7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real.

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1 7.. Clculr el desrrollo de Tylor de grdo en = de l función f () = te t dt, y utilizrlo pr clculr proimdmente, te t dt. Dr un estimción del error cometido. ( 997). 7.. Clculr el siguiente ite funcionl cos 3 (4 998). sen 7.. Clculr el ite sen + 3 +b ( 7 998). ln( +) 7.3. Usndo el desrrollo de Tylor en =def() =e, obtener 3 e con un error menor que 4. ( 7 998) Utiliz un desrrollo de Tylor de orden de l función f() = log pr proimr el vlor de log(, ). D un estimción del error cometido Clcul los ites siguientes: () 5 log(+ 4 ) sen sen 3 ( ) (b) 3 ( ) 5 log(+ 4 ) [ cos (c) ( )]sen 3 () log(+ log(+ 6 ) (d) 3 ) cos 3 () 7.6. Clcul el ite siguiente utilizndo desrrollos de Tylor log( + )sen ( 4 ) 3 log( ) 7.7. Clcul el ite siguiente usndo desrrollos de Tylor: sen 4 cos ( ) 3 VIII. Cálculo integrl: funciones reles de vrible rel 8.. Clculr ls siguientes integrles definids: () e d (b) π/ sen d (c) log d (d) p d, donde p es un número entero negtivo. 8.. Clculr l derivd de ls siguientes funciones: () F () = ( ) +t 3 dt (b) F () = ( ) +t 3 dt (c) F () = t 6 3 +t dt Siendo f () un función continu, clculr ls siguientes derivds: () F () = π f (t) dt (b) F () = π f (t) dt (c) F () = sen (d) F () = sen (e) F () = sen f (t) dt log f (t) dt log tf (t) dt 8.4. Hllr los etremos reltivos de l función F () = te t dt Se f : R R un función continu y periódic, de periodo T, esto es, f ( + T )=f() pr todo número rel. Demostrr que l función definid por F () = +T f (t) dt es constnte Se f : R R un función continu. Demostrr que pr todo pr de números reles < b,eiste un número rel c stisfciendo que < c < b,de mner que se cumple f (t) dt = f (c)(b ) Es posible clculr log d? 33

2 8.8. Hll el áre de l región del plno S situd entre ls gráfics de ls funciones f () = ( ) y g () =/, sobre el intervlo [, ] Hll el áre del recinto limitdo por ls curvs de ecuciones y = 3 e y =. 8.. Hll el áre del recinto limitdo por ls curvs de ecuciones y = sen e y =. 8.. Hll el volumen del sólido generdo l girr l región limitd por ls gráfics de ls curvs y = 3,=,=, lrededor del eje. 8.. Hll el volumen del sólido generdo l girr l región limitd por ls gráfics de ls curvs y =6,y=, lrededor del eje y Hll el volumen del sólido generdo l girr el triángulo de vértices (, ), (9, ), (4, 5), lrededor del eje Hll el volumen del sólido generdo l girr lrededor de l rect = +, el recinto limitdo por ls curvs y =( +),y=,=,=. 8.. Plnte l descomposición en frcciones simples (sin necesidd de clculr ls constntes) de p() q(), donde: p() = ++ y q() =( +4) 3 ( 7) ( ++). 8.. Clcul el áre de l figur limitd por y = ypor + y = 5, siendo un constnte estrictmente positiv Clculr el áre y el volumen de un circunferenci y un esfer de rdio R Clculr el áre de un elipse de semiejes, b Clculr el volumen de un cilindro de ltur h y rdio de l bse r Clculr el volumen de un cono de ltur h y rdio de l bse r Clcul l longitud de un circunferenci de rdio R. 8.. Usr ls regls de trpecio y Simpson pr clculr de form proimd ls siguientes integrles con un error menor que : () e d. (b) e d. (c) sen d. (d) ( sen tdt) d. (e) sen e d

3 IX. Cálculo integrl: integrción numéric e integrles impropis (e) (f) d (+e ) d ( )(9 ) 9.. Comprobr que l fórmul del trpecio es ect pr polinomios de grdo, es decir, si f () es un polinomio de grdo, entonces pr todo pr de números reles <bse verific: (b ) f () d = (f ()+f (b)). 9.. Comprobr que l fórmul de Simpson es ect pr polinomios de grdo 3, es decir, si f () es un polinomio de grdo 3, entonces pr todo pr de números reles <bse verific: f () d = ( (b ) f ()+4f 6 ( + b ) ) + f (b) Estudir l convergenci de ls siguientes integrles impropis, clculndo quells que sen convergentes: () e ( 4 ) d (b) ( e 4 ) d (c) ( 4) d (d) ( ) 4/5 d (e) /4 ( ) d (f) ( ) / d (h) (i) e cos d ( +)(+) d (j) log d (k) 3 e / d 9.4. Estudir l convergenci de ls siguientes integrles impropis: () (b) (c) (d) e sen + d cos d e + d + d 36 37

4 X. Cálculo integrl: funciones reles de vris vribles.. Clculr pr Ω = [, ] [, 3] ls integrles () Ω yddy. (b) Ω ey ddy. (c) Ω y sen ddy... Clculr ls integrles dobles siguientes en los recintos que se indicn: ) Ω yddy en Ω = {(, y) R : + y }. b) Ω (3y3 + )ddy en Ω = {(, y) R : + y, }. c) Ω yddy en Ω = {(, y) R : y, y y}. d) Ω ye ddy en Ω = {(, y) R : y, y }. e) Ω y + log ddy en Ω = {(, y) R :,5, y }..3. Clculr ls integrles dobles siguientes en los recintos que continución se dn: ) Ω (4 y )ddy en el recinto limitdo por ls ecuciones y =ey = 8. b) Ω (4 + y )ddy en el recinto limitdo por y = 3 e y =. c) Ω ( + y)ddy en el recinto limitdo por y = 3 e y = 4 con. d) Ω (3y y)ddy en l región limitd por y =, y = y [, ]..4. Clculr l superficie de ls siguientes regiones: ) Círculo de rdio R. b) Elipse de semiejes, b. c) L región limitd por ls ecuciones =4y yy 4=. d) L región limitd por ls ecuciones + y =5yy =6. e) L región limitd por ls ecuciones = y y =4y y..5. Clculr el volumen de los siguientes sólidos: ) El limitdo por + y 3 + z 4 = y los plnos de coordends. b) El tronco limitdo superiormente por z = +3y e inferiormente por el cudrdo [, ] [, ]. c) Esfer de rdio R. 38 d) Cono de ltur h y rdio de l bse R. e) El tronco limitdo superiormente por l ecución z = + e inferiormente por el disco ( ) + y..6. Clculr cmbindo coordends polres: ) y + y ddy. b) 4 + y dyd. c) / ( + y ) 3/ dyd. d) / y y + y ddy..7. Clculr pr Ω = [, ] [, 3] [, ] ls integrles () Ω yzddydz. (b) Ω ey+z ddydz. (c) Ω y z 3 sen ddydz..8. Clculr ls integrles que continución se piden en los recintos correspondientes: ) Ω (y3 + z + )ddydz en Ω = {(, y, z) R 3 : + y + z =}. b) Ω (ysen z + )ddydz en Ω = {(, y, z) R3 : y z y,, y }. c) Ω ddydz en Ω = {(, y, z) R3 : y +, z }. d) Ω yzddydz en Ω = {(, y, z) R3 : 5 z y +,, y }..9. Clculr el volumen del sólido limitdo superiormente por z = e inferiormente por z = + y... Clculr el volumen del sólido limitdo superiormente por el cilindro prbólico z = y, inferiormente por el plno +3y + z + = y lterlmente por el cilindro circulr + y + =... Hllr el volumen del sólido limitdo por los prboloides de ecuciones z = y y z = + y... Clculr el volumen del sólido limitdo superiormente por l superficie cilíndric + z = 4, inferiormente por el plno + z = y lterlmente por los plnos y =ey =3..3. Hciendo uso de ls coordends esférics = rsen φcos θ, y = rsen φsen θ y z = rcos φ, clculr: ) El volumen de un esfer de rdio R. b) Ω ( +y +z )ddydz en el recinto Ω = {(, y, z) R 3 : +y +z }. 39

5 c) El volumen del recinto del prtdo (b)..4. Clculr el volumen del cuerpo limitdo por ls ecuciones z = +4y, el plno z = y lterlmente por los cilindros = y y = y..5. Clculr Ω e y +y ddy siendo Ω el triángulo formdo por los ejes de coordends y l rect + y =..6. Clculr el volumen comprendido entre los cilindros z = y z =4 y..7. Clculr el volumen del blón de Rugby de ecuciones + y b + z c =..8. Clculr Ω yddy donde Ω es l región limitd por ls curvs y =, y =, y = e y = +. Indicción: hcer el cmbio de vrible = u v, y =u v..9. Clculr el volumen encerrdo por un cilindro de rdio R/ y un esfer de rdio R cuyo centro está situdo en un punto de l superficie del cilindro. Indicción: hcer el cmbio coordends cilíndrics... Clculr ddydz Ω ( + y + z ) 3/, donde Ω es l región limitd por ls esfers +y +z = y +y +z = b, donde <b<. Indicción: hcer el cmbio coordends esférics... Coordends cilíndrics. ) Escribe l relción entre coordends crtesins y coordends cilíndrics: Φ(r, θ, z) =... b) En qué rngo máimo (bierto) vrín r, θ y z pr que Φ se biyectiv?. c) Clcul el jcobino de Φ y clcul el vlor bsoluto de su determinnte (este determinnte lo tienes que clculr eplícitmente). d) Clcul el volumen del sólido Ω = {(, y, z) :6 + y 8,, z + y }... Coordends esférics. ) Escribe l relción entre coordends crtesins y coordends esférics: Φ(r, θ, φ) =... b) En qué rngo máimo (bierto) vrín r y los ángulos θ y φ pr que Φ se biyectiv?. c) Clcul el jcobino de Φydicuál es el vlor bsoluto de su determinnte (este determinnte no hce flt que lo clcules eplícitmente). d) Clcul el volumen del sólido Ω = {(, y, z) :5 + y + z 49,y }. 4 e) Clcul l integrl Ω sen [( + y + z ) 3/ ]ddydz, donde Ω es el conjunto del prtdo nterior..3. Clcul el volumen limitdo por z = + y, z = +y, y =, y =..4. Dds constntes <<b, clcul el volumen limitdo por + y + z =, + y + z = b, + y = z, suponiendo demás z..5. Clcul el áre de l figur limitd por ( +y ) = ( y ) con +y. 4

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