Observación Ejemplo: Todo número posee divisores y múltiplos, así por ejemplo en el caso del número 20, tenemos que:

Transcripción

1 Divisibilidad I Divisibilidad La divisibilidad, es aquella parte de la aritmética que se encarga del estudi de las cndicines que debe reunir un númer, para ser divisible pr tr. Se dice que "A es divisible pr B"; si al dividir el primer (A) entre el segund (B), la división resulta exacta y el cciente enter. Principis de la divisibilidad 1. La adición sustracción de múltipls de un mism númer, siempre es igual a un múltipl del mism númer. n + n = n n - n = n 2. La multiplicación de un múltipl de "n" pr un enter, da cm prduct un múltipl de "n". C Observación Ejempl: Td númer psee divisres y múltipls, así pr ejempl en el cas del númer 2, tenems que: es divisible entre 5. 8 Divisres: 1; 2; 4; 5; 1; es divisible entre 8. Múltipls: ; 2; 4; 6; 8; 1;... 4 Debems cnsiderar que: Observación Si "A" es divisible entre "B", también se puede decir: "A" es múltipl de "B". "B" es divisr de "A". - El cer, es múltipl de tds ls númers. - El un, es divisr de tds ls númers. En tda división, el dividend es múltipl del divisr más el residu, pr ejempl: Ejempl: Ntación: 28 es divisible entre es múltipl de 4. 4 es divisr de Si el prduct de ds númers es el múltipl de "N", y un de ells n admite divisres cmunes cn "N", entnces el tr es múltipl de "N", así pr ejempl: Para dentar que "A" es divisible entre "B", escribirems: A B se lee: "A" es múltipl de "B". 4. N = 9 N = 9 3. N = 7 N = 7 Operacines cn múltipls 1. Si: A = n + x A + B = n + (x + y)

2 2. Si: 3. Si: A = n + x A = n + x A - B = n + (x - y) A. B = n + x. y 8. Del 4 al 1 4, cuánts númers sn múltipls de 7 per n de 5? 9. Del 8 al 1 2, cuánts númers sn múltipls de 4 per n de 9? Prblemas para la clase 1. Cuánts númers del 1 al 21 n sn múltipls de 3 ni de 5? Blque I 1. En un barc viajaban 9 persnas y currió un accidente. De ls sbrevivientes se sabe que ls 3/13 sn niñs y la quinta parte sn casads. Cuánts muriern? 2. En una cnvención hay 145 persnas entre nacinales y extranjers. De ls extranjers se sabe que 2/5 sn casads, 3/7 sn fumadres y 1/3 sn agentes viajers. Se pide: a) Cuánts asistentes sn nacinales? b) De ls extranjers, cuánts sn slters? 3. A una fiesta de prmción asistiern 4 persnas. Del ttal de las mujeres que asistiern, la tercera parte tienen cabell larg, ls 3/8 sn deprtistas y 3/11 sn mayres de edad. Averiguar: a) Cuánts varnes asistiern? b) Cuántas mujeres n sn mayres de edad? 4. Cuánts múltipls de 11 hay del 1 al 8? 5. Del 52 al 84, cuánts múltipls de 7 hay? 6. Cuánts númers de tres cifras sn múltipls de 17? 7. Cuánts númers de tres cifras sn múltipls de 7 y 5 a la vez? a) 3 b) 32 c) 22 d) 25 e) Si: A 13 4 y B 13 6, cuál es el residu que se btiene de dividir "A. B" entre 13? 12.Si: N 7 2 y M 7 3, hallar el residu que dejará "N.M + M + N" cuand se divida entre 7. Blque II 1. A un cngres médic asistiern entre 5 y 6 persnas. Se bservó que 2/7 de ls asistentes sn ginecólgs, 1/3 sn neurólgs y 2/13 sn pediatras, cuánts asistentes n sn pediatras? a) 317 b) 462 c) 421 d) 386 e) En un clegi hay matriculads 52 alumns, de ls varnes se sabe que ls 2/9 sn alumns nuevs, 1/7 llevan un curs de carg, 2/15 nunca faltarn y 1/3 le gusta las matemáticas, cuántas mujeres hay en el clegi? a) 175 b) 29 c) 186 d) 196 e) Cuánts númers de tres cifras sn múltipls de 13? a) 72 b) 69 c) 75 d) 65 e) Cuánts númers de tres cifras sn múltipls de 9 y 4 a la vez?

3 5. Cuánts númers enters mayres que 5 y menres que 2 1 sn múltipls de 8; 12 y 15 a la vez? a) 18 b) 15 c) 13 d) 21 e) De ls 1 primers númers enters psitivs, cuánts sn divisibles pr 15 per n pr 7? a) 57 b) 61 c) 62 d) 52 e) 55 Autevaluación 1. En una reunión se sabe que hay mens de 1 persnas. Si ls 5/7 del ttal sn hmbres, 1/8 sn niñs y el rest sn mujeres, cuántas sn mujeres? a) 9 b) 1 c) 11 d) 12 e) 8 7. Cuánts términs de la secuencia sn múltipls de 12? 2(31); 2(32); 2(33);...; 2(1 3) a) 412 b) 518 c) 423 d) 15 e) Cuánts númers de cuatr cifras sn múltipls de 23 y terminan en la cifra 8? 2. Cuánts númers de tres cifras sn divisibles entre 23? a) 39 b) 33 c) 35 d) 37 e) 27 a) 48 b) 72 c) 28 d) 36 e) Se tiene tres númers "A", "B" y "C" ls cuales al ser dividids entre 13 dan cm residus 7; 9 y 11. Hallar el residu de dividir "A + B + C" entre 13. d) 4 e) 7 3. De ls 1 primers númers naturales, cuánts sn múltipls de 3 per n de 5? a) b) c) d) e) Sabiend que: "n"sumands Hallar el menr valr de "n". a) 12 b) 7 c) 3 d) 17 e) En un salón de clases la cantidad de alumns es mayr que 55 per menr que 8. El númer de alumns es tal que si se agrupan de 3 en 3 sbran 2 y si se agrupan de 5 en 5 sbran 3, cuánts alumns hay en el aula? a) 68 b) 63 c) 67 d) 8 e) Cuánts númers de tres cifras sn múltipls de 23 y 5? a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) N.A.

4 Divisibilidad II Prblemas para la clase 7. Si se cumple: 17ab 23 4 Blque I 1. Si: "a" representa a un dígit diferente de cer, reslver las siguientes ecuacines: a) 2a 1 7 b) 4a 2 11 c) 5a Calcular "a" en cada cas, sabiend que es menr que 1: a) 112a b) 139a c) 275a Calcular "a", si se cumple: 1a 2a 3a... 9a 7 4. Calcular "a", para que se cumpla: 5. Hallar "a", si se cumple: 6. Hallar "a", si se cumple: 1a 2a 3a... 9a 13 45a9 17 7a52 19 Cuánts valres puede tmar ab, si sus cifras sn diferentes de cer? 8. Hallar la suma de ls valres de ab que cumplan: 45ab La suma de 35 númers cnsecutivs es múltipl de 13, hallar el menr valr que puede tmar el primer de ells. 1.Cn ls dígits "a", "b" y "c" diferentes de cer se frman tds ls numerales psibles de ds cifras diferentes. La suma de tds ests numerales será siempre múltipl de: 11."N" es un numeral de ds cifras y se cumple que la cifra de decenas es el dble de la cifra de las unidades, entnces "N" es simultáneamente múltipl de: 12.La diferencia entre un numeral de tres cifras y el numeral que se btiene al invertir el rden de sus cifras es siempre múltipl de: Blque II 1. Calcular "a", para que se cumpla: 5a 6a 7a... 13a 1 3 a) 2 b) 4 c) 1 d) 5 e) 6 2. Calcular "a", si se cumple: 3a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

5 3. Calcular "m", si se cumple: 2mm8 1 7 a) 2 b) c) 1 4. Calcular la suma de tds ls valres que puede tmar a b, si: ab 45, es divisible pr 19. a) 14 b) 22 c) 25 d) 26 e) Calcular "a + b + c + d", si cumple: abcd 17 y cd 3 ab 1 a) 16 b) 18 c) 2 d) 21 e) Calcular "a +b + c + d", si cumple: abcd 13 y cd 3(ab 2) a) 19 b) 21 c) 14 d) 23 e) 12 Autevaluación 1. Hallar el menr valr de "a", en: 2a Si: 14a Hallar el menr valr psitiv de "a". a) 1 b) 11 c) 12 d) 13 e) Si: 41x3 19 Hallar "x" 7. S i : " n " e s u n n u m e r a l p a r, e n t n c e s " n es divisible pr: 2 (n 2-1)" siempre a) 18 b) 12 c) 15 d) 2 e) El numeral de la frma: ab(2a)(2b), será siempre múltipl de: 4. Si: 312x 23 a) 2; 3; 6 y 17 b) 2; 3; 6 y 13 c) 2; 3 y 19 d) 2; 3; 7 y 11 e) 2; 3; 17 y Si tenems las cifras 4 y 7, qué tra cifra escgería para escribir tds ls numerales de tres cifras que se pueden escribir sin repetir ninguna cifra, sabiend que la suma de dichs numerales es múltipl de 13? Hallar "x" a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 1. Cuánts numerales de cuatr cifras que terminan en 32 al dividirls entre 17 dejan residu 5? 5. El numeral de la frma: ab(3a)(3b), es siempre múltipl de: a) 13 b) 1 c) 13 d) 121 e) 13 d) 5 e) 7