2.1 Razones trigonométricas del ángulo suma y del ángulo diferencia de otros dos ángulos dados.

Transcripción

1 Tema : TRIGONOMETRÍA PLANA..1 Razones trigonométricas del ángulo suma y del ángulo diferencia de otros dos ángulos dados.. Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad..3 Teoremas del coseno y de los senos..4 Resolución de triángulos oblicuángulos..1 Razones trigonométricas del ángulo suma y del ángulo diferencia de otros dos ángulos dados. Hemos calculado el ángulo de 10º a partir de 60º, pero que ocurriría si quisiéramos calcular las razones trigonométricas de 75º. Por ejemplo: cos75º, sería un error pensar que sen75º = sen30º + sen45º. En clase demostramos que: cos(+) = cos. cos - sen. sen Para el coseno de una diferencia tenemos la siguiente fórmula: cos(-) = cos. cos + sen. sen Su demostración es casi trivial, tan sólo debemos tener en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos. cos(-) = cos(+(-)) = cos. cos(-) - sen. sen(-) = cos. cos + sen. sen Estas fórmulas corresponden a los cosenos del ángulo suma y del ángulo diferencia. Si deseamos conocer los senos de ambos ángulos, debemos utilizar las propiedades de los ángulos complementarios, obteniendo: sen(+) = sen. cos + cos. sen sen(-) = sen. cos - cos. sen Calculemos las tangentes para ello utilicemos su definición: tag(+) = sen( ), aplicando las fórmulas que ya conocemos y dividiendo por coscos cos( ) obtenemos : tg tg tag(+) = 1 tg tg tg tg tag(-) = 1 tg tg 1

2 Ejercicio 1. Demuestra que sen(+) = -sen. Ejercicio. Calcula el seno, coseno y tangente de 75º. Ejercicio 3. Calcula el seno, coseno y tangente de 15º. Ejercicio 4. Sabiendo que sen1º = 0 y sen37º = 0 6. Calcula sen49º, cos49º. Ejercicio 5. a) Si cos78º = 0 y sen 37º = 0 6. Calcula el se41º, cos41º. b) Se conoce sen = 0 6 y cos = 0 5, ambos agudos. Halla las razones trigonométricas del ángulo -. Ejercicio 6: Resuelve las siguientes ecuaciones. f) cosx = senx g) cosx + senx = 1 h) cosx + cosx = 0 i) cos x + cosxcosx = 0 j) tgx = cotgx k) 4cosx + 3cosx=1 l) senx = 1 cosx m) cosx = 1 + senx. Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad. Razones trigonométricas del ángulo doble: Si en las razones trigonométricas del ángulo suma consideramos = obtendríamos las razones trigonométricas del ángulo doble: sen = sen cos cos = cos - sen tg tg = 1 tg Razones trigonométricas del ángulo mitad: cos 1 cos, sen 1 cos tg 1 cos 1 cos

3 Ejercicio 6. Calcular las razones trigonométricas del ángulo 90º a partir de 45º. Ejercicio 7. Calcula las razones trigonométricas de 15º, a partir de 30º. Ejercicio 8. Si sen = - 1/13 y está en el tercer cuadrante, calcular las razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad..3 Teoremas del coseno y del seno. El teorema del coseno afirma que en un triángulo ABC se verifica: C b a=c-b A c B que a = b + c - bc cosa. b = a + c - ac cosb. c = a + b - ab cosc. Teorema de los senos. C C b a h b a h A c B A c B (acutángulo) (obtusángulo) El teorema de los senos afirma que se verifica la siguiente igualdad: Es decir, que las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, a mayor ángulo mayor lado. La constante de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. 3

4 .5 Resolución de Triángulos Oblicuángulos. Resolver un triángulo es conocer todos sus lados y ángulos a partir de los datos que nos proporcionen sobre él. Para ello debemos aplicar todos los conocimientos que tenemos de la trigonometría según los datos que nos ofrezcan. En la resolución de triángulos no rectángulos se nos pueden presentar cuatro casos, demos indicaciones generales para la resolución de cada uno de esos casos: 1 er caso: Conocemos dos ángulos y un lado. Resolveremos mediante el teorema del seno. Supongamos que A = 45º, B = 60º y c = 5cm. Resolver el triángulo ABC es calcular los lados a y b y el ángulo C. El ángulo C es trivial ya que los tres ángulos de un triángulo suman 180º, es decir, C = 75º. Aplicando el teorema de los senos:, obtenemos que a b 5, es decir, a 5 b 5 y. despejando sen 45º sen 60º sen 75º 0, 9 3 0, 9 tendremos el valor de a y b. a 3,66 cm b 4,48 cm. º Caso: Conocemos los tres lados. Resolveremos utilizando el teorema del coseno, no utilizar el del seno ya que la interpretación de la solución es más compleja. Supongamos que a = 4 cm, b = 5 cm y c = cm. Resuelve el triángulo. Utilizaremos el teorema de los cosenos a = b + c - bc cosa, despejando de dicha igualdad el coseno de A obtendremos: cosa = b c a bc (con la calculadora, A 49,46º) cosb = a c b ac , B 108,1º puesto que la suma de los tres ángulos es 180º tendremos que C 33º. 4

5 3 er Caso: Conocemos dos lados y el ángulo que forman. En este tercer caso será necesario aplicar ambos teoremas, aplicando en primer lugar el teorema del coseno, la fórmula en la cual aparezca el ángulo que conocemos y posteriormente el del seno. Debemos prestar especial atención a los resultados. Supongamos que b = 10cm, c = 8cm y el ángulo que forman A = 45º. Resolver dicho triángulo: a = b + c - bc cosa ; a = cos45º= ,86cm; es decir, a 7,13 cm. Mediante el teorema de los senos obtendremos: ; 713, 10 sen 45º senb ; despejando obtendremos que senb = 0,99, es decir, B 8,6º o bien 8º37. Tan sólo nos falta calcular el ángulo C = 180º - A - B 5º3. Atención podría ser B 180-8,6?! No ya que entonces A+B sería mayor de 180º. 4º Caso: Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este problema puede tener una (cuando senb 1), dos (senb < 1) o ninguna solución (senb > 1), por ello haremos 3 ejemplos del caso 4, uno con una solución, otro con dos y otro sin ninguna solución. Resolveremos con el teorema de los senos. Debemos prestar especial atención al resultado Sabiendo que A = 30º, a = 3cm y b= 6cm, resolver dicho triángulo: ; 3 6 c sen 30º senb ; despejando obtendremos que senb = 1; es decir, B = 90º. (Se trata de un triángulo rectángulo) y por tanto C = 180º - 90º - 30º = 60º. 5

6 Para obtener el valor de c volveremos a utilizar el teorema de los senos: a 6 c ; despejando obtendremos el valor de c = 3 3 cm. sen A sen 90º sen 60 º Este problema tiene solución única. Veamos otros ejemplos del 4º caso: 4.. Supongamos que A = 60º, a = 8cm y b = 4cm. Resolver dicho triángulo: Procedemos de forma análoga al ejercicio anterior, ; senb = 1/.sen60º = 3 /4 0,43, utilizando la calculadora obtendremos que B 5º40 o 154º0 (el suplementario?) Son las dos soluciones válidas? La única solución posible es B 5º40.ya que si B = 154º entonces A+B sería mayor que 180º. Ya es trivial obtener que C 94º0 y que c 9,1cm Sabiendo que a= 45cm, b= 60cm y A = 80º. Resolver dicho triángulo. ; c sen 80º senb 60sen 80º ; senb = ; 45 senb = 4 sen80º > 1. No tiene solución. 3 6