ECUACIO ES DIFERE CIALES E EL CO TEXTO DEL MATLAB Carlos Enrique úñez Rincón 1

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1 ALEPH SUB CERO SERIE DE DIVULGACIÓ ℵ II ℵ 0 ECUACIO ES DIFERE CIALES E EL CO TEXTO DEL MATLAB Carlos Erique úñez Ricó Los maemáicos, e lugar de simplemee uilizar u méodo que parece fucioar, quiere hallar ua jusificació para el méodo ua serie de codicioes que garaice que el méodo fucioa. Gle Ledder El presee arículo de core divulgaivo iee como propósio hacer ua corasació ere la resolució usual de ecuacioes difereciales ordiarias (EDO), es decir la resolució empleado el Álgebra el Cálculo, la resolució operado los comados del Programa de Cálculo Técico Cieífico MATLAB. Esá dirigido al lecor ieresado e el ema, pero sobre odo a los alumos que cursa la asigaura Maemáica IV e las diversas Carreras de Igeiería que cofigura la Ofera Académica de la UNET. d Ecuacioes separables g ( ) f d = Resolver = 4. Es ecesario epresar la ecuació e la oació de d Leibiz, es decir = 4, ahora se lleva a la forma de variable separada, eso d d es 4 = d El auor del arículo es Liceciado e Maemáica, egresado de la Uiversidad de los Ades ULA - Veezuela. Asimismo, es Magíser, Docor e Ciecias. Acualmee es Profesor e la Caegoría de Tiular, adscrio al Deparameo de Maemáica Física de la Uiversidad Nacioal Eperimeal del Táchira Veezuela.

2 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab luego d + = d l + l + = + C l = + C eoces, la solució es + = e = e e 4+ 4C 4 4C luego, + = ± e e 4 4C, haciedo A 4C = ± e, obeemos + = Ae 4 por lo ao, Ae = Ae Cosideremos, ahora, la codició iicial 0 =, obeemos l + l + = 0 + C C = l e eoces, la solució paricular es = 4 3e + Ahora, obeemos la solució geeral paricular uilizado los comados de MaLab, asimismo se represea gráficamee las solucioes (figura ) la de solució paricular (figura ). >> pre(solve('i(/(4-^),)=i(,)')) - /4 log( - ) + /4 log( + ) >> C=simple(sm('solve(subs(=0,=,=-/4*l(-)+/4*l(+)-C),C)')) C = /4*log(3) >> [X,Y]=meshgrid(-:0.:);.

3 Carlos úñez >> Z=-X+(-log(abs(-Y))+log(abs(+Y)))./4; >> coour(z,0) >> fplo('(6*ep(4*)-)/(3*ep(4*)+)',[-3,3]) Cuadro Figura Figura Como es posible observar, es basae simple hallar la solució geeral paricular de la ecuació diferecial, así como la solució gráfica. Ecuacioes homogéeas M ( ) d, +, d = 0 Cosideremos la ecuació diferecial + d = d d. Epresádola de la forma homogéea, eso es + + d d = 0 probamos que las dos fucioes so homogéeas (, ) = M (, ) (, ) = (, ) M 3

4 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab es claro, que ambas iee el mismo grado de homogeeidad. Ahora, la epresamos de la forma deomiador por, obeemos d d + + = dividiedo umerador omado la susiució d = + + d v =, es decir = v, dode d dv = v +, eemos d d dv dv v + = + v + v = + v d d la ecuació la hemos coverido e ua ecuació diferecial separable, es decir dv + v = d iegramos para obeer la solució geeral dv + v d = l + + = l = = = l + C C v v C v v e e A fialmee, susiuimos v por = A = A + + = A Ahora, obeemos la solució geeral uilizado los comados de MaLab: Deermiamos si la ecuació es homogéea:. 4

5 Carlos úñez >> maple('m:=(,)->sqr(^+^)+'); >> maple(':=(,)->-'); >> pre(sm(maple('collec(m(*,*),)'))) / ( + ) + >> pre(sm(maple('collec((*,*),)'))) - Se carga el la librería difforms el comado maple('defform(v=0,=0,=0)'), que permie uilizar las formas difereciales epresar las variables, respecivamee: >> maple('wih(difforms)'); >> maple('defform(v=0,=0,=0)'); Se hace el cambio de variable = v se epresa la ecuació e forma de variables separadas: >> pre(simple(sm(maple('subs(=*v,m(,)*d()+(,)*d())')))) / - (-d() ( + v ) + d(v)) >> pre(sm(maple('collec((*sqr(+v^)*d()-**d(v))/(),{d(v),d()})'))) / d() ( + v ) - d(v) Se resuelve la ecuació separable: >> pre(simple(sm('i(/(sqr(+v^)),v)-i(/,)'))) asih(v) - log() Fialmee se susiue v por /: >> pre(simple(sm('subs(v=/,a*sih(v)-log())'))) a sih(/) - log() Cuadro 5

6 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab Ecuacioes eacas M ( ) d M, +, d = 0 = Cosideremos la ecuació e + d + e d = 0, ésa es de la forma M, d +, d = 0, aplicado la codició de eaciud, comprobamos M que es eaca, eso es = e =. Uilizado el procedimieo de resolució de ecuacioes difereciales eacas, obeemos luego M d = ( e + ) d f (, ) = e + + φ ( ) = e + φ '( ) f = e + φ ' = e =, φ ' = 0 φ ' d = 0d φ = C eoces, f (, ) = e + + C, pueso que (, ) geeral de la ecuació e C C e A f f = C, obeemos la solució A + + = + = =, dode A = C C. e Ahora, obeemos la solució geeral, así como la represeació gráfica de la familia de solucioes (figura 3), uilizado los comados del MaLab: Deermiamos si la ecuació es eaca: >> maple('m:=(,)->*ep()+*'); 6

7 Carlos úñez >> maple(':=(,)->ep()'); >> pre(simple(diff('m(,)',''))) ep() >> pre(simple(diff('(,)',''))) ep() Se resuelve la ecuació eaca: >> solucio=maple('simplif(i(m(,),)+g())') solucio = *ep()+^+g() >> pre(sm(maple('simplif(i(m(,),)+g())'))) ep() + + g() >> pre(sm(maple('simplif(diff(*ep()+^+g(),))'))) /d \ ep() + -- g() \d / >> pre(simple(sm('solve(ep()+diff(g(),)=(,),diff(g(),))'))) 0 >> pre(simple(sm(maple('subs(g()=i(0,),*ep()+^+g())')))) ep() + Represeació gráfica de la familia de solucioes: >> [,]=meshgrid(-:.:); >> z=*ep()+^; >> coour(z,00) Cuadro 3 7

8 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab Ecuacioes lieales ' + P = Q Figura 3 Cosideremos la ecuació diferecial lieal ( 3 ) lugar es ecesario llevarla a la forma ' P Q d = d. E primer + =, es decir ' + 3 =, ahora, deermiamos el facor P d e, eso es P d = 3d = 3, o es ecesario icluir la cosae de iegració, luego ecuació por ese facor, obeemos e P d 3 = e, muliplicado la ' 3 e ' + e 3 = e e = e luego, e el miembro izquierdo de la igualdad aplicamos el Teorema Fudameal del Cálculo e el derecho iegramos, así obeemos la solució de la ecuació 3 ' e d = e d e = e + C = + Ce

9 Carlos úñez Como sabemos, para hacer el procedimieo más secillo, simplemee se susiue el facor e P d 3 = e e la epresió = P d e Q d + C P d e obeemos la solució. Ahora, obeemos la solució geeral, uilizado u comado del MaLab: >> pre(sm(maple('simplif(dsolve(diff((),)+3**()=,()))'))) () = /3 + ep(- 3/ ) _C Cuadro 4 Ecuacioes lieales de orde superior ( ) ( ) ( ) a + a + + a + a = f 0 Homogéeas co coeficiees cosaes ( ) ( ) ( ) a + a + + a + a = 0 0 Cosideremos las siguiees ecuacioes homogéeas co coeficiees cosaes: a) '' + 5 ' 3 = 0 b) ''' 6 '' + ' 8 = 0 c) '' 3 ' + 4 = 0 d) ' = 0. Solució: a) obegamos la ecuació poliomial asociada (poliomio caracerísico), para ello hacemos r = e, luego '' ' e r + 5 e r 3e r = 0 r e r + 5re r 3e r = 0 r + 5r 3 e r = 0 r 5r 3 0 r r = + = 9

10 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab eoces, = e la solució geeral es 3 = e cosiue solucioes de la ecuació, por lo ao 3 = Ae + Be. b) la ecuació poliomial asociada es 3 r r r r r r = 0 = 0 eoces, usado la reducció de orde es posible deermiar oras solucioes liealmee idepediees de geeral de la ecuació es e, eso es e e, por lo ao la solució = Ae + A e + A e 3 c) la ecuació poliomial asociada es 3 ± ± 7i r 3r + 4 = 0 r = = eoces, las solucioes de la ecuació so 3+ 7i = e luego, la solució geeral de la ecuació es = e 3 7i 3 + 7i 3 7i = Ae + Be Mediae la fórmula de Euler, es posible reescribir la solució geeral 3 7i 3 7i = Ae e + Be e = Ae cos + ise + Be cos ise 0

11 Carlos úñez ahora, omado adecuadamee valores para A B, por ejemplo A = B = / A = - i/, B = i/, obeemos solucioes sigificaivas co valores reales, eso es por lo ao = e cos = e se = Ee cos + Fe se. d) la ecuació poliomial asociada es facorizado, obeemos = r r r r r r ( r )( r )( r )( r )( i)( i) = 0 eoces, las solucioes de la ecuació so = e, = e, 3 = e, 4 3 = e, + i i = = = e = e se 5 e e cos por lo ao, la ecuació geeral es 6 = Ae + A e + A e + A e + A e cos + A e se Ahora, obeemos la solució geeral de cada ecuació, uilizado los comados del MaLab: a) >> pre(dsolve('*d+5*d-3*=0')) C ep(-3 ) + C ep(/ )

12 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab ó >> pre(sm(maple('dsolve(*diff((),$)+5*diff((),$)-3*()=0,())'))) () = _C ep(-3 ) + _C ep(/ ) b) >> pre(sm(maple('dsolve(diff((),$3) -6*diff((),$)+*diff((),$)-8*()=0,())'))) () = _C ep + _C ep + _C3 ep c) >> solve('^-3*^+4=0') as = [ 3/+/*i*7^(/)] [ 3/-/*i*7^(/)] >> pre(sm(maple('dsolve(diff((),$)-3*diff((),$)+4*()=0,())'))) / / () = _C ep(3/ ) si(/ 7 ) + _C ep(3/ ) cos(/ 7 ) d) >> pre(sm(maple('dsolve(diff((),$6) -9*diff((),$5)+30*diff((),$4)-8*diff((),$3)- 88*diff((),$)+56*diff((),$)-9*())'))) () = _C ep + _C ep(3 ) + _C3 ep(- ) + _C4 ep o así + _C5 ep cos + _C6 ep si >> pre(dsolve('d6-9*d5+30*d4-8*d3-88*d+56*d-9*=0')) C ep(- ) + C ep( ) + C3 ep(3 ) + C4 ep( ) + C5 ep( ) cos( ) + C6 ep( ) si( ) Cuadro 5

13 Carlos úñez o homogéeas co coeficiees cosaes a'' + b' + c = f Méodo de coeficiees ideermiados Cosideremos la siguiee ecuació o homogéea de segudo orde co coeficiees cosaes: '' ' + = e cos Su solució geeral es de la forma = p + h, dode h = Ae cos + Be se es la solució geeral de la ecuació homogéea. Ahora, deermiamos ua solució paricular de la ecuació, para ello, sea p = Ce se, susiuedo esa epresió e la ecuació diferecial, obeemos luego, p '' ' Ce se Ce se + Ce se = e cos Ce cos = e cos C = / = e se, por lo ao la solució geeral es Méodo de variació de parámeros = Ae cos + Be se + e se. Cosideremos la ecuació '' ' + = e cos. Ese méodo, al igual que el aerior, produce la solució geeral de la ecuació mediae = p + h, dode = A + B = Ae cos + Be se es la solució geeral de la ecuació h homogéea = u + u es ua solució paricular de la ecuació diferecial, p u u so fucioes descoocidas que se debe deermiar. Para deermiar a u u, es ecesario calcular e Wroskiao de las dos fucioes, eso es 3

14 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab luego = = = e ' ' e cos e se e se + e cos (, ) W e cos e se ' e se( e ) f cos u = ud = d = d = secos d = cos W e 4 e ( e ) f cos cos ' u = ud = d = d = cos d = + se W e 4 p = cos e cos + + se e se = e cos + e se por lo ao, la solució geeral es = Ae cos + Be se + e cos + e se. 4 Ahora, obeemos la solució geeral de la ecuació, así como la represeació gráfica de la familia de solucioes (figura 4), para cieros valores de A B, uilizado los comados del MaLab: >> solve('r^-*r+=0') as = [ +i] [ -i] >> maple('f:=->ep()*cos()'); >> maple(':=->ep()*cos()'); >> maple(':=->ep()*si()'); >> maple('w:=->wroskia([(),()],)'); 4

15 Carlos úñez >> pre(simple(sm(maple('de(w())')))) ep >> maple('w:=->arra([[0,()],[,diff(()(),)]])'); >> pre(simple(sm(maple('de(w())')))) -ep() si() >> maple('w:=->arra([[(),0],[diff(()(),),]])'); >> pre(simple(sm(maple('de(w())')))) ep() cos() >> maple('u:=->facor(simplif(i(f()*de(w())/de(w()),)))'); >> maple('u()') as = /4*cos(*) >> maple('u:=->facor(simplif(i(f()*de(w())/de(w()),)))'); >> maple('u()') as = /4*si(*)+/* >> maple('p:=->facor(simplif(()*u()+()*u()))'); >> maple('p()') as = /4*ep()*(cos()*cos(*)+si()*si(*)+*si()*) >> maple(':=->simplif(c*()+c*()+p())'); >> maple('combie((),rig)') as = c*ep()*cos()+c*ep()*si()+/4*ep()*cos()+/*ep()*si()* >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=-4,c=6,())'))),[-,]) >> hold o >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=-4,c=-6,())'))),[-,]) 5

16 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=-4,c=-3,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=-4,c=3,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=-4,c=,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=-4,c=-,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=4,c=,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=4,c=-,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=4,c=5,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=4,c=-4,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=-4,c=-4,())'))),[-,]) >> ezplo(simple(sm(maple('subs(c=-4,c=-5,())'))),[-,]) Cuadro 6 Figura 4 Ecuacioes difereciales co coeficiees variables reducibles a ecuacioes co coeficiees cosaes. Ecuació de Cauch-Euler ( ) ( ) ( ) a + a + + a + a0 = f Cosideremos la ecuació ( 4) ( 3) '' 7 ' + 6 = 0. 6

17 Carlos úñez Para rasformarla e ecuació de coeficiees cosaes, hacemos por lo ao = e = l d d d d = =, d d d d d d d d d = = d d d d d 3 3 d d d d d d d = 3 = d d d d d d d d d d d d d d d d = = d d d d d d d d d susiuedo esas derivadas e la ecuació diferecial, obeemos d d d d d d d d d d d d d d d d d d d = + = 4 d d d d d luego, la ecuació poliomial asociada es por ao 4 r r r r r r = = 0 e e = = =, l l e e l = e = e = l l l 3 = = = = = = 4 e l e l = C C l C 3 C 4 l

18 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab Mediae cualquier comado del MaLab del cuadro 7, se obiee la solució de la ecuació. E esa ecuació el programa, se oma su iempo para dar el resulado. No se edia por ser mu eeso. pre(simple(dsolve('^4*d4+6*^3*d3-^*d-7**d+6*=0'))) pre(sm(maple(dsolve('^4*d4+6*^3*d3-^*d-7**d+6*=0')))) Cuadro 7 Ecuacioes difereciales rasformada de Laplace p p F ( p ) =L[ ] = = f p e f d lím e f d 0 0 L[ α f + β g] = α L[ f ] + β L[ g ], L e a f ( ) = F ( p a ). Si F = L[ f ] es la rasformada de Laplace, eoces f = L [ F ] rasformada iversa de Laplace. luego Por ora pare, si f ' de igual maera =, eoces p L[ '] ' p = = ' p e d lím e d ( 0) L[ ] = + = + p p lím e lím p e d p 0 = L L[ ' ] = p L[ ] ( 0) L[ '' ] = p L[ ] p( 0 ) '( 0) p 3 3, L[ ] p ( 0 ) p' ( 0 ) '' ( 0), ec., es la 8

19 Carlos úñez Sea la ecuació '' ' 5 3e cos + + =, co las codicioes iiciales '( 0) = 0. Nóese, que podemos omar a ' ( 0) ( p ) eso es 0 = 0 = + como codició iicial. Aplicamos la rasformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad, L[ ''] + L[ '] + L[ ] 5 =L 3e cos uilizado los resulados obeidos aeriormee, obeemos p L[ ] p 0 ' 0 p + L[ ] ( 0) + 5L[ ] L[ ]( p p 5) ( p ) (0) ' ( 0) = = 3 3p + 3 ( p ) p + ( p ) susiuedo las codicioes iiciales, despejado uilizado ua descomposició e fraccioes parciales, obeemos L[ ] 3p + 3 p + p + = = p + p + p + p + 5 ( p + p + )( p + p + 5) p + p + = ( p ) ( p ) aplicado la rasformada iversa, obeemos L (L[ ] ) = L p + L ( p + ) + = e cos e cos. p ( p ) Por iermedio de los comados del MaLab, obeemos la solució paricular, así como la solució grafica (figura 5): 9

20 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab >> maple('l:=p->laplace(diff((),$)+*diff((),)+5*(),,p)'); >> pre(simple(sm(maple('subs((0)=0,(d())(0)=0,l(p))')))) laplace((),, p) (p + p + 5) >> maple('l:=p->laplace(3*ep(-)*cos(),,p)'); >> pre(simple(sm('l(p)'))) p (p + ) + >> pre(simple(sm(maple('solve(l(p)=l(p),laplace((),,p))')))) 3 ((0) p + (4 (0) + D()(0)) p + (3 + D()(0) + 6 (0)) p + 3 / D()(0) + 4 (0)) / (p + 4 p + p + 4 p + 0) / >> maple('tl:=p->solve(l(p)=l(p),laplace((),,p))'); >> pre(simple(sm('subs((0)=0,(d())(0)=0,tl(p))'))) p p + 4 p + p + 4 p + 0 >> maple('tlo:=p->simplif(subs((0)=0,(d())(0)=0,tl(p)))'); >> solucio=simple(sm(maple('ivlaplace(tlo(p),p,)'))); >> pre(solucio) ep(-) (cos() - cos) >> =(-*pi:0.:*pi); >> =ep(-).*cos()-ep(-).*cos(*); >> plo(,) Cuadro 8 0

21 Carlos úñez Figura 5 Solució e series de poecias de ecuacioes lieales Méodo de las series de Talor a a0 a a a = 0 = Cosideremos las ecuacioes a) '' ' = 0 b) '' + 3 = 0 a) Cojeuremos que la ecuació iee ua solució epresada como serie de poecias, es decir = 0 = a = a + a + a + a + + a + deermiemos los coeficiees de la serie, para ello es ecesario precisar ' '' = ' = a = a + a + 3a + 4a + + a '' = a = a + 3 a + 4 3a + + a + =

22 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab al susiuir e la ecuació, es coveiee que la primera seguda serie ega el ídice igual a la ercera, eso es a a a = = = = 0 ( 3 a + 3 a a a5 + + a + ) ( 3 a a 3a3 a ) ( a a a a a ) = reuiedo las poecias iguales de, obeemos ( a a ) + ( 3 a a a ) + ( 4 3a a a ) ( ) + 5 4a 3a a + + a a a + = esa ecuació se saisface si odos los coeficiees so ulos, ese hecho produce las relacioes de recurrecia siguiees 0 a a0 =, a3 a = 0, 4 3a4 3a = 0, a5 a3 =,, ( ) a ( ) a = 0, resolviedo cada ecuació cosiderado a a 0 a como cosaes cualesquiera A B, obeemos ídices pares pero a A 0 a = = 3 A A = = =,, , a4 a ( ) ( ) a = a = a,

23 Carlos úñez pero luego eoces por ao Ídices impares e geeral la solució geeral, es ( 3) ( )( 3) ( ) a = a = a 4 4 a = a = a = a 4 a 3 = = ( 4) a 4 6 = = ( ) ( )( 4) a a B 3 3 a a A = 4 A = 4, a5 a3 ( ) a 6 4 B B = = =, = B 3 5 ( ) A ( ) 4 =

24 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab + B ( ) b) Cojeuremos que la ecuació presee ua solució epresada como serie de poecias, es decir = 0 = a = a + a + a + a + + a + para obeer los coeficiees es ecesario deermiar '' 3 4 '' = a = a + 3 a + 4 3a + + a + = al susiuir e la ecuació, es coveiee que la primera serie ega el ídice igual al de la ercera, eso es a + 3 a = 0 = = ( 3 a + 3 a a a5 + + a + ) 3 ( a0 a a a3 a ) = 0 reuiedo las poecias iguales de, obeemos ( a + 3a ) + ( 3 a + 3a ) + ( 4 3a + 3a ) ( ) + 5 4a + 3a + + a + 3a + = para que la serie de poecias sea igual a cero, cada coeficiee debe ser cero, eso es 4

25 Carlos úñez 3 0 a + a0 =, a3 a = 0, 4 3a4 + 3a = 0, a + 3a = 0, a5 + a3 =,, así, obeemos las relacioes de recurrecia siguiees Ídices pares cosideremos a 0 ua cosae cualquiera A 3 0 3A a + a0 = a = 3 3A 4 3a4 + 3a = 0 a4 = 4 3 deducimos que a 3 A 4 3 a4 = ( )( ) = 3 A 3 A a = 3.! ( ) Ídices impares cosideremos a ua cosae cualquiera B B 3 a3 + a = a3 = 3 3B 5 4a5 + 3a3 = 0 a5 = deducimos que a 3 3 B a5 = = A ( )( ) a + = 3 B! ( + ) luego 3A 3B 3 3 A 4 3 B 5 = A + B + +! 3! 4! 5! ( ) ( ) ( ) ( + ) = A B + +! 4!! 3! 5!! 5

26 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab + = A + B!! por lo ao, la solució geeral es ( 3) ( 3) ( ) ( + ) = 0 = 0 = Acos 3 + Bse 3. Por iermedio de los comados del MaLab, obeemos las solucioes geerales pariculares para ( 0) = ' 0 = : a) >> maple('dsolve(diff((),$)-*diff((),)-()=0,(),series)') as = () = series((0)+d()(0)*+(/*(0))*^+(/3*d()(0))*^3 +(/8*(0))*^4+(/5*D()(0))*^5+O(^6),,6) >> pre(simple(sm(maple('dsolve({diff((),$)-*diff((),) -()=0,(0)=,D()(0)=},(),series)')))) () = + + / + /3 + /8 + /5 + O b) >> pre(simple(sm(maple('dsolve(diff((),$)+3*()=0,(),series)')))) 3 4 () = (0) + D()(0) - 3/ (0) - / D()(0) + 3/8 (0) /40 D()(0) + O >>pre(simple(sm(maple('dsolve({diff((),$)+3*()=0, (0)=,D()(0)=},(),series)')))) () = + - 3/ - / + 3/8 + 3/40 + O 6

27 Carlos úñez >> pre(simple(sm(maple('dsolve({diff((),$)+3*()=0, (0)=,D()(0)=0},(),series)')))) 4 6 () = - 3/ + 3/8 + O, (dode ( 0) =, ' 0 = 0) >> pre(simple(sm(maple('dsolve({diff((),$)+3*()=0, (0)=0,D()(0)=},(),series)')))) () = - / + 3/40 + O, (dode ( 0) = 0, Cuadro 9 Sisemas de ecuacioes difereciales lieales de primer orde d = a ( ) + b ( ) + f ( ) d d = a + b + f d ' 0 = ) Sisemas lieales homogéeos co coeficiees cosaes méodo de valores propios d = a + b d d = a + b d Cosideremos los sisemas siguiees a) d = + 4 d d = + d b) d = d d = 4 + d 7

28 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab Pueso que, u sisema de ecuacioes lieales homogéeo co coeficiees cosaes es reducible a ua ecuació diferecial lieal homogéea de segudo orde co coeficiees cosaes, podemos cojeurar que el sisema presea ua solució de la forma = Ae = Be derivado susiuedo esa posible solució e el sisema, obeemos m m ( m) A A m m m Ame = Ae + 4Be + 4B = 0 m m m Bme = Ae + Be + m B = 0, dode A B so icógias para que ese sisema de ecuacioes ega solució, es ecesario que m 4 de = 0 m si es diferee de cero, se obiee la solució rivial A = B = 0 desarrollado el deermiae, obeemos la ecuació poliomial asociada o auiliar m m m m m m 3 = = 0 =, = 3 si m = -, obeemos A + 4B = 0 A + B = 0 es claro, que esas ecuacioes so múliplos ere sí, luego el deermiae es cero, por ao eise solucioes o riviales, ua de ellas es A = -, B =, eoces 8

29 Carlos úñez si m = 3, obeemos = = e e A + 4B = 0 A B = 0 es claro, que esas ecuacioes so múliplos ere sí, luego el deermiae es cero, por ao eise solucioes o riviales, ua de ellas es A =, B =, eoces 3 = e 3 = e es evidee, que los dos cojuos solució obeidos so liealmee idepediees, por lo ao la solució geeral del sisema es 3 = Ce + Ce. 3 = Ce + Ce b) Aes de resolver, el sisema, es prudee hacer cieras cosideracioes, a saber los coeficiees A B so úmeros complejos, eso es A = A + Ai B = B + Bi, por lo ao ( + ) ( + ) a bi a bi = A + A i e = A + Ai e a bi = B + Bi e ( a bi ) = B + Bi e Aplicado la fórmula de Euler e la primera solució paricular propuesa del sisema, obeemos a ( ) cos a cos = A + A i e b + ise b = B + Bi e b + ise b 9

30 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab (( cos ) ( cos)) ( cos ) ( cos) = A b A se b + i A se b + A b e = ( B b B se b + i B se b + B b ) e luego, las solucioes co valores reales so a a ( cos ) cos = A b A se b e = ( B b Bse b ) e a a ( cos) cos = A se b + A b e = ( Bse b + B b ) e a a es claro que esas solucioes so liealmee idepediees, por lo ao la solució geeral del sisema, es ( ( cos ) ( cos)) ( cos ) ( cos) = C A b A se b + C A se b + A b e = ( C B b B se b + C B se b + B b ) e Obsérvese, que si se aplica u procedimieo similar a la seguda solució propuesa, obeemos la misma solució geeral. Resolvamos, bajo esas premisas, el sisema e cosideració, para ello cojeuremos que el sisema presea ua solució de la forma = Ae = Be derivado susiuedo esa posible solució e el sisema, obeemos m m a a m m m Ame = Ae Be Bme = 4Ae + Be m m m ( m) A A B = m B = 0 para que ese sisema de ecuacioes ega solució, es ecesario que 30

31 Carlos úñez m de = 0 4 m si es diferee de cero, se obiee la solució rivial A = B = 0 desarrollado el deermiae, obeemos la ecuació poliomial asociada o auiliar 5 0 m m + = m = ± i si m = + i, obeemos ia B = 0 4A ib = 0 es claro, que esas ecuacioes so múliplos ere sí, luego el deermiae es cero, por ao eise solucioes o riviales, ua de ellas es A =, B = -i, eoces ( + ) = = + ( cos( ) ( )) i e e ise ( + i = ) = + = + ( ) ie ie cos ise e i cos ise luego, las solucioes co valores reales so ( ) e = cos = se e ( ) = se e = cos e es claro que esas solucioes so liealmee idepediees, por lo ao la solució geeral del sisema, es ( cos( ) ( )) ( ) cos( ) = C + C se e = ( Cse C ) e 3

32 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab Ahora, obeemos la solució geeral de los dos sisemas, así como la solució paricular, mediae el méodo de las series de Talor, del segudo para (0) = (0) =, uilizado los comados de MaLab: a) >> S=dsolve('D=+4*,D=+',''); >> pre(sm([s.,s.])) ó [/ C ep(-) + / C ep(3 ) + C ep(3 ) - C ep(-), /4 C ep(3 ) - /4 C ep(-) + / C ep(-) + / C ep(3 )] >> pre(sm(maple('dsolve({diff((),)=()+4*(),diff((),)=()+()}, {(),()})'))) {() = / _C ep(-) + / _C ep(3 ) + _C ep(3 ) - _C ep(-), () = /4 _C ep(3 ) - /4 _C ep(-) + / _C ep(-) + / _C ep(3 )} b) >> S=dsolve('D=-,D=4*+',''); >> pre(sm([s.,s.])) [- / ep() (- cos( ) C + si( ) C),ep() ( si( ) C + cos( ) C)] Méodo de las series de Talor >> pre(simple(sm(maple('dsolve({diff((),)-+=0,diff((),)-4*-=0, (0)=,(0)=},{(),()},series)')))) {() = / - 5/ /4 + O( ), () = - 5/ - 5/3 + 5/4 + / + O( )} Cuadro 0 3

33 Carlos úñez Sisemas lieales o homogéeos co coeficiees cosaes d = a + b + f ( ) d d = a + b + f d Méodo de coeficiees ideermiados Cosideremos el sisema siguiee d = 3 + e d d = 4 d E primer lugar preseemos la solució geeral del sisema homogéeo = Ce + Ce = 4Ce + Ce De esa solució se desprede, que o es admisible cosiderar la solució = Ae, = Be, como solució paricular del sisema lieal o homogéeo, pueso que es ua solució (para C = 0) de la solució geeral del sisema homogéeo. Por la eperiecia e la solució de ecuacioes difereciales o homogéeas, cojeuremos que ua solució paricular es ( ) = A + A e = B + B e derivado susiuedo e el sisema, obeemos 33

34 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab ( ) ( 3 3 ) ( ) ( + + ) = ( ) + ( ) A + A + A e = A + A e + B B e + e B B B e A A e B B e ( A B ) + ( A A B + ) = ( A B ) ( A B B ) = 0 para que esas ecuacioes sea ulas, los coeficiees iee que ser igual a cero, eso es A B = 0 i 4A 4B = 0 ii A A B + = 0 iii 4A 4B B = 0 iv de (i) (ii) obeemos que A = B, de (iv) A B = B /4, de esa úlima epresió de (iii), obeemos B 4 4 B = B = = A A B = = haciedo B = 0, eoces A = /3, luego por lo ao, la solució geeral es 4 = + e = e 3 4 = Ce + C + + e = 4Ce + C + e 3 34

35 Carlos úñez de MaLab: Ahora, obeemos la solució geeral paricular uilizado los comados >> S=dsolve('D=3*-+ep(*),D=4*-*',''); >> pre(sm([s.,s.])) [- /3 C ep(-) + 4/3 C ep( ) - /3 C ep( ) + /3 C ep(-) - /9 ep( ) + 4/3 ep( ), 4/3 C ep( ) - 4/3 C ep(-) + 4/3 C ep(-) - /3 C ep( ) + 4/3 ep( ) - 4/9 ep( )] Méodo de las series de Talor >> pre(simple(sm(maple('dsolve({diff((),)-3*+-ep(*)=0,diff((),) -4*+*=0,(0)=,(0)=},{(),()},series)')))) {() = / + 3/6 + 9/8 + 9/8 + O( ), () = /3 + 3/ O( )} 30 Méodo de variació de parámero Cosideremos el sisema siguiee Cuadro d = e d d 4 = + + e d E primer lugar, cosideremos la solució geeral del sisema homogéeo, para ello cojeuremos que iee ua solució de la forma 35

36 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab = Ae = Be derivado susiuedo esa posible solució e el sisema, obeemos m m ( m) A A m m m Ame = 3Ae + Be 3 + B = 0 m m m Bme = Ae + Be + m B = 0 para que ese sisema de ecuacioes ega solució, es ecesario que 3 m de = 0 m si es diferee de cero, se obiee la solució rivial A = B = 0 desarrollado el deermiae, obeemos la ecuació poliomial asociada o auiliar si m =, obeemos m m m m = 0 4 = 0 A + B = 0 A + B = 0 es claro, que esas ecuacioes so múliplos ere sí, luego el deermiae es cero, por ao eise solucioes o riviales, ua de ellas es A =, B =, eoces si m = 4, obeemos = e = e 36

37 Carlos úñez A + B = 0 A B = 0 es claro, que esas ecuacioes so múliplos ere sí, luego el deermiae es cero, por ao eise solucioes o riviales, ua de ellas es A =, B =, eoces = = e 4 e es evidee, que los dos cojuos solució obeidos so liealmee idepediees, por lo ao la solució geeral del sisema homogéeo, es 4 = Ce + Ce = Ce + Ce Ahora, cosideremos ua solució paricular del sisema o homogéeo, eso es 4 ( ) ( ) 4 = ue + u e = u e + ue derivado susiuedo e el sisema, obeemos 4 4., dode u u so fucioes de descoocidas u e + u e + u e + 8u e = 3u e + 6u e u e + u e + e u e u e + u e + 4u e = u e + u e u e + u e + e iegrado, obeemos ' ' ' ' u e + u e = e = = + + = ' ' 4 ' 3 ' 3 u ' ' 4 4 e, u e u e ue e u = e d = e u = + e d = e

38 Ecuacioes difereciales e el coeo del MaLab por lo ao, la solució geeral del sisema, es = Ce + Ce + e e + e e = C e + C e + e ( e ) + e e = C e + C e + e + e = C e + C e + e + + e Ahora, obeemos la solució geeral paricular uilizado los comados de MaLab: >> S=dsolve('D=3*+*+ep(),D=+*+ep(4*)',''); >> pre(sm([s.,s.])) [/3 C ep() + /3 C ep(4 ) + /3 C ep(4 ) - /3 C ep() + /3 ep() - /9 ep(4 ) + /3 ep(4 ) - /9 ep(), /3 C ep(4 ) - /3 C ep() + /3 C ep() + /3 C ep(4 ) + /3 ep(4 ) - /9 ep() - /3 ep() + /9 ep(4 )] ó >> pre(sm(maple('dsolve({diff((),)=3*()+*()+ep(), diff((),)=()+*()+ep(4*)},{(),()})'))) {() = /3 _C ep() + /3 _C ep(4 ) + /3 _C ep(4 ) - /3 _C ep() + /3 ep() - /9 ep(4 ) + /3 ep(4 ) - /9 ep(), () = /3 _C ep(4 ) - /3 _C ep() + /3 _C ep() + /3 _C ep(4 ) + /3 ep(4 ) - /9 ep() - /3 ep() + /9 ep(4 )} 38

39 Carlos úñez >> S=dsolve('D=3*+*+ep(),D=+*+ep(4*)','(0)=,(0)=',''); >> pre(simple(sm([s.,s.]))) [(/3 ep() + /3 ep(4 )) - /3 ep() + 4/3 ep(4 ), (/3 ep(4 ) - /3 ep()) + ep(4 )] Bibliografía Cuadro García, J. e al. (00). Apreda Malab 6. como si esuviera e primero. Madrid: Escuela Técica Superior de Igeieros Idusriales, Uiversidad Poliécica de Madrid. Golubisk, M. Delliz, M. (999). Liear algebra ad differeial equaios usig MATLAB. New York: Brooks Cole Publishig Compa. Ledder, G. (006). Differeial equaios: a modelig approach. New York: McGraw-Hill, Ic. MATLAB (Mariz LABoraor). (00). The laguage of echical compuig. Versio Release.. New York: The MahWohk, Ic. Núñez R., C. (000). Sucesioes series. Trabajo se asceso a la Caegoría de Asociado. Uiversidad Nacioal Eperimeal del Táchira UNET. Sa Crisóbal, Veezuela. Núñez R., C. (003). Los úmeros complejos e el eoro Maple 7. Alep Sub Cero, Serie de Divulgació. 003-I(I), Veezuela. Pérez, C. (999). Aálisis maemáico álgebra lieal co MATLAB. Madrid: ra-ma. Simmos G. Kraz, S. (007). Ecuacioes difereciales. Méico: McGraw- Hill, Ieramericaa. Takeuchi, Y. e al. (978). Ecuacioes difereciales. Méico: Limusa. 39

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