Introducción al Análisis Matemático

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1 La guia resuelta Introducción al Análisis Matemático Para Ciencias Económicas A = A1 + A2 = b f ( x) dx + g( x) dx a c b Por consultas comunicate al o sino enviá un mail a laguia@arg.net.ar 1

2 PRÁCTICA 3: Funciones Lineales Una función lineal se representará por medio de una recta. La ecuación genérica es de la forma: y = ax + b en donde a y b son números fijos. Al número a lo llamaremos pendiente, nos da la inclinación de la recta. El número b nos dice cuánto sube o baja desde el origen la recta de pendiente a. Ejercicio 1 a) Encontrar, en cada caso, una función lineal f que satisfaga: i) f(1) = 4, f(-3) = 2 La primera fórmula nos dice que cuando x vale 1, el resultado de la función y será 4. La segunda, cuando x vale 3 y cuando vale -2 Entonces reemplazamos esos valores en la ecuación genérica de una recta : f(1) = 4 f(-3) = 2 4 = a.1 + b 2 = a. (-3) + b Nos queda formado un sistema de ecuaciones que se puede despejar de la forma que prefieras, lo mas fácil es restar miembro a miembro. 4 = a + b 2 = -3a + b 2 = 4a fijate que la b se anula, entonces despejamos a 2

3 a = 2/4 = ½ Ahora se reemplaza este valor de a en cualquiera de las ecuaciones y se despeja b 4 = ½ + b b = 4 ½ b = 7/2 Por último armamos la función perdida y = ½ x + 7/2 a b ii) f(-1) = 5, f(85) = 5 idem anterior _ 5 = a.(-1) + b 5 = a.85 + b 0 = -86a a = 0 5 = 0. (-1) + b 5 = b Por lo tanto la función será: y = 0.x + 5 y = 5 b) Calcular las pendientes de las rectas que son gráficas de las funciones lineales del ejercicio anterior. Dijimos que la pendiente era el valor de a. Por lo tanto: i) a = ½ ii) a = 0 3

4 Ejercicio 2 a) Encontrar la funcion lineal g que da la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius, sabiendo que 0 C = 32 F y 100 C = 212 F. x: serán los grados Celsius y: serán los grados Fahrenheit entonces: 0 C = 32 F se traduce en f(0) = 32 y 100 C = 212 F se traduce en f(100) = 212 armamos la función como siempre y = ax + b 32 = a.0 + b 212 = a b De la primera ecuación vemos que b = 32, por lo tanto reemplazamos en la segunda y despejamos a 212 = a = a 100 a = 1,8 y = 1,8x + 32 b) Reciprocamente determinar la función h que dé la temperatura en grados celsius, conocida la misma en grados Fahrenheit. Ahora la x representa los grados Fahrenheit y la y los grados Celsius. h(32) = 0 h(212) = = a.32 + b 100 = a b -100 = -180a a = 100/180 = 5/9 4

5 0 = 5/ b b = -160/9 entonces y = h(x) = 5/9x 160 Ejercicio 3 Los precios por kilo de tres artículos A,B y C son $11,25, $7.50 y $15 respectivamente. Qué gráfica le corresponde a cada artículo? La función que representa lo que tengo que pagar en función de los kilogramos que se compran será, por ejemplo para el artículo A : y = 11.25x en donde y representa los kilogramos y la y los pesos. Vemos que es la pendiente; a mayor pendiente mayor crecimiento, por lo tanto : Ejercicio 4 a) Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por P, siendo: i) P = (-2,3), m = 2 La pendiente también se reconoce por la letra m. Estos ejemplos son más fáciles porque queda una sola ecuación. El punto P me dice que, cuando x vale 2 y vale 3, entonces : 3 = 2. (-2) + b y m x (pendiente) 5

6 3 = -4 + b b = 7 Rta.: y = 2x + 7 ii) P = (1,5), m = 0 5 = b b = 5 Por lo tanto: y = 0.x + 5 y = 5 iii) P = (3,-4); m = -1-4 = b b = -1 y = -x 1 iv) P = (1/5,-3/5); m = -1/2-3/5 = -1/2.1/5 + b b = -3/5 + 1/10 = -5/10 = -1/2 y = -1/2x 1/2 b) Encontrar la pendiente de la recta que pasa por P y Q siendo: i) P = (1,2) Q = (-4,3) Nos piden encontrar el valor de a (o m) y = mx + b 2 = m.1 + b 3 = m.(-4) + b -1 = 5m m = -1/5 ii) P = (5,8) Q = (-6,8) 8 = m.5 + b 8 = m.(-6) + b 0 = 11m 6

7 m = 0 Ejercicio 5 Hallar la pendiente de la recta que pasa por (3,2) y (4,a) Resolvemos como siempre. y = mx + b Por lo tanto 2 = m.3 + b a = m.4 + b 2 a = - m m = a 2 i) Para qué valor de a la pendiente vale 8 Nos dicen que m = 8, entonces 8 = a 2 a = 10 ii) Para qué valor de a la recta corta al eje de las y en el punto (0,3) Sabemos que la recta pasa por el (3,2) y además por el (0,3). Entonces buscamos la ecuación de esa recta como siempre, nos da: y = -1/3x + 3 Como además pasa por el punto (4,a), entonces f(4) = -1/ = -4/3 + 3 = 5/3 Por lo tanto a = 5/3 iii) Para qué valor de a la recta pasa por el pun to (2,9) Idem anterior. y = -7x + 23 Entonces: f(4) = = = -5 Respuesta: a = -5 7

8 iv) Para los valores de a hallados en los incisos anteriores, calcular en qué punto las rectas cortan al eje x. Vemos gráficamente en dónde corta una recta cualquiera al eje x. El valor de la y será cero, por lo tanto tenemos que pedir y = 0. Para el i) calculamos la ecuación de la recta: Pasa por el (3,2) y (4,10), por lo tanto y = 8x 22 Para que corte al eje x pido y = 0 8x 22 = 0 x = 11/4 Respuesta: corta en (11/4;0) Para el ii) teníamos y = -1/3x + 3-1/3x + 3 = 0 x = 9 Entonces corta al eje x en (9,0) Para el iii) era y = -7x x + 23 = 0 x = 23/7 Por lo tanto, corta en (23/7;0) Ejercicio 6 A partir de los siguientes gráficos: a) Escribir la función lineal correspondiente a cada recta. b) Determinar la pendiente. Hacemos como siempre, con la diferencia que los puntos por donde pasa la recta los tenemos que sacar del gráfico. i) Pasa por el (0,1) y (1,2) 8

9 y = mx + b 1 = m.0 + b 2 = m.1 + b b = 1 y m = 1 Entonces y = x + 1 m = 1 es la ecuación de la recta su pendiente ii) Pasa por el (0,2) y es constante, o sea que m (la pendiente) vale cero. Respuesta y = 2 m = 0 iii) Idem anterior y = -3 m = 0 iv) Pasa por el (0,2) y el (1,0) 2 = m.0 + b 0 = m.1 + b b = 2 y m = -2 Por lo tanto: y = -2x + 2 m = -2 Ejercicio 7 a) Dados los siguientes pares de funciones lineales f y g, determinar analíticamente el conjunto A = { x R f(x) g(x) } i) f(x) = 3x + 2, g(x) = 2x 1 Nos preguntan para qué valores de x f(x) g(x), entonces 3x + 2 2x 1 3x 2x -1 2 x -3 ii) f(x) = -2x + 1, g(x) = 4x + 1-2x + 1 4x + 1-2x 4x 1 1-6x 0 0 x 6 x 0 9

10 iii) f(x) = 7x 1, g(x) = -x 4 7x 1 -x 4 7x + x x -3 x -3/8 b) Dibujar los gráficos de f y g y representar el conjunto A = { x R f(x) g(x) } sobre el eje de las x. Hallar, si existe, el supremo A, infimo A en cada caso. i) f(x) = -4x 1, g(x) = 2x 3 Lo hago también en forma analítica. f(x) g(x) -4x 1 2x 3-6x -2 Sup A = 1/3 Inf A no tiene 1 x 3 10

11 ii) f(x) = 2x 1, g(x) = 2x 5 2x 1 2x verdadero Como la condición es verdadera y no depende del valor d e x, la solución serán todos los reales. f(x) // g(x) Siempre f(x) es mayor que g(x), esto se cumple para cualquier valor de x. No tiene ni supremo ni ínfimo. iii) f(x) = 3, g(x) = -5x 2 3-5x 2 5x -2 3 x -1 No tiene supremo. Inf A = -1 11

12 c) Determinar cuáles de las funciones de los incisos anteriores son crecientes y cuáles decrecientes. Determinar también cuál crece más rápidamente y cuál decrece más rápidamente. Del i) f es decreciente (tiene pendiente negativa, m = -4) g es creciente (pendiente positiva, m = 2) Del ii) f es creciente, m = 2 g es creciente, m = 2 Del iii) f es constante, m = 0 g es decreciente, m = -5 De las funciones crecientes todas lo hacen a la misma velocidad: 2; de las decrecientes la función g, del último punto es la que lo hace más rápidamente. Ejercicio 8 Unos amigos se encuentran de vacaciones. Desean alquilar un auto y disponen de dos opciones: A: $45 por día B: $18 por día más $0,6 por km recorrido. Estudiar la función gasto en cada opción y decidir a partir de qué recorrido es más económica la opción A que la B, sabiendo que los amigos estarán 15 días de vacaciones. Tené cuidado que la función costo depende de los km y no de los días, la cantidad de días es fija: 15. Se define: x: cantidad de km recorridos en los 15 días. y: costo del alquiler Opción A: y = 45*15 y = 675 Opción B: y = 18*15 + 0,6x y = ,6x Nos preguntan para qué valor de x la función de la opción A comienza a ser menor que la B ,6x x 0,6 675 x Respuesta: a partir de los 675 km nos conviene elegir la opción A. Ejercicio 9 Supongamos que la demanda semanal de un producto es de 100 udades cuando el precio es de $58 por udad y de 200 udades con precio de $51 cada uno. 1) Determinar la ecuación de la demanda p = D(q), suponiendo que es lineal. Nos da como dato los siguientes puntos: (100,58) y (200,51) q p 12

13 Encontramos la ecuación de la recta que pasa por esos puntos. p = D(q) = -0,07q ) Calcular D(75). Qué representa? D(75) = -0,07* = 59,75 Nos dice que el precio será de$59,75 cuando la demanda semanal sea de 75 udades. Ejercicio 10 Supongamos que un fabricante de zapatos está dispuesto a colocar en el mercado 50 (miles de pares) cuando el precio es 35 (pesos por par) y 75 cuando su precio es de 50. 1) Obtener la ecuación de la oferta, suponiendo que el precio p y la cantidad q tienen una relación lineal. Idem anterior, tenemos (50,35) y (75,50) Por lo tanto p = O(q) = 0,6q + 5 2) Graficarla Ejercicio 11 El mismo fabricante de zapatos ha podido determinar que la ecuación de demanda de su producto es p = D(q) = -1/2q ) Hallar la cantidad de pares de zapatos que debe fabricar para que la oferta coincida con la demanda (cantidad de equilibrio). Cuál es el precio (precio de equilibrio) del par de zapatos para esta cantidad? El punto de equilibrio es cuando la oferta y la demanda son iguales (igual cantidad e igual precio). Por lo que se debe plantear 13

14 O(q) = D(q) 0,6q + 5 = -0,5q ,1q = 33 q = 30 El precio de equilibrio lo obtendremos reemplazando este valor en cualquiera de las dos funciones: p = O(30) = 0,6* = 23 2) En un mismo sistema de coordenadas graficar las funciones de oferta y demanda. 3) Interpretar geométricamente el punto de equilibrio (cantidad, precio). Es el punto que surge de la intersección de las dos curvas (una recta es también una curva) de oferta y demanda. Ejercicio 12 Una empresa vende un producto a $65 por unidad. Los costos variables por udad en concepto de materiales y mano de obra ascienden a $37. Los costos fijos anuales ascienden a $ ) Encontrar la función de costo total y = C(x), expresada en términos de x, número de unidades producidas y vendidas. Los costos fijos son los que se tienen se fabrique o no el producto, por ej., impuestos, alquileres, etc. En cambio los variables dependen de la cantidad producida. y = C(x) = 37x ) Encontrar la función de ingreso total y = I(x) expresada en términos de x. El ingreso se calcula como la cantidad vendida por el precio de venta, entonces: y = I(x) = 65x 3) Encontrar la función de utilidad, ( utilidad = ingreso total costo total ) qué utilidad se obtienen si las ventas son de 2000 unidades? 14

15 La función de utilidad o ganancia es la diferencia entre los ingresos y los costos. y = U(x) = I(x) C(x) = 65x (37x ) = 28x U(2000) = 28* = ) Cómo se interpreta este resultado? Se pierde dinero, no se alcanza a recuperar los costos; esto es debido a los costos fijos. 5) Cuántas unidades se deben vender para tener una utilidad mayor que $60000? U(x) > x > x > 6428,57 Como son unidades redondeo al entero mayor: x > 6429 Ejercicio 13 Una compañía de seguros cuenta con un método simplificado para determinar la prima anual de una póliza de seguro de vida. Se cobra un cargo anual de $10 por todas las pólizas más $1,50 por cada $1000 del importe de la póliza. Si P es la prima anual en pesos y x denota el valor nominal de la póliza en miles de pesos, determinar P = P(x) P = P(x) = ,5x Ejercicio 14 Existe una función lineal que responda a la siguiente tabla de valores? x f(x) /2 1/3 1-1/5 Se calcula la ecuación de la recta con los dos primeros puntos: (-1,2) y (1/2,1/3) y = -10/9x + 8/9 Ahora nos fijamos si el tercer punto (1,-1/5) cumple con la ecuación f(1) = -10/9*1 + 8/9 = -2/9-1/5 Rta: no existe función lineal que pase por los tres puntos. 15

16 Ejercicio 15 Completar la siguiente tabla de valores, sabiendo que y = f(x) es lineal. x f(x) /2 1/3 279/450 1/5 0 8/9 La función es la misma que pasa por los dos primeros puntos en el ejercicio anterior. y = f(x) = -10/9x + 8/9 Para que f(x) = 1/5, pido Por otro lado -10/9x + 8/9 = 1/5-10/9x = 1/5 8/9 x = (-31/45) : (-10/9) x = 279/450 f(0) = -10/9*0 + 8/9 = 8/9 16