Bacterial Foraging Optimization para funciones multimodales y de altas dimensiones (SBFO) El SBFO es usado para resolver funciones multimodales y de alta dimensiones. En este algoritmo se llevan a cabo el proceso quimiotáctico compuesto por nados y giros, además del paso de reproducción. El mejor valor obtenido es actualizado simultáneamente después de la evaluación de la función objetivo de todas las bacterias. Este proceso puede resolverse de manera secuencial o paralelamente. La búsqueda local es llevada a cabo por el proceso quimiotáctico y los pasos de nado y giro. El tamaño de paso es determinado por una ecuación que explora el espacio de búsqueda globalmente y es este quien acelera la velocidad de las bacterias hacia el óptimo global. El tamaño de paso es determinado por 46

57 la diferencia del valor de la función en la posición previa de la bacteria (p1 ) y la posición de la bacteria cuando esta ha dado su paso (p2 ), se dice que el tamaño de paso será positivo y cambiará la dirección de la bacteria en dirección a la p1, si p1 tiene un mejor valor en la función objetivo que p2. Si el tamaño de paso es negativo el paso que dará la bacteria será un giro.[40] Multi colonia de bacterias con células de comunicación para plani- cación de redes RFID (MC-BFO) La RFDI es un tipo de sistemas automático de identicación. Para obtener una conable y segura planeación de redes en sistemas de comunicación de identicación de radio frecuencia (RFID), la localización de lectores y de los valores asociados para cada uno de los parámetros del lector tiene que ser determinado. Todos estos parámetros deben optimizar un conjunto de objetivos, como la cobertura de etiquetas, la eciencia económica, el equilibrio de carga y el nivel de interferencia entre los lectores. El algoritmo MC-BFO resuelve este problema de planeación de redes complejas de RFID, que son problemas de optimización multi-objetivo. La idea principal de este algoritmo es tener varias poblaciones (colonias) de bacterias dentro de un espacio de búsqueda de nutrientes, donde puedan comunicarse en primera instancia las bacterias dentro de una misma colonia para comunicar dónde se encuentra la bacteria con la mejor posición de la colonia, posteriormente comunicar todas las colonias entre sí para informar donde se encuentra la mejor bacteria de toda las colonias y por ultimo encontrar el índice de la colonia que tiene a la bacteria con la mejor posición de todas las colonias. Esta comunicación ocurre en el proceso quimiotáctico donde los giros que hacen las bacterias tienen un recorrido con dirección aleatoria, donde el ángulo es generado con una distribución Gaussiana y la opción de dirección derecha o izquierda es determinada por una probabilidad uniforme de distribución y la longitud máxima de giro de una bacteria es una coordenada polar. El nado de las bacterias en el proceso quimiotáctico toma un camino aleatorio con una misma dirección. Esta comunicación tiene un enfoque de cooperación que determina que la población bacteriana se mantenga diversa. Este mecanismo de comunicación 47

58 acelera la convergencia de la población hacia el óptimo global. El MC-BFO está basado en el algoritmo del forrajeo de bacterias (BFO)[56] y el algoritmo del proceso quimiotáctico de las bacterias (BCA)[50]. Una de los contras del MC-BFO es su costo computacional, que es mucho mayor comparado con los algoritmos con los que fue confrontado, GA y PSO, aunque los resultados del MC-BFO son mucho mejores [13] Estudio a los procesos del BFOA En esta sección se presentan trabajos que realizan un estudio a los procesos del algoritmo BFOA. En la Tabla 4.7, encontramos los diversos estudios que se han hecho al proceso quimiotáctico y de reproducción, debido a su importancia para obtener un algoritmo capaz de resolver problemas de optimización de manera eciente. 48

59 Estudios de los procesos del BFOA Nombre Referencia Descripción Reproducción del BFOA Abraham et al. [1] Este análisis encuentra dos caracteristicas que contribuyen al forrajeo de las bacterias y son: la reproducción permite una rápida convergencia cerca de óptimos y las bacterias se atraen entre ellas mediante una aceleración que es variable de acuerdo a la distancia entre ellas. Quimiotáxis del BFOA Das et al. [18] Se analiza y establece que el tamaño de paso de una bacteria evita los límites y garantiza la convergencia de las bacterias en un óptimo, dando un conjunto de indicaciones a seguir para obtener el valor del tamaño de paso. Quimiotáxis del BFOA Dasgupta et al. [21] El análisis señala que la aceleración de la convergencia de las bacterias cerca del óptimo global depende de la adaptación del tamaño de paso. Tabla 4.7: Estudio de los procesos del BFOA Análisis del operador de reproducción del algoritmo basado en el forrajeo de las bacterias El análisis del operador de reproducción consiste en buscar las características con las que el proceso de reproducción de las bacterias contribuye en la búsqueda de alimento. En este proceso las bacterias con menor salud (menor valor en la función objetivo) mueren y las bacterias de mejor salud (mejor valor en la función objetivo) se reproducen (se dividen). Una de las características encontradas es que la reproducción contribuye a una rápida convergencia de la población de bacterias cerca de óptimos (locales o global). Otra de las características observadas es que las bacterias 49

60 se atraen entre ellas y la aceleración con la que se acercan unas con otras varía y depende de la distancia entre las bacterias. Cuando las bacterias están más cerca entre si, la aceleración aumenta gradualmente (la bacteria más saludable a trae a la más débil). Esto hace referencia a la fuerza gravitacional, el cuerpo con mayor masa atrae al de menor masa. Así que el sistema de salud de las bacterias puede ser equivalente a la masa y podemos hacer una analogía entre el fenómeno de producción y la fuerza de gravedad universal.[1] Estabilidad de la dinámica del proceso quimiotáctico en el algoritmo BFO La estabilidad y comportamiento de convergencia del proceso quimiotáctico es analizado por el teorema de Lyapunov. A través de este análisis se indican los limites para el tamaño de paso incluido en el proceso quimiotáctico, parámetro que evita los limites y garantiza la convergencia de las bacterias en un óptimo. De los resultados que se obtienen de este modelado matemático se determina que el valor del tamaño de paso (C ) será cero cuando la bacteria este en un óptimo, para los demás casos, el tamaño de paso será determinado por la siguiente ecuación: C > 4 θ θ 0 k Jθ (4.3) Donde k, es el numero de reproducción, θ es la bacteria en una posición, θ 0 es el óptimo (mínimo) de la región de búsqueda, J θ es el valor de la función objetivo de la bacteria en proceso. Otro criterio observado es que el tamaño de paso no debe ser constante porque la bacteria comienza a oscilar alrededor del valor óptimo en vez de converger en esta, es decir, el tamaño de paso debe adaptarse dependiendo la posición de la bacteria, si esta muy cerca del óptimo debe decrecer el valor del tamaño de paso para converger a un óptimo, no sirve que la bacteria rodee el óptimo sin poderlo alcanzar debido a que el tamaño de paso, por ser grande, hace que la bacteria se pase del lugar óptimo [18]. 50

61 Adaptación computacional del proceso quimiotáctico en la optimización del forrajeo de bacterias: Un análisis (ABFOA) En este algoritmo se analiza el BFOA en su proceso quimiotáctico, el análisis señala que la aceleración de la convergencia de las bacterias cerca del óptimo global depende de la adaptación del tamaño de paso [21]. La velocidad de cambio de la posición de una bacteria es de manera uniforme, constante, su magnitud depende también del tamaño de paso. Una bacteria puede cambiar de posición si el valor de la función objetivo actual es menor que la previa y que el resultado de la diferencia del valor de la función objetivo actual con la previa sea positivo, esto asegura que las bacterias se moverán en dirección donde el valor de la función objetivo decrece. Si la bacteria se encuentra en el óptimo, el tamaño de paso debe ser cero. Si el valor de la función objetivo de una bacteria es grande, el espacio donde está la bacteria es nocivo, de lo contrario cuando la función objetivo de una bacteria es pequeña, este espacio es propicio para continuar con la búsqueda en ese lugar y el tamaño de paso es pequeño también. Ésto nos indica que el tamaño de paso debe decrecer con respecto al valor de la función objetivo si la bacteria se encuentra cerca del óptimo. Con este análisis se llega a la conclusión que la adaptación del tamaño de paso en el proceso quimiotáctico permite una rápida convergencia en el óptimo global. Durante la prueba del ABFOA, tres parámetros de rendimiento fueron usados para probar la eciencia del algoritmo, 1) la calidad de la solución, 2) la velocidad de convergencia y 3) la frecuencia de alcanzar el óptimo global. El algoritmo ABFOA ha sido probado en la solución de diversos problemas, por ejemplo en el problema de síntesis de ondas de sonido de frecuencia modulada [21] y la detección automática de círculos sobre imágenes [19] Híbridos con el BFOA Dentro de los nuevos modelos que surgen de los algoritmos bio-inspirados, se encuentran los híbridos, que son el resultado de la unión de los algoritmos 51

62 basados en el proceso evolutivo de las especies y los basados en el comportamiento social de grupos de bacterias. En la Tabla 4.8, se describen los híbridos con el BFOA encontrados en la literatura especializada. Híbridos con el BFOA Nombre Referencia Descripción AG y BFOA Kim et al. [39] Derivado del algoritmo genético y BFOA con énfasis sobre mutación, recombinación, variaciones de tamaño de pasos quimiotáctico y el tiempo de vida de las bacterias. Resuelve PO lineales, como anar un controlador de regulador de voltaje automático AVR. PSO y BFOA Arijit et al.[6] La búsqueda local es a través de operaciones de movimientos quimiotáctico de BFOA y la búsqueda global por un operador de PSO. Resuelve PO multi-objetivo, como ingeniería de diseño clave de poly-fase de radar de espectro difundido. ED y BFOA Biswas et al. [5] Busca resolver el problema de la convergencia lenta y prematura del ED y BFOA, aplica primero y únicamente el proceso quimiotáctico y después lleva a cabo la mutación de bacterias a través del ED. Resuelve PO lineales. BF y PSO Korani [42] Basado en el BFOA y PSO, tiene como objetivo hacer uso del intercambio de información entre las bacterias. Resuelve PO no lineales, como por ejemplo anación del PID. Tabla 4.8: Híbridos con el BFOA 52

63 Híbrido del algoritmo genético (AG) y bacterial en búsqueda de alimento (BFOA) para optimización global Este híbrido es un derivado del algoritmo genético y el algoritmo de bacterias en búsqueda de alimento para problemas de optimización de funciones, con énfasis sobre mutación, recombinación, variaciones de tamaño de pasos quimiotáctico y el tiempo de vida de las bacterias. Este híbrido fue usado para anar un controlador de regulador de voltaje automático AVR. Los resultados obtenidos de las pruebas hechas para la optimización de este problema de anamiento, muestran que la convergencia al óptimo global ocurre más rápido con el algoritmo híbrido que en el AG, haciendo de este nuevo algoritmo una herramienta eciente y de alto rendimiento para encontrar soluciones competitivas de este problema [38]. Sinergia de los algoritmos PSO y BFOA: un estudio de comparación sobre los puntos de referencias numéricas El híbrido derivado de los algoritmos PSO y BFOA, es usado para optimizar funciones multi-modales de altas dimensiones y surge como trabajo de un estudio emprendido para mejorar la velocidad de convergencia y exactitud del BFOA sobre las buenas formas de los planos de funciones multi-modales, puesto que BFOA posee un comportamiento pobre en la convergencia en problemas multimodales. Su rendimiento también se ve afectado con el crecimiento del tamaño del espacio de búsqueda debido a la alta dimensionalidad. El algoritmo híbrido lleva a cabo la búsqueda local a través de operaciones de movimientos quimiotácticos de BFOA, mientras que la búsqueda global sobre un espacio entero de búsqueda es lograda por un operador de PSO. De esta manera se balancea la exploración y la explotación. El híbrido ha sido comparado con el BFOA original, el PSO clásico y una versión novedosa del PSO [6]. Sinergia de evolución diferencial y optimización del forrajeo de bacteria para optimización global El Chemotactic Dierential Evolution (CDE) busca resolver el problema de la convergencia lenta y prematura del algoritmo evolución diferencial y el algoritmo de optimización del forrajeo de bacterias. CDE, en su primera etapa, realiza el proceso quimiotáctico de las bacterias propuesto por K. Passino 53

64 [56]; el proceso de reproducción y eliminación-dispersión no se realiza en este algoritmo. Después del proceso quimiotáctico, se lleva a cabo la mutación de la evolución diferencial, dicho proceso consiste en mutar una nueva bacteria (vástago) de la bacteria en proceso, que resulta de tomar tres bacterias diferentes entre sí de toda la población de bacterias e intercambiar entre ellas componentes que generan una mutación que, de ser mejor que la bacteria en proceso, remplaza a la bacteria original, de otra manera la bacteria se conserva en la población. [5] Forrajeo de bacterias orientado por cumulo de partículas estrategia para anar PID (BF-PSO) La combinación del BFO y el PSO tiene como objetivo hacer uso del intercambio de información entre las bacterias. En el BF-PSO se siguen todos los pasos de BFO: proceso quimiotáctico, nado, reproducción y eliminación dispersión orientado por PSO. El mecanismo usado del PSO en esta combinación es la determinación de la dirección de nado de la bacteria en el proceso quimiotáctico; PSO establece que la dirección de un individuo se calcula con base en la información que almacena de su mejor posición que ha logrado, la información de la posición actual del individuo y la información de la posición del mejor individuo de la población, con estas tres informaciones junto con parámetros de escalamiento se obtiene el valor de la dirección que tomará la bacteria (en términos resumidos se hace un acercamiento a la posición del mejor individuo de la población). En el BF-PSO cada bacteria almacena la información de su mejor posición, la cual se presenta como una mejor posición local, después se actualiza la posición de la bacteria haciendo un nado y su dirección es determinada por el mecanismo del PSO, donde se requiere que la información de la mejor posición que ha tenido la bacteria en proceso, su posición actual y la mejor posición global (mejor bacteria de toda la población) estén disponibles. El BF-PSO fue probado en el problema de anación del controlador proporcional integral y derivativo (PID), comparando sus resultados con el BFO y PSO, obteniendo resultados satisfactorios.[42] 54

65 Aplicaciones usando algoritmos basados en bacterias Los algoritmos bio-inspirados son altamente utilizables para dar solución a problemas de optimización con funciones no lineales o multi-modales. Dentro de las aplicaciones donde se han usados los algoritmos bio-inspirados para resolver problemas de búsqueda y optimización, encontramos el pronóstico del mercado de valores de S&P 500 y DJIA [44], localización simultánea y mapeo (SLAM) de robot móviles y vehículos autónomos [12], anación robusta de sistemas estabilizadores de transmisiones de red [61], actualización del peso del enlace funcional de la red neuronal articial a través de indicadores de sistemas dinámicos no lineales [43] y reducción de pérdida de transmisión en la red [66], mejoramiento de la señal pico para la relación del ruido de una imagen [4], parámetros de optimización de máquinas de extremo aprendizaje [14] en todos usando la técnica de optimización del algoritmo de bacterias en búsqueda de alimento. En la Tabla 4.9, se encuentran las aplicaciones resueltas con el BFOA, donde se observa que es un algoritmo cada vez más usado para resolver problemas de optimización. 55

66 Aplicaciones usando BFOA Nombre Referencia Descripción MC-BFOA Chen et al.[13] Basado en el BFOA y BCA, donde se tienen varias poblaciones de bacterias en el espacio de búsqueda y se comunican entre ellas. Resuelve PO multi-objetivo usados para planicación de redes RFID. BFOA Chatterjee et al. [12] Problema de localización simultánea y mapeo (SLAM) de robot móviles y vehículos autónomos. BFOA Majhi et al. [44] Problema del pronóstico del mercado de valores de S&P 500 y DJIA. BFOA Sumanbabu et al. [10] Problema de anación robusta de sistemas estabilizadores de transmisiones de red. BFOA Majhi et al.[43] Problema de actualización del peso del enlace funcional de una red neuronal articial a través de indicadores de sistemas dinámicos no lineales. BFOA Lu et al. [66] Problema de reducción de pérdida de transmisión en la red. BFOA Cho et al. [14] Problema de parámetros de optimización de máquinas de extremo aprendizaje. BFOA Bakwad et al. [3] Problema del mejoramiento de la señal pico para la relación de la señal de ruido en una imagen. Tabla 4.9: Aplicaciones usando BFOA 56

67 Capítulo 5 Algoritmo de Optimización del Forrajeo de Bacterias Modicado para problemas Multi-Objetivo (MOMBFOA) En este capítulo se describe el algoritmo Modied-Bacterial Foraging Optimization, y las adaptaciones realizadas a este para resolver un problema multi-objetivo Modied-Bacterial Foraging Optimization Algorithm (MBFOA) MBFOA es un algoritmo propuesto en [47] derivado del BFOA [56] en el cual se implementan varios mecanismos que permiten que el algoritmo pueda resolver problemas de optimización mono-objetivo con restricciones de diseño en ingeniería y química [54]. Los mecanismo del MBFOA son las siguientes: 1. Un sólo ciclo para incluir el ciclo quimiotáctico, la reproducción y eliminacióndispersión. 57

68 El ciclo de generaciones es controlado por el parámetro GMAX en el cual las bacterias realizan su ciclo quimiotáctico. Después de ésto se lleva a cabo una sola reproducción y una eliminación-dispersión dentro de un mismo ciclo de generación. En el paso de eliminación-dispersión sólo se elimina a la peor bacteria de la población. 2. Tamaño de paso diferente para cada variable de diseño. El tamaño de paso C(i) para cada variable de decisión x i es denido considerando los límites inferior y superior L i y U i usando la ecuacion 5.1 C new (i) = R ( x i / n) (5.1) Donde C new es el tamaño de paso que, en este caso, ya no está denido por el usuario, x i es la diferencia U i L i, n es el número de variables en el problema de optimización y R es el porcentaje del total del tamaño de paso a ser usado, un tamaño de paso inicial pequeño suele ser conveniente en optimización restringida, conclusiones que se reportan en [47]. En este mismo proceso se asegura que los elementos en x (variables de diseño) no rebasen sus límites establecidos L i x i U i, i = 1,..., n, mediante el siguiente módulo: Si x i <Li entonces: Si x i >Ui entonces: x i = 2L i x i (5.2) x i = 2U i x i (5.3) 3. Mecanismo para manejar las restricciones del problema basado en las reglas de factibilidad de Deb [23] usadas en el proceso quimiotáctico (especicamente en el nado) y reproducción que se representan como sigue: a) Entre dos soluciones factibles, aquella con el mejor valor de la función objetivo es seleccionada. 58

69 b) Entre una solución factible y otra no factible, la factible es seleccionada. c) Entre dos soluciones no factibles, aquella con la menor suma de violación de restricciones es seleccionada. La suma de violación de restricciones se calcula con la siguiente fórmula: m+p i=1 max(0, g i ( x)) (5.4) 4. Comunicación entre las bacterias y la mejor bacteria de la población de una generación. En ciertas iteraciones del ciclo quimiotáctico (a la mitad y al nal) se permite que cada bacteria de la población se oriente y nade orientada por la mejor bacteria de la población (efecto de swarming) calculado como se indica en la ecuación 5.5: θ i (j + 1, G) = θ i (j, G) + F (θ B (G) θ i (j, G)) (5.5) Donde θ i (j + 1, G) es la nueva posición de la bacteria i, θ B (G) es la actual posición de la mejor bacteria en la generación G hasta ahora y F es un parámetro llamado factor de escalamiento, el cual regula qué tan cerca estará la bacteria i de la mejor bacteria B. Los pasos restantes en el ciclo quimiotáctico serán realizados como se indica en la siguiente ecuación 5.6: θ i (j + 1, G) = θ i (j, G) + C (new) (i)φ(i) (5.6) El MBFOA tiene menos parámetros que el BFOA original. Éstos se describen en la Tabla Pseudocódigo del MBFOA El pseudocódigo del MBFOA es presentado en la tabla 5.2, en la cual se detallan los mecanismos antes mencionados. 59

70 Nombre Símbolo Descripción Bacterias S b Número de soluciones en la población (bacterias). Generaciones GMAX Número de generaciones que se ejecutará el procedimiento quimiotáctico, de reproducción y eliminación-dispersión. Pasos quimiotáctico N c Número de veces que cada bacteria en la población podrá nadar o girar. Reproducción S re Número de bacterias a reproducirse. Escalamiento F Factor de escalamiento que determina cuánto avanzará una bacteria hacia la mejor bacteria de la población. Tamaño de paso R Porcentaje del tamaño de paso que una bacteria avanzará durante su ciclo quimiotáctico. Tabla 5.1: Descripción de los parámetros del MBFOA Descripción del pseudocódigo del MBFOA Siguiendo los pasos mostrados en el pseudocódigo del MBFOA de la Tabla 5.2, se describe el proceso que se realiza durante su ejecución teniendo como entrada un problema de optimización. 1. En primer lugar se inicializan los parámetros con los que trabajará el algoritmo, los parámetros a inicializar son número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, número de bacterias a reproducir S re, factor de escalamiento F, porcentaje de tamaño de paso R y el número de generaciones GMAX. 2. Se procede a generar una población aleatoria de bacterias θ i (j, G) i, i = 1,..., S b, el tamaño de la población permanece constante durante toda la ejecución del algoritmo. 3. Posteriormente se evalúa cada una de las bacterias f(θ i (j, G)) i, i = 1,...S b, es decir, se sustituye en la función objetivo del problema a resolver los valores de las variables de la bacteria en proceso. Ésto se realiza para cada una de 60

71 Pseudocódigo del MBFOA Begin Inicialización de parámetros Generar una población inicial aleatoria θ i (j, G) i, i = 1, S b Evaluar f(θ i (j, G)) i, i = 1, S b For G=1 to GMAX Do For i=1 to S b Do For j=1 to N c Do Realizar el paso quimiotáctico (giro-nado o giro-giro) para la bacteria θ i (j, G) usando las reglas de factibilidad y las Ec.5.6 y 5.5 End For End For Realizar el paso de reproducción para la eliminación de S re (mitad) peores bacterias y duplicar la otra mitad, basado en las reglas de factibilidad. Eliminar a la peor bacteria θ w (j,g) de la población, basado en las reglas de factibilidad y generar una nueva aleatoriamente. End For End Tabla 5.2: MBFOA. Los parámetros de entrada son el número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, número de bacterias a reproducirse S re, factor de escalamiento F, porcentaje del tamaño de paso R y el número de generaciones GMAX. las bacterias en la población. 4. Se incrementa en 1 el ciclo de generaciones hasta el número máximo establecido en los parámetros, en cada ciclo de generación se llevará a cabo para cada una de las bacterias el proceso quimiotáctico N c veces y una reproducción y eliminación-dispersión de la población de bacterias como a continuación se detalla. 5. Para cada bacteria se realiza el ciclo quimiotáctico N c veces (establecido en los parámetros inicializados). En el cada una de las bacterias inicia su búsqueda, nadando y avanzando hacia una nueva posición si la dirección de búsqueda aleatoria genera una mejor solución; o girando para generar una 61

72 nueva dirección de búsqueda porque su avance no fue favorable en la búsqueda de nutrientes (el valor de la función objetivo no mejora en el nuevo punto al cual se habían dirigido), en ambos casos se utilizan las ecuaciones 5.5 y 5.6 y las reglas de factibilidad antes descritas. 6. Se realiza el proceso de reproducción, en el se reproducen a S re (usualmente la mitad del total de las bacterias) de las mejores bacterias y se elimina a la otra mitad, basados en las reglas de factibilidad. 7. Se realiza el proceso de eliminación-dispersión en este se elimina únicamente a la peor bacteria de la población θ w (j, G), con base en las reglas de factibilidad y se genera una nueva bacteria aleatoriamente. 8. Se realiza otra vez el proceso desde el paso número 4 hasta cumplir con el número máximo de generaciones Algoritmo de Optimización del Forrajeo de Bacterias Modicado para problemas Multi-Objetivo (MOMBFOA) El MOMBFOA es una adaptación del MBFOA con el propósito, en primer lugar, de resolver problemas multi-objetivo con restricciones y, segundo, de mejorar su desempeño en la búsqueda de soluciones en el espacio restringido del problema multi-objetivo, en particular el problema del TVC descrito en la sección 3.3 del capítulo 3. Dicho caso de estudio es dinámico debido a que una de sus restricciones es dinámica (g 1 4). Esta restricción se debe evaluar a lo largo de la trayectoria que describe el mecanismo de cuatro barras, es decir, el intervalo de tiempo que se utiliza para evaluar esta restricción y los ángulos θ 3 y θ 4 es el tiempo que tarda en completar una revolución la manivela del mecanismo de cuatro barras. Resolver problemas multi-objetivo implica cambios en diferentes mecanismos como los siguientes: el criterio de selección, uso de elitismo y el manejo de diversidad en el espacio de las soluciones (población), éstos cambios permiten que se logre el primer propositó del MOMBFOA. 62

73 El criterio de selección. El criterio más utilizado hoy en día para resolver problemas multi-objetivo es la dominancia de Pareto (vista en la sección 2 de este documento) el cual será el utilizado por MOMBFOA como criterio de selección. Sin embargo, se combinará con las reglas de factibilidad de Deb[23] para dirigir la búsqueda hacia frentes de Pareto factibles. El uso de elitismo. A diferencia del concepto de elitismo en optimización global, que consiste en almacenar la mejor solución obtenida hasta el momento, para el caso multi-objetivo se requiere de almacenar el conjunto de soluciones no-dominadas en un archivo externo como se propuso originalmente en [63] y [41]. Para MOMBFOA se propone usar un archivo externo que almacene únicamente soluciones factibles no dominadas. El contenido de dicho archivo será el que se reporte como resultado de la ejecución de MOMBFOA al cumplirse la condición de paro. El manejo de diversidad en el espacio de las funciones. Además de mantener la diversidad de soluciones en el espacio de las variables como en el caso de optimización mono-objetivo, se requiere de manejar diversidad en el espacio de las funciones objetivo. Una de las técnicas más populares es el uso de la distancia de aglomeramiento (crowding distance) [25]. En él, se preeren aquellas soluciones que estén más dispersas en el espacio de las funciones objetivo con el objetivo de encontrar soluciones en todo este espacio. A continuación en la tabla 5.3 se muestra el pseudocódigo para calcular la distancia de aglomeramiento. extender el frente de Pareto y lograr encontrar y abarcar con soluciones factibles la mayor parte del espacio objetivo Implementación de mecanismos al MBFOA para resolver problemas multi-objetivos Se aplicarón al MBFOA los mecanismos mencionados en esta sección (criterio de selección, uso de elitismo y manejo de diversidad), el proceso de implementación se llevó a cabo mediante una serie de experimentos, los cuales 63

74 Pseudocódigo del cálculo de la distancia de aglomeramiento Entrada: Archivo externo A a,b=size(a) //Guardar tamaño del archivo externo For all (i A) do A[i] dist =0 //Iniciar distancia en 0 end for For all φ t do A=burbuja(A,φ t ) //Ordenar A descendentemente de acuerdo a φ t A[i] dist =A[a]= //Asignar a los valores extremos For i=2 to a-1 do //Calcular distancia A[i] dist = A[i] dist + A[i 1] dist,φ t A[i+1] dist,φ t A[1],φ t A[a],φ t end for end for Tabla 5.3: Pseudocódigo para calcular la distancia de aglomeramiento. A[1] es el valor máximo de la t-ésima función y A[a] es su valor mínimo. Size() es una función de Matlab que devuelve el tamaño de las y columnas de una matriz. consisten en hacer versiones del MBFOA con los mecanismos mencionados y asi mejorar el desempeño del algoritmo para resolver el problema del TVC. En todos los experimentos se ejecuto 10 veces el MBFOA, los parámetros de ejecución fueron diferentes entre los experimentos, solo se reporta la mejor combinación de parámetros que permite que el algoritmo obtenga soluciones competitivas. Los parámetros de ejecución fueron ajustados de acuerdo al comportamiento del algoritmo donde se busca que el algoritmo obtenga un conjunto grande y distribuido de soluciones factibles no dominadas con un costo computacional moderado Versiones del MBFOA Las versiones del MBFOA son el resultado de las adaptaciones y modicación de mecanismos al algoritmo para resolver el problema PODMR. Cabe mencionar que las versiones del algoritmo fueron de manera incremental, es decir, de acuerdo al comportamiento y análisis de los resultados del algoritmo al 64

75 experimentar con adaptaciones y modicaciones realizadas a este. 1.- El primer experimento (versión 1 del MBFOA) fue llevado a cabo probando al MBFOA tal cual se conoce, los parámetros fueron los mismo encontrados en [47], sólo se adaptó para que pudiera evaluar más de un objetivo, ya que el problema del TVC tiene dos funciones objetivo. El resultado de este experimento fue sólo una solución factible al problema, debido a que el algoritmo hace que las bacterias se dirijan a la mejor bacteria de la población en cada generación provocando que al nal del algoritmo todas las bacterias se coloquen en una sola posición del espacio de búsqueda. Este comportamiento se deriva del proceso de reproducción, donde la mitad de las mejores bacterias son duplicadas, es decir, se colocan en la misma posición del espacio de búsqueda a dos bacterias para que inicien su búsqueda a partir de allí para la siguiente generación lo cual no permite que se exploren otras partes del espacio de búsqueda. Derivado de estos resultados y del comportamiento del algoritmo se ópto por eliminar el proceso de reproducción para el siguiente experimento, aunque posteriormente se analizó la forma en cómo incluir este proceso de nuevo al algoritmo. 2.- El segundo experimento (versión 2 del MBFOA) consistió en probar al MOMBFOA sin proceso de reproducción y la aplicación de cruza intermedia en el algoritmo, además de incluir el uso del archivo externo, el concepto de distancia de aglomeramiento y la adaptación del ciclo quimiotáctico. La cruza intermedia es un proceso llevado a cabo en los algoritmos evolutivos el cual consiste en generar dos nuevas soluciones a partir de la combinación de dos soluciones ya existentes la cuales se combinan intercambiando alguno de los valores de sus variables, el resto de las variables de la solución es generada aleatoriamente dentro del rango permitido de las variables, este proceso corresponde a hacer mutaciones en este caso de las bacterias. Una de las características de cruza intermedia es que garantiza que las mutaciones sean generadas dentro del rango de las variables del problema [35]. El archivo externo es usado sólo para almacenar las soluciones factibles no dominadas encontradas en cada generación. A este archivo se le aplica el concepto de distancia de aglomeramiento y es ordenado de manera descendente 65

76 para ser usado en el proceso quimiotáctico. La idea original del MOMBFOA es que en el ciclo medio y último del proceso quimiotáctico las bacterias se dirigen en un cierto porcentaje a la posición de la mejor bacteria de la población, para este experimento, las bacterias se dirigen a la mejor bacteria de la población pero con respecto a la distancia de aglomeramiento en el ciclo medio y último. Este experimento se realizó en dos etapas, la primera consistió en utilizar la cruza intermedia cada 10 generaciones durante la ejecución del algoritmo, donde se aplicaba cruza intermedia a cada par de bacterias que conformaban el archivo externo para hacer más grande dicho archivo y tener un frente más distribuido y poblado. La segunda etapa del experimento consistió en aplicar cruza intermedia al nal de la ejecución del algoritmo, es decir, al archivo externo nal, donde se hacía cruza intermedia solo a las soluciones con mejor distancia de aglomeramiento (extremos del frente de Pareto). Para ambas etapas del experimento se utilizaron lo parámetros de la tabla 5.4. Parámetros Valor Bacterias 200 Generaciones 80 Ciclo quimiotáctico 20 Factor de escalamiento 1.2 Tamaño de paso Tabla 5.4: Parámetros para el experimento 2 El frente de Pareto obtenido por MOMBFOA en el experimento de la etapa 1 fue muy pobre en soluciones debido a que las soluciones generadas con la cruza intermedia violaban restricciones. El 70 % de las ejecuciones del algoritmo llegaba a su n y no se obtenian soluciones factibles, el 30 % restante de las ejecuciones en promedio generaba 3 soluciones factibles por ejecución del algoritmo, en la gura 5.1 se presenta el frente de Pareto de las soluciones factibles encontradas por este experimento. 66

77 Figura 5.1: Frente de Pareto obtenido del experimento 2 etapa 1 Para la etapa 2 de este experimento, se aplico cruza intermedia al nal de la ejecución del algoritmo, especicamente a los extremos del archivo externo resultante debido a que se buscaba una mejor distribución del frente de Pareto. En este experimento, el 50 % de las ejecuciones del algoritmo generaban soluciones factibles. El frente de Pareto de esta etapa se muestra en la gura 5.2. Aunque el frente es uniforme, distribuido y con mayor número de soluciones, la mayoría de las soluciones allí presentadas son soluciones no factibles y esto es debido a la cruza intermedia aplicada al nal de cada ejecución del algoritmo. Para ambos casos, aunque la cruza intermedia garantiza que las variables de las mutaciones estén dentro del rango de las variables del problema esto no garantiza que las soluciones sean factibles para el problema que estamos resolviendo, ya que las restricciones del problema son muy sensibles y el valor de las variables generadas en las mutaciones no se complementan entre ellas, es decir, el vector de variables aunque esta dentro del rango no genera una solución factible (se violan las restricciones). En la gura 5.3 se presenta un promedio de soluciones factibles no dominadas generadas por generación de las ejecuciones realizadas en la etapa 2 de este experimento. Podemos observar como el algoritmo obtiene un conjunto de soluciones que al nal, las soluciones de los extremos del frente, son duplicadas por el uso de la cruza intermedia en este experimento. Sin embargo, 67

78 Figura 5.2: Frente de Pareto obtenido del experimento 2 etapa 2 estas soluciones generadas por la cruza son no factibles. 3.- En el tercer experimento (versión 3 del MBFOA), se ejecuto al MOMB- FOA sin cruza intermedia y proceso de reproducción, quedando solo el uso del archivo externo, el concepto de distancia de aglomeramiento y el mismo proceso quimiotáctico donde las bacterias se dirigían a la mejor bacteria con respecto a la distancia de aglomeramiento con el objetivo de tener una mejor diversidad en el espacio de funciones objetivo, es decir, dirigir a las bacterias hacia uno de los dos extremos (superior o inferior) del frente de Pareto que se forma con las soluciones factibles no dominadas encontradas en el archivo externo. Se realizaron varias calibraciones de los parámetros del algoritmo, dando la mejor combinación de parámetros los presentados en la tabla 5.5 y el frente de Pareto obtenido se muestra en la gura 5.4. Aunque el frente obtenido es más distribuido, uno de los inconvenientes de estos resultados era que de las 10 ejecuciones del algoritmo el 40 % de ellas no encontraba ninguna solución factible, es decir, el algoritmo se terminaba de ejecutar y no lograba generar soluciones factibles no dominadas, sin embargo la suma de violación de restricciones de cada bacteria era menor comparado con los resultados de las versiones anteriores, lo cual nos hizo pensar que el algoritmo requería de mayor tiempo de exploración en el espacio de búsqueda y que era necesario aplicar el proceso de reproducción pero con menor presencia, estas conclusiones son el motivo del cuarto y último experimento. 68

79 Figura 5.3: Número promedio de soluciones factibles por generación sobre 10 corridas independientes en la etapa 2 del experimento 2 de la adaptación del algoritmo MBFOA Parámetros Valor Bacterias 200 Generaciones 80 Ciclo quimiotáctico 18 Factor de escalamiento 1.2 Tamaño de paso Tabla 5.5: Parámetros para el experimento 3 En la gura 5.5 se observa el número promedio de soluciones factibles no dominadas generadas por cada generación del algoritmo en este experimento. Como podemos observar el algoritmo genera pocas soluciones pero de manera incremental conforme el paso de las generaciones. 4.- El cuarto experimento (versión 4 del MBFOA) consistió en volver a combinar distintos valores para los parámetros del MOMBFOA y se incluyó el proceso de reproducción de bacterias. Durante la ejecución del algoritmo con diversos valores en los parámetros, se observo que los ciclos 15 y 20 del proceso quimiotáctico permitian obtener mejores resultados. Los parámetros nales 69

80 Figura 5.4: Frente de Pareto obtenido del experimento 3 Figura 5.5: Número promedio de soluciones factibles por generación sobre 10 corridas independientes del experimento 3 de la adaptación del algoritmo MBFOA 70

81 Figura 5.6: Frente de Pareto obtenido del experimento 4 de este experimento se muestran en la tabla 5.6. También se hicieron multiples combinaciones de valores para el parámetro del número de bacterias a reproducir, se ejecutó el algoritmo reproducciendo 10, 5, 3, 2 y 1 bacteria donde la mejor opción era reproducir solo una bacteria, en este caso la mejor de la población, ya que si se reproducian más bacterias el algoritmo no obtenia mejores resultados y el frente de Pareto era muy pobre con respecto al número de soluciones. Se realizaron las corridas independientes con esta versión del algoritmo y todas las ejecuciones encontraron un conjunto de soluciones factibles no dominadas, las cuales son presentadas en la gura 5.6 que presenta el frente de Pareto nal de este experimento. Parámetros Valor Bacterias 200 Generaciones 125 Ciclo quimiotáctico 20 Factor de escalamiento 1.7 Tamaño de paso Tabla 5.6: Parámetros para el experimento 4 71

82 Los resultados de este experimento son altamente competitivos y factibles, el número de evaluaciones son 500, Adaptaciones a los mecanismos propios del MB- FOA Derivado de los experimentos realizados, aparte de los mecanismos implementados, se relizaron las siguientes tres adaptaciones a los mecanismos propios del MBFOA que a continuación se describen, las cuales estan presenten en la versión 4 del MBFOA. El mecanismo de comunicación entre las bacterias y la mejor bacteria de la población de una generación es modicado. El mecanismo de comunicación descrito en el punto 4 de la sección 5.1 se modica de manera que ahora la mejor bacteria será aquella con el mejor (mayor) valor de la distancia de aglomeramiento (para cálculo de la distancia de aglomeramiento de cada solución se usa el pseudocódigo de la tabla 5.3). El proceso, que aplicará en las iteraciones 15 y 20 del ciclo quimiotáctico, se realiza como sigue: Si existen soluciones dentro del archivo externo se calcula la nueva posición de la bacteria i, usando el efecto de swarming con la Ecuación 5.7: θ i (j + 1, G) = θ i (j, G) + F (θ BCr (G) θ i (j, G)) (5.7) Donde θ i (j +1, G) es la nueva posición de la bacteria i, θ BCr es la actual posición de una de las bacterias con mejor Crowding de la generación G seleccionada del archivo externo, esto con el n de propiciar la diversidad en el espacio de las soluciones y F es el factor de escalamiento. Si no existen soluciones dentro del archivo externo se calcula la nueva posición de la bacteria con la Ecuación 5.5. Los pasos restantes en el ciclo quimiotáctico se realizan siguiendo los mismos criterios que MBFOA, usando la ecuación

83 Actualización del archivo externo. Cuando las bacterias comienzan su búsqueda el archivo externo se encuentra vacio, éste es llenado cuando las bacterias encuentran la región factible, es decir, cuando las soluciones no violan restricciones (es decir, no se almacenan en él soluciones no factibles). El archivo externo es actualizado después de cada generación, donde se introducen las soluciones factibles. Dentro de este archivo se realiza una vericación de dominancia de Pareto (solo quedan soluciones no dominadas y se eliminan aquellas dominadas) y se evalúa la distancia de aglomeramiento de cada bacteria, obteniendo con ello que el archivo externo quede ordenado de forma descendente con referencia a la distancia de aglomeramiento. Ésto facilita la elección de las soluciones usadas en el proceso quimiotáctico, ya que se utilizan las soluciones no dominadas con mejor valor de la distancia de aglomeramiento y así favorecer a la diversidad en el espacio de las funciones objetivo. El mecanismo de reproducción es menos frecuente : en este caso solo se reproduce una bacteria en cada generación la cual es la mejor de toda la población (mejor con respeto a dominancia de Pareto). El motivo de reproducir el mínimo de bacterias es debido a que se pierde diversidad al reproducir un número elevado de bacterias en cada generación. La reproducción consiste en posicionar en el mismo lugar a varias bacterias, para el caso de optimización mono-objetivo ésto es muy favorable ya que sólo se trata de encontrar una solución al problema, pero para el caso de problemas multi-objetivo pudiera tener el efecto contrario, pues se busca un conjunto de soluciones, todas óptimas de Pareto, al problema Pseudocódigo del MOMBFOA Con base en las adaptaciones realizadas al MBFOA para resolver problemas multi-objetivo, a continuación se presenta en la tabla 5.7 el pseudocódigo resultante Descripción del pseudocódigo MOMBFOA A continuación se describe el pseudocódigo del MOMBFOA presentado en la Tabla 5.7 teniendo como entrada un PODMR. 73

84 Pseudocódigo MOMBFOA Begin Inicialización de parámetros Generar una población inicial aleatoria θ i (j, G) i, i = 1, S b Evaluar φ t (θ i (j, G)) i, i = 1, S b, t = 1, F o For G=1 to GMAX Do For i=1 to S b Do For j=1 to N c Do Realizar el paso quimiotáctico (giro-nado o giro-giro) para la bacteria θ i (j, G) usando las reglas de factibilidad, concepto de dominancia de Pareto y las Ec.5.6 y 5.7 End For End For c,f=size(archivoext) //Guardar tamaño actual del archivo externo For i=1 to S b Do If θ i (j, G) es factible archivoext[c+1]=θ i (j, G) end If end For * Vericación de dominancia de Pareto(archivoExt) * Calcular distancia de aglomeramiento(archivoext) * Realizar el paso de reproducción para la eliminación de la ante penúltima peor bacteria y duplicar la mejor bacteria, basado en las reglas de factibilidad y el concepto de dominancia de Pareto. * Eliminar a la peor bacteria θ w (j,g) de la población, basado en las reglas de factibilidad y el concepto de dominancia de Pareto, y generar una nueva aleatoriamente. End For End Tabla 5.7: MOMBFOA. Los parámetros de entrada son el número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, factor de escalamiento F, porcentaje del tamaño de paso R y el número de generaciones GMAX. Donde F o corresponde al numero de funciones objetivo. Size() es una función de Matlab que devuelve el tamaño de las y columnas de una matriz. 74

85 1. Se inicializan los parámetros con los que trabajará el algoritmo, los cuales son número de bacterias S b, límite del paso quimiotáctico N c, factor de escalamiento F, porcentaje de tamaño de paso R y el número de generaciones GMAX. 2. Se procede a generar una población aleatoria de bacterias θ i (j, G) i, i = 1,..., S b, el tamaño de la población permanece constante durante toda la ejecución del algoritmo. 3. Se evalúa cada una de las bacterias φ t (θ i (j, G)) i, i = 1, S b, t = 1, F o, donde cada bacteria es sustituida en cada una de las funciones objetivo y restricciones del problema. 4. Se incrementa en 1 el contador de generaciones que correrá hasta el número máximo establecido en los parámetros, En cada generación se llevará a cabo para cada una de las bacterias el proceso quimiotáctico N c veces, un proceso de reproducción y un proceso de eliminación-dispersión en la población de bacterias. 5. Para cada bacteria se realiza el ciclo quimiotáctico N c veces (establecido en los parámetros inicializados), en el cual cada una de las bacterias inicia su búsqueda, nadando y avanzando hacia una nueva posición si la dirección de búsqueda aleatoria genera una mejor solución; o girando para generar una nueva dirección de búsqueda si su avance no fue favorable en la búsqueda de nutrientes, es decir no se obtuvo una solución (posición de la bacteria) factible no dominada, en ambos casos se utilizan las ecuaciones 5.6 y 5.7, así como las reglas de factibilidad y el concepto de dominancia de Pareto. 6. Una vez terminado el ciclo quimiotáctico el archivo externo es actualizado con soluciones factibles encontradas por las bacterias, las cuales son sometidas al concepto de dominancia de Pareto y se evalúa su distancia de aglomeramiento y así obtener el archivo externo ordenado de manera descendente en referencia a la distancia de aglomeramiento, que será utilizada en la proxima generación por el ciclo quimiotáctico. 7. Se realiza el proceso de reproducción, donde sólo se reproduce la mejor bacteria y se elimina a la ante penúltima bacteria de acuerdo a las reglas de 75

86 factibilidad y el concepto de dominancia de Pareto. 8. Se realiza el proceso de eliminación-dispersión en el cual se elimina únicamente a la peor bacteria de la población θ w (j, G), basados en la reglas de factibilidad y se genera una nueva bacteria aleatoriamente. 9. Se realiza otra vez el proceso desde el paso número 4 hasta cumplir con el número máximo de generaciones. 76

87 Capítulo 6 Resultados En esta sección se discuten los resultados obtenidos por MOMBFOA los cuales se obtuvieron con la versión 4 del MBFOA la cual fue la más estable y obtuvo resultados competitivos. Los resultados son comparandos con dos algoritmos encontrados en la literatura especializada, el NSGA-II [26] el cual es uno de los más conocidos para resolver problemas multi-objetivo y hace uso del concepto de dominancia por capas y distancia de aglomeramiento, y una versión del Evolución Diferencial (ED) [45] para resolver problemas multi-objetivo que hace uso de elitismo y distancia de aglomeramiento. Los tres algoritmos a comparar hacen uso de la distancia de aglomeramiento para el manejo de diversidad en el espacio de las funciones objetivo. El valor de los parámetros de inicialización de NSGA-II son: población 100, generaciones 5000, porcentaje de cruza 0.8 y porcentaje de mutación 0.3. Para el algoritmo ED el valor de los parámetros de inicialización son: población 100, generaciones 5000, constante de recombinación aleatorio [0.8, 1], y por último los valores para MOMBFOA son los presentados en la tabla 5.6 los cuales son: población de bacterias 200, generaciones 125 y ciclos quimiotácticos Diseño experimental Los resultados obtenidos por MOMBFOA serán comparados con los resultados obtenidos de la implementación del ED y NSGA-II a través de las métrica Two Set Coverage y Hypervolumen descritas a continuación. 77

88 Two Set Coverage Metric [64]. Esta métrica compara la cobertura de dos conjuntos de soluciones de los vectores A'y A. La métrica de cobertura C(A',A) calcula el número de soluciones en A que son dominadas por soluciones de A': C(A, A ) = a A a A : a a A (6.1) El valor de la métrica C(A',A)=1 signica que todos las soluciones de A son dominadas por A'. Por otra parte, C(A',A)=0 signica que ninguna solución de A es dominada por A'. Cabe mencionar que el operador de dominancia no es simétrico, es decir, C(A',A) no es igual que 1-C(A',A)=1, por lo que es necesario calcular por ambas métricas C(A',A) y C(A,A'). Hypervolume (Hv) [65]. Esta métrica mide el volumen del espacio objetivo que es cubierto por el conjunto de soluciones (Q). Para cada solución i Q se construye un hipercubo (rectángulo) v i con un punto de referencia W. El punto de referencia puede ser el valor máximo de cada función objetivo (problema multi-objetivo). La unión de cada hipercubo es el Hv y se calcula de la siguiente manera: Hv = ( Q i=1v i ) (6.2) Donde un mayor Hv signica que Q ocupa mayor espacio objetivo. En la Figura 6.1 se presenta el frente ltrado obtenido de los algoritmos ED, NSGA-II y MOMBFOA al resolver el problema del TVC, cada uno ejecuto 10 corridas independientes con 500,000 evaluaciones, en ésta gura se observa que ED es quien encuentra soluciones en un área más grande del espacio de soluciones que los otros dos algoritmos, aunque MOMBFOA domina gran parte de las soluciones de ED. Las soluciones encontradas por NSGA-II quedan en un espacio que es dominado por ED y MOMBFOA esto es debido al proceso de cruza y mutación del algoritmo no ayuda en el proceso de búsqueda de mejores soluciones para este problema. En el experimento 2 de la sección se aplicó cruza intermedia al MOMBFOA lo cual generaba muchas soluciones pero la mayoría de ellas eran no factible y esto ocurre con el NSGA-II lo cual no permite que haya una mayor exploración y explotación 78

89 del espacio de búsqueda. Figura 6.1: Frente de Pareto de cada uno de los algoritmos En el apartado de Anexos se presentan las soluciones del frente ltrado de cada uno de los algoritmos en las guras correspondientes Análisis de comportamiento del MOMB- FOA para satisfacer a la restricción dinámica y generar soluciones factibles y no dominadas En esta sección se presenta un análisis de comportamiento del MOMBFOA con respecto a la satisfacción de la restricción dinámica del problema y la generación de soluciones factibles y no dominadas. El análisis es derivado de la ejecución de 10 corridas independientes del algoritmo. 1. El primer análisis es sobre el comportamiento del MOMBFOA para satisfacer solo la restricción dinámica del problema, en la Figura 6.2 se 79

90 muestra el comportamiento del algoritmo (promedio de las 10 ejecuciones) en la cual se puede observar que entre las primeras 5 generaciones más de la mitad de la población satisface la restricción dinámica, esto tiene un costo de alrededor de las 20,000 evaluaciones. Entre las generaciones 6-40 (antes de 160,000 evaluaciones) el 90 % de la población satisface la restricción dinámica, y el último 10 % de la población logra satisfacer la restricción dinámica entre las generaciones 41 a 125 (entre 164, 000 y 500, 000 evaluaciones). Podemos deducir que MOMBFOA es rápido para satisfacer la restricción dinámica del problema, sin embargo, esta no es la única restricción del problema y este comportamiento no reeja la capacidad del algoritmo para generar soluciones factibles. Figura 6.2: Número promedio de soluciones que satisfacen la restricción dinámica por generación sobre 10 corridas independientes 2. El segundo análisis consistió en observar el comportamiento del MOMB- FOA para generar soluciones factibles (soluciones que no violen ninguna restricción), en la Figura 6.3 se presenta el comportamiento del algoritmo (promedio de las 10 ejecuciones) donde se observa un proceso incremental constante del algoritmo para generar soluciones factibles al problema, sin embargo, este proceso es más lento con respecto al comportamiento del análisis de satisfacción de la restricción dinámica. Analizando la Figura 6.3 a partir de la generación 22 (alrededor de 88,000 evaluaciones) es cuando la mitad de la población es factible y es 80

91 entre las generaciones 81 y 125 (entre 324,000 y 500,000 evaluaciones) cuando la población entera es factible. Figura 6.3: Número promedio de soluciones factibles por generación sobre 10 corridas independientes 3. Por último, el análisis de comportamiento del MOMBFOA (promedio de las 10 ejecuciones) para generar soluciones factibles no dominadas las cuales son almacenadas en el archivo externo del algoritmo por cada generación. En la Figura 6.4 se observa que el algoritmo también presenta un comportamiento incremental pero en este caso el número de soluciones factibles no dominadas es pequeño. Entre las primeras 20 generaciones (80,000 evaluaciones) sólo 6 soluciones factibles no dominadas son almacenadas en el archivo externo, para el resto de las generaciones en promedio otras 6 soluciones más son almacenadas, dando en total un aproximado de 12 soluciones factibles no dominadas almacenadas en el archivo externo por ejecución del algoritmo. Cabe mencionar que el problema que se está resolviendo es del mundo real y es muy difícil encontrar soluciones factibles no dominadas. Derivado de estos análisis de comportamiento del MOMBFOA, se observa que el mecanismo para el manejo de restricciones es también eciente para restricciones en ambientes dinámicos, se tiene una rápida inserción de bacterias en la región factible del problema en un número 81

92 Figura 6.4: Número promedio de soluciones factibles no dominadas por generación sobre 10 corridas independientes aproximado de 80,000 evaluaciones dicha propiedad resulta atractiva para diseñadores ya que es un costo mínimo de evaluaciones. Por otra parte, el comportamiento incremental del algoritmo en sus tres análisis muestra que MOMBFOA es capaz de encontrar soluciones factibles no dominadas con un costo computacional moderado. Los resultados de las 10 corridas independientes del MOMBFOA con las cuales se generó el frente de Pareto son comparados y analizados en las siguientes secciones Resultados comparados con la métrica Two set coverage A continuación se presentan las estadísticas obtenidas al aplicar las métricas Two set coverage a los resultados obtenidos de ED, MOMBFOA y NSGA-II, se coloca en negritas el mejor resultado. Cabe mencionar que se comparó cada uno de los frentes obtenidos en las 10 corrida de un algoritmo contra cada uno de los frentes obtenidos del algoritmo que se compara, esto con el n de conocer que algoritmo es mejor con respecto al número de soluciones 82

93 que domina y al área que ocupa del espacio objetivo. En la tabla 6.1 se presentan las estadísticas obtenidas por la métrica Two set coverage. Algoritmos Mejor Media Mediana Desv. Est. Peor U Mann de Whitney MOMBFOA-NSGA-II NSGA-II-MOMBFOA ED-NSGA-II NSGA-II-ED MOMBFOA-ED ED-MOMBFOA = Tabla 6.1: Estadísticas de la métrica Two set coverage. Desv. Est.: Desviación estándar. El signo : Si existe diferencia signicativa. El signo =: No existe diferencia signicativa. Para esta métrica Two set coverage el valor óptimo es 1. Observamos que NSGA-II es dominado por ED y MOMBFOA. En el caso de comparación de MOMBFOA-ED y ED-MOMBFOA ambos algoritmos presentan buenos resultados, aunque ED es quien obtiene el valor óptimo, analizando los valores del mejor, media, mediana y desviación estándar del MOMBFOA observamos que no hay una diferencia a simple vista de los algoritmo, por esta razón se aplicó una prueba para determinar si existe una diferencia signicativa de los resultados entre los algoritmos. Para conocer que prueba se tiene que aplicar a los resultados de los algoritmos ED y MOMBFOA primero se tiene que conocer si será una prueba paramétrica o no paramétrica, para ello se aplicó la prueba Kolmogorov-Smirnov [27] para determinar si los valores (resultados de algoritmos) se ajustan a la normal, dando como resultado que los valores no se ajustan a la normal. Por lo tanto, la prueba será no-paramétrica, en este caso se aplicó la prueba U Mann de Whitney o Wilcoxon [27] de la cual se muestra el resultado obtenido en esta misma tabla en la última columna. De acuerdo a los resultados de la prueba U Mann de Whitney, para la métrica Two set coverage no existe una diferencia signicativa entre los algoritmos ED y MOMBFOA. Para la comparación de ED-NSGA-II y MBFOA-NSGA- 83

94 II y viceversa hay una diferencia signicativa a favor de MOMBFOA y ED respectivamente Resultados comparados con la métrica Hypervolume En la tabla 6.2 se presentan las estadísticas obtenidas por la métrica Hypervolume, donde el valor de la media representa el área que puede un algoritmo cubrir del espacio objetivo. El punto de referencia para calcular el área fueron (0,0.7). Algoritmos Mejor Media Mediana Desv.Est. Peor ED NSGA-II MOMBFOA Tabla 6.2: Estadísticas de la métrica Hypervolume. Desv. Est.:Desviación estándar En la métrica Hypervolume se observa que ED y MOMBFOA obtienen mejores resultados que NSGA-II por que el valor de la media es mayor lo cual quiere decir que cubren mayor espacio objetivo. Comparando a ED y MOMBFOA se observa que es ED quien cubre un mayor espacio objetivo. Sin embargo no se sabe si hay una diferencia signicativa entre los resultados de los algoritmos ED y MOMBFOA, para lo cual, se aplicó la misma prueba que en el caso de la métrica Two set coverage porque los valores de ambos algoritmos no se ajustan a la normal. Los resultados de la prueba se presentan en la tabla 6.3 De acuerdo al resultado de la prueba para la métrica Hypervolume, si existe una diferencia signicativa al comparar los algoritmos y ED es quien ocupa un mayor espacio objetivo con respecto a NSGA-II y MOMBFOA. El segundo algoritmo en ocupar un mayor espacio objetivo es MOMBFOA y por último, NSGA-II. 84

95 Algoritmo ED NSGA-II MOMBFOA ED + + NSGA-II - - MOMBFOA - + Tabla 6.3: Identicando al mejor algoritmo con la prueba U Mann de Whitney con muestra de la métrica Hypervolume. El signo : Si existe una diferencia signicativa. El signo =: No existe una diferencia signicativa. El signo + identica al mejor algoritmo, el signo - identica al peor algoritmo de la comparación Calidad de los resultados Calidad: El mejor resultado obtenido por cada algoritmo. Calidad en los resultados con la métrica Two set coverage: se tomarán los valores de la columna 2 de la tabla 6.1. ED obtiene el mejor resultado cuando es comparado con NSGA-II y MOMBFOA. MOMBFOA sólo obtiene un mejor resultado cuando es comparado con NSGA-II. NSGA-II no obtiene ningún resultado competitivo. Aunque ED obtiene resultados competitivos, la prueba no paramétrica determinó que no existe una diferencia signicativa entre el algoritmo ED y MOMBFOA, es decir, ambos algoritmos obtienes buenos resultados. Calidad en los resultados con la métrica Hypervolume: se tomarán los valores de la columna 2 de la tabla 6.2. ED obtiene el mejor resultado, MOMBFOA se coloca en la segunda posición y por último, NSGA-II. 85

96 6.6. Consistencia de los resultados Consistencia: El valor en la media y su desviación estándar. Valores de la media cercanos al mejor valor obtenido y desviaciones estándar cercanas a cero demuestran una mejor consistencia del algoritmo. Consistencia en los resultados con la métrica Two set coverage: se tomarán los valores de la columna 5 de la tabla 6.1. ED y MOMBFOA obtienen una desviación estándar nula cuando es comparado con respecto a NSGA-II. MOMBFOA obtiene mejor consistencia al ser comparado con ED. Aunque MOMBFOA es más consistente, la prueba no paramétrica determinó que no existe una diferencia signicativa entre el algoritmo ED y MOMB- FOA, es decir, no se puede decir que un algoritmo es mejor que otro. Consistencia en los resultados con la métrica Hypervolume: se tomarán los valores de la columna 5 de la tabla 6.2. MOMBFOA obtiene el mejor resultado, ED se coloca en una segunda posición y por último, NSGA-II Resultados comparados desde el punto de vista mecánico Debido a las comparaciones anteriores donde no se observa una diferencia signicativa del algoritmo ED y MOMBFOA, el espacio de las funciones objetivo se analizó desde el punto de vista de Ingeniería Mecánica para poder concluir acerca de soluciones que ofrecen ventajas en la etapa de construcción de dicho mecanismo. En la Fig. 6.5 se puede observar que las soluciones que se encuentran en el rango de (0.4, 0.8) y (0.3, 0.5) para las funciones φ 1 y 86

97 φ 2 respectivamente, favorecen la construcción del mecanismo y presentan un mejor desempeño tanto para la generación de movimiento (φ 1 ) como para la calidad de funcionamiento del mecanismo (φ 2 ) según los conocimientos del ingeniero en el diseño del TVC. Los tres algoritmos proveen soluciones factibles en este rango, pero son las soluciones del MOMBFOA que son factibles no dominadas. Las soluciones que se en encuentran en el rango, establecen una dimensión del eslabón de salida (x 4, ver columna 4 de las tablas de resultados de cada algoritmo en Anexos) mayor de 0.1m, lo que en principio permite una capacidad mayor de soportar esfuerzos de exión y permite una mayor capacidad de transmisión de energía entre la entrada y la salida del sistema. Figura 6.5: Localizando al mejor espacio objetivo En la tabla 6.4 se encuentra una solución de cada algoritmo que esta dentro del rango que favorece la construcción del mecanismo del TVC. Dichas soluciones fueron probadas con un programa que simula el movimiento del mecanismo de cuatro barras del TVC. La entrada al programa es el vector de variables de decisión x 1, x 2, x 3, x 4 y x 5. Desde el punto de vista mecánico, el ángulo θ 4 debe tener un desplazamiento alrededor del eje vertical. Esto es, tomando como referencia un ángulo de 90 se debe tener una variación positiva y negativa de dicho ángulo, al mismo 87

98 Algoritmo x 1 /m x 2 /m x 3 /m x 4 /m x 5 /rad ED NSGA-II MOMBFOA Tabla 6.4: Soluciones de cada algoritmo dentro del rango que favorece la construcción del TVC tiempo el ángulo γ debe oscilar en el eje horizontal alrededor de un valor de 90 para impulsar con mayor fuerza a la barra donde está el ángulo θ 4 y generar un movimiento óptimo. En el caso del ángulo θ 4 la variación tiene como límites los valores de 45 y 45, es decir, entre 135 y 45 con respecto al eje horizontal; en el caso del ángulo de γ el valor mínimo que puede tener para el buen funcionamiento del mecanismo es de 45. Los anteriores valores son los que se establecieron en las restricciones de diseño del mecanismo descrito en el capítulo 3. El resultado de probar las soluciones de la tabla 6.4 en el simulador se presenta en la Figura 6.6. Aunque todos los algoritmos obtienen soluciones factibles de construir y con ángulos que permiten un movimiento adecuado para cada una de las barras del TVC, la solución más competitiva es aquella donde la onda tiene una mayor amplitud ( radianes como límite) y no excede los límites establecidos ( 45 por debajo del punto de desplazamiento y 45 por encima del punto de desplazamiento). En cada una de las ondas de la gura 6.6 colocamos el punto de desplazamiento de θ 4 que es de 90 ( radianes) representada con una línea azul horizontal con una altura de radianes como punto de referencia para comprobar que los ángulos del mecanismo sean factibles. A partir del punto de referencia, la onda debe oscilar entre 45 y 45, es decir, al punto de referencia le sumamos 45 y este será la amplitud máxima de la onda que en radianes equivale a ( ), por consiguiente, la onda debe descender hasta radianes que resulta de restarle al punto de referencia 45 (líneas rojas punteadas horizontales). Como podemos observar es la onda de MOMBFOA quien presenta una ma- 88

99 Figura 6.6: Graco resultante del simulador del comportamiento del mecanismo de cuatro barras del TVC con una solución del ED, MOMBFOA y NSGA-II dentro del rango que favorece la construcción del mecanismo yor amplitud para el caso de θ 4, es decir, se encuentra sobre 2.0 radianes. La onda desciende a una profundidad que esta sobre 1.0 radianes. Con respecto a γ aunque los algoritmos ED y MOMBFOA son similares en dicho ángulo, por amplitud en el ángulo θ 4 MOMBFOA es mejor. En la gura 6.7 se presenta un Diseño Asistido por Computadora del TVC. Dicho diseño es una presentación real de como se verá construido el sistema TVC. 89

100 Figura 6.7: Diseño Asistido por Computadora del TVC 90

101 Capítulo 7 Conclusiones En este trabajo se adaptó el algoritmo del forrajeo de las bacterias modicado (MBFOA) para resolver un problema de optimización dinámico multiobjetivo con restricciones (PODMR). El sistema de transmisión de variación continua (TVC) es un problema real del área de Mecatrónica que fue resuelto en este trabajo con el MOMBFOA versión del MBFOA. Éste problema tiene como característica que es dinámico desde el punto de vista computacional ya que una de sus restricciones (g 14 ) al ser evaluada en diferentes tiempos con los mismos valores de las variables el resultado es diferente. Los mecanismos aplicados al MBFOA para lograr el objetivo de este trabajo fueron: uso del concepto de Dominancia de Pareto como criterio de selección, uso de un archivo externo para almacenar soluciones factibles no dominadas como mecanismo de elitismo y el uso de distancia de aglomeramiento (Crowding distance) para el manejo de diversidad en el espacio de las funciones. Además de estos se realizaron adaptaciones a los mecanismos propios del MBFOA, en el caso del mecanismo de comunicación entre las bacterias y la mejor bacteria de la población en una generación, donde se determina que la mejor bacteria es aquella que tiene una mejor distancia de aglomeramiento la cual es llamada en el ciclo 15 y 20 del ciclo quimiotáctico, esto para expandir el frente y por ende, tener mayor diversidad de soluciones. Para el proceso de reproducción solo se reproduce a la mejor bacteria de la población en cada generación para no perder diversidad. Estas modicaciones y adaptaciones fueron aplicadas a MBFOA en diversos experimentos, dando como resultado al MOMBFOA, el cual es un algoritmo 91

102 capaz de resolver un problema PODMR. Los resultados de MOMBFOA para el problema del TVC fueron comparados con una versión del algoritmo de evolución diferencial (ED) y el NSGA-II ambos algoritmos capaces de resolver problemas multi-objetivos, teniendo en común los tres algoritmos a comparar el uso del mecanismo de distancia de aglomeramiento para el manejo de diversidad en el espacio de las funciones objetivo. Cabe mencionar que los tres algoritmos se ejecutaron 10 veces con 500, 000 evaluaciones cada ejecución. Como parte de los resultados se analizó el comportamiento de MOMBFOA para satisfacer la restricción dinámica del problema, de lo cual se observó que el algoritmo es rápido ya que más de la mitad de la población en las primeras 5 generaciones del algoritmo satisfacían dicha restricción. Por otra parte, se analizó el comportamiento del algoritmo para generar soluciones factibles dando como resultado un comportamiento incremental constante más suave que el análisis para satisfacer a la restricción dinámica, y por último, el análisis de comportamiento para generar soluciones factibles no dominadas, donde el algoritmo presentó también un comportamiento incremental pero más lento que en los dos análisis previos debido a que el problema a optimizar es muy complejo y por ende, es difícil encontrar soluciones factibles no dominadas. Los resultados de MOMBFOA también fueron comparados y analizados con las métricas Two set coverage y Hypervolume, dando como resultado que ED y MOMBFOA obtenían mejores resultados que NSGA-II, pero al comparar ED y MOMBFOA las métricas no son concretas para decir si un algoritmo es mejor que otro, por lo tanto, se analizaron exhaustivamente los resultados de los algoritmos desde el punto Mecatrónico donde las soluciones encontradas por MOMBFOA permite una mayor capacidad de transmisión de energía entre la entrada y la salida del sistema lo cual permite un mejor movimiento del TVC, por lo tanto, MOMBFOA es quien encuentra las soluciones de mejor rendimiento. Como trabajos futuros se espera usar al MOMBFOA para resolver otros problemas reales multi-objetivos, por otra parte, se analizará el proceso quimiotáctico enfocado en la relación entre el operador de nado y giro. Se experimentará con el proceso de eliminación-dispersión aplicando una probabilidad de que la dispersión sea aleatoria o con dirección a la mejor solución a la mejor bacteria de la población en la generación. Todo esto con el objetivo de que el 92

103 algoritmo sea capaz de encontrar un conjunto de soluciones con mucha diversidad y abarcar extensamente el espacio objetivo del problema a resolver. 93

104 Capítulo 8 Anexo 94

105 Figura 8.1: Soluciones del frente ltrado de MOMBFOA 95

106 Figura 8.2: Soluciones del frente ltrado de ED parte 1 96

107 Figura 8.3: Soluciones del frente ltrado de ED parte 2 97

108 Figura 8.4: Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte 1 98

109 Figura 8.5: Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte 2 99

110 Figura 8.6: Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte 3 100

111 Figura 8.7: Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte 4 101

112 Figura 8.8: Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte 5 102

113 Figura 8.9: Soluciones del frente ltrado de NSGA-II parte 6 103