CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES 1

Transcripción

1 Son procedimientos básicos necesarios para la construcción y resolución de la mayoría de los problemas y trazados geométricos. MEDIATRIZ de un segmento: Recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio. BISECTRIZ de un ángulo: Recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales, pasando por el vértice. Se toma con el compás una medida claramente mayor que la mitad del segmento. Haciendo centro en los extremos A y B del segmento trazamos dos arcos que se cortan en los puntos y. La recta que pasa por ellos es la mediatriz. Se toma con el compás una medida cualquiera y se traza un arco con centro en el vértide del ángulo, obteniendo los puntos y. Se traza la mediatriz del segmento - que resulta ser la bisectriz. A B PARALELA MEDIA Cuando tenemos dos rectas paralelas, se llama paralela media a otra recta paralela a las anteriores y que está a la misma distancia de ambas. Con escuadra y cartabón se traza una perpendicular a las dos rectas paralelas, que cortará en los puntos A y B. Se traza ahora la mediatriz del segmento AB, que será la paralela media buscada. PARALELA MEDIA A B

2 DIISIÓN DE UN ÁNGULO en,4,8,6... partes iguales Podemos dividir cualquier ángulo en partes iguales siempre que sean pares y múltiplo de al cuadrado, es decir:, 4, 8, 6... siempre el doble del anterior. Se divide el ángulo en dos iguales con una bisectriz; cada uno se vuelve a dividir en dos de nuevo, tantas veces hasta el número requerido. DIISIÓN DE UN ÁNGULO RECTO EN TRES PARTES IGUALES ( TRISECCIÓN ) Trisección significa división en tres partes, como bisección significa división en dos partes. Algunos ángulos se pueden dividir en tres partes iguales, el más sencillo e importante el de 90º. Con centro en y una medida cualquiera trazamos un arco, que cortará en los puntos y. Con centro en el punto y sin mover el compás trazamos otro arco desde, que cortará al primero en el punto 4. Con centro en el punto y sin mover el compás trazamos otro arco desde, que cortará al anterior en el punto. 4 4 Uniendo el vértice con los puntos y 4 obtenemos la trisección buscada.

3 ÁNGULOS CON COMPÁS Y REGLA En muchas ocasiones debemos dibujar ciertos ángulos con compás, aunque puedan trazarse también con escuadra y cartabón. Lo más idóneo dependerá del tipo de trabajo de estemos ejecutando. Son sencillos ya que se basan en conocer el de 60º, la bisectriz y la suma o resta de ángulos. ÁNGULO de 60º Se basa en la construcción de un triángulo equilátero, que no es necesario dibujar (º paso), pero quitando un lado. 60º Dibujamos el lado origen. Con centro en el vértice trazamos un arco, que se corte en el punto con el lado. ÁNGULO de 0º Hacemos la bisectriz del de sesenta. 0º ÁNGULO de 45º Hacemos la bisectriz del de noventa. 45º Con centro en el punto y sin mover el compás, hacemos otro arco que pase por y se corte con el anterior en. Uniendo con obtenemos el lado final y el ángulo de 60º. Si uniéramos con nos saldría un triángulo equilátero. ÁNGULO de 5º Hacemos la bisectriz del de sesenta y después la del de 0º. 5º ÁNGULO de 5º Hacemos la bisectriz del de 90º pero por el lado contrario. La suma de 90 más 45 nos da el de 5º 5º

4 ÁNGULO de 0º Se consigue sumando dos de sesenta, es decir, construyendo uno de sesenta sobre otro de sesenta. 4 Realizamos la misma construcción que para el de sesenta, pero prolongando el primer arco. Con centro en el punto y sin mover el compás, hacemos otro arco que pase por y se corte con el primero en. 0º 0º 60º Uniendo con el punto obtenemos el lado final. ÁNGULO de 75º Partimos de uno de 90º y sobre el lado origen construimos uno de 60º. El que nos queda medirá 0º. Haciendo la bisectriz del de 0º nos quedará uno de 5º, que sumado al anterior de 60º nos da el de 75º. 60º Dibujamos un ángulo de 90º. Sobre el lado origen dibujamos otro de 60º. Se observa que el pequeño debe medir 0º. Se puede conseguir también restando a 80º uno de sesenta. Construimos el de 60º mirando hacia la izquierda; el de la derecha son 0º. 0º 5º 75º Trazamos la mediatriz del de 0º, quedando dos ángulos de 5º. Se observa que, el de 60º más el de 5º inmediatamente situado, nos dan un total de 75º.

5 5 PARALELAS Y PERPENDICULARES CON ESCUADRA Y CARTABÓN El uso más frecuente e importante es el trazado de paralelas y perpendiculares. PARALELAS Se utiliza normalmente el cartabón como regla de apoyo y la escuadra como regla de dibujo, pero según el dibujo que se realice se pueden utilizar de muchas formas: PERPENDICULARES A diferencia de lo anterior, las perpendiculares se hacen siempre a partir de la POSICIÓN BÁSICA, como se indica debajo, con el cartabón como regla de apoyo y la escuadra en posición de. POSICIÓN BÁSICA DE ESCUADRA Y CARTABÓN Para trazar perpendicular a una recta dada haremos coincidir primero la escuadra, después colocaremos el cartabón y finalmente giraremos la escuadra. Se hace coincidir exactamente el lado largo de la escuadra (hipotenusa) con la recta dada. Se sujeta bien la escuadra y se adosa el cartabón perfectamente, sin golpes, procurando que la escuadra no se mueva. Giramos la escuadra sujetando el cartabón, apoyándola sobre el otro lado igual (cateto). Sujetamos bien las dos y trazamos la perpendicular.

6 6 ÁNGULOS CON ESCUADRA Y CARTABÓN Los ángulos más importantes y más utilizados se construyen con rapidez y precisión con la escuadra y el cartabón, si se utilizan correctamente. ÁNGULO Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas. Consta de un vértice y dos lados, se mide en grados utilizando el transportador de ángulos, normalmente en el sentido contrario a las agujas del reloj. Al primer lado se le llama origen y al segundo final. ÉRTICE LADO FINAL LADO ORIGEN ÁNGULO CUALQUIERA No es necesaria ninguna construcción especial. Se dibuja el vértice, con un punto. Con la escuadra o el cartabón se traza una semirrecta por el vértice y después una segunda semirrecta. ÉRTICE ÁNGULO DE 90º Se trazan dos perpendiculares por el vértice, utilizando la posición principal de escuadra y cartabón. Los ángulos rectos llevan el símbolo

7 ÁNGULO DE 45º Se construye a partir de la posición básica de escuadra y cartabón, similar a las perpendiculares pero dibujando sobre el lado superior de la escuadra, como en el ejemplo. 7 45º 45º Para hacerlo en sentido contrario, el cartabón debe colocarse al principio en el otro lado. ÁNGULO DE 0º El lado origen se construye con la posición básica, se baja un poco la escuadra y después se dibuja el ángulo con el cartabón, como en el ejemplo. Trazamos el primer lado con la posición básica, desde el vértice del ángulo. Situamos el cartabón sobre la escuadra, que es ahora la regla de apoyo, y trazamos el lado final. Desplazamos hacia abajo uno o dos centímetros la escuadra, sin mover el cartabón. 0º 0º Para hacerlo orientado en sentido contrario sólo hay que colocar el cartabón hacia el otro lado.

8 ÁNGULO DE 60º Es similar al de treinta grados pero utilizando el ángulo de 60º del cartabón. 8 Trazamos el primer lado con la posición básica, desde el vértice del ángulo. Desplazamos hacia abajo uno o dos centímetros la escuadra, sin mover el cartabón. Situamos el cartabón sobre la escuadra, que es ahora la regla de apoyo, y trazamos el lado final. ÁNGULO DE 0º Se parte de la posición del de sesenta, pero con el cartabón orientado hacia el otro lado, como en el ejemplo. Situamos el cartabón sobre la escuadra, que es ahora la regla de apoyo, y trazamos el lado final. 60º 60º 0º 60º Para hacerlo orientado en sentido contrario sólo hay que colocar el cartabón hacia el otro lado. Nos basamos en restar 60º a 80º, con lo que nos queda 0º.

9 ÁNGULO DE 50º El mismo método que para 0º, restando 0º a 80º, nos quedan 50º 9 50º 0º Nos basamos en restar 0º a 80º, con lo que nos queda 50º. Colocamos el cartabón con los 0º mirando hacia el lado contrario. ÁNGULO DE 5º Trazamos el lado origen con el cartabón y colocamos la escuadra como en el ejemplo. Trazamos el lado origen con el cartabón, dejando el vértice por el centro. Deslizamos el cartabón uno o dos centímetros sobre la escuadra. Deslizamos el cartabón uno o dos centímetros sobre la escuadra. 45º 5º Nos basamos en restar 45º a 80º, con lo que nos queda 5º.

10 ÁNGULOS mediante sumas y restas Pueden conseguirse otros ángulos como combinaciones de sumas y restas de los anteriores. ÁNGULO DE 75º Se consigue sumando el de 45º de la escuadra más el de 0º del cartabón. 0 Colocamos el cartabón sobre el lado origen. Desplazamos el cartabón apoyándolo en la escuadra para que no se incline. Ahora colocamos la escuadra como en el dibujo y trazamos el lado final. ÁNGULO DE 5º No es una ángulo muy utilizado y se puede conseguir restando 75º al de 90º. Pero puede construirse directamente colocando las reglas de esta forma: Trazamos el lado origen por debajo del cartabón y colocamos encima la escuadra. 5º Sujetamos la escuadra y cambiamos el cartabón de lugar, contra el otro cateto de la escuadra. Como en los casos anteriores, si se quiere hacer hacia el otro lado se colocan las reglas en sentido contrario. 75º Usamos el cartabón ahora como regla de apoyo y deslizamos la escuadra hasta que pase por el vértice, trazando el lado final.

11 MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULO Para medir un ángulo es necesario el transportador de ángulos. Para transportar un ángulo podemos utilizar bien el transportador, bien el compás. Básicamente hay dos tipos de transportador: semicircular y circular. El circular es más cómodo ya que podemos medir ángulos mayores de 80º sin modificar su posición. Pueden venir divididos en 60º (sexagesimal) o en 400g (centesimal). Los ángulos suelen ir representados en sentido contrario a las agujas del reloj, aunque pueden tener una segunda escala en sentido de las agujas del reloj; esto a veces provoca confusiones a la hora de leer el ángulo. Transportador semicircular. Centros bien definidos. El centro está en el borde del transportador. Transportador circular. MUY IMPORTANTE: independientemente de la forma que tenga, es imprescindible que el transportador lleve clara, precisa e inequívocamente marcado el CENTRO. Puede venir marcado con una cruz, un círculo, una raya, combinaciones de estas cosas, etc. Para medir un ángulo correctamente es necesario hacer dos cosas simultáneamente:. Hacer coincidir el vértice del ángulo con el centro del transportador.. Hacer coincidir el lado origen del ángulo con el 0º del transportador. LADO ORIGEN Centro poco preciso. En esta posición tomamos la lectura del lado final del ángulo, que será la medida del ángulo. Para evitar errores al tomar la lectura, es preferible contar las divisiones en lugar de mirar directamente la cifra en el transportador. 4º LADO FINAL 0º LADO ORIGEN

12 MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULO (continuación) Si cualquiera de las dos cosas, vértice o lado origen, no coinciden, la medida estará mal. NO 7º? LADO FINAL NO 44º? LADO FINAL értice mal colocado. 0º LADO ORIGEN Lado origen mal colocado. 0º LADO ORIGEN Finalmente, es muy importante para hacer una lectura correcta que los lados del ángulo sobrepasen el borde exterior del transportador, nunca queden por dentro o debajo. SÍ TRASLACIÓN DE UN ÁNGULO CON EL TRANSPORTADOR Dibujar un ángulo con una medida concreta o trasladar una medida de un ángulo a otro es la misma operación. Supongamos que queremos trasladar un ángulo de 58º: Dibujamos el lado origen del ángulo, marcando claramente el vértice. Buscamos contando la medida correspondiente y marcamos con el lápiz. 58º NO Hacemos coincidir centro y 0º con vértice y lado origen respectivamente. Unimos la marca con el vértice, trazando el lado final del ángulo. 58º

13 MEDIDA Y TRANSPORTE DE UN ÁNGULO (continuación) TRASLACIÓN DE UN ÁNGULO MAYOR DE 80º Si el ángulo a trasladar es mayor de 80º y disponemos de un transportador circular, se realiza exactamente igual que cualquier otro ángulo. Si el transportador es semicircular, no podremos hacer la traslación directamente, sino que habrá que hacer una operación previa. Supongamos que debemos trasladar un ángulo de 85º: Dibujamos un ángulo de 80º, marcando claramente el vértice. Al ángulo pedido, 85º, le restamos 80º. 85º - 80º = 05º Colocamos el transportador por la parte inferior y marcamos el ángulo que nos dio la diferencia. Podemos hacerlo igualmente restando el ángulo pedido a 60º, y marcando el ángulo resultante desde el el lado origen, pero en sentido contrario: Restamos 85º a 60º: 05º 60º - 85º = 75º Unimos la marca con el vértice, trazando el lado final del ángulo, y señalando con un pequeño arco el ángulo total. 85º Marcamos el ángulo desde el lado origen, pero hacia abajo, en sentido contrario al ejercicio anterior. 85º 75º LADO ORIGEN

14 4 TRANSPORTE DE UN ÁNGULO CON EL COMPÁS Es la forma más precisa para trasladar un ángulo; no se necesita saber su medida. Supongamos que nos dan un ángulo original de vértice y tenemos que hacer otro igual, de vértice W. Sobre el ángulo original dibujamos un arco con centro en y radio cualquiera. Obtenemos los puntos y. Sobre el lado origen del nuevo ángulo, con vértice en W y sin mover el compás, trazamos un arco igual al anterior, obteniendo el punto. W Tomamos la distancia - con el compás en el ángulo original. Con la medida -, hacemos centro en el punto del ángulo W y cortamos con el arco obteniendo el punto. Uniendo el punto con el construimos el lado final del ángulo, que será igual al. W Si el ángulo a trasladar es cercano a 80º, para evitar errores de dibujo es mejor dividirlo en dos partes más o menos iguales y trasladar los dos ángulos, uno a continuación del otro. Dividimos el ángulo en dos y trazamos un arco, obteniendo ahora tres puntos:, y. W Con la medida - de y centro en el del W, obtenemos el. En realidad estamos inventando un triángulo isósceles en, que luego construimos en W, ya que conocemos los tres lados. W Con la medida - del ángulo y centro en el punto de W, trazamos un arco obteniendo el. Unimos W con para dibujar el lado final. W W

15 5 DIISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES (Aplicación del teorema de Tales). Tales de Mileto fue un matemático griego que vivió en el siglo I antes de Cristo. Enunció dos teoremas, el más conocido tiene que ver con la semejanza de triángulos y se verá en otro apartado. Pero de este teorema extraemos una aplicación útil e importante, que es cómo dividir cualquier segmento en el número de partes iguales que se desee. El problema es dividir el segmento AB en cierto número N de partes iguales. En el ejemplo lo vamos a dividir en siete partes iguales, es decir, N=7. No es necesario saber la medida de AB, pero necesitamos regla, escuadra y cartabón. Supongamos que AB es el segmento a dividir. A partir del extremo A trazamos otro segmento que mida 7 cm y marcamos cada una de las partes en dicho segmento, esto es, una marca cada centímetro Unimos el punto 7 con el extremo B del segmento. A A Para evitar errores de dibujo es conveniente que el ángulo con el que trazamos el segundo segmento no sea ni muy pequeño ni muy grande, aproximadamente unos 45º. 4 Ángulo demasiado grande: error de dibujo Ángulo demasiado pequeño: error de dibujo 5 6 B B 7 A Trazamos paralelas a la dirección B7, pasando por las divisiones 6, 5, 4... El segmento AB queda así dividido también en 7 partes. A Si el número de partes a dividir es muy alto, por ejemplo 0, no podemos utilizar centímetros. Utilizamos otra medida, por ejemplo 5 mm. Lo importante es que sean iguales entre sí. A Todas iguales, noimportala medida B B 0 7 B