PRACTICAS DE ESTADO SÓLIDO: PRACTICA N o 2 VIBRACIONES DE UNA CADENA LINEAL MODOS ACÚSTICOS Y ÓPTICOS

Transcripción

1 .- NTRODUCCÓN PRACTCAS DE ESTADO SÓLDO: PRACTCA N o VBRACONES DE UNA CADENA LNEAL MODOS ACÚSTCOS Y ÓPTCOS Las vibracioes de los átomos e ua red cristalia puede, e determiadas codicioes, asimilarse a las vibracioes de ua serie de osciladores armóicos acoplados. Ello es debido a que, e sus posicioes de equilibrio, la eergía de la red es míima, por lo que las variacioes de eergía frete a pequeños desplazamietos será siempre cuadráticas respecto al desplazamieto y, por tato, fuerzas recuperadoras depede liealmete del desplazamieto. Así, para estudiar las vibracioes de ua red cristalia, sustituimos los átomos por masas putuales uidas por resortes caracterizados por ua costate elástica. Es la que se llama la aproximació del cristal armóico. Ua cadea lieal de osciladores acoplados, co parámetro de red a, sería el modelo más secillo Si se altera dos tipos de átomos, de masas diferetes M y m, se podrá observar modos acústicos y ópticos. E esta práctica, el sistema de osciladores acoplados será ua serie de varillas trasversales ligadas a u eje elástico de acero. Se altera varillas de broce y alumiio, de la misma logitud y diámetro. E las vibracioes que vamos a estudiar las varillas gira respecto al eje y la fuerza recuperadora está geerada por la torsió del hilo. La coordeada será el águlo de giro de cada varilla. ϕ- θ- ϕ θ ϕ+ θ+ Si llamamos τ a la costate de torsió del eje de acero, las ecuacioes del movimieto sería formalmete idéticas a las de ua cadea de átomos uidos por resortes, salvo que los mometos de iercia aparece e lugar de las masas y los águlos de giro e lugar de los desplazamietos: d ϕ d θ = τ ( ϕ ) θ θ = τ ( θ ) ϕ ϕ + () dt dt Dado que buscamos solucioes que se propague como odas armóicas escribimos: ϕ = ϕ e iak e iωt i( + ) ak iωt θ = θ e e () dode k es el vector de odas (π/ λ) y ϕ, θ las amplitudes de vibració de ambos tipos de varilla (a es, obviamete, la coordeada de la varilla, medida a lo largo de la cadea). Sustituyedo e la ecuació, obteemos: iak iω t iak iω t ω ϕ e e = τϕ e e + τθ i ( + ) ak i ( + ) ak iω t iω t ω θ e e = τθ e e + τγ a i ( + ) ak ika iω t ( + e ) e e i ( + ) ak ika iω t ( + e ) e e (3) Elimiado las expoeciales que aparece e ambos térmios y reagrupado:

2 ika ika ( + e ) e = ( τ ω ) ϕ τ θ τ ika ika ( + e ) e ϕ (τ ω ) θ = Dicho sistema homogéeo solo tiee solució si se aula el determiate: ika ika ( + e )( e ) (τ ω )( τ ω ) = + τ Al reagrupar térmios obteemos ua ecuació de segudo grado e ω : ( cos ka) 4 ω τ ( + ) ω + τ = cuya solució idica cómo las frecuecias de vibració depede del vector de odas a través de las siguietes relacioes de dispersió: + + τ τ τ τ ω = τ ± ( cos ka) ( cos ka) τ = ± r (4) r dode hemos defiido u mometo de iercia reducido de las dos varillas r = /( + ). Los posibles modos de vibració de la cadea lieal de átomos se clasifica, pues, e dos grades grupos, correspodietes a los sigos + y - e la solució ecotrada. La figura muestra la relació de dispersió para ambas ω solucioes. Para ver e que cosiste la diferecia etre ellos, estudiemos lo que ocurre para k Rama óptica, es decir, para logitudes de oda mucho más grades que las distacias iteratómicas: Rama acústica ω = τ r ± k a r π/a k π/a ω + τ r = r τ k a τ r ω = k a (5) ( + ) Vemos que la rama correspodiete a la solució ω - correspode a u tipo de odas cuya frecuecia aumeta liealmete co el vector de odas, para logitudes de oda largas, es decir, esta solució correspode a las odas sooras, de ahí que se le llame rama acústica. La velocidad de propagació de dichas odas sería v τa = s ( + ) Hay que señalar que existe ua frecuecia máxima, por ecima de la cual o existe modos de vibració acústicos. Esa frecuecia correspode a k= π / a es decir, ua logitud de oda a. Obviamete, la logitud de oda más corta que puede propagarse e la red correspode al modo de vibració e que las varillas de dos celdas cotiguas vibra e oposició de fase.

3 La rama descrita por ω + correspode a odas cuya frecuecia tiede a u valor costate para logitudes de oda largas, valor que depede del mometo de iercia reducido y de la costate de torsió del eje Sería la frecuecia de vibració de dos varillas de mometos e uidas por u eje de costate τ. Es la rama equivalete a lo que e u sólido se llama rama óptica, debido a que estos modos de vibració iteractúa fuertemete co la radiació ifrarroja lejaa. Es fácil ver que para k tediedo a cero, todas las varillas de cada tipo vibra e fase y e cada celda, las dos varillas vibraría e cotrafase, co amplitudes relativas dadas por ϕ + θ =. Etre el borde de la rama acústica y el de la rama óptica existe u itervalo de frecuecia e el que o hay modos permitidos. Los valores posibles del vector de odas se determia impoiedo ua codició de cotoro. Usualmete, e física de los sólidos, se impoe las codicioes de cotoro cíclicas, es decir, si teemos e total N átomos, impoemos u =u +N lo que equivale a supoer que la cadea se cierra sobre sí misma. E ese caso, la ecuació coduce imediatamete a k= π m /L = ( π /a) (m/n), dode L=Na es la logitud de la cadea. E uestro modelo los extremos está fijos, por lo que la codició sería: exp (ikna)=, es decir, k= (π /a)(m+)/n, o, e fució de la logitud de oda : (m+)( π /)=L. La diferecia está e que, e las codicioes cíclicas habría odas que se propaga mietras que, e las codicioes de cotoro co extremos fijos, las odas so estacioarias..- MATERAL DSPONBLE - U bastidor co 5 varillas de alumiio y 5 de broce, alteradas, ligadas a u eje de acero, co distacia media etre ellas de 3 mm. La logitud de las varillas es 3 cm y su diámetro 8 mm. Desidad del Al:.7 gr/cm 3. Desidad del broce: 8.5 gr/cm 3. - U sistema de excitació de los modos de la red formado por: - U vibrador - U oscilador de baja frecuecia - Sistema de detecció de vibracioes: - maes que se puede fijar e el extremo de las barras. - Bobia de detecció - Osciloscopio Al acercar la bobia a u imá e vibració se geerará e ella ua fuerza electromotriz iducida que puede observarse e el osciloscopio, comparada co la frecuecia de excitació. 4.- MEDDAS A REALZAR El objetivo de la práctica es ilustrar el modelo del cristal armóico, mediate ua red de osciladores acoplados, buscado la relació de dispersió de los modos de vibració. Para ello, hemos de buscar esos modos excitádolos mediate oscilacioes forzadas. La frecuecia de excitació viee dada por el cotador digital del oscilador. a) Detecció de modos: Parar detectar los modos hay que variado la frecuecia a partir de hz, procurado que amplitud de vibració del vibrador sea pequeña. Los modos de baja frecuecia puede observarse a simple vista, cuado se forme ua oda estacioaria. Se aotará la frecuecia correspodiete y el úmero de vietres N v observado e la oda estacioaria. La logitud de oda del modo será λ=l/n v, dode L es la logitud del eje. Para frecuecias superiores a hz, puede utilizarse el osciloscopio para detectar los modos. Los imaes y la bobia permite tato fijar co precisió la frecuecia del modo 3

4 (frecuecia a la que se obtiee u máximo de la fem iducida), como la logitud de oda, al observar si vibra o o e fase determiadas varillas. Verificar la existecia de ua frecuecia de corte, comprobado que, por ecima de cierta frecuecia solo se excita modos evaescetes (es decir, modos que solo excita las varillas próximas a la que está siedo forzada a vibrar), tato e la rama acústica como e la rama óptica. E la rama óptica solo será posible idetificar los modos de cetro y borde de zoa, acercádose desde frecuecias de modos evaescetes. Para el modo óptico de borde de zoa hay que ir aumetado desde la zoa de frecuecias etre ambas ramas. Para el modo óptico de cetro de zoa hay que ir dismiuyedo la frecuecia a partir de la de u modo evaescete de alta frecuecia. E ambos casos se observará como, al acercarse al modo buscado, va aumetado el úmero de varillas que vibra. b) Estructura de vibració: Determiar qué varillas vibra e fase y e cotrafase e los modos acústico de borde de zoa (dos celdas uidad) y óptico de cetro de zoa ( celda uidad). OPCONAL c) : Curva de resoacia: Para uo o dos de los modos que pueda observarse mediate la bobia, determiar la amplitud de vibració e fució de la frecuecia. 5.- NTERPRETACÓN DE LOS RESULTADOS A partir de la tabla frecuecia/logitud de oda pasar a ua tabla fracuecia/vector de odas (k=π/ λ) y represetar las relacioes ω(k) para ambas ramas. Realizar u ajuste mediate las ecuacioes 4 y determiar la costate de torsió del eje y la velocidad de propagació de los modos acústicos. Represetar el espectro amplitud/frecuecia obteido e el puto 4-b e iterpretarlo mediate las ecuacioes de las oscilacioes forzadas de u oscilador armóico. Recordemos la ecuació del oscilador armóico amortiguado, co ua frecuecia ω y ua costate de amortiguamieto γ, sometido a ua fuerza armóica de amplitud F y frecuecia ω. d x dx iωt m = mω x mγ + F o e dt dt Si buscamos solucioes armóicas x(t)=x exp(-iωt), es fácil ver que la amplitud de vibració x vedrá dada por: La expresió compleja determia el módulo y el desfase respecto a la fuerza. El módulo será: F x = m ω ω + γ ω ( ) expresió que tiee u máximo para ω=ω, tato más prouciado cuato meor es el amortiguamieto γ. E cuato al desfase, se obtiee: γω tg φ = ω ω y es fácil ver que, al pasar por la resoacia, habrá u cambio de fase de 8º. 4

5 LABORATORO DE ESTADO SÓLDO Y SEMCONDUCTORES CUESTONARO PARA LA PRÁCTCA Nombre: Grupo: ) Modos de vibració acústicos Orde (N) (º de vietres) Frecuecia (Hz) λ (L/N) k (π/λ)

6 ) Represetació gráfica: represetar los modos de vibració e u diagrama ν(k) o ω(k), e la primera zoa de Brilloui (pegar la gráfica realizada co el programa gráfico que se prefiera) 3) Calcular la "velocidad del soido" del sistema de varillas a partir de la relació ν(k) o ω(k) e la zoa lieal (modos de orde bajo): 4) Modos de vibració ópticos 4-a) Frecuecias Cetro de Zoa Frecuecia (Hz) λ (L/N) k (π/λ) Borde de zoa 4-b) Dibujar la estructura de vibració de los modos acústicos y ópticos e cetro de zoa y e borde de zoa

7 OPCONAL 5) Determiar las curvas de excitació amplitud-frecuecia para varios modos (seleccioar varios modos de frecuecias compredidas etre 8 y Hz, aproximadamete) Modo Modo Modo 3 Modo4 Modo 5 ν (hz) A ν (hz) A ν (hz) A ν (hz) A ν (hz) A Nota: La umeracio de modos e la tabla se refiere úicamete al orde e que se mide e este apartado, o al orde del modo (úmero de vietres) defiido e el apartado. 6) Represetació gráfica: represetar las curvas amplitud-frecuecia medidas e el apartado aterior (pegar la gráfica realizada co el programa gráfico que se prefiera) 7) Determiar, mediate u ajuste a ua forma de pico (loreziaa o gaussiaa) o bie gráficamete, la achura de cada ua de las curvas de excitació medidas e el apartado aterior. Frecuecia Modo Modo Modo 3 Modo 4 Modo 5 Achura Existe algua correlació etre la frecuecia del modo y la achura de su curva de respuesta amplitud-frecuecia?

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12 5 ν (Hz) k (m - ) 3 A (mv) 5 5 Orde del modo: N=5 N=6 N=7 N=8 N= ν (Hz)