Desde el lunes 3 de septiembre de 2007, en todo el país, debutaron las nuevas patentes vehiculares únicas:

Transcripción

1 Técnicas de conteo Unidad 6 Desde el lunes 3 de septiembre de 2007, en todo el país, debutaron las nuevas patentes vehiculares únicas: La nueva placa patente única está disponible en todas las oficinas del Registro Civil y apunta a tener una mayor cantidad de combinaciones posibles, porque tiene cuatro letras y dos dígitos, a diferencia de las anteriores, que tenían dos letras y cuatro dígitos, dijo el ministro de Justicia, Carlos Maldonado. Para sus nuevas combinaciones no se utilizarán vocales, para evitar la formación de palabras, ni las consonantes Ñ y Q, que se pueden confundir con la letra N y el número cero, respectivamente. (Fuente: publicado en septiembre de 2007) ANALICEMOS... Cuántas patentes distintas se podían construir con el sistema anterior? Cuántas patentes se podrán construir con el nuevo diseño?, en cuál de los casos hay más patentes? Es lo mismo la patente BC1234 que la patente CB1234?, por qué? Una forma de calcularlo sería escribir una a una todas las combinaciones, por ejemplo, la primera sería BBBB00 y, luego BBBB01, BBBB02, BBBB03 y así sucesivamente. Aunque no son infinitas, pues sabemos que la última es ZZ9999, sí se demoraría un buen rato escribir cada combinación para luego contarlas. Entonces cómo calcular cuántas patentes son? Esto se puede resolver utilizando las técnicas de conteo, que nos permiten contar, y son especialmente útiles cuando la cantidad de posibilidades es muy grande. Observa otras situaciones, que ejemplifican las técnicas de conteo: Martín tiene mucha sed y quiere comprar algo para beber. En el almacén hay cuatro tipos de bebidas y dos tipos de jugos. Cuántas opciones tiene Martín? Como puede tomar bebida o jugo, entonces tiene = 6 opciones. Este es un ejemplo de la regla de la suma, que dice lo siguiente: Supón que un evento tiene m posibilidades de suceder y que otro evento tiene n posibilidades. Entonces hay m + n maneras de que ocurra un evento o el otro. Datos y Azar 235

2 Ingrid almuerza en el casino de la fábrica. Todos los días hay dos variedades de entrada y cuatro de platos de fondo. Cuántos menús distintos puede escoger? En este caso, hay un evento que sucede antes que otro. En situaciones como esta, dibujar un diagrama de árbol como el siguiente puede ser muy útil: Entradas Platos de fondo Platos de fondo Al contar las ramas de la segunda etapa del árbol, se cuenta cuántos posibles menús hay. Observa que, por otra parte, 8 = 2 4. Este es un ejemplo de la regla del producto, que dice lo siguiente: Supón que un evento tiene m posibilidades de suceder y otro evento tiene n posibilidades. Entonces hay m n maneras de que ocurran ambos eventos simultáneamente. En el caso de las patentes, primero se eligen letras y, luego, números, y como ocurren simultáneamente, se aplica la regla del producto. También podríamos utilizar el diagrama de árbol, pero con 20 letras este sería demasiado grande. Otra técnica es utilizar casilleros como se muestra a continuación: En cada casillero se ubica la cantidad de posibilidades en cada caso. Las cuatro primeras corresponden a las letras y las dos últimas a los números. Los valores asignados a cada casillero, en este caso, se pueden repetir. Entonces se tienen = posibles patentes. 236 Unidad 6

3 Unidad 6 Otro ejemplo: hay ocho personas postulando a una empresa para ocupar las vacantes de cuatro puestos distintos. De cuántas maneras se puede hacer la selección final?, dos?, cuatro? Observa Para el primer puesto, se puede escoger entre las ocho personas, pero para el segundo puesto se debe escoger entre siete personas, pues una de ellas ya está asignada al puesto anterior y no se puede repetir. Luego, hay = formas de seleccionar a los postulantes. ( ) Ahora, la expresión = = ( ) A esta expresión al denotaremos por P 4 8 y representa el número de permutaciones que se pueden hacer con cuatro elementos seleccionados de ocho elementos distintos. Se llama permutación a una secuencia ordenada de elementos. Si no importa el orden, solo los elementos que componen un conjunto o grupo, entonces se habla de combinación. n! se lee n factorial y corresponde al producto de todos los números naturales menores o iguales que n. Es decir, n! = n (n 1) (n 2) 1 En general, el número de permutaciones de k elementos que pueden ser construidas a partir de n elementos distintos se denota por P k = (n k)! Si, en cambio, los cuatro puestos disponibles fueran equivalentes, de cuántas maneras se pueden seleccionar? Ya sabemos que hay = formas de seleccionarlos, pero como ahora no importa el orden y existen maneras de ordenar 4 elementos, luego hay = 70 formas de seleccionar a los postulantes. El número 8 se denota por C 4. En general, el número de combinaciones de k elementos que pueden ser construidas a partir de n elementos distintos se denota por C k = k!(n k)! y se conoce como número combinatorio. Datos y Azar 237

4 EN TU CUADERNO 1. Calcula el número de patentes que se podrían formar con tres letras y tres dígitos. 2. De cuántas maneras pueden sentarse cinco personas en una fila de ocho sillas? 3. Un cargamento de cajas de manzanas contiene 20 cajas. De estas, hay tres cajas que están malas. El supervisor realiza el control de calidad del cargamento seleccionando dos cajas. a. De cuántas maneras puede seleccionarlas? b. De cuántas maneras puede seleccionar una caja mala y una caja buena? 4. Los números de teléfono de la empresa tienen un prefijo seguido de cuatro cifras, como por ejemplo 678-XXXX. La empresa necesita instalar teléfonos. Tendrá números suficientes para asignar uno diferente a cada teléfono? 5. Cuántas sumas de dinero diferentes se pueden hacer con una moneda de $ 5, una de $ 10, una de $ 50 y una de $ 100 utilizando siempre al menos una moneda? 6. Determina cuántas palabras de k letras (considera k < 5) se pueden formar con las letras a, b, c, d y e, de modo que: a. no se repita ninguna letra. b. la letra c aparezca solo una vez y las otras letras se puedan repetir. c. la letra c aparezca al menos una vez y las otras letras se puedan repetir. 7. Para la misma cantidad de elementos, hay más permutaciones que combinaciones o al revés? EN RESUMEN Las técnicas de conteo permiten determinar el número de casos posibles de un determinado evento. Si un evento tiene m posibilidades y otro evento tiene n posibilidades, entonces: hay m + n maneras de que ocurra un evento o el otro (regla de la suma). hay m n maneras de que ocurran ambos eventos simultáneamente (regla del producto). Una permutación es una secuencia ordenada de elementos. En general, hay P k = maneras de ordenar k elementos que se pueden seleccionar de (n k)! n elementos distintos. Una combinación es un conjunto de elementos en que solo importa cuáles son sus elementos, no su orden. En general hay C k = combinaciones de k elementos que pueden ser construidas a partir k!(n k)! de n elementos distintos. 238 Unidad 6

5 Regla de Laplace Unidad 6 Hace algunos años, el Loto se jugaba escogiendo 6 números de un total de 36. Después, esto cambió, ahora se escogen 6 números, pero de un total de 39. ANALICEMOS... Qué crees tú, es más probable acertar a 6 números de 36 o a 6 de 39? En el juego del Loto, importa el orden en que se sortean los números? Cuál es el total de formas posibles de escoger 6 números de 36?, y en el caso de escoger 6 de 39? Se define el evento A: ganarse el Loto seleccionando 6 números de 36, y el evento B: ganarse el Loto seleccionando 6 números de 39. Para determinar el total de resultados, en el primer caso, se deben seleccionar 6 números de un total de 36. Como el orden, en este caso, no importa, lo que se necesita calcular es el número de combinaciones de 6 elementos elegidos de un total de 36, es decir, C C 36 36! 36! 6 = = = ! (36 6)! 6! 30! Es decir, hay formas de elegir 6 números de 36. En el segundo caso, se necesita calcular el número de combinaciones de 6 elementos elegidos de un total de 39, es decir, C C 39 39! 39! 6 = = = ! (39 6)! 6! 33! Es decir, hay maneras de elegir 6 números de 39. Si solo se juega una vez, esto significa que estaríamos eligiendo solo una de las posibles combinaciones. Por otra parte, se asume que todos los números tienen la misma probabilidad de ser seleccionados, entonces: P(A) = 1 5, P(B) = 1 3, Luego, es más probable ganarse el Loto eligiendo 6 números de 36 que 6 de 39. RECUERDA QUE... Un experimento es aleatorio cuando: Se puede repetir indefinidamente pudiéndose obtener resultados distintos en cada repetición. En cada prueba se obtiene un resultado que pertenece al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Antes de realizar una nueva prueba del experimento no se puede predecir el resultado que se obtendrá. RECUERDA QUE... El número de combinaciones de k elementos seleccionados de un total de n elementos es: C k n = n! k!(n-k)! Probabilidad: posibilidad de que un suceso ocurra o no. Se asigna un valor entre 0 y 1. Regla de Laplace: la probabilidad de un suceso se calcula como el cuociente entre los casos favorables y los casos posibles. Datos y Azar 239

6 EN TU CUADERNO 1. Si se creara un nuevo Loto, donde se elijan 6 números de 42, cuál será la probabilidad de ganar con este nuevo Loto? 2. En una baraja de naipe inglés, calcula la probabilidad de que al sacar cinco cartas, se obtenga: a. cinco cartas de igual pinta. b. cuatro cartas de igual valor. c. tres cartas de un valor y dos de cualquier otro valor. 3. En una bolsa se colocan bolitas marcadas con todos los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún dígito. a. Cuántas bolitas hay al interior de la bolsa? b. Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número par? c. Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número menor que ? d. Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número que termine en 1 ó en 5? 4. Cinco mujeres y cinco hombres compran diez asientos consecutivos de una fila del teatro. Si eligen al azar dónde sentarse, calcula la probabilidad de que: a. hombres y mujeres se sienten en sillas alternadas. b. todas las mujeres se sienten juntas. 5. Dos dígitos se eligen al azar del 1 al 9. Si la suma es par, calcula la probabilidad de que ambos números sean impares. 6. Cinco cartas, marcadas 1, 2, 3, 4 y 5, son sacadas aleatoriamente y colocadas en una fila. Evalúa la probabilidad de los siguientes eventos. a. Que la carta 1 aparezca en la primera posición. b. Que la carta 1 sea seguida inmediatamente por la carta 2. c. Que haya exactamente tres cartas que coincidan con su posición en la fila. EN RESUMEN De acuerdo a la regla de Laplace, la probabilidad de un evento A está dada por: P(A) = número de resultados favorables al evento número total de resultados La condición necesaria para aplicar esta regla es que el espacio muestral asociado al experimento sea equiprobable. Cuando usamos esta regla para calcular probabilidades, las técnicas de conteo resultan de mucha utilidad. 240 Unidad 6