Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística

Transcripción

1 Universidad Icesi Departamento de Matemáticas Estadística Solución del segundo eamen parcial del curso Algebra funciones Grupo: Diecisiete Período: Final del año 00 Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO. Se da la gráfica de la función f. - Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a f b f +3 a Como para trazar el gráfico solicitado se debe rotar media vuelta alrededor del eje de ordenadas el gráfico de la función dada después bajar una unidad el gráfico obtenido, resulta: b Como para trazar el gráfico solicitado se debe trasladar a la derecha una unidad el gráfico de la función dada después rotar el resultado media vuelta alrededor del eje de abscisas para, por último, subir tres unidades el gráfico obtenido, resulta:

2 PUNTO. Un granjero tiene ochocientos metros de cerca desea cercar un campo rectangular que está a lo largo de un rio recto como lo muestra la figura. No necesita cerca a lo largo del rio. Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? Denominemos a al área del campo rectangular. En la figura las dimensiones de los lados de éste son, por tanto: a Como el granjero tiene disponibles ochocientos metros de cerca, de lo afirmado en el enunciado del punto, resulta: Reemplazando este resultado en, se obtiene: 800 a a En consecuencia, se trata de una parábola que se abre hacia abajo cuo vértice es el punto V 00, 80000, por tanto, el área a es máima cuando 00, por, se deduce 00. Entonces, se conclue que la respuesta a este punto es: Las dimensiones del campo que tiene el área más grande son ancho cuatrocientos metros alto doscientos metros. PUNTO 3. En cada uno de los siguientes casos halle la función f g así como su dominio: a f, g + b f + +, g a En este caso, se tiene: f g f g f f g +

3 Como la función g está definida para todos los en R tales que la función f g / + está definida para todo en R, se conclue que el dominio de la función f g es: D f g R { } b En este caso, se tiene: f g f g f f g 3 3 Como la función g está definida para todos los en R tales que la función f g 3 /3 está definida para todos los en R tales que /3, se conclue que el dominio de la función f g es: D f g R {, /3} PUNTO. Utilice la regla de los signos de Descartes, el teorema de los ceros racionales, la división sintética el algoritmo de la división para encontrar todas las soluciones de la ecuación: Como debido al teorema de los ceros racionales para que un número racional h/k sea raíz del polinomio dado es necesario que el numerador h divida al coeficiente constante que el denominador k divida al coeficiente principal, las únicas raíces racionales posibles son: { } R,,, Denominemos p al polinomio dado, entonces: p p Como no se presentan variaciones de signo en el polinomio p se deduce, por la regla de los signos de Descartes, que el polinomio p no tiene ninguna raíz racional negativa. Entonces, del conjunto R ha que descartar los números. Procedamos aplicando división sintética, en efecto: Siendo el cociente q 3 +, como el residuo r es nulo, por el algoritmo de la división, del resultado obtenido se desprende: p q 3

4 Por tanto, si es una raíz del polinomio p debe también serlo del polinomio q, en efecto: Como en este caso el cociente es + i + i el residuo es nulo, por el algoritmo de la división lo establecido en, se tiene: De este resultado se conclue que la respuesta al punto es: p i + i Todas las soluciones de la ecuación dada son,, i i PUNTO 5. a Determine la asíntota inclinada, las asíntotas verticales trace la gráfica de la función: 3 + b La población de cierta ciudad tiene una tasa de crecimiento relativo de 5% anual. La población en 980 era de habitantes. Calcule la población proectada de la ciudad para el año 00. a Para establecer la ecuación de la asíntota inclinada debemos efectuar la división larga del numerador entre el denominador de la epresión algebraica que define la función racional dada, en efecto: Como el cociente producido es el polinomio +, la ecuación de la asíntota inclinada resulta de igualar a este cociente, esto es: + La epresión algebraica que define la función racional dada se puede escribir también de la siguiente manera: + + Como el denominador de se anula cuando cuando, podemos afirmar que las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función racional dada son:

5 A partir de se puede construir el siguiente análisis de signos para la función racional dada: Intervalo,,, 0 0,, Entonces, empleando toda la información obtenida respecto de dicha función racional podemos construir un gráfico aproimado de ella, en efecto: b La fórmula para establecer la población n de una ciudad cuando han transcurridos t años después establecida la población inicial n 0, sabiendo que el porcentaje de la tasa anual de crecimiento de la población es r, viene dada por: n n 0 e rt Como en el caso la población inicial es n , el porcentaje de la tasa anual de crecimiento de la población es r 5/ el tiempo transcurrido es años, se tiene: n 0000 e e n Entonces, se conclue que la respuesta a esta parte del punto es: La población proectada de la ciudad para el año 00 es aproimadamente de habitantes 5