AYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE MATEMÁTICAS III - (COMUNES)

Transcripción

1 AYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE MATEMÁTICAS III - (COMUNES DERIVADAS INMEDIATAS Función Derivada y = c = 0 y = x = 1 y = x n = n x n-1 y = u n = n u n-1 y = u v = +v y = = v 0 y = u ± v± w = Y=u v = DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Función Derivada y = ln x = y = ln u = y = log a x = = log a e log a x = y = log a u = = log a e log a u = y = e x = y = e u = e u y = a x = a x ln a y = a u = a u ln a 1 JJN

2 INTEGRALES INMEDIATAS INTEGRALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS INTEGRACIÓN POR PARTES INTEGRAL DEFINIDA [ ] 2 JJN

3 APLICACIONES ECONÓMICAS DEMANDA: Cantidad de un bien o servicio que los compradores demandan o desean comprar para cada nivel de precios. OFERTA: Cantidad de un bien o servicio que los vendedores ofrecen al mercado en función del nivel de precios. EQUILIBRIO: Se dice que existe equilibrio en un mercado, cuando a un determinado precio, los consumidores pueden adquirir todo lo que deseen de un determinado bien o servicio y los oferentes pueden vender todas sus existencias. El punto de equilibrio, es el punto de intersección de las curvas de la oferta y demanda. 3 JJN

4 COSTO: Costo Total = Costos Fijos + Costos Variables C = CF + CV Costo Total (C = precio en $ (p por cantidad ofertada en unidades (q C = p*q Costo promedio = Costo Total sobre cantidad ofertada C = Costo marginal = a la derivada del costo total con respecto a la cantidad C = INGRESO: Ingreso Total (R = precio unitario (p por cantidad demandada (q R = p *q Ingreso promedio = Ingreso Total (R sobre cantidad demandada (q R = Ingreso marginal = a la derivada del Ingreso con respecto a la cantidad demandada (q R = UTILIDAD: Utilidad Total = Ingresos - Egresos U = R C 4 JJN

5 Utilidad promedio = Utilidad Total sobre la cantidad (q U = Utilidad Marginal = a la derivada de la utilidad total U = = - = R C RAZÓN DE CAMBIO: Relativa = Porcentual = x 100 PROPENSIÓN MARGINAL AL CONSUMO Y AL AHORRO: Ingreso disponible (x es igual al consumo (c más el ahorro (s x = c + s Propensión marginal al consumo = Propensión marginal al ahorro = 1 - Niveles de elasticidad y el efecto sobre el precio: Si la demanda es elástica (>1, el ingreso disminuye cuando el precio aumenta y viceversa. Si la demanda es inelástica (<1, el ingreso aumenta cuando el precio aumenta y viceversa. Si la demanda es unitaria (=1, el ingreso no se afecta por un pequeño cambio en el precio. 5 JJN

6 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA: La elasticidad de la demanda η (eta, permite medir cómo un cambio en el precio afecta la cantidad demandada; es decir, admite cuantificar cual es la respuesta del consumidor frente a un cambio del precio de un determinado bien o servicio. Informalmente, la elasticidad de la demanda es la tasa o razón de cambio porcentual en la cantidad demandada que resulta en un cambio porcentual en el precio de un producto o servicio. η = Hay tres tipos de categorías de elasticidad: 1.- Cuando η > 1, la demanda es elástica 2.- Cuando η = 1, la demanda es unitaria 3.- Cuando η < 1, la demanda es inelástica ELASTICIDAD PUNTUAL DE LA DEMANDA: Mide la sensibilidad de la cantidad demanda a las variaciones del precio. Indica la variación porcentual que experimentará la cantidad demanda de un bien si sube su precio en 1%. η = = Demanda Elástica: La cantidad demanda es relativamente sensible a las variaciones del precio, es decir un bien tiene demanda elástica cuando al variar su precio en un determinado porcentaje, las cantidades demandadas varían en un porcentaje mayor. Demanda Unitaria: El bien tiene demanda de elasticidad unitaria si al variar el precio en un determinado porcentaje las cantidades demandadas varían en el mismo porcentaje. Demanda Inelástica: La cantidad demandada es relativamente insensible a las variaciones del precio. El bien tiene demanda inelástica si al variar el precio en un determinado porcentaje las cantidades demandadas disminuyen en un porcentaje menor. 6 JJN

7 EXCEDENTE O SUPERÁVIT DE LOS CONSUMIDORES: Diferencia entre el precio máximo que un consumidor estaría dispuesto a pagar por una determinada cantidad de un bien o servicio y el precio que realmente paga por ello. EC = - x 0 * Y 0 EXCEDENTE O SUPERÁVIT DE LOS PRODUCTORES: Diferencia entre el precio al cual un productor estaría dispuesto a ofrecer una determinada cantidad de un bien o un servicio y el precio que realmente percibe por ello. EP = X 0 * Y 0 - CURVA DE LORENTZ: La curva de Lorenz muestra el porcentaje del ingreso que percibe un grupo determinado de la población, representando en el eje horizontal el porcentaje acumulativo de los individuos u hogares ordenados en forma ascendente de acuerdo a su nivel de ingresos, y en el eje vertical, el porcentaje acumulativo del ingreso que esta población recibe. 7 JJN

8 ÍNDICE O COEFICIENTE DE GINI: El índice de Gini(CG mide la concentración de la renta (o desigualdades en la distribución de la renta. Cuando más próximo a 1, mayor será la concentración de la riqueza. El cero representa la igualdad perfecta y el 1 la desigualdad total. Si f(x es la función que describe la curva de Lorenz de distribución de los ingresos de un país (o de una región, el coeficiente de Gini correspondiente a esta curva (CG, lo definimos como: CG = CG = 2* CG = [ ] VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN dx 8 JJN

9 ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es denomina Ecuación Diferencial. EJEMPLOS:, Y = 2XY Las Ecuaciones Diferenciales (ED, se clasifican por su tipo, orden y grado Tipo: ED Ordinaria (Ej.: ED Parcial (Ej.: Cuando la ED tiene una o más derivadas de una sola variable independiente. Cuando la ED tiene una o más derivadas de dos o más variables independientes. Orden: El orden de una ED está dado por la más alta derivada presente en la ecuación. Grado: El grado de una ED está dado por el exponente entero positivo de la más alta derivada presente en la ecuación. Ejemplos: ED ordinaria de primer orden, quito grado ED ordinaria de cuarto orden, primer grado (d 3 u/dx 3 2 +U 2 (dy/dx 3 x 2 U -15 = 0 ED parcial de tercer orden, segundo grado SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL La solución a una Ecuación Diferencial: es una función que no contiene ni derivadas ni diferenciales y que satisface la ED. Solución por integraciones múltiples 9 JJN

10 Ecuaciones diferenciales de primero orden y de primer grado Clasificación Separables (variables separables Homogéneas Exactas Lineales Ecuaciones diferenciales Separables: M(xdx + N(ydy = 0 de donde Por lo que: f(x + g(y = 0 Ecuaciones diferenciales Homogéneas: Definición: Una función f(x; y es homogénea de grado n, si reemplazando en dicha función simultáneamente X por k X - Y por k Y se cumple que: f(kx; ky = k n f(x; y Una vez que se ha comprobado quela ED.es homogénea, se hace el cambio de variable: YY = V.XX por lo que dy = V.dx + X.dvi Se sustituye y e dy en la ecuación original y se resuelve por variables separables. Por último se reemplaza V = Y/X se reduce términos. Ecuaciones diferenciales exactas: El diferencial total de una función F(x,y es: Si se cumple que el diferencial total es igual a cero, por lo que F(x,y = constante, y existen las segundas derivadas parciales mixtas o cruzadas y son continuas e iguales, entonces se dice que es una ecuación diferencial exacta. 2 f ( ( o lo que es lo mismo xy 2 f yx 10 JJN

11 Una vez comprobado que la ecuación diferencial es exacta, se resuelve de la siguiente manera: 1 Se integra con respecto a x, luego la constante ordinaria de integración se reemplaza por una función de f(y, así: F(x,y= dx = G(x,y + f(y 2 Se deriva con respecto a y la función F(x,y = G(x,y + f(y y se compara con para obtener 3 Se integra con respecto a y para obtener f(y 4 Finalmente la solución es F(x,y= G(x,y + f(y Ecuaciones diferenciales lineales: Se debe cumplir con la condición: (1 Método de solución 1: En donde P y Q son funciones de x o constantes, luego se hace el cambio de la variable Y = U*Z derivando se obtiene: Se reemplaza en (1:, como Z no existe en la ecuación original, debe tener el coeficiente Cero, por lo que: Con se calcula Z, resolviendo la expresión c y Z se obtiene la solución reemplazando en el cambio de variable previamente efectuado: Y = U*Z. Método de solución 2 (por factor integrante: Factor integrante = La ecuación diferencial de la forma la expresión siguiente: tiene como solución Y = [ ] 11 JJN