Examen de Matemáticas II (Modelo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

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1 Eamen de Matemáticas II (Modelo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Dadas las matrices A = 1 m m ; B = 0 X = y O = z 0 (1 punto). Estudiar el rango de A según los valores de m. b) (0,5 puntos). Calcular el determinante de la matriz A 20. c) (0,75 puntos). Para m = 2, resolver el sistema AX = O. d) (0,75 puntos). Para m = 0, resolver el sistema AX = B A = 1 m m = 0 m R = Rango(A) < = 2m + 4 = 0 = m = 2 = Si m 2 Rango(A) = 2 1 m 2 2 Y si m = 2 tenemos = 2 0 = Rango(A) = Por tanto, Rango(A) = 2 m R. b) A 20 = A 20 = 0 20 = 0 c) Se trata de un sistema homogéneo y el Rango(A) = 2 < n o de incógnitas, luego es un sistema compatible indeterminado y + 2z = 0 = 1/2λ = y = 3/4λ 2y 2z = 0 z = λ d) Para m = 0 se observa que F 1 = 2F 2 y como Rango(A) = 2 se trata de un sistema compatible indeterminado y + 2z = 2 = 0 = 0 = 0 = + 2y + z = 1 = y = 1 λ 2 + 2y + z = 1 z = λ 1

2 Problema 2 (3 puntos) Dada la función f() = , 1 (0,5 puntos). Hallar el dominio de f(). b) (1 punto). Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). c) (1,5 puntos). El área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas = ±1/ = 0 = = ±1 = Dom(f) = R ±1} b) f 4 () = > 0 = La función es creciente en todo el dominio ( + 1) 2 de la función R ±1} c) S 1 = 1/2 1/2 3 d = 4 ln( + 1)]1/ /2 = 1 4 ln 3 S = S 1 = 4 ln 3 1 u 2 = 1 + 2λ Problema 3 (2 puntos) Dadas las rectas: y = λ z = λ + y = 1 ; s : y = z (1 punto). Estudiar la posición relativa entre ellas. Determinar, en su caso, la intersección entre ambas y el ángulo que forman sus vectores directores., b) (1 punto). Hallar la ecuación de la recta perpendicular a las direcciones de r y s, y que pasa por el punto (0, 0, 0). 2

3 (1 + 2λ) + λ = 1 = λ = 0 luego las dos rectas se cortan en el punto (1, 0, 0). ur = (2, 1, 1) us = ( 1, 1, 1) s : P r (1, 0, 0) P s (1, 0, 0) b) ur u s cos α = u r u s = = 0 = α = π ut = (0, 1, 1) = 0 t : = t : y = λ P t (0, 0, 0) z = λ ut = u r i j k u s = = 3(0, 1, 1) Problema 4 (2 puntos) Dados los puntos P 1 (1, 1, 2), P 2 (2, 3, 0) y P 3 (3, 1, 2), (0,5 puntos). Determinar la ecuación del plano π que contiene los tres puntos. b) (0,5 puntos). Determinar la ecuación de la recta r que pasa por P 1 y es perpendicular a π. c) (1 punto). Hallar la ecuación de las dos superficies esféricas de radio 17 que son tangentes al plano π en el punto P1. P 1 P 2 = (1, 2, 2), P 1 P 3 = (2, 2, 0): b) π : y + 1 = 0 = π : 2 2y + 3z 10 = z 2 ur = (2, 2, 3) P r (1, 1, 2) = = 1 + 2λ y = 1 2λ z = 2 + 3λ 3

4 c) Calculo una recta r que pase por P 1 y perpendicular a π, la del apartado anterior. Ahora hay que encontrar los dos puntos de esta recta que estan a una distancia 17 de P 1 y estos serán los centros de las esferas: Un punto C de r será C(1 + 2λ, 1 2λ, 2 + 3λ) CP 1 = (2λ, 2λ, 3λ) = λ 17 = 17 = λ = ±1 λ = 1 = C1 (3, 3, 5) = ( 3) 2 + (y + 3) 2 + (z 5) 2 = 17 λ = 1 = C 2 ( 1, 1, 1) = ( + 1) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 = 17 Eamen de Matemáticas II (Modelo 2015) Selectividad-Opción B Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Dados el punto P (1, 2, 1) y las rectas: + y z = 4 = 2 y 3z = 2 ; s : y = 3 (1 punto). Calcular la mínima distancia entre r y s. b) (1 punto). Determinar el punto P simétrico de P respecto de r. c) (1 punto). Determinar los puntos de la recta r que equidistan de los planos XY e Y Z. ur = ( 2, 1, 1) P r (1, 3, 0) [ P r P s, u r, u s ] = ur = us = (0, 0, 1), s : P s (2, 3, 0) P r P s = (1, 6, 0) i j k = 2( 2, 1, 1) = 11 0 = r y s se cruzan d(r, s) = [ P r P s, u r, u s ] u r = 11 = 11 5 u s u

5 ur u s = i j k b) Seguimos el siguiente procedimiento: = (1, 2, 0) Calculamos un plano π perpendicular a r que contenga a P : π : 2 + y z + λ = 0 = λ = 0 = λ = 1 luego el plano buscado es π : 2 + y z 1 = 0 Calculamos el punto de corte P de r y π: = 1 2t y = 3 + t = 2(1 2t)+(3+t) ( t) 1 = 0 = t = 0 = P (1, 3, 0) z = t P = P + P = P = 2P P = 2(1, 3, 0) (1, 2, 1) = (1, 4, 1) = P (1, 4, 1) 2 c) El plano XY es el plano π : z = 0 y el plano Y Z es el plano π : = 0. Sea P un punto de la recta r que cumple d(p, π ) = d(p, π ) donde P (1 2t, 3 + t, t): t 1 2t t = 1 2t = t = 1 = H( 1, 4, 1) = = 1 1 t = 1 + 2t = t = 1/3 = Q(1/3, 10/3, 1/3) Problema 2 (3 puntos) Hallar 1 + sin 1 sin (1 punto). lím. 0 b) (1 punto). (3 + 5) cos d. c) (1 punto). Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de la función e e f() =. lím sin 1 sin [ 0 = 0] = lím 0 cos 2 1+sin cos 2 1 sin 1 = 1 5

6 b) (3 + 5) cos d = (3 + 5) sin 3 c) f () = e (1 ) 2 [ u = = du = 3d dv = cos = v = sin sin d = (3 + 5) sin + 3 cos + C = 0 = = 1. Si > 1 = f () < 0 = f es decreciente en el intervalo (1, ). Si < 1 = f () > 0 = f es creciente en el intervalo (, 0) (0, 1) En = 1 hay un máimo local. Problema 3 (2 puntos) (1,5 puntos). Hallar X e Y, matrices 2 2, tales que ( ) ( ) ( ) X + Y =, X + Y = b) (0,5 puntos). Hallar Z, matriz invertible 2 2, tal que ( ) ( ) Z Z = ( ) ( ) X + Y = ( ) ( ) X + Y = ] = ( ( ) 1 3 X = 5 1 = ( ) 2 0 Y = 3 2 ( ) 1 3 b) Z 2 3I Z 1 = 3Z Z Z 1 = 3Z = = Z = 1 2 Problema 4 (2 puntos) Dado el sistema de ecuaciones lineales: m+ y = 0 + my = 0 m+ my = 0 ) ( 1/3 1 1/3 2/3 ) 6

7 (1,5 puntos). Discutirlo según los valores de m. b) (0,5 puntos). Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. m 1 0 m 1 A = 1 m 0 1 m = m2 1 = 0 = m = ±1 m m 0 m 1 Si m ±1 = 1 m 0 = Rango(A) = 2 = no de incógnitas y, por ser un sistema homogéneo, sería un sistema compatible determinado. Si m = 1: A = ; = 2 0 = como antes sería un sistema compatible determinado. Si m = 1: A = Las tres filas son iguales y el sistema sería compatible indeterminado. ( + y = ) b) = λ y = λ 7