IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(Específico) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO MATEMÁTICAS II

Transcripción

1 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Espeífio) ntonio engino orho UIVERSIDD DEL PÍS VSO TEÁTIS II TEÁTIS II Tiempo máimo: hor minutos Instruiones: El lumno elegirá un e ls os opiones propuests un e ls utro uestiones e l opión elegi punturá puntos omo máimo uno l soluión e un uestión se se en un álulo, éste eerá inluirse en l respuest S OPIÓ Ejeriio º) Do el siguiente sistem e euiones Disutir el sistem pr los istintos vlores e Si eisten sos e ineterminión, resolver en ihos sos Si no eisten eplir porqué Ls mtries e oefiientes mpli son: El rngo e l mtri e oefiientes en funión e es el siguiente: 8 8 ± ± ± ± o Deter omptile inóg n Rngo Rngo Pr min º { } Rmgo Pr o er In omptile inóg n Rngo Rngo Pr min et º <

2 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho { },, Rngo Pr 8 8 Rngo Inomptile Rngo Rngo Pr Resolvemos pr que result el sistem S, que es omptile inetermino Despreino un euión, por ejemplo l terer, prmetrino un e ls inógnits, por ejemplo, result: R, :

3 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho Ejeriio º) Hllr ls oorens el punto simétrio e (, -, ) on respeto l ret r e euión r Disutir e form ron el proeimiento seguio L epresión por uns euiones prmétris e l ret r es l siguiente: ( ),, v r r El plno π, perpeniulr r por (, -, ), es el que tiene omo vetor norml v ontiene l punto : ( ),, D D D π π El punto e interseión e l ret r on el plno π es el siguiente: ( ) ( ) ; ; 9 π r ( ),, on ojeto e lrifir l situión, l epresmos en l figur junt e form proim Pr que se el punto simétrio e on respeto r, tiene que umplirse que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,,,,,,,,, ( ),, (, -, ) r π

4 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho Ejeriio º) Estuir ls síntots los etremos e l funión f por f ( ) trr un osquejo e l gráfi e f Ls síntots e f son ls siguientes: Horiontles: son los vlores finitos que tom l funión uno tiene vler infinito; son e l form k ( ) f ( ), e one se e- lím Del primer prto semos que f ue que l funión no tiene síntots horiontles lím Vertiles: son los vlores e que nuln el enominor: Olius: Pr que un funión rionl teng síntots olius es neesrio que el gro el numeror se un uni mor que el gro el enominor; omo en nuestro so ourre eso, tiene síntots olius lím m ( ) f lím lím m lím n lím lím lím [ f ( ) m] n síntot olíu Pr estuir los máimos mínimos reltivos lulmos sus erivs primer segun: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) Pr que eistn máimos o mínimos reltivos es oniión neesri que se nu-

5 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho le l primer eriv: f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) < á f ( ) á O(, ) f ( ) ( ) > ín f ( ) ín P(, ) on los tos nteriores, l representión gráfi e l funión es, proimmente, l siguiente: Y f() P O X

6 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho Ejeriio º) Hllr l integrl inefini I 8, eplino el proeso utilio en el álulo omo numeror enominor tienen el mismo gro puee herse l ivisión enter; no ostnte puee sustituirse por el siguiente proeimiento: I 8 I I (*) Tenieno en uent que ( )( ), l integrl I ( )( ) I puee resolverse el moo siguiente: L frión ( )( ) puee epresrse e l siguiente form: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) onsierno que os friones igules que tienen el mismo enominor tienen que tener el mismo numeror, se puee her: Tenieno en uent lo nterior, l integrl I I L L I se he el siguiente moo: Sustitueno el vlor otenio en l epresión (*) que: ( ) L L I I L L I

7 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho Ejeriio º) l omenr un urso e l Fult l relión e lumnos entre homres mujeres er e /8 l finlir el primer utrimestre usron j homres mujeres on ello l nuev relión e homres mujeres es e / lulr el número e homres mujeres que omenron el urso Supongmos que l omenr el urso hí h homres m mujeres De l efiniión el prolem se eue lo siguiente: h m 8h m 8h m () 8 l finlir el primer utrimestre l relión entre homres mujeres es: h m h m h m () Resolvieno el sistem e euiones que formn () (): 8h m h m 88h m 88h 9m 8 9m 8 8 m m 9 8h m m 8 h m h 8 h 8 8 omenron el urso 8 homres mujeres

8 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho 8 OPIÓ B Ejeriio º) es l mtri ur e os fils os olumns que verifi l igul mtriil lulr e form ron l mtri Se l mtri pei

9 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho Ejeriio º) lulr, e mner ron, l euión el plno que ontiene l t punto P(,, ) l ret r t t Un punto un vetor iretor e r son (,, ) (,, ) Los puntos P eterminn el vetor : (,, ) (,, ) (,, ) v P P u L epresión generl el plno π que ontiene P r es l siguiente: π ( P; u, v ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 π 9

10 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho Ejeriio º) De un funión f se se que es erivle en too R, que es reiente en R que en toos los puntos stisfe l esigul f() > on estos tos se puee f ( ) emostrr que h( ) e f ( ) es reiente en too R? Ronr l respuest L oniión neesri sufiiente pr que un funión se reiente en un punto es que su eriv se positiv en ese punto Pr que h ( ) se reiente en R tiene que seer h ( ) >, R f ( ) f ( ) ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) e [ ] h ( ) h Sieno que f() es reiente en R tiene que ser ( ) > f f ( ) f ( ) De lo nterior se eue que h ( ) > e >, o se: e >, lo ul es ierto por ser e un poteni e se mor que ument mei que umente su eponente Too lo nterior emuestr que: L funión h f ( ) ( ) e f ( ) es reiente en R

11 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho Ejeriio º) ) Trr un esquem gráfio el reinto el plno limito por 9 por ) Hllr el áre el reinto el prto ) usno álulo integrl Y S 9 L práol 9 tiene su vértie en el punto (9, ) es ónv ( ) ort l eje X en los puntos B(-, ) (, ) Los puntos e orte e l ret l práol son ls soluiones e l euión que result e igulr sus epresiones; son los siguientes: B O - X ± 9 9 ± D ± (, ) (, ) B 8 8 D L representión gráfi e l situión es l e l figur ) Por ser tos ls orens e l práol mores o igules que ls orresponientes orens e l ret en el intervlo (-, ), l superfiie es l ifereni e ls áres limits por l práol l ret, respetivmente, o se: S [ ( 9 ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) u S

12 IES STELR BDJOZ Emen Junio e (Generl) ntonio engino orho Ejeriio º) En un torneo e lonesto prtiipn equipos Toos juegn ontr toos ole vuelt ) uántos prtios se hn jugo en totl? ) Si el número e equipos fuese uántos prtios se jugrín? ) Se trt e vriiones (import el oren) sin repetiión (un equipo no jueg ontr si mismo) e elementos tomos e os en os L fórmul e ls vriiones e m elementos tomos e n en n es: m! ( m )! V n m!!! n º prtios V 8!!! ( ) En totl se juegn 8 prtios ) Si el número e equipos fuese el número e prtios que se juegn son: ( ) ( ) ( ) ( )!!! nº prtios V ( )! Si son equipos se jugrín prtios