UNIDAD 4: TRIGONOMETRÍA

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1 UNIDAD 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS La palara tri-gono-metría significa medida de las figuras con tres esquinas, es decir, de los triángulos. La trigonometría estudia las relaciones entre las longitudes de los lados de un triángulo y las medidas de sus ángulos. Por ello, las razones trigonométricas se definieron originariamente mediante triángulos rectángulos. No ostante, interesa definirlas usando la circunferencia unidad, es decir, en la llamada circunferencia goniométrica. Ángulos en el plano y criterio de orientación Dos semirrectas r y s, con origen común O, dividen el plano en dos regiones, cada una de las cuales determina un ángulo. O s r s s O r O r Unidades para medir ángulos Las unidades más utilizadas para medir ángulos son: º = grado sexagesimal (un grado sexagesimal es la medida del ángulo central correspondiente a una de las 360 partes en que se divide una circunferencia) rad = radián (un radián es la medida del ángulo central que sutiende un arco igual al radio) Para convertir grados sexagesimales en radianes, y viceversa, asta tener en cuenta la siguiente relación: 80º rad En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un ángulo agudo son las distintas razones (cocientes) que hay entre los lados. a c Hipotenusa Cateto contiguo Cateto opuesto Razones trigonométricas fundamentales: cateto opuesto seno: sen hipotenusa a cateto contiguo c coseno: cos hipotenusa a ipri Departamento de Matemáticas

2 Otras razones trigonométricas: cateto opuesto sen tangente: tg cateto contiguo c cos hipotenusa a cosecante: cosec cateto opuesto sen hipotenusa a secante: sec cateto contiguo c cos cateto contiguo c cotangente: cotg cateto opuesto tg Ejercicios:. Expresa los siguientes ángulos en: a) Radianes 35º, 300º, 35º, 0º ) Grados sexagesimales rad 6 9, rad 5, 5 rad. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos: 53 cm 8 cm 45 cm 5 cm 6 cm 3. Calcula las razones trigonométricas directas (seno, coseno y tangente) del ángulo si: a) sen c) cos ) tg d) sen 0, 4. Calcula la altura y el área de un triángulo equilátero de lado 6 cm, sin utilizar el teorema de Pitágoras. 5. Si la altura de un triángulo equilátero mide 5,96 cm; calcula cuánto mide el lado del triángulo, sin utilizar el teorema de Pitágoras. 6. Calcula la longitud de las diagonales de un romo saiendo que sus ángulos son 60º y 0º, y que sus lados miden 6 cm. 7. En un terreno horizontal se divisa una torre desde un punto A ajo un ángulo de 30º. Si nos aproximamos 0 m se llega a un punto B, desde el que oservamos la torre ajo un ángulo de 45º. Calcula la altura de la torre. Matemáticas I

3 8. Para medir la distancia entre los márgenes de un río un topógrafo se coloca en un punto A de uno de ellos y, fijándose en un árol P que está al otro lado mide el ángulo que forma su visual respecto a la dirección del río. Este ángulo es de 54º. A continuación, se aleja 6 m y se coloca en un punto B. El ángulo ahora es de 49º. Cuánto mide el río de ancho?. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS 0º 30º 45º 60º 90º sen 0 3 cos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA En un sistema de ejes coordenados consideremos una circunferencia de radio unidad y un ángulo que tenga uno de sus lados sore el eje OX. Entonces, a dicho ángulo se le puede asociar de manera única un punto, sore la circunferencia, de coordenadas x, y de manera que xy, cos,sen y cos xy, cos,sen sen x La circunferencia anterior se llama circunferencia goniométrica. Dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el ángulo, los signos de las razones trigonométricas fundamentales son: ipri Departamento de Matemáticas 3

4 La interpretación geométrica de todas las razones trigonométricas es la siguiente: cotg sec cosec sen tg cos Reducción de ángulos al primer cuadrante Sea el ángulo del primer cuadrante relacionado, en cada caso, con el ángulo. Si es un ángulo del segundo cuadrante, entonces sen sen cos cos Si es un ángulo del tercer cuadrante, entonces sen sen cos cos Si es un ángulo del cuarto cuadrante, entonces sen sen cos cos Ángulos mayores de 360º Si es un ángulo mayor de 360º, entonces y 360º, tienen las mismas razones trigonométricas., donde 0º,360º Ejercicios: 9. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El seno de un ángulo puede ser mayor que uno. ) El seno de un ángulo puede ser negativo. c) La tangente de un ángulo puede ser mayor que uno. d) La tangente de un ángulo puede ser cero. e) La secante de un ángulo puede ser negativa. f) La secante de un ángulo puede ser cero. es el resto de dividir entre 0. Expresa las razones trigonométricas de los siguientes ángulos en función de ángulos del primer cuadrante: a) 50º ) 5º c) 300º. Saiendo que cos50º 0,648, halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 30º c) 50º ) 30º d) 30º. Calcula las razones trigonométricas en función de ángulos del primer cuadrante: a) 475º c) 30º e) 5º ) 885º d) 695º Matemáticas I 4

5 4. RELACIONES ENTRE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Como es haitual usaremos la siguiente notación: sen sen cos :sen :cos sen Relación fundamental (teorema de Pitágoras) cotg cosec tg sec Ejercicios: 3. Averigua las restantes razones trigonométricas del ángulo saiendo: a) sen y 9 3 ) cotg 5 y 4. Razona si existe algún ángulo para el que se verifique: a) sen 0,3 y cos 0,8 ) sen 0,7 y tg,04 c) cos 0, y sen 0,99 Se tienen, además las siguientes propiedades: a) sen ) cos k c) tg : cos 0 con k 5. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE DIFERENTES CUADRANTES (i) Ángulos complementarios: y 90º sen 90º cos cos 90º sen (ii) Ángulos suplementarios: y 80º sen 80º sen cos 80º cos ipri Departamento de Matemáticas 5

6 (iii) Ángulos que difieren en 80º: y 80º sen 80º sen cos 80º cos (iv) Ángulos opuestos y o que suman 360º: y 360º sen sen 360º sen cos cos 360º cos Ejercicios: 5. Calcula sen50º, cos 40º y tg330º. 6. Calcula 4 sen y cos Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 0º c) 0º e) 300º ) 35º d) 5º f) 45º 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA, DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD (i) Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen tg tg tg tg tg (ii) (iii) Razones trigonométricas del ángulo dole sen sen cos tg tg cos cos sen tg Razones trigonométricas del ángulo mitad cos sen cos tg cos cos cos Matemáticas I 6

7 El signo + o depende del cuadrante en el que se sitúe. Ejercicios: 8. Demuestra: a) sen x cos x sen x sec x ) sen x cotg x cos x cos x tg x cosec x 9. Simplifica: 3 sen xcos xtg 4 a) cosec sen f) 3 cotg sen xcos x sen x sen ) g) cos x sen x cos 4 4 cos sen c) cotg h) cos sen x cos x tg d) i) cosx senx cosec cos tg e) sec sec sec j) sen 0. Expresa en función de tg x : tg x a) ) tg3 x 3 c) tg x d) tg x. Cuáles de las siguientes igualdades son ciertas? a) tg x tg x c) sen x sen x cos x cos x cos x cos x ) d). En un tramo de carretera la inclinación es de 6. Si ascendemos 45 m más de altura, cuánto hemos avanzado sore la carretera? (Sol.: 430,50 m) 3. Calcula los ángulos que forma una diagonal con los lados de un rectángulo de 0 m de ase y 60 m de altura. (Sol.: 8º 36 37,65 y 6º 3,35 ) 4. Calcula los ángulos de un trapecio isósceles cuyas ases miden 83 y 5 m y la altura, 60m. (Sol.: 75º 4 6,9 y 04º 55 53, ) ipri Departamento de Matemáticas 7

8 5. Calcula el perímetro de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 30 cm de diámetro. (Sol.: 75 cm) 6. Si las puntas de un compás distan 8 cm y cada rama mide5cm, qué ángulo forman éstas? (Sol.: 30º 55 55,7 ) 7. Una escalera de 35 m está apoyada sore una pared formando con la horizontal un ángulo de 50º. A qué distancia de la pared está colocada la escalera? A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera? 7. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que aparecen una o varias razones trigonométricas. Para resolverlas hay que expresar dicha ecuación en función de un mismo ángulo y de una sola razón trigonométrica, o factorizarla. Para ello se usarán las fórmulas vistas en los apartados anteriores. En este tipo de ecuaciones siempre hay que comproar que los valores otenidos verifican la ecuación original, es decir, son solución. Ejercicios: 8. Halla los ángulos menores de 70º que cumplan: a) sen x sen 40º f) cos x ) cos x cos 5º g) cos x c) tg x tg 30º h) sen x 3 3 d) sen x sen i) tgx 0 4 tg x tg 3 j) cosec x e) 9. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) tg sen h) sen sen ) cos cos i) cos x3cos x 0 c) sen 3 sen j) 4sen sen d) sen cos k) sen cos 40º e) cos 4 sen l) sec cosec sen 60º sen 30º 0 m) cos sen f) g) sen x cos x n) tg xsec x Matemáticas I 8

9 8. TRANSFORMACIONES sen sen sen cos sen sen sen cos cos cos cos cos cos cos sen sen sencos sen sen coscos sen sen coscos cos cos sensen cos cos 9. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo es otener sus elementos desconocidos (lados y ángulos) a partir de los elementos conocidos. C a En un triángulo cualquiera se verifican: ) AB C 80º A c B ) Cualquier lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. B c m a A h a n C En un triángulo rectángulo se verifican: a c ha mn (Teorema de Pitágoras) (Teorema de la altura) ipri Departamento de Matemáticas 9

10 c am an (Teorema del cateto) sen B cosc cos B sen C Formas de determinar un triángulo rectángulo: () Conocida la hipotenusa y un ángulo agudo () Conocidos un cateto y un ángulo agudo (3) Conocidos la hipotenusa y un cateto (4) Conocidos los dos catetos 0. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS Teorema de los senos: Los lados de un triángulo no rectángulo (acutángulo u otusángulo) son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: a c sen A sen B sen C Como consecuencia: a c R sen A sen B sen C donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Teorema del coseno: El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el dole producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido: a c ccosa a c accosb c a acosc Si el ángulo A o B o C es recto, el teorema del coseno se reduce al teorema de Pitágoras. CASO I: Conocidos un lado y dos ángulos Datos Incógnitas Fórmulas a A A 80º B C La circunferencia circunscrita a un triángulo es la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en el circuncentro, que equidista de los tres vértices y que es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo. Matemáticas I 0

11 B C c sen B a sen A sen C c a sen A La solución de este prolema es única y existe siempre que B C 80º. CASO II: Conocidos dos lados y el ángulo comprendido Datos Incógnitas Fórmulas a c c a acosc A sen a A sen C c C B B80º A C El prolema siempre tiene solución y ésta es única. Hay que tener en cuenta que la ecuación a sen A sen C tiene dos soluciones: una y otra c (pues los senos de los ángulos suplementarios son iguales). De estas dos soluciones solamente una de ellas es solución del prolema. Como a mayor lado se opone mayor ángulo y solamente puede haer, como máximo, un ángulo otuso, por ser a c la solución del prolema será la que corresponde al ángulo agudo. CASO III: Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Datos Incógnitas Fórmulas a A a sen A sen B a sen A sen B C C 80º A B B c sen C c a sen A Se pueden presentar los siguientes casos: a) Si a sen A sen B, la ecuación no tiene solución y por tanto el prolema tamién carece de solución. ) Si a sen A sen B, entonces A 90º. Se presentan dos sucasos: (i) Si B 90º, el prolema carece de solución. (ii) Si B 90º, el prolema admite una única solución. ipri Departamento de Matemáticas

12 c) Si a sen A sen B, entonces dicha ecuación tiene dos soluciones, una en el primer cuadrante A y otra A, que es el ángulo suplementario de A. Las dos soluciones del prolema dependen de que las desigualdades A B80º A B80º sean las dos, una o ninguna cierta. En el primer caso tendremos dos soluciones, una para el segundo y ninguna para el tercero. CASO IV: Conocidos los tres lados Datos Incógnitas Fórmulas a A cos a c A c B cos a c B ac c C C 80º A B La solución del prolema es única y existe siempre que la suma de dos lados aritrarios sea mayor que el tercero. Ejemplos:. CASO I: conocidos dos ángulos y un lado De un triángulo conocemos un lado a 6 m y los ángulos B 45º y C 05º. Resolver dicho triángulo. El prolema tiene solución única por que B C 45º 05º 80º El tercer ángulo mide A 80º 45º 05º 30º Por el teorema de los senos: a sen 45º m sen A sen B sen 30º 3 a c sen05º c m sen A sen C sen 30º. CASO II: conocidos dos lados y el ángulo comprendido De un triángulo conocemos los lados a0 m y 7 m y el ángulo C 30º. Resolver el triángulo. Este tipo de triángulos siempre tienen solución y ésta es única. Por el teorema del coseno c a acosc cos30º 5,6 m Matemáticas I

13 Calculamos ahora el ángulo que corresponde al menor de los dos lados: c 7 4º 40'' sen B sen C sen 30º 0, 665 B sen B sen C c 5, 6 38º 0' La solución del prolema corresponde al ángulo B 4º 40', ya que en este caso la solución del prolema se corresponde con la del ángulo agudo (pues a mayor lado se opone mayor ángulo). El tercer ángulo vale A 80º 30º 4º 40' 08º 0' 3. CASO III: conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. CASO IIIA: a sen A sen B donde B es el ángulo conocido De un triángulo conocemos los lados a 5 m y 3 m y el ángulo B 40º 30'. Resolver el triángulo. Aplicamos el teorema de los senos para calcular el ángulo A : a a 5 sen A sen B sen 40º 3',055 sen A sen B 3 Por ser sen A, el prolema carece de solución.. CASO IIIB: sen A a sen B A90º donde B es el áng. conocido 3.. B 90º donde B es el ángulo conocido En este caso el triángulo no tiene solución, ya que AB 90º B 80º. 3.. B 90º donde B es el ángulo conocido De un triángulo conocemos los lados a 0 m y 0 m, y ángulo conocido B 30º. Resolver el triángulo. Este prolema siempre tiene solución y es única. Por el teorema del seno 0 sen A sen 30º A 90º 0 Calculamos el lado que falta: c c por el teorema de Pitágoras Calculamos el ángulo C : C 90º 30º 60º.3 CASO IIIC: sen A a sen B donde B es el ángulo conocido ipri Departamento de Matemáticas 3

14 De un triángulo conocemos los lados a0 m y 0 m y ángulo conocido B 30º. Resolver el triángulo. Por el teorema del seno 0 sen A sen 30º 0,5 0 A 4º 8'39,04'' A 80º 4º 8'39,04'' 65º3'0,9'' El prolema puede tener, o 0 soluciones dependiendo de que las desigualdades A B80º A B 80º sean ciertas las dos, una o ninguna. 4º 8'39, 04'' 30º 80º que es cierta En nuestro caso y, por tanto, el triángulo admite una 65º 3'0,9'' 30º 80º sola solución que se corresponde con el ángulo 65º 3'0,9''. Calculamos el ángulo C : C 80º 30º 4º 8'39,04'' 35º3'0,9'' Calculamos en lado que falta: c Por el teorema del coseno: c a acosc c a acosc cos35º 3'0,9'' 8,03 m 4. CASO IV: conocidos los tres lados De un triángulo conocemos los tres lados a5m, m y c7 m. Resolver el triángulo. El prolema tiene solución única (pues la suma de dos lados aritrarios es mayor que el tercero y su diferencia, menor que el otro). Aplicamos el teorema del coseno para calcular los tres ángulos: a c cos A 0,736 A4º 54' c 748 a c cos B 0, 0588 B 86º 38' ac 50 a c cosc 0, 6363 C 50º 8' a 660. ÁREA DE UN TRIÁNGULO Sea S el área del triángulo. Se tienen las siguientes fórmulas: () Conocido un lado y la altura correspondiente h S Matemáticas I 4

15 () Conocidos dos lados y el ángulo comprendido c sen A a sen C S o S (3) Conocidos dos ángulos y un lado sen Asen C S sen B (4) Conocidos los lados y el radio de la circunferencia circunscrita ac S 4R (5) Conocidos los lados (Fórmula de Herón) S ssassc donde ac s es el semiperímetro. Ejercicios: 30. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: a) c cm, h 5 cm ) a4 cm, A45º c) h3 cm, Bˆ 50º d) a 5 cm, Bˆ 30º e) Bˆ 30º, 4 cm f) h 3 cm, 5 cm 3. Resuelve, cuando sea posile, los siguientes triángulos: a) a 5cm, Bˆ 40º, Cˆ 55º ) a 3 cm, cm, c 5 cm c) a 6 cm, 7 cm, c 5 cm d) 6 cm, c 8 cm, Aˆ 50º e) a 5 cm, 4 cm, Cˆ 30º f) a 4 cm, 50 cm, Bˆ 85º g) a 0 cm, c cm, Aˆ 57º50' h),5 cm, c 7 cm, Bˆ 4º 3' 3. Resuelve los siguientes triángulos: ipri Departamento de Matemáticas 5

16 33. Resuelve el triángulo ABC saiendo que a 3 cm, 5 cm y el radio de la circunferencia que circunscrie a dicho triángulo mide 3 centímetros. 34. El área de un triángulo es 0 cm y dos de sus ángulos miden 05º y 30º. Cuánto miden sus lados? 35. En el momento de marcar el último gol de Alemania, durante la prórroga, en la final de la Eurocopa de Inglaterra de 996, Bierhoff estaa situado a 5 metros del poste izquierdo y a 8 metros del derecho y veía la portería ajo un ángulo de 60. Calcula la distancia del jugador a la línea de gol. 36. Calcula el perímetro de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 7,5 centímetros de radio. 37. Calcula los ángulos de un romo saiendo que sus diagonales son 0 cm y 40 cm. 38. Dos coches salen del mismo punto en el mismo instante por dos carreteras que forman 45. Si la velocidad de los coches es de 80 km/h, calcula qué distancia los separa al cao de una hora y media. 39. Desde dos puntos A y B separados 500 metros se dirigen dos visuales a un avión. El oservador situado en A ve el avión ajo un ángulo de 47º y el oservador situado en B ajo un ángulo de 50. A qué altura vuela el avión? (A, B y el avión están en el mismo plano vertical). 40. Para calcular la anchura AB de un lago se dirigen sendas visuales desde el punto C a A y a B. Saiendo que las visuales forman un ángulo de 34 y oservando los datos del diujo, calcula la anchura del lago. Matemáticas I 6