Algoritmo de Fleury. por. Ramón Espinosa Armenta

Transcripción

1 Algoritmo de Fleury por Ramón Espinosa Armenta El siguiente algoritmo, debido a Fleury (191), permite construir un circuito Euleriano en un multigrafo Euleriano. Algoritmo Fleury (G) Entrada. Un multigrafo Euleriano G. Salida. Un paseo P en G. 1. Elegir un vértice arbitrario v 1 V. Definir P 0 = (v 1 ), G 0 = G.. Si el paseo P k = (v 1, e 1, v,..., e k 1, v k ) ha sido construido, elegir e k E(G k 1 ) tal que (i) e k incide con v k. (ii) a menos que no haya otra elección e k no es un puente de G k 1. Si no existe tal k alto.. Definir P k := (P k 1, e k, v k+1 ), donde v k+1 es el otro extremo de e k. Definir G k := G k 1 e k. 4. Devolver P := P k. Ejemplo 1. Utilizar el algoritmo de Fleury para construir un paseo en el grafo: v v 1 v 4 v 5 v Solución. Comencemos con el vértice v 1. La arista v 1 v no es un puente, por lo que podemos elegir e 1 = v 1 v. La siguiente figura muestra el grafo G 1 = G e 1. 1

2 v v 1 v 4 v 5 v La arista v v 5 no es un puente, por lo que podemos elegir e siguiente figura muestra el grafo G = G 1 e. = v v 5. La v v 1 v 4 v 5 v La arista v 5 v es un puente, pero no tenemos otra elección posible, por lo que definimos e = v 5 v. La siguiente figura muestra el grafo G = G e La arista v v no es un puente, por lo que podemos elegir e 4 siguiente figura muestra el grafo G 4 = G e 4. = v v. La

3 1 4 5 A partir de aquí es claro que debemos elegir e 5 = v v 5, e 6 = v 5 v, e 7 = v v 1. De esta manera el paseo está descrito por la sucesión de vértices: P = (v 1, v, v 5, v, v, v 4, v, v 1 ). Teorema 1. Si G es un multigrafo Euleriano, y P es un paseo construido por el algoritmo de Fleury, entonces P es un circuito Euleriano. Demostración. Sea P = (v 1, e 1, v,..., e r, v r ) un paseo construido por el algoritmo de Fleury. Claramente el grado de v r en G r = G {e 1,..., e r } es cero, porque si no fuera así el algoritmo no se habría detenido. Cada vértice distinto de v 1 y v r es incidente con un número par de aristas de P r, por lo que también tiene grado par en G r. Si v r v 1 entonces cada vez que aparece v 1 en P r después de la primera vez debe ser como vértice interior, de modo que d Gr (v r ) debe ser impar. Entonces v r es el único vértice de grado impar en G r lo cual no es posible. La contradicción surgió de suponer que v r v 1, por lo que v r = v 1 y P r es un paseo cerrado. Supongamos ahora que P r no es un circuito Euleriano y sea S = {v V (G r ) d Gr (v) > 0}. Por lo tanto S es no vacío y v 0 = v r T = V S. Sea k el mayor entero tal que v k S y v k+1 T. Como P r termina en T, e k+1 es la única arista en G k = G {e 1,..., e k } con un extremo en S y un extremo en T. Por lo tanto e k+1 es un puente en G k. Sea e cualquier otra arista en G k incidente con v k. Por lo tanto e debe ser un puente de G k y por lo tanto también de G k [S]. Pero como G k [S] = G r [S], cada vértice en G k [S] es de grado par, lo cual no es posible, pues G k [S] no tiene puentes. Por lo tanto P r es un circuito Euleriano.

4 El problema chino del cartero Cada día laboral, un cartero sale de la oficina postal y recorre todas las calles de su zona para entregar el correo y luego regresa a la oficina postal. El cartero desea encontrar la ruta que le permita caminar lo menos posible. El problema anterior es conocido como el problema chino del cartero, pues fue propuesto en 196 por el matemático chino Kuan 1. En términos matemáticos el problema es el siguiente: Sea G un multigrafo conexo y sea c : E(G) R, con c(e) 0 para toda e E(G). Hallar un camino cerrado: W = v 1 e 1 v... e r v r+1 que pase por todas las aristas de G y tal que c(w ) = r c(e r ) i=1 sea mínima. Si G es Euleriano entonces un circuito Euleriano es una solución óptima para el problema, en otro caso algunas aristas se recorren más de una vez, por ejemplo, en el grafo: a b 1 d c un camino óptimo es a, b, c, a, d, a, aquí la arista {a, d} se recorre dos veces. Si duplicamos esta arista obtenemos el grafo Euleriano: 1 M. K. Kuan (196). Graphic programming using odd or even points. Chinese Math., 1,

5 a b 1 d c Esta observación nos conduce a plantear el siguiente problema. Dado un grafo conexo G y una función no negativa c : E(G) R, hallar, duplicando aristas, un multigrafo Euleriano G tal que c(e) sea lo más pequeña posible. e E(G ) E(G) Observemos que un circuito Euleriano en G es una solución óptima para el problema chino del cartero. En 197 Edmonds y Johnson diseñaron un algoritmo polinomial para resolver el problema chino del cartero, sin embargo su solución es demasiado complicada para ser presentada aquí. Ejercicios 1. Utiliza el algoritmo de Fleury para hallar un circuito Euleriano en el grafo: J. Edmonds y E. L. Johnson. (197). Matching, Euler tours and the Chinese postman. Math. Programming, 5,

6 . Resuelve el problema chino del cartero para el grafo: Determina la complejidad computacional del algoritmo de Fleury. 6