I.3.1 INTERFERENCIA DE ONDAS TRANSVERSALES. Si consideramos dos pulsos que viajan en una cuerda, uno hacia la derecha y otro a la izquierda:

Transcripción

1 I.3 SUPERPOSICIÓN DE ONDAS ONDAS ESTACIONARIAS Si dos o más ondas viajan en un mismo medio, la función de onda resultante en un punto es la suma algebraica de los valores de las funciones de las ondas individuales que se propagan en el medio. Dos ondas viajeras pueden pasar una a través de la otra sin ser destruidas o alteradas. Esto ocurre debido al principio de superposición, el cual se cumple en el caso de ondas mecánicas si las ondas son aquellas denominadas lineales (amplitudes << longitudes de onda). Las ondas mecánicas que no cumplen el principio de superposición se denominan ondas no lineales (amplitudes grandes). I.3.1 INTERFERENCIA DE ONDAS TRANSVERSALES Si consideramos dos pulsos que viajan en una cuerda, uno hacia la derecha y otro a la izquierda: La rapidez v es la misma para ambos pulsos (misma cuerda) y cuando se traslapan o se interfieren la función de onda resultante es y 1 +y 2, luego de la interacción, los dos pulsos permanecen intactos como antes de la interferencia. Interferencia constructiva Cuando se interfieren dos ondas y la amplitud resultante es mayor que la de cualquiera de los pulsos individuales, es decir, los desplazamientos del medio en ambas ondas son en la misma dirección, se denomina a esta superposición interferencia constructiva. Cuando se interfieren dos ondas y la amplitud resultante es menor que la mayor de los pulsos individuales que se interfieren, es decir, los desplazamientos del medio en ambas ondas son inversos, se denomina a esta superposición interferencia destructiva.

2 Interferencia destructiva Si las ondas son transversales senoidales y se interfieren, por ejemplo, dos ondas viajeras a la derecha con la misma frecuencia, amplitud y longitud de onda, pero difieren en una fase Ø radianes: Y 1 (x,t) = Asen(kx wt) Y 2 (x,t) = Asen(kx wt + Ø) Y = Y 1 + Y 2 = A sen(kx wt) + sen(kx wt + Ø) Utilizando la propiedad trigonométrica sen(a) + sen(b) = 2 cos[(a-b)/2] sen[(a+b)/2] Y(x,t) = 2A cos(ø/2) sen(kx wt + Ø/2) Ø = Diferencia de fase entre las dos ondas Resultante de dos ondas transversales senoidales iguales Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva Si cos(ø/2)=±1, la amplitud resultante es 2A, la interferencia es constructiva, ocurre cuando Ø = 0, 2л, 4л, Si cos(ø/2)=0, la amplitud resultante es 0, la interferencia es destructiva, ocurre cuando Ø = л, 3л, 5л, I.3.2 INTERFERENCIA DE ONDAS LONGITUDINALES Si consideramos una fuente que genera ondas de sonido, las cuales entran a un mecanismo donde se dividen y viajan en dos trayectorias a través de dos tubos, y dicho mecanismo nos permite variar la longitud de uno de los tubos, como muestra la figura:

3 r 1 = longitud de trayectoria de la primera onda (fija) r 2 = longitud de trayectoria de la segunda onda (variable) Compresión Considerando al receptor de sonido, si la diferencia entre las trayectorias r = r 2 r 1 es cero o un múltiplo entero de la longitud de onda λ, se dice que las ondas que percibe el receptor están en fase e interfieren constructivamente. Por ejemplo, una compresión que viaja a través de r 1 llega justo con otra que viaja a través de r 2, se suman y amplifican formando una interferencia constructiva y ocurre un máximo en la intensidad del sonido. Esto ocurre cuando r = nλ y n= 0, 1, 2, 3, Si la diferencia entre las trayectorias r = r 2 r 1 es λ/2 o un múltiplo entero impar de esta cantidad, se dicen que las ondas que percibe el receptor están en fuera de fase (180 o л rad.) e interfieren destructivamente. Por ejemplo, una compresión a través de r 1 llega justo con una expansión (rarefacción) a través de r 2, se anulan formando una interferencia destructiva y ocurre un mínimo en la intensidad del sonido. Esto ocurre cuando r = nλ/2 y n= 1, 3, 5, En resumen, si consideramos m = 0, 1, 2, 3, 4, se tiene que: r = (2m) λ 2 Interferencia constructiva (están en fase, Ø entre las dos ondas = 0, 2л, 4л, ) r = (2m+1) λ Interferencia destructiva (están fuera de fase, Ø entre las dos ondas = л, 3л, 5л, ) 2 También se puede expresar la diferencia de trayectoria r en función del ángulo de fase, la diferencia de trayectoria de una longitud de onda corresponde a un ángulo de fase de 2л, con lo cual se cumple la relación Ø/2л = r/λ: r = Ø λ 2л Relación entre la diferencia de trayectoria y la fase Ø entre las dos ondas. I.3.3 ONDAS ESTACIONARIAS Cuando dos ondas periódicas idénticas viajan en un mismo medio pero en sentidos opuestos, se combinan de acuerdo al principio de superposición y se obtiene una onda estacionaria. Se observa una figura oscilante pero un contorno permanente y un efecto estacionario, la onda resultante no viaja.

4 I.3.3a ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS Si consideramos dos ondas senoidales idénticas (la misma frecuencia, amplitud y longitud de onda) pero viajan en sentidos opuestos: Y 1 (x,t) = Asen(kx wt) Y 2 (x,t) = Asen(kx + wt) Y = Y 1 + Y 2 = A sen(kx wt) + sen(kx + wt) Utilizando la propiedad trigonométrica sen(a ± b) = sen(a)cos(b) ± cos(a)sen(b) Y(x,t) = [2Asen(kx)] cos(wt) Onda estacionaria en una cuerda Amplitud de la onda estacionaria La ecuación anterior no presenta el término kx wt, lo cual indica que la onda no viaja. Se distinguen oscilaciones armónicas de los elementos del medio con una frecuencia w y una amplitud que depende de la posición en x del elemento del medio. Los elementos del medio en los cuales la amplitud tiene un valor mínimo de cero se denominan nodos (puntos de amplitud cero): Onda estacionaria Y(x,t) = [2Asen(kx)] cos(wt) en una cuerda Amplitud de la onda estacionaria Ocurren cuando sen(kx)=0, cuando kx = 0, л, 2л, 3л, y como k=2л/λ: x = λ/2, λ, 3λ/2, = nλ/2 (n= 0, 1, 2, 3, ) Posición de los nodos Los puntos en los cuales los elementos del medio tienen un mayor desplazamiento desde el equilibrio, es decir, una amplitud máxima de 2A (llamada amplitud de la onda estacionaria) se denominan antinodos: Ocurren cuando sen(kx)=±1, cuando kx = л/2, 3л/2, 5л/2, y k=2л/λ: x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, = nλ/4 (n=1, 3, 5, ) Posición de los antinodos

5 Si analizamos una onda estacionaria para varios tiempos: λ En (a) para t=0 están en fase (interferencia constructiva), en (b) para t=t/4 están fuera de fase (interferencia destructiva) y en (c) para t=t/2 vuelven a estar en fase. La distancia entre nodos adyacentes es igual a λ/2, entre antinodos adyacentes es igual a λ/2 y la distancia entre un nodo y un antinodo adyacente es λ/4. Si consideramos una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, y mediante un mecanismo oscilador armónico generamos una onda en ella, al llegar a los extremos se refleja (frontera o borde fijo), la interferencia entre incidentes y reflejadas forman una onda estacionaria, donde los extremos de la cuerda son nodos de desplazamiento por definición (amplitud cero): Dependiendo de la tensión, densidad y longitud de la cuerda, la misma posee unos patrones naturales de oscilación, llamados modos normales de vibración, cada uno de los cuales tiene una frecuencia determinada que es múltiplo entero de una frecuencia fundamental, es decir, esas frecuencias determinadas están cuantizadas. Si la fuente de perturbación hace que la cuerda oscile a esas frecuencias específicas, llamadas frecuencias resonantes se generan patrones de ondas estacionarios característicos. Si analizamos la longitud de onda (distancia entre dos nodos consecutivos iguales) en el primer modo normal de vibración λ 1 =2L, en el segundo λ 2 =L y en el tercero λ 3 =2L/3 y así sucesivamente. Por cada frecuencia de los modos normales aumentan los nodos y antinodos en una unidad.

6 λ = 2L/n (n= 1, 2, 3, ) Longitudes de onda de modos normales Las frecuencias naturales de la cuerda asociadas a estos modos normales se obtienen de la relación f=v/λ y la rapidez de la onda es una constante: f n = n v/2l (n= 1, 2, 3, ) vibración Como la rapidez en una cuerda es v = T/µ f n = n/2l T/µ (n= 1, 2, 3, ) Para n=1, la frecuencia f 1 es la frecuencia mas baja denominada frecuencia fundamental, las frecuencias de los restantes modos normales son múltiplos enteros de esta fundamental. A esta serie de múltiplos se les llama también serie armónica y cada modo se llama una armónica. Primera armónica Segunda armónica Tercera armónica I.3.3b ONDAS ESTACIONARIAS EN COLUMNAS DE AIRE Las ondas estacionarias también son posibles en tubos de aire, si perturbamos el aire en un extremo, la onda al llegar al otro se refleja y la interferencia de la onda incidente mas la reflejada genera un onda estacionaria. Si consideramos una fuente en un extremo del tubo, y el mismo se encuentra abierto en ambos extremos, por definición los extremos son antinodos de desplazamiento y por ende un nodo de presión, lo cual se demuestra al considerar que si está abierto un extremo la presión es constante igual a la atmosférica y en equilibrio. Por qué se refleja la onda si el extremo es abierto? Dependiendo del tipo de fluido (aire en este caso), su densidad y la longitud del tubo la columna de aire también posee unos patrones naturales de oscilación, llamados modos normales de vibración o armónicas, cada una de los cuales tiene una frecuencia determinada que es múltiplo entero de una frecuencia fundamental. Si la fuente de perturbación hace que la cuerda oscile a esas frecuencias específicas, llamadas también frecuencias resonantes se generan patrones de ondas estacionarios característicos.

7 Si analizamos la longitud de onda (distancia entre dos antinodos consecutivos iguales) en el primer modo normal de vibración λ 1 =2L, en el segundo λ 2 =L y en el tercero λ 3 =2L/3 y así sucesivamente. Por cada frecuencia de los modos normales aumentan los nodos y antinodos en una unidad. Longitudes de onda de modos normales λ = 2L/n (n= 1, 2, 3, ) tubo abierto en ambos extremos Las frecuencias naturales del tubo asociadas a estos modos normales se obtienen de la relación f=v/λ y la rapidez de la onda es una constante: f n = n v/2l (n= 1, 2, 3, ) vibración tubo abierto en ambos extremos Nótese que la serie de frecuencias armónicas es idéntica a la serie de frecuencias para una cuerda con ambos extremos fijos. Si uno de los extremos del tubo está abierto y el otro cerrado, este último es por definición un nodo de desplazamiento (extremo fijo), por ende es un antinodo de presión: Si analizamos la longitud de onda (distancia entre dos antinodos consecutivos iguales) en el primer modo normal de vibración λ 1 =4L, en el segundo λ 3 =4L/3 y en el tercero λ 5 =4L/5 y así sucesivamente. Por cada frecuencia de los modos normales aumentan los nodos y antinodos en una unidad. λ = 4L/n (n= 1, 3, 5, ) Longitudes de onda de modos normales tubo abierto y cerrado Las frecuencias naturales del tubo se obtienen de la relación f=v/λ: f n = n v/4l (n= 1, 3, 5, ) vibración tubo abierto y cerrado

8 Combinando el análisis de ondas estacionarias en cuerdas y en tubos de aire, se puede concluir que en cualquier medio de longitud L y extremos iguales, es decir, fijo fijo ó libre libre, las frecuencias armónicas (de los modos normales de vibración del medio) sigue la relación: f n = n v/2l (n= 1, 2, 3, ) vibración para extremos iguales Y si los extremos son diferentes, es decir, fijo libre ó libre fijo, las frecuencias armónicas (de los modos normales de vibración del medio) sigue la relación: f n = n v/4l (n= 1, 3, 5, ) I.3.4 RESONANCIA vibración para extremos diferentes En la mecánica, los sistemas tienen una serie de frecuencias naturales de oscilación, si aplicamos una fuerza periódica al sistema, la amplitud del movimiento resultante es mayor cuando la frecuencia de la fuerza periódica aplicada es igual a una de las frecuencias naturales del sistema. Este fenómeno se denomina resonancia y por eso las frecuencias de los modos normales de vibraciones denominan frecuencias resonantes. Ejemplos de resonancia: