Introducción a la Teoría de Números
|
|
- María del Rosario María Nieves Piñeiro Lagos
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Introducción a la Teoría de Números La Teoría de Números es un área de las matemáticas que se encarga de los números primos, factorizaciones, de qué números son múltiplos de otros, etc. Aunque se inventó nada más por gusto, ahora es una de las áreas más aplicadas dentro de las matemáticas, principalmente por la criptografía. La criptografía es la ciencia (y el arte) de enviar mensajes de un lado a otro de modo que si alguien intercepta los mensajes no los pueda entender. Obviamente se utiliza en todos lados, para asuntos de seguridad. Cada vez que compras algo por internet, o pones tu contraseña en tu correo, estás utilizando la teoría de números. También sirve para hacer trucos de magia. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
2 Divisibilidad Todos entendemos el concepto de que un número sea múltiplo de otro, o que un número divida a otro. Por ejemplo, 12 es múltiplo de 3, pero 17 no lo es. O el concepto de los números pares o números impares. El otro punto de vista de ser múltiplo de es el de divide a. Por ejemplo, 3 12, pero Quiere decir que si intento la división de 12 entre 3, me queda un entero, pero si intento 17 entre 3, no me queda entero. aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
3 Divisibilidad: Definición formal Definición Sean a, b Z. Decimos que a divide a b y escribimos a b si existe x Z tal que ax = b. 5 25? Sí 5 17? No 1 378? Sí 4 1? No 0 12? No 17 17? Sí 0 0? Sí María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
4 Propiedades Básicas Para cualquier a, a 0 y 1 a a a y a a para cualquier a Si a b, entonces a b Si a b y a c, entonces a b + c Si a b y b c, entonces a c Si a b, entonces a bc para cualquier c Si a b, entonces a b Si a b, entonces a b María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
5 Primos Un número es primo si es positivo y tiene exactamente 4 divisores: el 1, el -1, él mismo, y su negativo. Por ejemplo, el 1 no es primo. Los primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Otra manera de definir que un número p es primo si no se puede escribir como p = ab con a y b distintos de 1 y -1. aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
6 Teorema Fundamental de la Aritmética Teorema (Fundamental de la Aritmética) Todo número entero distinto de 0 se puede descomponer de manera única* como producto de primos. * Por única, se entiende que dos son iguales si son la misma pero en otro orden. La prueba del teorema tiene dos partes: 1 Todo número 0 se puede descomponer como producto de primos. 2 La descomposición es única. Vamos a ver la primera ahorita y otro día la otra, porque necesitamos un poco más de teoría. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
7 TFA Todos vemos en la prepa cómo descomponer en primos. Por ejemplo, 15 = 3 5, y 120 = Mucha de la criptografía está basada en que factorizar números grandotes es difícil para una computadora. aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
8 TFA: Prueba de lo primero Es fácil ver que todo número de puede factorizar como primos, si vemos la definición de factorizar y la de primo. Sea n un número entero cualquiera (diferente de 0). Hay dos casos: 1 Si n es primo, pues ya está factorizado como producto de primos. 2 Si no, entonces quiere decir que n = ab con a y b son más chicos que n. Inducción... O simplemente seguimos: Hay dos casos: a es primo, o no lo es. Si lo es, pues ya. Si no, pues lo factorizamos. etc. Igual con b. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
9 Ejercicios Fáciles Encuentra la descomposición en primos del número 666, del 1200 y del 145. Supón que un número es divisible por 3 y por 2. Es divisible por 6? Supón que un número es divisible por p y por q, con p y q primos distintos. Entonces es divisible por pq. Verdadero o Falso: Si n es divisible por a y por b, entonces es divisible por ab. FALSO!!!!! 12 es divisible por 4 y por 6, pero no es divisible por 24! María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
10 Ejercicio Ejercicio El producto de 3 enteros mayores que 1 y distintos entre sí es 100. Cuáles son esos 3 números? 100 = Debemos repartir los 4 primos (2,2,5,5) en tres. No puede haber dos iguales, porque dice que deben ser distintos entre sí. Entonces el 2, el 5 y el 10 es la única respuesta. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
11 Algoritmo de la División Todos aprendimos a hacer divisiones en primaria. Siempre te queda un valor, y un residuo. Por ejemplo, si divido 17 entre 3, me queda a 5 y me sobran 2. Teorema Para cualesquiera a y b enteros con b 0, tenemos que existen q y r con 0 r < b tales que a = bq + r Es decir, siempre podemos efectuar la división entre a y b y nos quedará un resultado q y un residuo r, pero que el residuo sea más pequeño que b (porque si no lo es, pues podemos dividirlo más!). María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
12 Algoritmo de la División: Ejemplos 18 = = = = 7 ( 2) = 5 (4) + 0 aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
13 Combinaciones Lineales Definición Sean a y b dos números enteros. Una combinación lineal de a y b es un número c para el cual existe una pareja de números (x, y) de modo que c = ax + by Por ejemplo, 17 sí es combinación lineal de 5 y 2, pues 17 = Preguntas: Es c combinación lineal de a y b? a = 1, b = 1, c = 5 Sí. a = 6, b = 4, c = 16 Sí. a = 0, b = 0, c = 28 No. a = 8, b = 6, c = 7 No. a = 7, b = 5, c = 8 Sí. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
14 Combinaciones Lineales P: Cuándo puedo poner un número como combinación lineal de otros dos? No es trivial. Para contestar esto, primero veremos otros conceptos. Una observación sencilla es que si d a y d b, para que c pueda ser combinación lineal de a y b, a fuerzas d c. La respuesta es que se puede poner sí y solo si el máximo común divisor de a y b divide a c. = es muy fácil, por la observación anterior. Falta ver que si mcd(a, b) c, entonces existen x y y tales que c = ax + by. aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
15 Máximo Común Divisor Si a y b son números enteros, el máximo común divisor de a y b es el mayor número que divide a ambos. Por ejemplo, si a = 10, y b = 15, entonces su máximo común divisor es 5. Se escribe mcd(a, b). Por ejemplo, mcd(1, a) = 1. Y mcd(0, a) = a siempre que a no sea 0. El máximo común divisor de 0 y 0 no está definido. Si alguien es divisor de a y de b, entonces es divisor del máximo común divisor. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
16 Cómo encontrar el máximo común divisor de dos números? Una manera de encontrar el máximo común divisor de dos números es factorizar a ambos, y poner la mínima potencia de cada primo que encuentres. Por ejemplo, mcd( , ) = Ejercicio: Calcula el máximo común divisor de 138 y 243. Ejercicio: Si a b, y ambos son positivos, cuánto vale mcd(a, b)? Ejercicio: Si d = mcd(a, b), entonces mcd( a d, b d ) = 1. Ejercicio: Define máximo común divisor de 3 o más números. Definición: Dos números a y b son primos relativos si su máximo común divisor es 1. aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
17 Algoritmo para encontrar el máximo común divisor Hay un algoritmo mucho, mucho más rápido para encontrar el máximo común divisor de dos números. El problema es que factorizar es muy lento. La idea principal del algoritmo es que mcd(a, b) = mcd(a, b a). Por qué es cierto esto? En realidad podemos hacer eso muchas veces y concluir que: mcd(a, b) = mcd(a, r) si r es el residuo de dividir b entre a. Es claro, simplemente restando a repetidamente de b. Ahora, como r < a, podemos repetir eso, hasta que nos quede un 0. Cuando tengamos un 0, ya terminamos, ese número es el máximo común divisor! Ejemplo con a = 3185, b = María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
18 Mínimo común múltiplo Problema Hoy, Ana, Beto y Carlos fueron al gimnasio. Ana va al gimnasio cada 6 días. Beto va al gimnasio cada 8 días y Carlos va al gimnasio cada 15 días. Dentro de cuánto tiempo se volverán a encontrar los 3 en el gimnasio? Respuesta: Ana irá en los días: 6,12,18,24,30,... Beto irá en los días 8,16,24,... y Carlos en los días 15,30,45,... Finalmente, todos se reecontrarán en el número más chico que sea múltiplo de 6, 8 y 15, que es 60. aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
19 Mínimo común múltiplo Definición El mínimo común múltiplo de dos números a y b, escrito como mcm(a, b) es el mínimo número mayor que 0 que sea múltiplo de a y también sea múltiplo de b. mcm(10, 15) = 30 mcm(a, a) = a mcm(a, 1) = a Si a b, entonces mcm(a, b) = b El mínimo común múltiplo siempre es menor que el producto de los números. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
20 Mínimo común múltiplo: Propiedades Para sacar el mínimo común múltiplo, factorizas en primos y luego tomas las potencias más... grandes. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de y es Problema: Cómo escribes el mínimo común múltiplo en términos de a, b y d = mcd(a, b)? mcm(a, b) = ab d María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
21 Congruencias Todas estas sumas están bien: = 8, = 4, = 3, = 5, 2 3 = 11, = 0. Simplemente las sumas las estoy haciendo en un reloj: aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
22 Congruencias La idea detrás de las congruencias es la misma, pero no sólo con 12. Por ejemplo, la paridad de los números, que mide si los números son múltiplos de 2 o no, y que impar + impar = par, y etc, es congruencias módulo 2. Si te digo: Hoy es Miércoles. Qué día de la semana será en 1000 días?, para responder, debes hacer congruencias módulo 7. Es decir, debemos dividir 1000 entre 7, y fijarnos en el residuo. Después le sumamos ese número al miércoles para ver qué día es. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
23 Congruencias: Definición formal Definición Decimos que a es congruente a b módulo n y escribimos a b (mod n) o simplemente a n b si n a b. Equivalentemente, si a y b dejan el mismo residuo al dividirlos entre n. Por ejemplo: María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
24 El operador módulo En python, y en muchos otros lenguajes de programación, el operador % es el operador módulo. Por ejemplo, si escribo 7 %4 me da como resultado 3. Es el residuo que resulta de dividir 7 entre 4. Me da un número entre 0 y 3 (en general, si escribo x %n me da entre 0 y n) María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
25 Congruencias: Tabla Podemos hacer una tabla para obtener congruencias: María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
26 Congruencias: Propiedades a n 0 si y solo si n a. a n a. a n b = a + c n b + c. Si a n b y c n d, entonces a + c n b + d. a n b = ac n bc para cualquier c. Nota: No necesariamente al revés! Es decir, , pero María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
27 Ejercicios de Congruencias Escribe 10 números congruentes con 2 módulo 7. Si 45 n 56, encuentra los posibles valores de n. En la división de 999 entre n, donde n es un entero de dos cifras, el residuo es 3. Cuál es el residuo de la división de 2001 entre n? Cuál es la última cifra de ? aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
28 Criterios de Divisibilidad Truco! Un número es divisible por: 2: Si el número es par. Si su última cifra lo es. 3: Si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3 4: Si el número formado por las últimas 2 cifras lo es. 5: Si su última cifra es 0 o 5. 6: Si es divisible por 2 y 3. 8: Si el número formado por las últimas 3 cifras lo es. 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 10: Si termina en 0. 11: Tomamos la diferencia de las cifras pares menos las impares. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
29 Por qué? Hay que analizar las potencias de 10 módulo el número. Para 2, 4 y 8, a partir de uno de ellos ya todos son 0. Para 3 y 9, Para 10, a partir de 10 1 ya es 0. Para 11, los residuos van 1, -1, 1, -1, etc. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
30 Dividir en congruencias? Habíamos visto que en congruencias se podía multiplicar, sumar y restar. Pero que no siempre se podía dividir. P: Cuándo se puede? R: Cuando son primos relativos. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
31 Ejemplo Ejercicio Encuentra un número entero x tal que 3x 7 2 Solución: Si multiplicamos la ecuación por 5, nos queda: 5 3x x 7 10 x 7 3 Por qué multiplicamos por 5? Pues precisamente porque Es porque 5 es el inverso de 3 (módulo 7). María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
32 Inverso: Definición Definición Dados enteros primos relativos a y n, decimos que b es el inverso de a módulo n (y escribimos b n 1 a ) si a b n 1. Ejemplos: Encuentra el inverso de a módulo n para las siguientes: n = 7, a = 2, = 1 a = 4 n = 20, a = 7, = 1 a = 3 n = 10, a = 1, = 1 a = 1 n = 1712, a = 1711, = 1 a = 1 n = 6, a = 2, No tiene inverso! María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
33 Ecuaciones Lineales Encuentra todas las x tales que: 5x x x 2 0 8x x 10 8 María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
34 Problema encontrar a y b Problema Encuentra todas las parejas de enteros a y b tales que ab 3a 2b = 6. Solución: Súmale 6 a la ecuación para que quede ab 3a 2b + 6 = 12. Entonces el lado izquierdo se puede factorizar y queda: (a 2)(b 3) = 12. Entonces a 2 y b 3 son divisores de 12 y las posibilidades son: a 2 {1, 2, 3, 4, 6, 12}, así que a {3, 4, 5, 6, 8, 14}. Por lo tanto las parejas (a, b) que cumplen son: (3,15), (4,9), (5,7), (6,6), (8,5), (14,4). aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
35 Problema cifras iguales Problema Encontrar un número entero positivo a tal que a + 2a + 3a a es un número con todas sus cifras iguales. Solución: a + 2a a = 45a. Así que la suma es un múltiplo de 5 y de 9. Pero si tiene todas sus cifras iguales, la cifra entonces debe ser 5 (o 0, pero eso es imposible). Para que sea múltiplo de 9, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 9: debe tener nueve 5 s. a = 555, 555, 555/45 = aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
36 Raiz cuadrada Problema Demostrar que 2 no es un número racional (Sugerencia: supón que lo es, y llega a una contradicción). Solución: Supongamos que 2 = a b con a y b enteros y que a y b son primos relativos. Elevamos al cuadrado: 2 = a2 b 2. Pero entonces b 2 a 2, y por lo tanto a b. Contradicción! María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
37 Hay una infinidad de números primos Problema Demostrar que el conjunto de los números primos es infinito. Solución: Supongamos que no lo fuera y supongamos que TODOS los primos son estos: p 1, p 2, p 3,..., p n. Tomamos a = p 1 p 2...p n + 1. Pero entonces p i a para ninguna i. Así que en la factorización de a, debe haber por lo menos un primo nuevo! Contradicción! María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
38 Problema Naranjas Problema Doña Rodriga tiene n naranjas. Sabe que tiene entre 10 y 100 naranjas. Si reparte sus naranjas en montones de 4, le sobra 1. Si reparte sus naranjas en montones de 5, le sobra 1, y si reparte sus naranjas en montones de 6, le sobra 1. Cuántas naranjas tiene Doña Rodriga? Solución: Tenemos las siguientes congruencias: n 4 1 n 5 1 n 6 1 Eso quiere decir que n 1 es un múltiplo de 4, 5 y 6. Así que lo mínimo que puede ser es el mínimo común múltiplo, que es 60. Así que n 1(mod 60), y por lo tanto, como n < 100, n = 61. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
39 Focos Problema Supón que tienes 100, 000 focos numerados del 1 al 100,000 y están todos apagados. Después, haces las siguientes operaciones: Cambias de posición todos Cambias de posición todos los pares Cambias de posición todos los múltiplos de 3 Cambias de posición todos los múltiplos de 4 Etcétera. Al final, qué focos quedan prendidos? Solución: Los focos que quedan prendidos son los que se cambian de posición un número impar de veces. Es decir, los focos que tienen una cantidad impar de divisores. Son: 1,4,9,16,... Es decir, los cuadrados perfectos. Cada divisor d de n tiene a su pareja n/d, entonces hay una cantidad impar sólo cuando existe un divisor tal que d = n/d, o sea, d 2 = n. María Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
40 Problema Problema Si n = p a 1 1 pa par r donde los p i son primos, cuántos divisores tiene n? Solución: Para que un número sea divisor de n, su potencia de p 1 debe estar entre 0 y a 1, así que hay a posibilidades para la potencia de p 1. Igual con todas las demás, así que la respuesta es: # de divisores de n = (a 1 + 1)(a 2 + 1)...(a r + 1) aría Luisa Pérez Seguí psegui19@gmail.com Divisibilidad y congruencias 13 de septiembre de / 20
Aritmética entera. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aritmética entera 1 / 15
Aritmética entera AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Aritmética entera 1 / 15 Objetivos Al finalizar este tema tendréis que: Calcular el máximo común divisor de
Más detallesEnunciados de los problemas (1)
Enunciados de los problemas (1) Problema 1. El peso de tres manzanas y dos naranjas es de 255 gramos. El peso de dos manzanas y tres naranjas es de 285 gramos. Si todas las manzanas son del mismo peso
Más detallesTEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- POLINOMIOS Recordemos que un monomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
Más detallesMatemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1. x 5x 2 6 5
Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio entre otro monomio de grado igual
Más detallesTema 2. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Polinomios.... Definiciones.... Operaciones con polinomios.... Factorización de un polinomio.... Teorema del resto. Criterio de divisibilidad por -a.... Propiedades
Más detalles= 310 (1 + 5) : 2 2 = = = 12 ( 3) ( 5) = = 2 = ( 4) + ( 20) + 3 = = 21
Unidad I, NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS A continuación se enuncian las claves de cada pregunta hechas por mí (César Ortiz). Con esto, asumo cualquier responsabilidad, entiéndase por si alguna solución está
Más detallesTeoría de Números. Divisibilidad. Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas
Teoría de Números Divisibilidad Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas 1. Introducción Divisibilidad es una herramienta de la aritmética que nos permite conocer un poco más la naturaleza de un número,
Más detallesTema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.
Más detallesCriterios de divisibilidad y Congruencias
Criterios de divisibilidad y Congruencias Rafael F. Isaacs G. * Fecha: 9 de marzo de 2007 Cuando tenemos un número muy grande escrito en base 10 y deseamos saber si es múltiplo por ejemplo de 9 no necesitamos
Más detallesDIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES
DIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES MÚLTIPLOS Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c. a = b c Ejemplo: 12 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar
Más detallesUNIDAD 2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
UNIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO.. DIVISORES DE UN NÚMERO. 3. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS. 4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. 5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. 6. MÁXIMO COMÚN DIVISOR..
Más detallesAritmética Modular MATEMÁTICA DISCRETA I. F. Informática. UPM. MATEMÁTICA DISCRETA I () Aritmética Modular F. Informática.
Aritmética Modular MATEMÁTICA DISCRETA I F. Informática. UPM MATEMÁTICA DISCRETA I () Aritmética Modular F. Informática. UPM 1 / 30 La relación de congruencia La relación de congruencia Definición Dado
Más detallesUnidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.
Más detallesTEMA Nº 1. Conjuntos numéricos
TEMA Nº 1 Conjuntos numéricos Aprendizajes esperados: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales
Más detallesAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
FACTORIZACION DE POLINOMIOS. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común,
Más detallesALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS.
ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA 520135, 522115 Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K
Más detallesREPASO DE Nºs REALES y RADICALES
REPASO DE Nºs REALES y RADICALES 1º.- Introducción. Números Reales. Números Naturales Los números naturales son el 0, 1,,,. Hay infinitos naturales, es decir, podemos encontrar un natural tan grande como
Más detallesLECTURA Nº 12: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Tenemos un cuadrado cuyos lados miden ( + + ) = + por lo que el área sería: Largo. ancho = ( + ).( + ) = ( + ) Pero ya se conoce el área total que es 9 unidades cuadradas Entonces: ( + ) = 9 donde despejando
Más detallesUn número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicar este último por otro número c.
DIVISIBILIDAD Múltiplos Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicar este último por otro número c. 18 = 2 9 18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9. Tabla
Más detallesTEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO
TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS RAÍCES MATEMÁTICAS 3º ESO 1. División de polinomios Dados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente)
Más detallesa) Factoriza el monomio común. En este caso 6 se puede dividir de cada término:
Materia: Matemática de 5to Tema: Factorización y Resolución de ecuaciones 1) Factorización Marco Teórico Decimos que un polinomio está factorizado completamente cuando no podemos factorizarlo más. He aquí
Más detallesTema 1 Conjuntos numéricos
Tema 1 Conjuntos numéricos En este tema: 1.1 Números naturales. Divisibilidad 1.2 Números enteros 1.3 Números racionales 1.4 Números reales 1.5 Potencias y radicales 1.7 Logaritmos decimales 1.1 NÚMEROS
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto
Más detallesTEMA 2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.. Repaso de polinomios - Epresión algebraica. Valor numérico - Polinomios. Operaciones con polinomios.. Identidades notables - Cuadrado de una suma de una diferencia
Más detallesLlamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 =
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Más detallesConjuntos Numéricos I
Conjuntos Numéricos I En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización
Más detallesFÓRMULA PARA OBTENER NÚMEROS DE CARMICHAEL CON n FACTORES PRIMOS, DONDE n 3.
FÓRMULA PARA OBTENER NÚMEROS DE CARMICHAEL CON n FACTORES PRIMOS, DONDE n 3 Un entero positivo es un número de Carmichael si ocurre que es un número compuesto libre de cuadrados y cumple la congruencia
Más detallesClase 1: Primalidad. Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló. P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 5: Teoría de números 1 / 32
Capítulo 5: Teoría de Números Clase 1: Primalidad Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 5: Teoría de números 1 / 32 Teoría de números En esta parte
Más detallesFunciones polinómicas
Funciones polinómicas Footer Text 4/23/2015 1 Funciones Polinómicas La ecuación general de una función polinómica de grado n con coeficientes reales está dada por f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x
Más detallesDivisibilidad I. Nombre Curso Fecha
Matemáticas 2.º ESO Unidad 1 Ficha 1 Divisibilidad I Un número b es divisor de otro número a si al dividir a entre b la división es exacta. Se dice también que a es múltiplo de b. 1. Completa con la palabra
Más detallesTEORIA DE NUMEROS (I) REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por: TEORIA DE NUMEROS (I) REGLAS DE DIVISIBILIDAD - 2 Si es PAR. - 3 Si la suma de sus cifras es divisible por 3. - 4 Si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible
Más detalles1. ESQUEMA - RESUMEN Página EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página EJERCICIOS DE DESARROLLO Página EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN Página 21
1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2 2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 7 3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página 19 4. EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN Página 21 5. EJERCICIOS DE REFUERZO Página 22 1 1. ESQUEMA - RESUMEN
Más detallesTeoría de Números. UCR ECCI CI-1204 Matemática Discretas Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
UCR ECCI CI-1204 Matemática Discretas Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Introducción Esta presentación brinda una breve revisión de nociones de la teoría elemental de números, concernientes
Más detallesFICHAS DE TRABAJO REFUERZO
FICHAS DE TRABAJO REFUERZO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CONTENIDO 1. Números naturales a. Leer y escribir números naturales b. Orden de cifras c. Descomposición polinómica d. Operaciones combinadas e. Potencias
Más detallesLos Conjuntos de Números
Héctor W. Pagán Profesor de Matemática Mate 40 Debemos recordar.. Los conjuntos de números 2. Opuesto. Valor absoluto 4. Operaciones de números con signo Los Conjuntos de Números Conjuntos importantes
Más detallesFactorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1. Polinomios Un monomio es el producto de un número real por una o más letras que pueden estar elevadas a exponentes que sean números naturales. La suma de los exponentes de
Más detalles1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.
. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. De acuerdo a las propiedades ya vistas de los divisores, sabemos que: todo natural no nulo es divisor de sí mismo es divisor de todo número natural. Ahora: el natural tiene
Más detalles24 = = = = = 12. 2
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 015 Lic. Manuel
Más detallesDIVISIBILIDAD. 2º E.S.O. Un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando el segundo por otro número entero.
MULTIPLOS Y DIVISORES DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. º E.S.O. Un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando el segundo por otro número entero. 8 es múltiplo de porque 8 = 9 75 es múltiplo
Más detallesTeoría (resumen) Por ejemplo, los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ; los múltiplos de 2 son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ; o sea los números pares.
1.- Divisibilidad Teoría (resumen) Múltiplos de un número. Son aquellos que se obtienen al multiplicar dicho número por los números naturales 1, 2, 3,. Por ejemplo, los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12,
Más detalles13 ESO. «El estudio es un esfuerzo total para aprender, y sólo es verdaderamente provechoso cuando se aprende» Morgan. Profesor
«El estudio es un esfuerzo total para aprender, y sólo es verdaderamente provechoso cuando se aprende» 13 ESO Morgan. Profesor N N ÍNDICE: EL NIF DIA DEL MEDIO AMBIENTE 1. NÚMEROS NATURALES 2. MÚLTIPLOS
Más detallesAmpliación Tema 3: Múltiplo y divisores
- Múltiplo. Divisible. Divisor Ampliación Tema 3: Múltiplo y divisores 56 8 56 es divisible por 8 0 7 56 es múltiplo de 8 Para indicar que 56 es múltiplo de 8 se escribe sobre el divisor 8 un punto :(8)
Más detallesPOLINOMIOS. FACTORIZACIÓN
POLINOMIOS FACTORIZACIÓN JUSTIFICACIÓN Es muy fácil realizar multiplicaciones de números naturales Más dificultad entraña el problema inverso: la factorización Así, realizar la multiplicación 7 es trivial,
Más detallesTEORIA DE NUMEROS DIVISIBILIDAD Y NUMEROS PRIMOS. PRUEBAS DE PRIMALIDAD. LA CRIBA DE ERATOSTENES. ALGORITMOS. TEOREMA: EXISTENCIA DE INFINITOS PRIMOS.
. 1 TEORIA DE NUMEROS Temas: DIVISIBILIDAD Y NUMEROS PRIMOS. PRUEBAS DE PRIMALIDAD. LA CRIBA DE ERATOSTENES. ALGORITMOS. TEOREMA: EXISTENCIA DE INFINITOS PRIMOS. (Apuntes de apoyo a clases teóricas) (Tiempo
Más detallesTEMA 2: TEORÍA DE CONJUNTOS Y CONJUNTOS NUMÉRICOS.
TEMA 2: TEORÍA DE CONJUNTOS Y CONJUNTOS NUMÉRICOS. TEORÍA DE CONJUNTOS. Definiciones. Se define un conjunto como una colección de objetos o cosas, se nombran con letras mayúsculas (A, B...). Cada uno de
Más detallesDIVISIBILIDAD 2 3 = 8. Es decir, el resultado de multiplicar 2 por cualquier número natural.
DIVISIBILIDAD I. Múltiplos y Divisores 1. MULTIPLOS Los múltiplos de 2 son = 2 2 1 = 4 2 2 = 6 2 3 = 8 2 4 etc Es decir, el resultado de multiplicar 2 por cualquier número natural. Múltiplo de un número
Más detallesFACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS en Q (racionales)
FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS en Q racionales FAQ Qué es factorizar un polinomio? Es expresarlo como un producto por eso lo de "factorizar" de otros polinomios de grado igual o menor a él ara qué factorizar
Más detallesRADICALES. CONCEPTO Y OPERACIONES. Concepto de raíz. - La raíz cuadrada de un número a es otro número b, que al elevarlo al cuadrado te da a
UD : Los números reales RADICALES. CONCEPTO Y OPERACIONES. Concepto de raíz. - La raíz cuadrada de un número a es otro número b, que al elevarlo al cuadrado te da a (que es lo mismo que decir que a b si
Más detalles4.1. Polinomios y teoría de ecuaciones
CAPÍTULO 4 Polinomios y teoría de ecuaciones 4.1. Polinomios y teoría de ecuaciones Un polinomio real en x, o simplemente polinomio en x es una expresión algebraica de la forma a n x n + a n 1 x n 1 +
Más detallesLA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (008)
Más detallesCURSO PROPEDEUTICO DEALGEBRA PARA BQFT QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 2013 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA
QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 201 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA 1 Operaciones entre Quebrados (Fracciones) Sumar quebrados o fracciones: se calcula el común denominador,
Más detallesEl Conjunto de los Números Naturales
Objetivos El Conjunto de los Carlos A. Rivera-Morales Álgebra Objetivos Tabla de Contenido Objetivos 1 Propiedades de los Objetivos Objetivos: Discutiremos: el conjunto de los números naturales Objetivos
Más detallesSoluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 2009
Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 009 Comisión Académica 1 Nivel Menor Problema 1. Considere un triángulo cuyos lados miden 1, r y r. Determine
Más detallesLos números racionales: Q
Los números racionales: Q Qué fracción del área total está coloreada en cada una de las figuras de al lado? (a) (b) Juan leyó 2/5 de las páginas de un libro el lunes, el martes estaba ocupado y sólo pudo
Más detallesTEMA 1 NÚMEROS NATURALES
TEMA 1 NÚMEROS NATURALES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Efectuar correctamente operaciones combinadas de números naturales, aplicando correctamente las reglas de prioridad y haciendo un uso adecuado
Más detallesTEMA 5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
TEMA 5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. 1. SACAR FACTOR COMÚN Cuando todos los términos de un polinomio, P(x), son múltiplos de un mismo monomio, M(x), podemos extraer M(x) como factor común. Por ejemplo:
Más detallesTema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1
Tema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS LA DIVISIBILIDAD EN LOS POLINOMIOS Un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio Q(x) cuando el cociente
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE.
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K (Q,
Más detallesProductos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
Productos notables Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones
Más detallesNotas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023
Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #8: jueves, 9 de junio de 2016. 8 Factorización Conceptos básicos Hasta
Más detallesOLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT. Teoría de Números. II Nivel I Eliminatoria
OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT Teoría de Números II Nivel I Eliminatoria Abril, 2015 Índice 1. Presentación 2 2. Temario 2 3. Divisibilidad 2 4. Algoritmo de
Más detallesDIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I
DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS I LUZ MARÍA SÁNCHEZ GARCÍA 1. NÚMEROS PRIMOS Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número, pues no es posible que, sin número, nada pueda ser conocido ni concebido.
Más detallesEl Conjunto de los Números Naturales
Objetivos El Conjunto de los Carlos A. Rivera-Morales Álgebra Objetivos Tabla de Contenido Objetivos 1 Propiedades de los Objetivos Objetivos: Discutiremos: el conjunto de los números naturales Objetivos
Más detallesContinuación Números Naturales:
Continuación Números Naturales: Múltiplos y divisores de un número natural. Reglas de divisibilidad. Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor. Ejercicios de aplicación. Continuación Números Naturales:
Más detallesLos números naturales
Los números naturales Los números naturales Los números naturales son aquellos que sirven para contar. Se suelen representar utilizando las cifras del 0 al 9. signo suma o resultado Suma: 9 + 12 = 21 sumandos
Más detallesMúltiplos y divisores
Múltiplos y divisores 3 1. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO Los múltiplos de un número son los que lo contienen un número exacto de veces. El 12 es múltiplo de 3 porque lo contiene 4 veces. El 30 es múltiplo de
Más detallesTitulo: FACTORIZACION (Descomposición Factorial) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo
Más detallesCOMPLEMENTO DEL TEÓRICO
ÁLGEBRA I PRIMER CUATRIMESTRE - AÑO 2016 COMPLEMENTO DEL TEÓRICO El material de estas notas fue dictado en las clases teóricas pero no se encuentra en el texto que seguimos en las mismas ( Álgebra I -
Más detalles1.1 Números naturales
1.1 1.1.1 El concepto de número natural Posiblemente en la edad de las cavernas los hombres no conocieran los números ni los sistemas de numeración. Sin embargo, eran capaces de contar. Un pastor primitivo
Más detallesCuando p(a) = 0 decimos que el valor a, que hemos sustituido, es una raíz del polinomio.
Regla de Ruffini Teorema del resto Polinomios y fracciones algebraicas Dividir un polinomio por -a Regla de Ruffini Factorización de polinomios Divisibilidad de polinomios Fracciones algebraicas Operaciones
Más detallesINSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE DE CANELONES DIVISIBILIDAD
DIVISIBILIDAD Definición de múltiplo Dados los números naturales a y b, se dice que a es múltiplo de b, si y solo si existe un número natural k, único, tal que a = b.k El número k se dice que es el cociente
Más detallesFACTORIZACIÓN. Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores.
FACTORIZACIÓN Factorizar es escribir o representar una epresión algebraica como producto de sus factores. Ejemplo: 5 ( 5)( 5) Una epresión queda completamente factorizada cuando se representa como el producto
Más detallesCapítulo 1. Numeración 1 Variables... 2 Números naturales... 2 Números enteros... 3 Números reales Ejercicios Orden y valor absoluto...
ÍNDICE Capítulo 1. Numeración 1 Variables... 2 Números naturales... 2 Números enteros... 3 Números reales... 3 Ejercicios... 5 Orden y valor absoluto... 6 Ejercicios... 7 Suma de números reales... 9 Reglas
Más detallesCURSOSO. Aritmética: Númerosnaturalesyenteros. Númerosracionalesyfraciones. MATEMÁTICAS. AntonioF.CostaGonzález
CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICAS Aritmética: Númerosnaturalesyenteros. Númerosracionalesyfraciones. AntonioF.CostaGonzález DepartamentodeMatemáticasFundamentales FacultaddeCiencias Índice 1 Introducción y objetivos
Más detalles1.- NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES
1.- NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES 1.1 Posición de las cifras de un número natural. Los números naturales son los números que conocemos (0, 1, 2, 3 ). Los números naturales están ordenados, lo que nos permite
Más detallesEl Teorema Fundamental del Álgebra
El Teorema Fundamental del Álgebra 1. Repaso de polinomios Definiciones básicas Un monomio en una indeterminada x es una expresión de la forma ax n que representa el producto de un número, a, por una potencia
Más detallesOperaciones de números racionales
Operaciones de números racionales Yuitza T. Humarán Martínez Adapatado por Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Arecibo El conjunto de los números racionales consiste
Más detallesTEMA 2. Números racionales. Teoría. Matemáticas
1 1.- Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Las fracciones también pueden
Más detallesTEMA 3: DIVISIBILIDAD
TEMA : DIVISIBILIDAD MÚLTIPLOS Un número es MÚLTIPLO de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo número por cualquier número natural. 1 es MÚLTIPLO de 4 porque 4 x = 1 DIVISIBILIDAD Existe
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS
Más detallesFactorización - Álgebra
Factorización - Álgebra Ana María Beltrán Docente Matemáticas Febrero 4 de 2013 1 Qué es factorizar? Definición 1. Factorizar un polinomio es representarlo mediante el producto de otros polinomios de menor
Más detalles5. Producto de dos binomios de la forma: ( ax + c)( bx d )
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. Productos Notables: Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares,
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
Unidad didáctica 5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones
Más detallesLección 10: División de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 10: División de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 009 Objetivos de la lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Dividirán polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos
Más detallesDIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES
DIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES MÚLTIPLOS Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c. a = b c Ejemplo: 12 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar
Más detallesUna ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras,
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Temario: Definición de epresiones algebraicas y clasificación. Polinomio, grado. Operaciones. Regla de Ruffini. Factorización de Polinomios.
Más detallesEJERCICIOS DE POLINOMIOS
EJERCICIOS DE POLINOMIOS NOMBRE:... Nº:... º....- Escribe el grado, el número de términos y el nombre (monomio, binomio, trinomio, polinomio) que recibe cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
Más detallesPolinomios. 1.- Funciones cuadráticas
Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial
Más detallesFACTORIZACION FACTORIZACIÓN. Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.
-PA-0 FACTORIZACION V0 Página de 9 NOCION: FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en epresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo: Factoriza 0 en dos de sus divisores :, es decir 0 = Y
Más detallesMATEMÁTICAS 2º ESO. TEMA 1
MATEMÁTICAS 2º ESO. TEMA 1 1. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 1. Los divisores son siempre menores o iguales que el número. 2. Los múltiplos siempre son mayores o iguales que el número. 3. Para saber si
Más detallesMATEMÁTICAS GRADO NOVENO
MATEMÁTICAS GRADO NOVENO PRIMERA PARTE TEMA 1: PRODUCTOS NOTABLES CONCEPTO: DEFINICIONES BÁSICAS: Los productos notables son productos algebraicos que pueden ser resueltos por simple inspección, esto quiere
Más detallesEjercicios Pendientes Matemáticas 2º ESO Curso Números Enteros Los Números Enteros
Los 1) 2) 1 3) 4) 5) 9) ) 2 11) 12) 16) 3 17) 18) 19) 4 20) 21) En qué orden se realizan las operaciones con números enteros Para resolver varias operaciones combinadas con números enteros, se debe seguir
Más detallesSCUACAC026MT22-A16V1. SOLUCIONARIO Ejercitación Generalidades de números
SCUACAC026MT22-A16V1 0 SOLUCIONARIO Ejercitación Generalidades de números 1 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA EJERCITACIÓN GENERALIDADES DE NÚMEROS Ítem Alternativa 1 E 2 D 3 B 4 E 5 A 6 E 7 B 8 D 9 D
Más detallesDIVISIBILIDAD: Resultados
DIVISIBILIDAD: Resultados Página 1 de 9 Se enumeran a continuación, como referencia, ciertos resultados sobre divisibilidad. 1.1 Definición. Dados los enteros a y b, se dice que a divide a b (Notación:
Más detallesSERIE INTRODUCTORIA. REPASO DE ALGEBRA.
SERIE INTRODUCTORIA. REPASO DE ALGEBRA. 1.- REDUCCION DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Recuerde que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes. Ejemplos: *7m; 5m
Más detallesCriterios de divisibilidad
ENCUENTRO # 2 TEMA: Criterios de Divisibilidad. CONTENIDOS: 1. Criterios de divisibilidad, múltiplos y divisores de un número dado. 2. Principios Fundamentales de la Divisibilidad. DESARROLLO Criterios
Más detallesInstitución Educativa Distrital Madre Laura
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Son fracciones algebraicas: Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones
Más detallesFactorización ecuación identidad condicional término coeficiente monomio binomio trinomio polinomio grado ax3
Factorización Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos: Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una
Más detallesPolinomios y fracciones algebraicas
Polinomios y fracciones algebraicas LITERATURA Y MATEMÁTICAS La máquina de leer los pensamientos Dumoulin, conoce usted al profesor Windbag? Vagamente... Sólo le vi el día que le devolvimos la visita...
Más detalles