Temas. Objetivo. Definición de autómata finito. Autómata finito determinístico y no determinístico. Autómata finito de estados mínimos 14:17

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Belén Martin Caballero
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2 Tems Definición de utómt finito Autómt finito determinístico y no determinístico Autómt finito de estdos mínimos Ojetivo Que el estudinte logre: 1) Identificr conceptos constructivos de l Teorí de l utómts. 2) Definir utómts finitos. 3) Aplicr los lgoritmos pr convertir AFND AFD y pr otener un AFD de estdos mínimos. 1

3 Autómt Dispositivo mecánico cpz de procesr cdens de símolos. Ddo un lenguje L definido sore un lfeto A y un cden x ritrri, determin si x L o x L. Un utómt tiene dos posiles recciones: Cden x Autómt SI Ls hilers son reconocids o ceptds NO Ls hilers son rechzds por el utómt Lenguje 2

3 Ls grmátics proporcionn un método pr generr

lenguje se hn descripto utómts de vrios tipos.

restringids Lengujes Irrestrictos o recursivmente

sensiles l contexto Lengujes sensiles l contexto

de contexto Lengujes lires de contexto (Tipo 2)

4 3 Ls grmátics proporcionn un método pr generr cdens de un lenguje y pr reconocer cdens de un lenguje se hn descripto utómts de vrios tipos. GRAMÁTICAS LENGUAJES AUTÓMATAS Grmátics no restringids Lengujes Irrestrictos o recursivmente enumerles (Tipo 0) Máquins de Turing Grmátics sensiles l contexto Lengujes sensiles l contexto (Tipo 1) Autómts ligdos linelmente Grmátics lires de contexto Lengujes lires de contexto (Tipo 2) Autómts de pil Grmátics regulres Lengujes regulres (Tipo 3) Autómts finitos

5 Un utómt finito (AF) es un modelo de computción muy restringido, sin emrgo tiene un grn plicción en reconocimiento de ptrones. Es un dispositivo strcto que posee un número finito de estdos. Un AF cuent con un cint de entrd, un cez lector y un unidd de control (puede estr en un estdo en un instnte ddo). 4

6 5 Un AF es un quíntupl A =(Q,,, q 0, F) Q es un conjunto finito y no vcío de estdos es un lfeto finito (símolos de entrd) es un función de trnsición : Q x Q q 0 Q es el símolo de inicio F Q es el conjunto de estdos finles

7 6 Digrm de trnsición Un estdo Estdo de inicio Estdo de ceptción Un trnsición EJEMPLO q 0 A = ({q 0, q 1 ), {, },, q 0, {q 0, q 1 }) con: (q 0,) = q 0 (q 0, ) = q 1 (q 1,) = q 1 L(A) = { n m / n,m 0} q 1

8 Tl de trnsición En cd fil se coloc un estdo y se usn ls columns pr los símolos de entrd. En l intersección de fil y column se coloc el conjunto de estdos que pueden ser lcnzdos por un trnsición del estdo con l entrd. A veces, se utiliz un vector uxilir cuyos elementos son los distintos estdos finles. EJEMPLO A = ({q 0, q 1 ), {, },, q 0, {q 0, q 1 }) con: (q 0,) = q 0 (q 0, ) = q 1 (q 1,) = q 1 Tl de Trnsición q 0 q 0 q 1 q q 1 q 0 q 1 L(A) = { n m / n,m 0} Estdos Finles q 0 q 1 7

9 L trnsición direct define trnsiciones de estdos deido l procesmiento de un símolo de entrd, por ejemplo, (q 0,) = q 1. L función de trnsición se puede extender e que define trnsiciones de estdos (múltiples) deido l procesmiento de un hiler de símolos de entrd. Cso se: (q, )=q Inducción: e(q,x)= ( e(q,x),) L función de trnsición extendid es un proyección: Ejemplo e : Q x * Q q 0 q 1 e (q 0,)= ( e (q 0,),)= ( ( (q 0,),),)= ( (q 0,),)= (q 1,)= q 1 8

10 9 Un utómt finito A =(Q,,,q 0,F) cept un hiler x * si A, lee todos los símolos de x, comenzndo en el estdo q 0, leyendo primero el símolo de l izquierd hst que se pre en un estdo finl. Un lenguje reconocido por un utómt se define: L(A)= x * / e (q 0,x) F Los lengujes ceptdos por AF son los regulres.

Q 2 Q lfeto conjunto de estdos Extensión de cdens ( : Q * 2 Q ) Es decir, un proyección de prejs (estdo, símolo de

11 AF determinístico (AFD): si pr todo (q,) Q x, (q,) 1. Un AFD tiene lo sumo un trnsición desde cd estdo. AF No determinístico (AFND): conjunto de estdos finles F Q estdo inicil, q 0 Q A = (Q,,, q 0, F) función de trnsición : Q 2 Q lfeto conjunto de estdos Extensión de cdens ( : Q * 2 Q ) Es decir, un proyección de prejs (estdo, símolo de entrd) suconjuntos de Q en vez de elementos individules de Q. (q,) > 1. Más de un función de trnsición pr el símolo desde el estdo q

12 L = {xyz / x,z {0,1}*, y {00,11}} ER= (0/1)* (00/11) (0/1)* 0,1 q 0 0,1 0 q 1 0 q 2 1 q 3 1 A = ({q 0, q 1, q 2, q 3 ), {0,1},, q 0, {q 2 }) con: (q 0,0) = {q 0, q 1 } (q 3,0) = (q 0, 1) = {q 0, q 3 } (q 3, 1) = {q 2 } (q 1,0) = {q 2 } (q 1,1) = (q 2, 0) = {q 2 } (q 2,1) = {q 2 } En los Autómts Finitos, todo se puede resolver con un Autómt Finito Determinístico. TEOREMA: Se L un lenguje ceptdo por un AFND. Entonces existe un AFD que cept el mismo lenguje L. L(AFND) = L(AFD)

PROCEDIMIENTO DE CONVERSIÓN DE AFND A AFD: 1) Se especificn ls funciones de trnsición. 2) Si (q 0,) = q 0,q 1,,q n '(q 0,) = q 01.

.. (q n,) 4) Se determin el conjunto F' de estdos finles q 01... n F' q 0 F q 1 F... q n F con F y F' conjunto de estdos finles de A y A'.

01 = q 01 '(q 01,) = (q 0,) (q 1,) = q 012 = q 012 '(q 012,) = (q 0,) (q 1,) (q 2,) = q 01 = q 01 '(q 012,) = (q 0,) (q 1,) (q 2,) = q 012

13 PROCEDIMIENTO DE CONVERSIÓN DE AFND A AFD: 1) Se especificn ls funciones de trnsición. 2) Si (q 0,) = q 0,q 1,,q n '(q 0,) = q n, con A' 3) Se otienen ls funciones de trnsición pr los nuevos estdos donde: '(q n,) = (q 0,) (q 1,)... (q n,) 4) Se determin el conjunto F' de estdos finles q n F' q 0 F q 1 F... q n F con F y F' conjunto de estdos finles de A y A'. A = ({q 0,q 1,q 2 }, {,},,q 0, {q 2 }) q 0 q 1 q 2 Se otienen ls funciones de trnsición pr los nuevos estdos: '(q 01,) = (q 0,) (q 1,) = q 01 = q 01 '(q 01,) = (q 0,) (q 1,) = q 012 = q 012 '(q 012,) = (q 0,) (q 1,) (q 2,) = q 01 = q 01 '(q 012,) = (q 0,) (q 1,) (q 2,) = q 012 =q 012 (q 0,) = {q 0, q 1 } '(q 0,) = q 01 (q 1,) = {q 0, q 1, q 2 } '(q 1,)= q 012 (q 0,) = (q 1,) = (q 2,) = (q 2,) = A = ({q 0,q 01,q 012 }, {,},, q 0, {q 012 }) q 0 q 01 q

14 Procedimiento pr encontrr un AFD de estdos mínimos: 1) Se cre un estdo trmp pr quells funciones de trnsición no definids. Ls funciones de trnsición del estdo trmp tmién se definen. 2) Se construye un mtriz tringulr superior. Se mrc con un X los estdos no equivlentes. Inicilmente se mrcn ls entrds correspondientes un estdo finl y un estdo no finl, que son no equivlentes. 3) Pr cd pr de estdos p y q ún no mrcdos se prue si por trnsitividd son tmién no equivlentes. Pr cd símolo de entrd, se considern los pres de estdos: r = (p,) s = (q,) Si l entrd (r,s) en l tl tiene un X tmién se coloc un X en l entrd (p,q). Si l entrd (r,s) no está ún mrcd entonces el pr (p,q) se uic en l list de esper. Más delnte, si (r,s) recie un X entonces cd pr en l list de esper socid con (r,s) tmién recie un X. 4) Todos los estdos no mrcdos son equivlentes. Se construye el utómt finito determinístico de estdos mínimos equivlente l ddo

15 14 14 A = ({1,2,3,4,5,}, {,},, 1, {2,3,5}) (1,) = 1 (1,) = 2 (2,) = 4 (2,) = 3 (3,) = 4 (3,) = 3 (4,) = 5 (4,) = (5,) = (5,) = 5 1) Se cre un estdo trmp pr ls trnsiciones no especificds: (4,) = T (5,) = T (T,) = T (T,) = T / T 4 5

16 2) Se construye l mtriz tringulr superior y se mrcn los estdos no equivlentes / T T 1 X X X 2 X X 3 X X 4 X 5 X 15 15

17 3) Pr cd pr de estdos p y q ún no mrcdos se prue si por trnsitividd son tmién no equivlentes T 1 X X X X X 2 X X X 3 X X X 4 X X 5 Son X equivlentes / T 4 5 Se intent mrcr (1,4) (1,) = 1 (1,5) con X (4,) = 5 Se mrc (1,4) Se intent mrcr (2,5) (2,) = 4 (2,) = 3 (5,) = T (5,) = 5 List de esper Se intent mrcr (1,T) (1,) = 1 (1,) = 2 (T,) = T (T,) = T Se intent mrcr (2,3) (2,) = 4 (2,) = 3 (3,) = 4 (3,) = 3 (2,T) con X Se mrc (1,T) Se intent mrcr (4,T) (4,) = 5 (5,T) con X (T,) = T Se mrcn (4,T), (2,5) Se intent mrcr (3,5) (3,) = 4 (3,) = 3 (5,) = T (5,) =

18 17 17 Los estdos 2 y 3 que no están mrcdos significn que son equivlentes. Autómt inicil / T 4 5 Autómt de Estdos Mínimos

19 Permiten relizr cálculos prtir de un cden de entrd, o se, trducen un cden de entrd en un cden de slid. x Autómt Finito Trductor x Un AFD es un 7-upl Lenguje Regulr A =(Q,,, q 0, F,O, ) Q,,, q 0, F coinciden con l definición de utómts finitos. O es un conjunto finito de símolos de slid. es l función (posilemente prcil) de slid : Q x O* En l representción gráfic de un trductor finito, el vlor de se greg como un nuevo rótulo sore los rcos. Se (q, ) = q' y (q, ) = y O*; entonces y rotuln el rco que conect q y q'

20 Función de trducción pr cdens L extensión nturl de, * : Q x * O* se define: *(q, ) = *(q, x) = *(q, x). ( e * (q, x), ) L diferenci entre y * es que se define desde un estdo y un símolo del lfeto, y * se define desde un estdo y un cden de símolos. EJEMPLO: Autómt finito trductor que clcul f(x) = 2x + 3 pr x N, x > 0, x representdo en unrio. x=1 trduce x=2 trduce A = ({q 0, q 1 ), {1},, q 0, {q 1 }, {1}, ) con: q q 1 (q 0,1) = q 1 (q 1,1) = q 1 (q 0,1)=11111 (q 1,1)=

21 Autómt Finito Autómt Finito Determinístico Alg. pr convertir Autómt Finito No Determinístico Autómt Finito de Estdos Mínimos Métodos Autómt Finito Expresiones Regulres Grmátics Regulres Importnci Práctic: se usn pr los Anlizdores Léxicos

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