MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

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1 Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració: Cosideremos ua sucesió { } N que satisface las dos codicioes siguietes:. Los úmeros,, 3..perteece al domiio de defiició de la fució 4 (es decir ) y. 5. A la sucesió { } le correspode la sucesió de valores de la fució: , , Utilizado las propiedades de límites de sucesioes obteemos: f ( ) ( 3. ) ( 5. 4) hacia el úmero ( que coverge 4 y ), las sucesioes correspodietes de valores de la 5 Por lo tato idepedietemete de la elecció de ua sucesió { } fució f() coverge hacia el úmero, lo que, de acuerdo a la defiició del límite de ua fució, sigifica que: ) Calcular ( ) Sea f() Tomemos cualquier sucesió { } Calculamos f ( ) R {3} tal que 3 ( ) ( ) 3

2 Etoces ( ) 3. Propiedades de los límites de fucioes: Varias de las propiedades de los límites de fucioes so aálogas a las de límites sucesioes. ) Si eiste el f(), éste es úico a f() L ( L R) y g() L ( L R), etoces se verifica: ) a a (f() g()) f() g() L L a) a a a (f() g()) f() g() L L b) a a a (f().g()) f(). g() L.L c) a a a caso particular: k.f() k. f() k.l ( k R) d) Si L, etoces a a f() f() L ( ) g() g() L a a a Ejemplos: a) e) [ f() ] f() ( L ) a a f) l(f()) l( f() ) l( L ) a a, siedo Є Z (L > ) b) si se reemplaza por, se obtiee ua idetermiada del tipo E este caso, para resolver el ejercicio, coviee factorizar los poliomios: 8 ( 4) ( )( ).( ) 8 7 c) si se reemplaza por 7, se obtiee ua idetermiada del tipo 7 3 E este caso, para resolver el ejercicio, se multiplica umerador y deomiador por el cojugado del deomiador: Límites laterales Límite lateral por derecha: Se defie límite lateral por derecha de la fució f(), al límite de la fució f() cuado tiede a por derecha (o sea, que los valores que toma cuado tiede a, so todos mayores que ). Se deota: f() L (L R) Límite lateral por izquierda: d d

3 Se defie límite lateral por izquierda de la fució f(), al límite de la fució f() cuado tiede a por izquierda (o sea, que los valores que toma cuado tiede a, so todos meores que ). Se deota: f() L (L R) Ejemplos: 3 si < ) Hallar el f(), siedo f() 4 si 5 si > f() 5 5 ) Hallar f() f() 3 i i Como los límites laterales so distitos, etoces o eiste el siedo f()[] (parte etera de ) [] [] Por lo tato, / f() f() 3) Hallar f() si, siedo f() 5 si f() 4, es decir que el límite solicitado eiste y es 4: f() 4 f() 4 Teorema: Sea f: D R ua fució, etoces las siguietes afirmacioes so equivaletes: f() L (L R) ) a ) f() f() L (L R) a a Límites ifiitos Tambié puede suceder que f() ó f(), los que se deomia límites a a ifiitos. Operacioes co límites ifiitos ) Si { } f() L, L R y g(), etoces a a a f() ± g() ) Si f() L, L R y g() ±, etoces a a f() g() a 3

4 3) si f() L, L R, L y g(), etoces a a a) [ f() g() ] a b) [ f().g()] a si L > si L < si f() L, L R y g(), etoces a a a) [ f() g() ] a b) [ f().g()] a si L > si L < Límites idetermiados del tipo,,., Ejemplos: a) Hallar el Lo primero que se observa es que el límite del deomiador es cero, por lo tato o se puede aplicar la propiedad de la divisió de los límites. E segudo lugar, se puede ver que el límite del umerador tambié es cero. Por lo tato, el límite que se busca es idetermiado del tipo Trabajado e forma algebraica, factorizado la epresió obtiee: ( )( ), siempre que se cosidere -, se Esta igualdad, se puede utilizar e el límite, ya que tiede a -, es decir, -, por lo tato, ( )( ) ( ) (de esta maera quedó salvado el valor idetermiado ) ) Hallar ( ) Factorizado se llega a, se puede ver que tambié se trata de u límite idetermiado de tipo ( )( ) ( ) ( ) ( ) Si se reemplaza e la última epresió, se puede observar que el umerador es - y que el deomiador tiede a cero cuado tiede a -, pero al realizar las cuetas, el deomiador resulta positivo si tiede a - por izquierda y resulta egativo si tiede a - por derecha. Por lo tato: ( )( ) y ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4

5 Este cálculo de límites laterales es idispesable realizarlo cuado u límite e el remplazo de la por el valor al que tiede, da cero. 3) Hallar ( ), es u límite idetermiado de tipo ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4) Hallar ( )., éste o es u límite idetermiado, ya que ( )( ) ( ). 5) Hallar 4, e este caso, al reemplazar queda la idetermiada Para salvar la idetermiada, se trabaja e forma algebraica: paso, se fue la idetermiada y el límite se puede calcular:, co este (observar que el deomiador, aú cuado se acerca a cero, siempre es positivo, por lo que o es ecesario calcular los límites laterales) Límites de fucioes cuado tiede a ) Sea f: D R, ua fució co [a, ) D R Se dice que f( ) L f() L, si para toda sucesió { } D, tal que, se verifica que ) Sea f : D R, ua fució co (-, a] D R Se dice que f( ) L f() L, si para toda sucesió { } D, tal que, se verifica que Límite especial Límite otable se Dada la fució f(), co Domiio R {}, para hallar su límite cuado tiede a cero, o se puede utilizar la propiedad del cociete de los límites ya que el límite de la fució del deomiador es cero cuado tiede a cero ( ) y el límite del umerador es, y queda ua idetermiada del tipo. Se demostrará que se() 5

6 Para la demostració, se toma ua circuferecia de radio y se aaliza, para cualquier águlo tal que < < π, la relació etre su valor, el valor del se() y de la tg(): se () < < tg () dividiedo por se() > (por estar e el primer cuadrate), obteemos: tg() tg() < < se() se() < < se() cos() se() > > cos() se() cos() < < se() Hemos obteido ua desigualdad, trabajado co > Pero la misma desigualdad tambié vale para águlos egativos, ya que si >, se tiee que -< y como se(-) -se() y cos(-) cos(), se tiee que se( ) se() se() y por lo tato se( ) cos( ) < < Al aplicar límites a la desigualdad se() cos() < <, se obtiee: se() cos() resolviedo los límites que coocemos, se obtiee se() se() de dode se deduce que Cosecuecia de este resultado tg() (es otro límite otable) Demostració: tg() se () cos () se () se().. cos () cos () se ().. cos ()

7 Alguos ejemplos: se5 a) 5 se5 se5 se5.5 5., y para calcular este último límite se realiza u 5 5 se5 se t cambio de variables: t5, por lo que queda: t t cos b) cos ( cos ) ( cos ) ( cos ). ( cos ) ( cos ) se (se ) se.. ( cos ) ( cos ) cos c).se (e este caso, tiede a ifiito) se.se, haciedo el cambio de variable t, t, se tiee set, por lo que.se t t Cotiuidad de fucioes Cosideremos las siguietes gráficas: / f( ) f() L f() L f() L La fució es discotiua e el puto (observamos que falta u puto e la gráfica)

8 f( ) B B. f() L f() L f() L f( ) f() La fució es discotiua e el puto (observamos que o coicide el valor de f( )B, co el valor del límite de la fució cuado tiede a, hay u puto que falta está e otro sitio - para dar cotiuidad a la gráfica) f( )L f() M / f() L f() La fució es discotiua e el puto (e la gráfica se observa u salto ). f( )L f() / f() L f() La fució es discotiua e el puto (e la gráfica se observa que ua parte tiede a ifiito)

9 f( )L f() L f() L f() L E este caso, la fució es cotiua e el puto Defiició Sea f: D R ua fució, la fució es cotiua e el puto si y sólo si cumple co las siguietes codicioes: ) f() está defiida e, es decir, Є D ) Eiste y es fiito f() 3) f( ) f() Defiició: ua fució f: D R es cotiua e todo su domiio si es cotiua para cada puto del domiio. Observacioes: a) f() es cotiua e todos los reales. b) Toda fució poliómica es cotiua e todos los reales. c) La fució racioal (cociete de poliomios), es cotiua e todos los putos e que o se aula el deomiador. d) La fució epoecial (f()a ) es cotiua e todos los reales. e) La fució logarítmica es cotiua e todo su domiio (R o sea los reales positivos). f) La fució parte etera de, f() [], es discotiua e cada uo de los úmeros eteros. g) La fucioes f()se() y f()cos() so cotiuas e todo R. se() h) La fució f() es cotiua e todo su domiio. Propiedades de las fucioes cotiuas Sea f: D R, g: D R, dos fucioes cotiuas e el puto, etoces tambié so cotiuas e el puto las fucioes: a) f()g() b) f()-g() c) k. f(), siedo k Є R d) f().g() e) f() g(), siedo g( ) Demostració de la propiedad a) Por hipótesis f() y g() so cotiuas e, por lo tato f() f( ) y g() g( ) 9

10 Aplicado las propiedades de límite, surge que: (f() g()) f() g() f( ) g( ), o sea, f()g() es cotiua e Aálogamete se demuestra la propiedad d): (f().g()) f(). g() f( ).g( ), o sea, f().g() es cotiua e Y la propiedad e) f() f() f( ) ( ) g() g() g( ) Discotiuidades Sea f: D R, ua fució, diremos que ) f() tiee ua discotiuidad evitable e, si a. f() o está defiida e pero o bie b. eiste f( ) y eiste f() L (L R) f() L (L R), pero L f( ) ) f() tiee ua discotiuidad ievitable e, si o eiste f() a. porque so diferetes los límites laterales f() L, L R Ejemplos f() L, L R, siedo L L ( salto e la gráfica ) o bie b. porque alguo de los límites laterales es u límite ifiito o ambos lo so. a) La fució f() tg(), tiee discotiuidades ievitables e ifiitos putos. Estos putos so de la forma k π/ k. π Tomado π/ tg() y tg(), por ser los límites laterales ifiitos, π π se deduce que tg() es discotiua ievitable e π/ b) Sea f : R R, 4 si > f() 3 si, aalizar la cotiuidad e si < ) f () 3

11 ) ( 4) ( )( ) f() 4 f() 4 f() f() (4 3) f() 4 3) Por lo tato, f() es discotiua evitable e Si la fució se redefiiera como 4 si > g() 4 si, g() es cotiua e si < c) Sea f : R R, si f(), aalizar su cotiuidad e si > ) f() - f() ) o eiste f() f() Teoremas de la fució cotiua Por lo tato, es ua discotiuidad ievitable ( salto e la gráfica ) ) La composició de dos fucioes cotiuas es cotiua. Demostració: Sea g cotiua e y f, cotiua e y g( ), Por ser g cotiua e, se verifica que g() g( ) Por lo tato, para cualquier sucesió { } tal que, se cumple que g( ) g( ) De dode se deduce que f og( ) f (g( )) f(g( )) f(y ) Es decir que f (g()) f(g( )), por lo cual la composició resulta cotiua e. ) Toda fució cotiua f: [a, b] R alcaza u míimo y u máimo e [a, b] Observació: Para utilizar este teorema es esecial e la hipótesis de que la fució sea cotiua e el itervalo cerrado. E efecto, si cosideramos f: (, ] R / f() Es cotiua e el itervalo (, ] pero o tiee u valor máimo e dicho itervalo.

12 3) Teorema de la permaecia del sigo: Sea f() ua fució cotiua e y f( ). Etoces eiste λ > tal que para < λ se cumple que f() y f( ) tiee el mismo sigo. 4) Teorema de Bolzao: Sea f() ua fució cotiua e [a, b] co f (a) y f (b) de distitos sigos, etoces eiste por lo meos u c (a, b) / f(c). f(b) > a b Observació : El teorema de Bolzao costituye el fudameto teórico de los métodos de resolució aproimada de ecuacioes. Ejemplo: Aproimar u cero de f() 3 e [, ] f(a) < Es ua fució cotiua por ser u poliomio f() - < y f() > Por el Teorema de Bolzao podemos afirmar que eiste al meos u c (, ) / f(c). f() 3, -,899 <, -,79 <,3 -,673 <,4 -,536 <,5 -,375 <,6 -,84 <,7,43 >,8,3 >

13 El valor de la raíz se ecuetra etre el,6 y el,7, se vuelve a repetir el procedimieto co dos decimales y así sucesivamete para llegar a ua mejor aproimació. Observació : Hemos supuesto que f() es cotiua e todos los putos de [a, b] icluidos los etremos a y b, para compreder por qué es ecesaria la cotiuidad e los etremos cosideremos la fució: f () si si si < < Es cotiua e todo su domiio meos e el puto. A pesar que f () - < y f () >, o eiste igú c (, ) / f(c). 3

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