Viernes 14 evaluación ÁLGEBRA II. Propiedad Intelectual Propiedad Cpech Intelectual Cpech

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1 Viernes 14 evaluación ÁLGEBRA II Álgebra II Propiedad Intelectual Propiedad Cpech Intelectual Cpech

2 Aprendizajes esperados Reconocer y resolver productos notables. Interpretar geométricamente productos notables. Factorizar expresiones algebraicas. Dividir expresiones algebraicas simples. Determinar m.c.m. algebraico entre expresiones.

3 Contenidos Álgebra II Productos notables Operatoria de expresiones algebraicas Factorización

4 Productos notables Son los productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. 1) Cuadrado de binomio (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Ejemplos: 1) (3x + y) 2 = (3x) x y + (y) 2 = 9x 2 + 6xy + y 2 2) (2p 5q) 2 = (2p) 2 2 2p 5q + (5q) 2 = 4p 2 20pq + 25q 2

5 Productos notables Podemos entender geométricamente el cuadrado de binomio, utilizando cuadrados divididos a a 2 ab a b ab b 2 b a b a b Al calcular las áreas de ambos cuadrados se tiene: (a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2

6 Productos notables 2) Suma por su diferencia (a + b)(a b) = a 2 b 2 Ejemplos: (7p + 4q)(7p 4q) = (7p) 2 (4q) 2 = 49p 2 16q 2

7 Productos notables 3) Producto de binomios con un término común (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + a b Ejemplos: 1) (x + 4)(x 6) = x 2 + (4 6)x + 4 ( 6) = x 2 2x 24 2) (x 2)(x 8) = x 2 + ( 2 8)x + ( 2) ( 8) = x 2 10x + 16

8 Factorización Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Existen distintas formas de factorizar, entre ellas: Factor común monomio Se aplica para factorizar expresiones en la cual todos los términos tienen un factor en común (puede ser número, letra, o una combinación de los dos). Ejemplo: 4ab a 2 b 2 8a 3 b 2 =2 2 a b a a b a a 2 b a b a a b a a 2 b 2 = 2ab 2 (2 + 5a 4a 2 ) = 2ab 2 (2 + 5a 4a 2 )

9 Factorización Factor común polinomio Cuando en una expresión algebraica, NO todos los términos tienen un factor común, a veces se pueden agrupar convenientemente, obteniéndose factores comunes en cada grupo. Ejemplo: ab 2 + cb 2 + ad 2 + cd 2 = (ab 2 + cb 2 ) + (ad 2 + cd 2 ) = b 2 (a + c) + d 2 (a + c) = (a + c) (b 2 + d 2 )

10 Factorización Reconocer productos notables 1) 4x 2 64y 2 = (2x + 8y)(2x 8y) Corresponde a una suma por su diferencia 2) x 2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común.

11 División Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplo: Si p 2q 0, entonces: p 2 4q 2 p 2q = (p + 2q)(p 2q) (p 2q) = p + 2q Error común! (x 4) (x 5)

12 División Ejemplo: Si x 2 y 2 0, entonces (x + y) 2 x 2 y 2 : 1 x y = (x + y)(x + y) : 1 (x + y)(x y) x y = (x + y) (x y) : 1 x y = (x + y) x y (x y) 1 = (x + y)

13 Mínimo común múltiplo Entre monomios Corresponde al producto entre el m.c.m. de los factores numéricos y todos los factores literales con su mayor exponente. Ejemplo: Entre polinomios El m.c.m. entre 4xy 3, 12x 2 y 2 36x 3 y 4 y 18x 3 y 4 es: Es equivalente al m.c.m. entre monomios, pero hay que factorizar previamente. Es el producto de todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo: El m.c.m. entre (a 2 b 2 ) y (a 2 2ab + b 2 ). Factorizando: (a 2 b 2 ) = (a + b)(a b) (a 2 2ab + b 2 ) = (a b) 2 Por lo tanto, el m.c.m. es (a + b)(a b) 2.

14 Ejemplo 1. Si x 0, entonces: 1 2x + 1 3x + 1 6x = (Aplicando m.c.m.) = 6x 6 6x = (Simplificando) 1 x

15 Ejemplo 2. Si x y y x y, entonces: (x + y) (x y) (x y) + = (x + y) (Aplicando m.c.m.) (x + y) 2 + (x y) 2 (x y)(x + y) = (Desarrollando) x 2 + 2xy + y 2 + x 2 2xy + y 2 (x y)(x + y) = (Reduciendo términos semejantes) 2x 2 + 2y 2 (x 2 y 2 )

16 Apliquemos nuestros conocimientos 1. Si el lado de un cuadrado es (a + 3), con a > 0, entonces la expresión que representa su área es A) a 2 + 6a + 9 B) a 2 + 3a + 9 C) a D) a E) ninguna de las expresiones anteriores. Cuál es la alternativa correcta?

17 Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: El área de un cuadrado es (lado) 2, entonces: Área cuadrado = (a + 3) 2 (Desarrollando) Área cuadrado = a a Área cuadrado = a 2 + 6a + 9 A Habilidad: Aplicación

18 Apliquemos nuestros conocimientos 2. A un cuadrado de lado (p+q) se le corta un cuadrado de lado p en una esquina, como muestra la figura. Si p > 0 y q > 0, entonces la expresión que representa el área achurada es (p + q) p A) 2p p B) q 2 C) pq + q 2 D) 2pq + q 2 E) ninguna de las expresiones anteriores. Cuál es la alternativa correcta?

19 Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: p p (p + q) Habilidad: D Aplicación Área achurada = Área del cuadrado mayor área del cuadrado menor Área achurada = (p + q) 2 p 2 Área achurada = p 2 + 2pq + q 2 p 2 Área achurada = 2pq + q 2 (Desarrollando) (Reduciendo términos semejantes)

20 Apliquemos nuestros conocimientos 3. Si m 2 + n 2 = 37 y m n = 12, entonces el valor de (m n) 2 es A) 13 B) 29 C) 37 D) 61 E) faltan datos para determinarlo. Cuál es la alternativa correcta?

21 Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: Si m 2 + n 2 = 37 y m n = 12, entonces: (m n) 2 = (Desarrollando) m 2 2mn + n 2 = m 2 + n 2 2mn = (Reordenando) (Reemplazando) = (Multiplicando) = 13 A Habilidad: Análisis

22 Apliquemos nuestros conocimientos 4. Sea x 0, al simplificar la expresión x 3xy resulta 5x A) B) C) D) E) 1 3xy 5 1 3y 5 x 3y 5 2x 5 2y 5 Cuál es la alternativa correcta?

23 Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: x 3xy 5x = (Factorizando el numerador) x(1 3y) 5x = (Simplificando) 1 3y 5 B Habilidad: Aplicación

24 Apliquemos nuestros conocimientos 5. Si (x 2 121) 0, entonces la expresión x 2 14x + 33 es igual a x A) x + 3 x + 11 B) x + 3 x 11 C) x 3 x + 11 D) x 3 x 11 E) ninguna de las expresiones anteriores. Cuál es la alternativa correcta?

25 Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: x 2 14x + 33 x = (Factorizando) (x 11) (x 3) (x + 11)(x 11) = (Simplificando) x 3 x + 11 C Habilidad: Aplicación

26 Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Ecuaciones y problemas de planteo

27 Equipo Editorial: Área Matemática ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL.