9.3. Contrastes para comparar dos distribuciones
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- Aurora Rojo Segura
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1 TEM 9: CONTRSTES NO PRMÉTRICOS 9.. Cotrastes de bodad de ajuste 9... Cotraste Ch-cuadrado 9... Cotraste de Kolmogorov-Smrov 9.. Cotraste de depedeca para tablas de cotgeca 9.3. Cotrastes para comparar dos dstrbucoes Cotraste de homogeedad Cotraste de Kolmogorov-Smrov. CONTRSTES DE ONDD DE JUSTE Uos datos (x,...,x de ua m.a.s. de ua v.a. X H : X F(x; H : X F(x; (º H especfca completamete la dstrbucó ejemplo: H : X N(, (º H especfca forma de la dstrbucó, pero o parámetros (debe estmarse: ejemplo: H : X N(,.. CONTRSTE CHI-CUDRDO (Pearso,9 grupar datos e k clases excluyetes y exhaustvas,..., k =U, j = = {º observacoes e la clase } = frec. observada (O e la clase = p = p H ( =p(x /H es certa p = E =frecueca esperada de la clase s H certa = E((,p = p E =p =
2 Dscrepacas etre lo observado y lo esperado: k (O E = E Regó crítca: C={ k ( p = } p k ( p = p Calcular / p (C = Dstrbucó de? H (º H especfca completamete la dstrbucó k ( p = p (º Hay que estmar r parámetros k ( p ˆ = pˆ ~ k ~ k r - Regó ceptacó Regó crítca uea aproxmacó s >3, p o p 5!! 3 Ejemplo : Casas (996, p. 56 E ua empresa costructora se ha observado el º accdetes daros ocurrdos durate 3 días obteédose los sguetes datos (ª-ª columas H : X (,9? X= Nº accdetes X= Nº días ( p 69,466 Frec.esp. ( p p p 5,9 4,9 X= 4, ,6,66 X= 5,647,4,9 X=3 4,494 6,4,9 X4,34,7,7 TOTL 3 3 obs=, 7 p= p H (X==p((,9==e -,9 (,9 /!, =,,, Grados de lbertad = k- =5-=4 4 =,5 C={ 4 (,95=9,49} Rechaza H 4 =, C={ 4 (,99=3,3} No Rechaza
3 Ejemplo : El servco de materdad de u hosptal dspoe de los pesos al acer de los últmos varoes acdos vvos. Se ajusta estos datos a ua dstrbucó ormal? =. X= peso Marca clase Frec.esp. ( p p x p p X.75, <X.5.5,6 6..5<X.75.75<X3 3<X <X <X <X4 4<X <X5 X> ,4, TOTL obs=. Estmar parámetros X = x H : X N(3.5,.4? =3.5; SX = x.4 X p= p H (X=( 3.5 =(-3.75=..4 P4= p H (.75<X3= (-.5-(-.875=.75 Grados de lbertad = k- r- =9--=6 6 =, 6 (,99=6,8 C={ 6,8} No Rechaza 5.. CONTRSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Compara la fucó de dstrbucó empírca de la muestra co la fucó de dstrbucó teórca bajo H (F(x cotua y totalmete especfcada Ordear los datos (x,x...,x e orde crecete: (x ( x (... x ( Fucó de dstrbucó empírca: F (x = { º x que so x} = k s x < x ( s x (k x<x (k+ s x > x ( Máxma dscrepaca etre fuc. dstrbucó empírca y teórca: D =max F (x F(x Regó crítca: Rechazar H s D es grade C={ D = max F (x F(x } Calcular el valor crítco tal que p(c/h certa= Dstrbucó de D bajo H? S F(x e H totalmete especfcada Tablas Massey S F(x e H es ua Normal N(, Tablas Lllefors descoocdos 6
4 Cálculo de D: (Peña,, p.467 (a F(x F(x F(x( D.máxma= F(x(--F(x( F(x(- x(- x( x(+ (b F(x F(x F(x( D.máxma= F(x(-F(x( F(x( x(- x( x(+ x( calcular: { F(x(--F(x(, F(x(-F(x( } 7 Ejemplo 3: H: X( F(x=-e -x, s x> x(. F(x F(x F(x(--F(x( F(x(-F(x( Sup D D=.35 Regó crítca (=.5: C={D.4} No rechazo 8
5 . CONTRSTE DE INDEPENDENCI PR TLS DE CONTINGENCI H: las característcas y so depedetes Notacó: E hay r clases dsttas:,...,r (=U,j= E hay s clases dsttas:,...,s (=Uj,j= H : p(j= p(p(j Metodología: Clasfcar las observacoes e fucó de y Tabla de cotgeca j s j s. : : : : : : j s. : : : : : : r r r rj rs r....j.s sólo es fjo, las demás j,.,.j aleatoras!! Estadístco: Ch-cuadrado: = ( O j E j j E j 9 Oj = frecueca observada de j= j j= pj=p(j/h es certa= p(p(j= p.p.j pj= Ej=frecueca esperada de j =E((,pj=p.p.j Estmar p., p.j p ˆ. =., pˆ. j=. j Ej = p p ˆ j. j ˆ =. Dscrepacas etre lo observado y lo esperado: ( O j E j j E j = ( = j j... j. j Regó crítca: C={ } Calcular / p (C H = dstrbucó de? Grados lbertad=[(rxs-] - [(r-+(s-] = (r-x(s- ( = j j... j. j ~ ( r ( s ( r ( s - Regó ceptacó Regó crítca
6 Ejemplo 4: Caavos (988, p.373 Ua empresa evalúa ua propuesta de fusó co ua corporacó. El cosejo de dreccó desea coocer la opó de los accostas al respecto para ve ésta es depedete del º de accoes que cada uo posee. Ua m.a.s. de 5 accostas proporcoa esta formacó: Nº accoes favor E cotra Idecsos Total < - > 38 (3,4 3 (3,6 3 (38 9 (39,5 4 (4,8 59 (49,4 9 (6,8 7 (6,3 4 (7, E=.. = 76x =3,4; E =.. = 76x3 =39,5; (O obs= 3 3 j E j j E j = (38 3, ,4 (4 7,6 7,6 =,8 Grados de lbertad=(r-(s-=4 Dstrbucó 4 S =, 4 (,9=7,78 C={ 7,78} Como obs=,8>7,78 Se Rechaza H 3. CONTRSTES PR COMPRR DOS DISTRIUCIONES 3.. CONTRSTE DE HOMOGENEIDD H : dstrbucó de gual e dsttos grupos H : hay dferecas etre los grupos Notacó: s=º de modaldades o clases de : {,, s} r=º de grupos dsttos de la poblacó = º dvduos seleccoados grupo (= H :p(j/grupo =...=p(j/grupo r=p.j j=,..,s Metodología Clasfcar los de cada grupo e las s clases de Tabla de cotgeca Grupo j s j s. : : : : : : j s. : : : : : : r r r rj rs r....j.s sólo j,.j so aleatoros, los demás,. fjos!
7 Estadístco de Cotraste: = ( O j E j j E j Oj = observacoes del grupo e j= j j= Ej=frecueca esperada de la clase j e el grupo e caso de ser H certa = p(j/grupo = p.j p.j descoocdas j. pˆ = j. Ej= j p. estmamos s- parámetros!. j ˆ =.!! Dscrepacas etre lo observado y lo esperado: ( O j E j j E j = ( = j j.. Igual que e el caso de depedeca!.j.j Regó crítca: C={ } Calcular / p (C H = Grados lbertad=rx(º clases -(º parámetros =[rx(s-] - (s- = (r-x(s- Igual que e el caso de depedeca! Regó crítca: C={ ( = j j...j.j } Dstrbucó del estadístco bajo H: ~ ( ( 3 Ejemplo 5: l fal del curso, cco profesores de ua msma asgatura calfca a los alumos de la sguete forma Profesor probado Suspeso Total C D E Puede coclurse que exste dferecas sgfcatvas e el sstema de calfcacó empleado por los dsttos profesores? =.5 H :p(aprobar/= p(aprobar/=...=p(aprobar/e Frecuecas esperadas Profesor probado Suspeso Total C D E 5 obs= (O E j j E j j (5 36,3 (68 79,6 = , 6 36, 3 =3.6 (r-(s-=4 4 (,95=9,49 C={ 9,49} Como obs=3.6 >9,49 Se Rechaza H 4
8 , 3.. CONTRSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Dos muestras aleatoras depedetes de dos dstrbucoes las dstrbucoes so guales? (X,...,X m.a.s. de ua dstrbucó FX cotua (Y,...,Y m.a.s. de ua dstrbucó FY cotua H : FX(x=FY(x H : FX(xFY(x Comparar fucoes de dstrbucó empírcas F= Fucó de dstrbucó empírca de X F= Fucó de dstrbucó empírca de Y Estadístco de cotraste: D, =max F(x - F(x Regó crítca: Rechazar H s D, es grade C={ D, =max F(x - F(x } Calcular / p H (C= Dstrbucó de D,? Muestras pequeñas = Tablas XI.b Muestras grades Tablas XI.a: p( D 5 Ejemplo 6: Comparar el redmeto de dos vededores. Observar durate 8 días el º vetas daras: :, 7,, 5, 4,, 7, : 3, 5, 6, 9, 8, 3, 6, 5 mbos vededores so gualmete efcetes? Muestra Valores F(x F(x F(x - F(x,, /8 /8 /8 5/8 7/8 7/8 3/8 5/8 7/8 7/8 /8 /8 =5%: C={D,,75}. D,=,5C cepto H 6
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