1.- DOMINIO DE LA FUNCIÓN

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Xavier Villalobos Villalba
hace 6 años
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1 En este resumen vamos a tratar los puntos que necesitamos para poder representar gráficamente una función. Empezamos viendo la información que podemos obtener de la expresión matemática de la función. 1.- DOMINIO DE LA FUNCIÓN Es el conjunto de puntos donde la función está definida. Si la función tiene discontinuidades aisladas (por ejemplo puntos donde se anula el denominador) puede haber asíntotas oblicuas. Además, la gráfica de la función se extiende por la zona del eje X que es el dominio de la función. Por ejemplo, la función cuyo dominio es el intervalo se extiende por esa parte del eje X 2.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Los puntos de corte con el eje X de una función se obtienen resolviendo la ecuación, ya que este eje es la recta y lo que obtenemos al resolver la ecuación son los valores de x anulan la función, es decir que se obtiene y=0. Ejemplo: para hallar los puntos de corte con el eje X de la función resolvemos Su gráfica es

2 El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando ya que ese eje es la recta x=0 Por ejemplo, la función corta al eje Y en y=-4 ya que 3.- FUNCIONES SIMÉTRICAS Cuando se va a representar una función es interesante saber si la gráfica es simétrica. Hay dos tipos de simetrías que son fácilmente detectables. Una función es simétrica respecto al eje Y si verifica que simétrica respecto al eje Y se denomina función par.. Una función que es Ejemplos: son funciones pares tiene ya que al sustituir x por -x se ya que al elevar un número negativo a una potencia par da positivo. La gráfica de f(x) es Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si verifica que. Una función que es simétrica respecto al origen se denomina función impar. Son funciones impares ya que al sustituir x por -x se tiene ya que al elevar un número negativo a una potencia par da positivo y a una impar da negativo. La gráfica de g(x) es

3 4.- ASÍNTOTAS Recordamos las definiciones La recta y=n es una asíntota horizontal de una función si se verifica Para funciones racionales (cociente de polinomios) si hay asíntota horizontal es la misma hacia que hacia La recta x=a es una asíntota vertical de una función si se verifica Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene asíntotas oblicuas y viceversa. Las funciones racionales tienen asíntotas oblicuas si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. En este caso se divide el numerador por el denominador y el cociente (que es un polinomio de primer grado) es la asíntota oblicua. Ejemplo: La recta es una asíntota oblicua de la función ya que al dividir el numerador por el denominador el cociente es. La función tiene una asíntota horizontal y dos asíntotas verticales Su gráfica es

4 La función tiene una asíntota oblicua y dos asíntotas verticales Su gráfica es

5 5.- MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS La monotonía consiste en conocer como varía una función a medida que cambia la variable independiente. Esta información se obtiene de la función derivada. Teorema: Si f x 0 en un intervalo entonces x intervalo y si f x 0 entonces x f es estrictamente creciente en ese f es estrictamente decreciente en el intervalo. Observamos que en un máximo relativo la función pasa de ser creciente a decreciente y en un mínimo de decreciente a creciente. Se verifica el siguiente teorema como consecuencia del paso de creciente a decreciente o viceversa. Si f x presenta en x=a un máximo o un mínimo relativos y es derivable en x=a, entonces 0 f a. El recíproco de este teorema no es cierto, pero para averiguar los máximos y mínimos relativos podemos resolver la ecuación f x 0, las soluciones son los posibles. x 3x 3 2 Ejemplo: Dada la función La solución de la ecuación 0 f x 0 3x 2 f x, su derivada es f x nos da los posibles máximos y/o mínimos. x 0 6x 0 x 2 Al señalar los posibles máximos y mínimos en la recta real, esta queda dividida en tres intervalos, en ellos la función es creciente o decreciente, lo comprobamos cogiendo valores de x en cada uno de ellos y sustituyendo en, si sale es creciente en el intervalo. Si es decreciente en el intervalo. Lo señalamos con las flechas hacia arriba o hacia abajo respectivamente. x=0 x=2 f >0 f <0 f >0

6 Por lo tanto la función tiene un máximo en x=0 que corresponde al punto 0, (0) (0,0) un mínimo en x=2 que corresponde al punto ( 2, f (2)) 2, 4. Además, la función es creciente en los intervalos 0 2, intervalo 0,2. Lo vemos en la gráfica f y, y decreciente en el Ejemplo: Representar gráficamente la función 1.- Dominio: El dominio de todas las funciones polinómicas es 2.- Puntos de corte con los ejes Eje X: Eje Y: 3.- Simetrías, es par 4.- Asíntotas: Las funciones polinómicas no tienen asíntotas 5.- Monotonía y extremos relativos

7 El punto (0,0) es un máximo y (-1,-1) y (1, -1) son mínimos Ejemplo: representar gráficamente la función 1.- Dominio: 2.- Puntos de corte con los ejes: Eje X: Eje Y: 3.- Simetrías no tiene 4.- Asíntotas No tiene asíntotas horizontales porque

8 La recta x=1 es una asíntota vertical porque La recta y=x+1 es una asíntota oblicua porque al dividir el numerador por el denominador el cociente es x Monotonía y extremos relativos Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, además de señalar los posibles máximos y mínimos (x=0 y x=2 en este caso), también hay que señalar las discontinuidades (x=1 en esta función), en ellas también puede pasar la función de creciente a decreciente (no en este ejemplo)

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