1 Primeras aproximaciones a la integral de una función cuadrática

Transcripción

1 Cátedra de Matemática Matemática Hoja : Aproximacioes a la itegral Facultad de Arquitectura Uiversidad de la República Primer semestre Defiirlaitegralcomoelárea bajo u gráfico os efreta al problema de calcular áreas de diversos cojutos del plao. E esta secció vamos a tratar de discutir u método bastate geeral para hacerlo. Cosideraremos primero ejemplos muy simples, siempre sobre el mismo itervalo [, ]. Luego geeralizaremos los métodos para fucioes cualesquiera e itervalos cualesquiera. Primeras aproximacioes a la itegral de ua fució cuadrática Abordaremos el cálculo de x dx. () y = x Figura Auque os cocetraremos e este ejemplo, los métodos que emplearemos o depede de que el itegrado sea x i de que el itervalo de trabajo sea [, ]. So geerales y permitirá exteder el cálculo itegral a fucioes cualesquiera, proporcioado u procedimieto para tratar cualquier itegral de la forma b a f(x) dx. Observació.. Estimacioes de la itegral por ecima y por debajo. Es evidete que x dx, () porque e el itervalo [, ] la fució x es siempre mayor o igual que cero y su gráfico está por ecima del eje Ox. Nuestra defiició de la itegral como área sigada implica

2 directamete la desigualdad (), porque o hay que cosiderar igua regió bajo el eje Ox que pueda aportar al cálculo u sumado egativo. Hay ua estimació superior del valor de la itegral, que está implícita e la figura. Figura Primera aproximació por exceso Luego de haber examiado la figura, seguramete el lector esté de acuerdo e que x dx. Esta estimació se obtiee comparado la regió cuya área queremos estimar co la del cuadrado [, ] [, ] que la cotiee. Observació.. Itetos de aproximació de la itegral. E la observació.. ecotramos u valor que ecesariamete está por debajo y otro que ecesariamete está por ecima, tomado rectágulos cuyas alturas so, respectivamete, el valor míimo y el valor máximo que toma la fució e el itervalo [, ]. Estos valores so y. El valor da lugar a u rectágulo de base y altura que está completamete coteido e la regió compredida bajo el gráfico de x. Esta figura e realidad se reduce a u segmeto de recta de área ula. El valor da lugar a u rectágulo de base y altura que cotiee completamete la regió compredida bajo el gráfico de x. Este rectágulo es además u cuadrado, ytieeárea. De algú modo os hemos puesto e los casos extremos para la evaluació de las áreas. Ua alterativa es tratar de aproximarse mejor, refiado la comparació co rectágulos y escogiédolos de modo que se vaya adaptado mejor a la regió del plao cuya área queremos calcular. Ua maera de hacerlo es dividir el itervalo [, ] e dos subitervalos iguales [, /] y [/, ], y usar estos subitervalos e la costrucció de rectágulos que os permita aproximar el área por defecto y co exceso. Para costruir ua aproximació por defecto, usamos [, /] y [/, ] como bases de los rectágulos más altos que podamos costruir por debajo del gráfico de x,talcomose muestra e la figura. Como e x = la fució x toma el valor, el primer rectágulo degeera e u segmeto de área ula.

3 Figura Primera aproximació por defecto El segudo rectágulo tiee altura ( ) = ybase/. De modo que el área total ecerrada e los dos rectágulos es + = 8, de modo que cocluimos 8 x dx. Ua estimació superior para la itegral puede obteerse a partir de dos rectágulos cuya uió cotega completamete la regió ecerrada bajo el gráfico de x sobre [, ], tal como se muestra e la figura. Figura Seguda aproximació por exceso Haciedo para cada uo de ellos la coocida cueta base altura y sumado, obteemos que ( ) ( ) ( + ) = 8 + = 5 8 es ua estimació por exceso de la itegral. Uiedo lo que apredimos al estimar por exceso y por defecto, teemos que 8 x dx 5 8.

4 Por lo tato, /8, el promedio etre /8 y5/8, es ua aproximació al verdadero valor de la itegral co u error que o puede ser mayor que la mitad de la logitud del itervalo (5/8, /8). Es decir, el error que estamos cometiedo es meor que /. Ver el ejercicio 7 El error cometido al usar la aproximació de la observació 7 es a lo sumo = 8 =, A cotiuació propodremos ua serie de ejercicios que aputa a desarrollar la idea de ir mejorado las estimacioes de la itegral por ecima y por debajo, para ir achicado más ymás el rago de valores que puede tomar. Este procedimieto os permitirá coocer el verdadero valor de la itegral co el grado de aproximació que se desee. Tambié, dado el gra salto itelectual de pasar al límite e las aproximacioes, determiarlo co total exactitud. Ejercicio Es posible mejorar la estimació superior de la itegral que presetamos e la observació 7 usado tres rectágulos para cubrir el gráfico, e vez de dos, tal como se muestra e la figura 5 Figura 5 Otra aproximació por exceso. Calcular el valor que a partir de la figura 5 puede coseguirse como ua estimació superior de la itegral.. Adaptar el razoamieto que e la observació.. permitió estimarpordebajola itegral, para coseguir ua estimació iferior de la itegral a partir de rectágulos. Nota: para esta estimació uo de los rectágulos degeera e u segmeto de recta. Ituitivamete parece ser ua mejor aproximació Si el lector ha completado correctamete el ejercicio habrá ecotrado ua estimació más precisa del valor de la itegral. Esto puede apreciarse e que ahora se dispoe de u itervalo más pequeño, que os permite descartar ua fracció importate de los valores que uestra primera estimació admitía como posibles. La estrategia de tomar rectágulos cada vez más fios os obligará a ir dividiedo el itervalo [, ] e subitervalos cada vez más pequeños, que hará las veces de bases de los rectágulos de uestra aproximació. Esto es lo que se llama hacer particioes del itervalo [, ]. Ejercicio Hallar ua estimació iferior y ua estimació superior de la itegral haciedo los cálculos que sugiere las figuras 6 y 7, respectivamete, a partir de ua partició de [, ] e cuatro subitervalos iguales.

5 Figura 6 Otra aproximació por exceso Figura 7 Otra aproximació por defecto Sistematizació de las aproximacioes El procedimieto de subdividir el itervalo [, ] y costruir estimacioes puede hacerse para cualquier úmero de subitervalos, y va gaado e precisió a medida que vamos afiado las divisioes. La etrada de wikipedia e español cotiee u dibujo que ilustra la idea: cuato más se refia la partició e rectágulos, mejor aproxima el área de los rectágulos al área bajo el gráfico. Recomedamos visitar este recurso, u otros equivaletes sobre la web. A cotiuació presetamos la estimació superior que se cosigue para la itegral x dx para =. Cada rectágulo tiee u acho de / y ua altura (i/) co i =,...,. Figura 8 aproximació por exceso co itervalos Segú lo sugerido por la figura 8 las areas de los rectágulos ahí dibujados os da ua aproximació por exceso de la itegral

6 Observació.. U poco de jerga. Llamaremos suma superior -ésima y usaremos la otació S para la suma de áreas de rectágulos que aproxima la itegral por exceso, porque cada rectágulo tiee ua altura igual al valor máximo que la fució a itegrar toma sobre el subitervalo que forma su base. La suma superior S que se obtiee e este caso es x dx = 77. () Figura 5 8 aproximació por defecto co itervalos Observació.. A la aproximació por defecto se le deomia suma esima iferior y la deotamos s. Ejercicio Calcular la suma iferior s correspodiete a la figura. Ejercicio Para la subdivisió de [, ] e itervalos y la fució x,. mostrar que la suma superior puede expresarse como S = ( ( ) ( ) ( ) que a su vez puede simplificarse e S = ( ) ;.. hallar las expresioes aálogas para la suma iferior s. ( ) ), 6

7 Auque el úmero pueda teer ua gra importacia cultural, a los efectos de este cálculo o es e absoluto especial. El procedimieto de calcular sumas iferiores y superiores puede hacerse para cualquier úmero, tal como sugiere la figura Area del rectágulo i = i ( i ) i Figura Divisió de [, ] e itervalos Ejercicio 5 Para la subdivisió de [, ] e itervalos y la fució x,. mostrar que la suma superior puede expresarse como S = ( + + +( ) + ) ;. hallar la expresioes aáloga para la suma iferior s ;. Para =,,, las sumas superior e iferior ya había sido calculadas. Verificar que las fórmulas geerales predice correctamete los valores que ya teíamos. Las sumas superiores S tiee ua estructura bie clara: so el resultado de dividir la suma + + +( ) + = ( ) +, de los primeros cuadrados, etre. Nada os vedría mejor e este mometo que ua fórmula secilla para la suma de los primeros cuadrados. Afortuadamete, tal cosa existe: ( ) + = 7 ( + )( +). () 6

8 Observació..5 Ua iteresate prueba visual de la igualdad () está dispoible e Requiere como isumo ua expresió para la suma de los primeros úmeros, que es además u resultado iteresate e sí mismo del que haremos uso: Ejercicio ( ) + = ( +). (5). Usar la fórmula () para mostrar que ( + )( +) S = = (6) A qué valor se aproxima las sumas S cuado?. Usar la fórmula () y obteer para s expresioes aálogas a las que coseguimos e (6) para S. Aqué valor se aproxima las sumas s cuado?. Hallar el valor de la itegral x. Co este cálculo, hemos completado la determiació de la primera itegral que o puede reducirse al cálculo de áreas de rectágulos, triágulos, trapecios y sectores de círculo. Hemos ecesitado hacer uso del proceso del paso al límite y etrado decididamete e el terreo del cálculo itegral tal como es hoy e día. Ejercicio 7 E la observació habíamos coseguido aproximar la itegral por el valor /8 yasegurábamos que el error cometido o podía ser mayor que /. Ahora que se cooce el verdaro valor, calcular el error que itroduce aproximar la itegral por /8 y decidir si este error efectivamete es meor que / ooloes. 8