UNIDAD 10: LÓGICA. 1. Definiciones

Transcripción

1 1. Definiciones UNIDAD 10: LÓGICA La lógica es una ciencia formal que estudia los tipos válidos de razonamiento. Un razonamiento es una estructura en la que a partir de ciertos datos conocidos llamados premisas extraemos un nuevo dato llamado conclusión y que se sigue de los primeros por aplicación de reglas. Un razonamiento es válido cuando la conclusión se sigue de las premisas e inválido en el caso contrario. Hablamos de validez y no de verdad. La validez se refiere a la estructura o forma del razonamiento, que es el objeto de investigación de la lógica. La verdad se refiere al contenido o materia del razonamiento, objeto de investigación de las distintas ciencias. La lógica, como las matemáticas, tiene muchas ramas y subdivisiones de las cuales nosotros estudiaremos la más básica y elemental, la lógica proposicional. Esta parte de la lógica estudia los razonamientos en cuyas premisas y conclusiones se utilizan proposiciones sin analizar: Una proposición es una oración en la que se afirma o niega algo y que, por tanto, puede seer verdadera o falsa. Es decir, es una oración enunciativa (no interrogativa, exclamativa, imperativa o desiderativa). La verdad o falsedad de una proposición constituye su valor de verdad y puede ser 1 ó 0. Sin analizar significa que en las proposiciones que utilizamos en la lógica proposicional no separamos el sujeto del predicado. Las proposiciones pueden ser atómicas y moleculares, éstas se forman por la unión de aquellas con las llamadas conectivas o conectores. Al ser la lógica, como las matemáticas, una ciencia formal, posee un lenguaje formal específico que debemos aprender a manejar. 2. Símbolos de la lógica proposicional: a) Variables proposicionales: utilizados para formalizar proposiciones, son las letras p, q, r, s, t, u, v, w b) Conectivas: sirven para formar proposiciones moleculares a partir de proposiciones atómicas. Son cinco:,,,, - Negador: Su significado es similar al de la partícula no del lenguaje natural. 1

2 Se formaliza. Se lee no. Se coloca siempre delante de la expresión que queremos negar. El negador es una conectiva que da lugar a una proposición de valor 0 cuando la proposición original vale 1 y viceversa. Su tabla de verdad es: p p Conjuntor: Su significado es similar a las partículas y, pero, aunque, sin embargo del lenguaje natural, aunque sin sentido temporal ni adversativo. Se formaliza. Se lee y. Se coloca siempre entre las dos expresiones que queremos conjuntar a las que llamamos conjuntos. El conjuntor es una conectiva que da lugar a una proposición de valor 1 únicamente cuando todos los conjuntos o miembros de la conjunción valen 1. Su tabla de verdad es: p q p q Disyuntor: Su significado es similar a la partícula o del lenguaje natural aunque sólo en su sentido inclusivo. Se formaliza. Se lee o. Se coloca siempre entre las dos expresiones que queremos disyuntir que llamaremos disyuntos. El disyuntor es una conectiva que da lugar a una proposición de valor 0 únicamente cuando todos los disyuntos o miembros de la disyunción valen 0. Su tabla de verdad es: p q p q

3 - Implicador o condicional: Se formaliza. Se lee Si entonces o también implica. Se coloca siempre entre las dos expresiones que queremos implicar. Llamamos antecedente a la parte que lleva la condición y consecuente a la que expresa la consecuencia. Su significado no es del todo similar al condicional Si entonces del lenguaje natural ya que en este caso debe existir una relación real de causalidad entre antecedente y consecuente y esto no es necesario en el caso de esta conectiva. El implicador es una conectiva que da lugar a una proposición de valor 0 únicamente cuando el antecedente de la implicación tiene valor 1 y el consecuente tiene valor 0. Su tabla de verdad es: p q p q Coimplicador o bicondicional: Su significado es similar a un doble condicional en el que el antecedente implica el consecuente y viceversa. Se formaliza. Se lee si y sólo si. Se coloca siempre entre las dos expresiones que queremos coimplicar y que llamamos coimplicandos. El coimplicador es una conectiva que da lugar a una proposición de valor 1 cuando ambos miembros de la coimplicación tienen el mismo valor, sea este 1 ó 0. p q p q c) Símbolos auxiliares: son los paréntesis y corchetes que nos sirven para establecer las relaciones entre proposiciones. Si no aparecen el orden de prelación de las conectivas es el siguiente: 3

4 - El coimplicador es la conectiva de mayor alcance - seguido del implicador - siguen el conjuntor y el disyuntor que tienen el mismo alcance, - por último, la conectiva de menor alcance es el negador Cualquier oración enunciativa puede ser formalizada, es decir pasada del lenguaje natural al lenguaje formal de la lógica, con los símbolos anteriores. 3. Tablas de verdad: Es un procedimiento para hallar la tabla de verdad de cualquier fórmula dada. p (q p) ( p q) - Averiguar el número de proposiciones diferentes que aparecen en la fórmula: 2 - Averiguar el número de filas o combinaciones posibles entre las proposiciones: 2 elevado a n, siendo n el nº de proposiciones, por tanto 2 elevado a 2, 4. - Hacer la tabla de cada conectiva partiendo desde la de menor alcance: p q p q p ( p q) p (q p) p (q p) ( p q) Según el resultado final de la tabla, una fórmula puede ser una: - Tautología: Fórmula que siempre es verdadera cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran. En la tabla todo 1. - Contradicción: Fórmula que siempre es falsa cualesquiera que sean los valores de verdad de las proposiciones que la integran. En la tabla todo 0. - Indeterminación o contingencia: Fórmula que puede ser verdadera o falsa, según los valores de verdad de las proposiciones que la integran. En la tabla 1 y Cómo comprobar la validez de un razonamiento: 4

5 Se trata de un procedimiento para comprobar que un razonamiento es válido, es decir, que en él la conclusión se sigue efectivamente de las premisas: partiendo de las premisas y aplicando reglas lógicas llegaremos a la conclusión. Para ello seguimos los siguientes pasos. - Si el razonamiento está dado en lenguaje natural debe ser formalizado, es decir, le asignamos una variable proposicional a cada oración simple del lenguaje natural y componemos con las conectivas y símbolos auxiliares las premisas y la concusión. - Se colocan las premisas en columna, una debajo de otra, con su número de orden a la izquierda empezando por el 1, precedido de un guión que indica que se trata de una premisa. _1. p q _2. p q r _3. r - Se opera sobre las premisas aplicando reglas. Cada nueva fórmula obtenida por aplicación de una regla se coloca en una nueva línea de la columna con su número de orden a la izquierda y el comentario que indica qué regla hemos aplicado y a qué líneas a la derecha. Ese comentario incluye la abreviatura de la regla aplicada junto con el número correspondiente a las líneas donde se encuentran las fórmulas a las que hemos aplicado la regla. _1. p q _2. p q r _3. r 4. (p q) MT 2,3 - Aplicaremos reglas sucesivamente hasta obtener la conclusión buscada. - En el caso de que abramos supuestos provisionales, colocaremos antes del número de orden el símbolo de supuesto, que deberá ser cancelado antes de establecer la conclusión. Podemos seguir las siguientes sugerencias para la comprobación de la validez de razonamientos: 5

6 - Si en las premisas hay una implicación intentamos aplicar: MP, MT, Sil. - Si en las premisas hay una conjunción aplicamos: EC - Si en las premisas hay una disyunción intentamos aplicar: SD, Dil - Si en las premisas hay una coimplicación aplicamos: ECO - Si en las premisas hay una doble negación aplicamos: EDN - Si en las premisas hay una implicación negada, o una conjunción negada o una disyunción negada, aplicamos: DM, Interdefinición - Si necesitamos demostrar una disyunción intentamos aplicar: ID - Si necesitamos demostrar una implicación y el ejercicio no sale usando las reglas directas entonces usamos: DT (Teorema de Deducción) - Si necesitamos demostrar una implicación negada, o una conjunción negada o una disyunción negada, intentamos aplicar: DM, Interdefinición - Si el ejercicio no sale usando las reglas directas y en las premisas tenemos una disyunción entonces usamos: ED (Regla de Casos) - Si el ejercicio no sale de ningún modo entonces intentamos IN (Regla del absurdo) 6

7 EJERCICIO N º 1 Unidad 10: Lógica Nivel de dificultad: Bajo Nombre: Curso: 1. Señala qué oraciones son proposiciones (Sí o No), cuando lo sean indica si son atómicas o moleculares (A o M) y formalízalas Oración Sí / No A / M Formalización El zinc es un metal Hace calor? Los números pares son infinitos y los impares también La tierra gira alrededor del sol Ojalá apruebe filosofía! Los metales transmiten bien el calor Llegó tarde y no pudo justificarse Si estudio entonces aprobaré y pasaré de curso El planeta se degrada y corremos peligro Si te gusta la música entonces te compras un CD o te la bajas de Internet Mis amigos no son vegetarianos Si se agota el petróleo entonces no sobreviviremos Si soy mujer y soy feminista entonces no soy estúpida Vivo si y sólo si me alimento Si Estados Unidos no firma el Protocolo de Kioto entonces el ahorro energético no es posible La tolerancia en necesaria o la convivencia no es posible 7

8 Soluciones Oración Sí o No A o M Formalización El zinc es un metal S A p Hace calor? N Los números pares son infinitos y los S M p q impares también La tierra gira alrededor del sol S A p Ojala apruebe filosofía! N Los metales transmiten bien el calor S A p Llegó tarde y no pudo justificarse S M p q Si estudio entonces aprobaré y pasaré de curso El planeta se degrada y corremos peligro S M p (q r) S M p q Si te gusta la música entonces te S M p (q r) compras un CD o te la bajas de Internet Mis amigos son vegetarianos S A p Si se agota el petróleo entonces no sobreviviremos S M p q Si soy mujer y soy feminista entonces S M (p q) r no soy estúpida Vivo si y sólo si me alimento S M p q Si Estados Unidos no firma el Protocolo de Kioto entonces el ahorro energético no es posible La tolerancia es necesaria o la convivencia no es posible S M p q S M p q 8

9 2. Señala qué oraciones son proposiciones (Sí o No), cuando lo sean indica si son atómicas o moleculares (A o M) y formalízalas Oración Sí o No A o M Formalización Un hombre está vivo si y sólo si su cerebro funciona Irás a la fiesta? Venus es un planeta interior y Mercurio también Si no llegamos a tiempo entonces te enviamos un mensaje o anulamos la cita Ojalá no tarde mucho! Me estudié la tabla periódica de los elementos y no me la preguntaron Puedes venirte o quedarte y preparar la comida Si viene María y no viene Isidro, entonces iremos en coche y no en autobús Si seguimos consumiendo como hasta ahora entonces el desarrollo sostenible no es posible Si las instituciones europeas están en crisis entonces necesitamos revitalizarlas o suprimirlas Si eres vegetariano entonces no puedes comer carne Si comes carne y pescado entonces no eres vegetariano No es cierto que no ha venido No me grites! 9

10 Soluciones Oración Sí o No A o M Formalización Un hombre está vivo si y sólo si su S M cerebro funciona Irás a la fiesta? N Venus es un planeta interior y Mercurio también Si no llegamos a tiempo entonces te enviamos un mensaje o anulamos la cita Ojalá no tarde mucho! Me estudié la tabla periódica de los elementos y no me la preguntaron Puedes venirte o quedarte y preparar la comida S S N S S M M M M Si viene María y no viene Isidro, S M entonces iremos en coche y no en autobús Si seguimos consumiendo como hasta S M ahora entonces el desarrollo sostenible no es posible Si las instituciones europeas están en S M crisis entonces necesitamos revitalizarlas o suprimirlas Si eres vegetariano entonces no puedes S M comer carne Si comes carne y pescado entonces no S M eres vegetariano No es cierto que no ha venido S A No me grites! N 10

11 EJERCICIO N º 2 Unidad 10: La lógica Nivel de dificultad: Bajo Nombre: Curso: Formaliza las siguientes proposiciones: 1. No es cierto que no me guste bailar. 2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción. 3. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. 4. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. 5. O salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como una energúmena. 6. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. 7. Si no tengo que ir a trabajar y tengo tiempo para ello entonces prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada. 8. O estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco. 9. El agua está contaminada pero aún así la han bebido, así que enfermarán y tendrán que ser llevados al hospital o morirán. 10. Si la inflación sube entonces los precios suben y si la inflación sube entonces también suben los tipos de interés, esto implica que vamos a tener que ajustar nuestro presupuesto o nos embargarán la casa. 11

12 EJERCICIO N º 3 Unidad 10: La lógica Nivel de dificultad: Medio y Alto Nombre: Curso: Formaliza y demostrar: 1. Si la Tierra es un planeta, gira alrededor del Sol. La Tierra es un planeta. Por tanto, gira alrededor del Sol. 2. Si Pedro no está vivo es que su cerebro no funciona. Pedro no está vivo. Luego su cerebro no funciona. 3. Es de día. Luego no es cierto que no sea de día. 4. No es verdad que no ha venido. Luego ha venido. 5. Tengo un hermano y dos hermanas. Por tanto, tengo un hermano. 6. Tengo un hermano y dos hermanas. Por tanto, tengo dos hermanas. 7. Eres bobo. Eres desesperante. Por tanto eres bobo y desesperante. 8. Te callas o te vas. No te callas. Luego te vas. 9. Isabel es trabajadora o es inteligente. No es trabajadora. Luego es inteligente. 10. El agua es incolora. Luego el agua es incolora o estoy ciega. 11. Si estudias, apruebas. No has aprobado. Luego no has estudiado. 12. Si sales con ella, me enfado. Si me enfado te la cargas. Luego si sales con ella te la cargas. 13. Si sales con ella, me enfado. Si me enfado te la cargas. Has salido con ella. Luego te la has cargado. 14. Un ser humano vive si y sólo si su cerebro funciona. Por tanto, si un ser humano está vivo es que su cerebro funciona. 15. Nos quedamos a estudiar o salimos de marcha. Si nos quedamos a estudiar, aprobaremos. Si salimos de marcha, nos divertiremos. Por tanto, o aprobamos o nos divertimos. 16. Hoy es viernes y estamos supercontentos. Si hoy es viernes entonces esta noche toca movida. Si estamos supercontentos entonces la diversión es segura. Luego, esta noche toca movida y la diversión es segura. 12

13 17. Trae botas de tacos o trae raquetas. Si trae botas de tacos jugaremos al rugby y si trae raquetas jugaremos al tenis. No hemos jugado al tenis. Por tanto jugamos al rugby. 18. Trae botas de tacos o trae raquetas. Si trae botas de tacos jugaremos al rugby y si trae raquetas jugaremos al tenis. No hemos jugado al tenis. Luego no ha traído botas de rugby y sí raquetas. 19. No es cierto que o bien Carter apoye el viaje a Israel o Begin no haga concesiones. Sadat viaja a Israel si y sólo si Begin hace concesiones. Si Hussein se mantiene neutral Sadat no viaja a Israel. Por tanto, Hussein no se mantiene neutral. 20. Si no hay control de nacimientos entonces la población crece ilimitadamente. Si la población crece ilimitadamente entonces aumentará el índice de pobreza. Luego, si no hay control de nacimientos entonces aumentará el índice de pobreza. 21. Si no hay subsidios del gobierno para la agricultura entonces habrá control de la natalidad. Si hay control de la natalidad entonces no habrá depresión económica. Hay depresión económica o superproducción agrícola. No hay superproducción agrícola. Por tanto, hay subsidios del gobierno para la agricultura. 22. Si x es un número par e y es un número impar entonces z es igual a x. Ahora bien, z no es igual a x o z es mayor que y. Pero sabemos que z no es mayor que y. Sabemos también que x es un número par. Por tanto y no es un número impar. 23. Si Isabel se salta el semáforo en rojo o conduce con exceso de velocidad entonces le ponen una multa. Si a Isabel le ponen una multa entonces no tendrá dinero para la matrícula de la Universidad. Si no tiene dinero para la matrícula de la Universidad entonces se pone a trabajar o roba. Isabel no roba ni trabaja. Por tanto, se salta el semáforo en rojo o no tiene dinero para la matrícula en la Universidad. 24. Si un animal fabuloso se enfada entonces te quedas paralizado del susto y si te quedas paralizado del susto entonces sólo puedes apelar a su bondad y no ser engullido. Por lo tanto, si un animal fabuloso se enfada, tendrás que apelar a su bondad o serás engullido. (Por TD). 25. Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo, entonces no realizaré mis sueños. He aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo tanto, no realizaré mis sueños. 26. Si vamos a Asia, entonces llegaremos hasta la India. Si vamos a Asia entonces, si llegamos hasta la India visitaremos Varanasi. Si llegamos hasta la India entonces, si visitamos Varanasi veremos el Ganges. Por lo tanto, si vamos a Asia veremos el Ganges. (Por TD). 27. Si me dices que no has hecho mal mientes y, si mientes, eres malo. Si me dices que has hecho mal, entonces eres malo y, si eres malo entonces no eres ético. Luego, no eres ético. 13

14 28. No llueve si salgo de casa sin paraguas. Cuando no llueve, salgo a dar un largo paseo por el campo. He salido sin paraguas. Luego, daré un largo paseo. 29. Si el animal fabuloso que vive en nuestros sueños se nos aparece en plena calle, entonces nos sucederá algo chistoso. Siempre que nos topamos con un marciano, tenemos mala suerte. El animal fabuloso que vive en nuestros sueños se nos aparece en plena calle o nos topamos con un marciano. Por lo tanto, nos sucederá algo chistoso o tendremos mala suerte. 30. O no dices la verdad o no puedes querer convencerme de que los hipopótamos trepan a los árboles. Cuando no bromeas, dices la verdad. Si estás de buen humor puedes querer convencerme de que los hipopótamos trepan a los árboles. Conclusión: bromeas o no estás de buen humor. 31. Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habría ningún problema. Pero si los hechos no son inofensivos o no respetuosos todo ser viviente o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo. 32. Todo número entero es primo o es compuesto. Si es compuesto entonces es un producto de factores primos, y si es un producto de factores primos, entonces es divisible por ellos. Pero si un número entero es primo entonces no es compuesto, aunque sí es divisible por sí mismo y por la unidad, y consiguientemente, también es divisible por números primos. En conclusión, todo número entero es divisible por números primos. 14

15 EJERCICIO N º 3 Unidad 10: La lógica Nivel de dificultad: Alto Nombre: Curso: 1. Demostrar usando únicamente reglas básicas (por reducción al absurdo) p q; r q (p q) 2. Demostrar usando únicamente reglas básicas (por Casos y TD) p (q r); q r; r s p s 3. Demostrar: A C; (B C) (B A) 4. Formaliza y demostrar usando únicamente reglas básicas: Si los jóvenes socialistas apoyan a Brandt, entonces renuncian a su programa de reivindicaciones. Si los jóvenes socialistas luchan contra Brandt entonces favorecen a Strauss. Una de dos: o apoyan a Brandt o luchan contra él. Por tanto, renuncian a su programa de reivindicaciones o favorecen a Strauss. 5. Formaliza y demostrar usando únicamente reglas básicas: Si dos gases tienen la misma temperatura, entonces sus moléculas tienen el mismo promedio de energía cinética. Volúmenes iguales de dos gases tienen el mismo número de moléculas. Las presiones de dos gases son iguales si es el mismo su número de moléculas y sus energías cinéticas son iguales. Por consiguiente, si dos gases tienen la misma temperatura y el mismo volumen, tienen la misma presión. 15